Taylorrekkje

Taylorrekkjer er i matematikk ein måte å skrive ein funksjon som ein uendeleg sum av ledd rekna ut frå verdiane til dei deriverte av funksjonen i eit enkelt punkt. Rekkja kan reknast som grensa til taylorpolynoma. Taylorrekkjer er kalla opp etter den engelske matematikaren Brook Taylor. Om rekkjene er sentrert ved null, vert rekkjene òg kalla maclaurinrekkjer etter den skotske matematikaren Colin Maclaurin.

Taylorrekkjer av ein reell eller kompleks funksjon ƒ(x) som er uendeleg differensierbar i omgjevnaden til ein reelt eller komplekst tal a, er ei potensrekkje som i ei meir kompakt form kan skrivast:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\,(x-a)^{n}}$

der n! står for fakultetsverdien til n og ƒ ⁽ⁿ⁾(a) står for n-te deriverte av ƒ vurdert i punktet a; den nullte deriverte av ƒ er definert til å vere ƒ sjølv og (x − a)⁰ og 0! er begge definerte til å vere 1.

I spesialtilfellet der a = 0 vert rekkna òg kalla ei maclaurinrekkje.

Maclaurinrekkje for alle polynom er polynomet sjølv.

Maclaurinrekkje for (1 − x)⁻¹ er den geometriske rekkja.

${\displaystyle 1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots \!}$

så Taylorrekkjene for x⁻¹ ved a = 1 er

${\displaystyle 1-(x-1)+(x-1)^{2}-(x-1)^{3}+\cdots .\!}$

Ved å integrere maclaurinrekkja over finn vi maclaurinrekkja for −log(1 − x), der log er den naturlege logaritmen.

${\displaystyle x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots \!}$

og den tilsvarande taylorrekkja for log(x) ved a = 1 er

${\displaystyle (x-1)-{\frac {(x-1)^{2}}{2}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3}}-{\frac {(x-1)^{4}}{4}}+\cdots .\!}$

Taylorrekkja for eksponentialfunksjonen e^x ved a = 0 er

${\displaystyle 1+{\frac {x^{1}}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots \quad =\quad 1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{4}}{24}}+{\frac {x^{5}}{120}}+\cdots .\!}$

Utvidinga over er gyldig fordi den deriverte av e^x er lik e^x og e⁰ er lik 1. Dette gjev att leddet (x − 0)ⁿ i teljaren og n! i nemnaren for kvart ledd i den uendelege summen.

Her er ei liste over fleire viktige maclaurinrekkjer. Alle desse utvidingane er gyldige for komplekse argument x.

Eksponentialfunksjonen:

${\displaystyle \mathrm {e} ^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots {\text{ for alle }}x\!}$

Naturleg logaritme:

${\displaystyle \ln(1-x)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}{\text{ for }}|x|\leq 1,\,x\not =1}$

${\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {x^{n}}{n}}{\text{ for }}|x|\leq 1,\,x\not =-1}$

Endeleg geometrisk rekkje:

${\displaystyle {\frac {1-x^{m+1}}{1-x}}=\sum _{n=0}^{m}x^{n}\quad {\mbox{ for }}x\not =1{\text{ og }}m\in \mathbb {N} _{0}\!}$

Uendeleg geometrisk rekkje:

${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}{\text{ for }}|x|<1\!}$

Variantar av uendelege geometriske rekkjer:

${\displaystyle {\frac {x^{m}}{1-x}}=\sum _{n=m}^{\infty }x^{n}\quad {\mbox{ for }}|x|<1{\text{ og }}m\in \mathbb {N} _{0}\!}$

${\displaystyle {\frac {x}{(1-x)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }nx^{n}\quad {\text{ for }}|x|<1\!}$

Kvadratrot:

${\displaystyle {\sqrt {1+x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)n!^{2}4^{n}}}x^{n}{\text{ for }}|x|<1\!}$

Binomrekkje (inkluderer kvadratrota for α = 1/2 og den uendelege geometriske rekkja for α = −1):

${\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha \choose n}x^{n}\quad {\mbox{ for alle }}|x|<1{\text{ og alle komplekse }}\alpha \!}$

med generaliserte binomkoeffisientar

${\displaystyle {\alpha \choose n}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {\alpha -k+1}{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}.\!}$

Trigonometriske funksjonar:

${\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots {\text{ for alle }}x\!}$

${\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots {\text{ for alle }}x\!}$

${\displaystyle \tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots {\text{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!}$

der B_s er Bernoullital.

${\displaystyle \sec x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}{\text{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!}$

${\displaystyle \arcsin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}{\text{ for }}|x|\leq 1\!}$

${\displaystyle \arctan x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}{\text{ for }}|x|\leq 1\!}$

Hyperbolske funksjonar:

${\displaystyle \sinh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots {\text{ for alle }}x\!}$

${\displaystyle \cosh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots {\text{ for alle }}x\!}$

${\displaystyle \tanh x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}=x-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}-{\frac {17}{315}}x^{7}+\cdots {\text{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!}$

${\displaystyle \operatorname {arsinh} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}{\text{ for }}|x|\leq 1\!}$

${\displaystyle \operatorname {artanh} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}{\text{ for }}|x|<1\!}$

Lambert sin W-funksjon:

${\displaystyle W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}x^{n}{\text{ for }}|x|<{\frac {1}{\mathrm {e} }}\!}$

Tala B_k som dukkar opp i summasjonsutvidingane til tan(x) og tanh(x) er bernoullital. E_k i utvidinga av sec(x) er eulertal.