Logaritm

E matematik, ur fonksion logaritm a zo ur fonksion ${\displaystyle f}$ termenet war ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}$ gant talvoudoù e-barzh ${\displaystyle \mathbb {R} }$, kendalc'hus, nann digemm, hag o treuzfurmiñ ul liesad en ur sammad, da lâret eo o wiriañ :

${\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {R} _{+}^{*},\ f(a\cdot b)=f(a)+f(b)}$

Ar perzh-se a rediñ e vefe null pep fonksion logarirm en 1. Lâret e vez ez eo al logaritm ur morfegezh eus ${\displaystyle (\mathbb {R} _{+}^{*},\cdot )}$ da ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$.

Ur fonksion logaritm a zo ur vijektadenn eus ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}$ war ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ha diagenter 1 dre ar fonksion-se a zo anvet diaz al logaritm.

Ez resiprokel, ma z'eo ${\displaystyle b}$ un niver real pozitivel-strizh ha disheñvel eus 1, ez eus neuze ur fonksion logaritm nemetken gant an talvoud 1 e ${\displaystyle b}$. Anvet e vez ar fonksion-mañ al logaritm a ziaz b, skrivet ${\displaystyle \log _{b}(x)}$ Ar fonksionoù logaritm a zo evel-se resiprokennoù ar fonksionoù eksponantel.

Ar fonksionoù logaritm anavezetañ eo al logaritm naturel pe neperian a ziaz ${\displaystyle e}$, al logaritm degel (a ziaz 10, implijet-tre e fizik/kimiezh) hag al logaritm binarel (a ziaz 2, implijet e stlenneg, dreist-holl e teorienn ar gomplekeselezh). Al logaritmoù a zo bet ivez hollekaet evit an niveroù kompleksel (logaritm kompleksel) dre astenn analizerezh hag enbarzhet e teorienn ar strolladoù (logaritm diskret) dre analogiezh gant analizerezh.

E fin an XVI^vet kantved, diorroadur an astronomiezh, ar bageal hag ar jedadennoù bankel a lak ar vatematikourien da glask doareoù evit simplaat ar jedadennoù ha dreist-holl an heulliennoù aritmetikel ha geometrek. Ar vatematikourien Paul Wittich (1546-1586) ha Christophe Clavius, el levr De Astrolabio a sav ur kenskriverezh etre sammadenn ha produ daou niveroù bihanoc'h eget 1 oc'h implij an liammadennoù trigonometrek : ${\displaystyle x\times y=\sin(a)\times \cos(b)={\frac {\sin(a-b)+\sin(a+b)}{2}}.}$

Simon Stévin, merour hollek an arme hollandad, a sav taolennoù jedadenn intersest aozañ. Al labour-mañ a zo heulier gant Jost Bürgo a embann e 1620 el levr Aritmetische und geometrische Progress-tabulen, un daolenn kenskrivañ etre ${\displaystyle n}$ ha ${\displaystyle 1,0001^{n}}$. Sammad ar golonenn gentañ a glot neuze gant liesad an eil golonenn^[1].

E 1614, John Napier (pe Neper) a embann e seul Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. Ne soñj ket emañ o krouiñ fonksionoù nevez, met taolennoù kenskrivañ nemetken (logos (aze) = daremenpred, arithmeticos = niver) etre div serienn talvoudoù gant ar perc'hentiezh a-heul : ul liesad en ur golonenn a golt gant ur sammad en un hini all. An taolennoù kenskrivañ-se a zo bet krouet evit simplaat ar jedadoù trigonometriezh a zeu a-well e jedadoù astronomiezh hag implijet un nebeud bloavezhioù goude gant Kepler. An notadur Log evel beradur logaritm a zeu a-well e 1616 gant un troadur saoz eus oberenn Neper^[2]. E 1619 ez eo embannet un oberenn ues Neper goude e varv : Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio, lec'h ma zispleg penaos sevel un daolenn logaritm (gwellet Taolenn logaritm ).

Kendalc'het e vo e labour gant ar matematikour saoz Henry Briggs a embann e 1624 e daolennoù loagritm dekvedennel (Arithmética logarithmica) ha diskriv a ra implij an taolennoù vit jediñ ar sinus, adkavout ankloù tangiantennoù... Al logaritm dekvedennel a zo a-wechoù anvet logaritm Briggs en e enor. Ar memes bloaz, Johann Kepler a embann Chilias logarithmorum savet oc'h implijout un hentenn geometrek^[3]. Taolenn Briggs a ginnig al logaritm gant 14 sifr eus niveroù etre 1 ha 20 000 hag etre 90 000 ha 100 000. E labour a zo klokaet gant Ezechiel de Decker hag Adriaan Vlacqa embann e 1627 un daolenn logaritm klokaet^[4].

E 1647, pa labour Grégoire de Saint-Vincent war karrezadur an hiperbolenn, lakaat a ra anat ur fonksion nevez hag a zo primitivenn ar fonksion ${\displaystyle x\mapsto 1/x}$ o vezañ nul e 1 met Huygens eo, a zizolo e 1661 ez eo ar fonksion-se ur fonksion logaritm ispisial : al logaritm natural.

Meizad ar fonksion, an darempred etre ar fonksion eksponantel hag ar fonksion logaritm a vo dizoloet diwezatoc'h goude labour Leibniz war meizad ar fonksion (1667).

Al logaritm ar simplañ da implij er jedadennoù niverennel eo. Notennet eo log pe ${\displaystyle \log _{10}}$. Kavet e vez anezhañ e krouadurioù ar skeulioù logaritm, an daveeroù hanter-logaritmek pe daveeroù log-log, er reolenn jediñ, e jedadenn ar pH, e unanenn an desibel.

Resisaat a ra da peseurt galloud ez eo ret kreskaat 10 evit kavout an niver orin. Da skouer :

ma x=10, log(10) = 1 peogwir 10¹ = 10

ma x=100, log(100) = 2 peogwir 10² = 100

ma x=1000, log(1000) = 3 peogwir 10³ = 1000

ma x=0,01, log(0,01) = -2 peogwir 10^-2 = 0,01

Talvoud logaritm nivernennoù all eget galloudoù eus 10 a c'hooulenn un talvoud nesaet. Ar jedad eus ${\displaystyle \log(2)}$ da skouer a c'hell bezañ graet gant an dorn, o verzout ez eo ${\displaystyle 2^{10}\approx 1000}$, neuze ${\displaystyle 10\log(2)\approx 3}$ neuze ${\displaystyle \log(2)\approx 0,3}$.

Al logaritm neperian pe logaritm natural, a zo al logaritm gant an derevadur ar simplañ. Ar fed m'eo primitivenn ${\displaystyle x\mapsto 1/x}$ en deus roet dezhañ e dalvoudegezh. Notennet eo « Log » pe « ln ». Hogen, pa 'z eo bet ret klask diaz al logaritm-se, ar vatematikourien n'int ket kouezhet war un talvoud gwall simpl : diaz al logaritm neperian a zo un niver, na dekvedennel, na rasional, na algebrek : an niver trehontek e ${\displaystyle \approx 2,718\ 281\ 828\ 459\ 045\ 235\ 360\cdots }$ eo.

Evit pep niver real ${\displaystyle a}$ pozitivel strizh ha disheñvel eus 1, al logaritm a ziaz ${\displaystyle a}$ : ${\displaystyle \log _{a}}$ a zo ar fonksion kedalc'hus termenet war ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}$ o wiriañ :

Evit pep niver ${\displaystyle x}$ hag ${\displaystyle y}$ pozitivel strizh,

${\displaystyle \log _{a}(xy)=\log _{a}(x)+\log _{a}(y)\,}$

ha

${\displaystyle \log _{a}(a)=1\,}$

Gant an dermenadenn-se ez eus tu kavout buhan an termenadennoù a-heul :

${\displaystyle \log _{a}(1)=0\,}$

${\displaystyle \log _{a}(x/y)=\log _{a}(x)-\log _{a}(y)\,}$

${\displaystyle \log _{a}(x^{n})=n\log _{a}(x)\,}$

${\displaystyle \log _{a}(a^{n})=n\,}$ evit pep niver anterin natural ${\displaystyle n}$, hag evit pep niver anterin relativel ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \log _{a}(a^{r})=r\,}$ evit pep niver rasional ${\displaystyle r}$.

Evel pep niver real pozitivel strizh ${\displaystyle x}$ a c'hell bezañ kemmeret evel bevenn termoù ar furm ${\displaystyle a^{r_{n}}}$, lec'h ma 'z eo ${\displaystyle (r_{n})}$ un heulienn o konvergiñ war-zu un niver real ${\displaystyle \ell }$, determinet e vez ${\displaystyle \log _{a}(x)}$ evel bevenn ${\displaystyle r_{n}}$.

Daou fonksionoù logaritm a zo disheñvel hervez un digemm lieskemmentadek : evit pep niver real pozitivel strizh ha disheñvel eus 1, ${\displaystyle a}$ ha ${\displaystyle b}$, bez ez eus un niver real ${\displaystyle k}$ gant

${\displaystyle \log _{b}=k\,\log _{a}}$

An niver real ${\displaystyle k}$ o talvezout ${\displaystyle {\frac {1}{\log _{a}(b)}}}$

${\displaystyle \log _{b}}$ a zo ar fonksion kendalc'hus a dreuzfurm ar produ e sammad hag a zo kevatal da 1 e ${\displaystyle b}$, met, evit pep niver real ${\displaystyle k}$ nann nul, ar fonksion ${\displaystyle k\log _{a}}$ a zo ivez ur fonksion kendalc'hus, nann digemm a dreuzfurm ur produ e sammad hag ar fonksion-se a zo kevaal da 1 e b ma ha nemet ma

${\displaystyle k={\frac {1}{\log _{a}(b)}}}$.

An holl fonksionoù logaritm a c'hell neuze bezañ eztaolet gant sikour unan nemetken, unan a vez ouiet an derevenn dija : ar fonksion logaritm neperian. Evit pep niver real ${\displaystyle a}$ pozitivel strizh ha disheñvel eus 1, hag evit pep niver real ${\displaystyle x}$ pozitivel strizh, kavet e vez :

${\displaystyle \log _{a}(x)={\frac {\ln(x)}{\ln(a)}}}$

Ar fonksion ${\displaystyle \log _{a}}$ a zo derevapl war ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}$ gant an derevadur :

${\displaystyle \log _{a}'(x)={\frac {1}{x\ln(a)}}}$

Monotonel ha kreskus-strizh eo neuze pa vez ${\displaystyle a}$ brasoc'h eget 1, digreskus en degouezh kontrol.

Ur vijektadenn eo gant ur resiprokenn hag a zo ar fonksion ${\displaystyle x\mapsto a^{x}}$.

Gant un error bihanoc'h eget 0,6 % ez eo :

${\displaystyle \log _{2}(x)\approx \log _{10}(x)+\ln(x)\,}$.

1. ↑ Petite encyclopédie de mathématiques (p 72). Edition Didier (1980)
2. ↑ Math93:Origine et histoire des symboles mathématiques
3. ↑ (en) Eztaoladenn Chilias Logarithmorum war Watson Antiquarian books
4. ↑ Petite encyclopédie de mathématiques (p 72). Embannadurioù Didier (1980)