심플렉스

Simplex
The four simplexes which can be fully represented in 3D space.
3D 공간에 완전히 표현될 수 있는 4개의 심플렉스.

기하학에서, 심플렉스(복수: 심플렉스 또는 단순)는 삼각형 또는 사면체의 개념을 임의의 차원으로 일반화한 것입니다.심플렉스는 주어진 치수에서 세그먼트로 만들어진 가장 단순한 폴리토프를 나타내기 때문에 이렇게 명명되었습니다.

예를들면,

구체적으로, k-심플렉스k + 1 정점의 볼록 선체인 k 차원 폴리토프이다.좀 더 형식적으로 k + 1 0,… , k k , \ _ {, \ _ { } \ \{ {}가 친화적으로 독립되어 있다고 가정합니다., - 0 , ,u { u}그러면 이들에 의해 결정되는 심플렉스는 포인트 집합이다.

가중 꼭지점의 관점에서 이러한 표현을 중심 좌표계라고 한다.

일반[1] 심플렉스는 일반 폴리토프이기도 한 심플렉스입니다.새로운 정점을 모든 원래 정점에 공통 가장자리 길이로 연결함으로써 정규 k-심플렉스를 정규(k - 1)-심플렉스로 구성할 수 있다.

표준 심플렉스 또는 확률 심플렉스정점이 k 표준 단위 벡터인 k - 1차원 심플렉스이다.

topology와 combinatorics에서는 심플한 콤플렉스를 형성하기 위해 심플한 것을 「접합」하는 것이 일반적입니다.연관된 조합 구조는 추상 단순 복합체라고 불리며, 여기서 "simplex"라는 단어는 단순히 유한한 정점 집합을 의미합니다.

역사

심플렉스의 개념은 윌리엄 킹던 클리포드에 의해 알려졌는데, 그는 1886년에 이 모양들에 대해 썼지만 "주요 경계"라고 불렀다.앙리 푸앵카레는 1900년에 대수적 위상에 대해 쓴 글에서 그것들을 "일반화된 사면체"라고 불렀다.1902년 피에터 헨드릭 슈테는 이 개념을 처음에는 라틴어 최상급 단순어("simplest")로 기술한 후, 같은 라틴어 형용사를 심플렉스("simply")[3]로 기술했다.

정규 심플렉스 패밀리는 도널드 콕서터에 의해 α로 표시n의 정규 폴리토프 패밀리의 첫 번째 패밀리와 β로 표시n 교차 폴리토프 패밀리와 βn 표시된 하이퍼큐브이다.네 번째 패밀리, 무한히 많은 하이퍼큐브에 의한 n차원 공간의 테셀레이션, 그는 [4]δ라고n 이름 붙였다.

요소들

n-단순을 정의하는 n + 1 점의 비어 있지 않은 부분 집합의 볼록한 선체를 심플렉스의 이라고 합니다.얼굴 자체는 단순하다.특히 크기 m + 1(n + 1 정의점)의 부분 집합의 볼록한 선체는 n-단순의 m-면이라고 불리는 m-단순이다.0-면(즉, 크기 1의 집합으로 정의되는 점 자체)은 정점(단일: 정점), 1-면은 가장자리, (n - 1)-면은 , 유일한 n-면은 전체 n-단순함이다.일반적으로 m-faces의 수는 + +1){displaystyle [5]와 같습니다. n-simplex의 m-faces의 수는 파스칼 삼각형의 행(n + 1)의 열(m + 1)에 있습니다.B가 A의 면이라면 A는 B의 이다.단순 복합체의 단순화 유형을 설명할 때 면과 은 서로 다른 의미를 가질 수 있습니다. 자세한 내용은 단순 복합체를 참조하십시오.

n-simplex의 1면수(edge)는 n번째 삼각형수이고, n-simplex의 2면수(edge)는 n번째 사면체수이며, n-simplex의 3면수(edge)는 n번째 5셀수이다.

n-Simplex 요소[6]
Δn 이름. 슐레플리
콕서터
0-
얼굴
(표준)
1-
얼굴
(표준)
2-
얼굴
(얼굴)
3-
얼굴
(표준)
4-
얼굴
5-
얼굴
6-
얼굴
7-
얼굴
8-
얼굴
9-
얼굴
10-
얼굴

= 2n+1 - 1
Δ0 0 ~ 160x
(포인트)
( )
CDel node.png
1 1
Δ1 1160x
(선분)
{ } = ( ) ∨ ( ) = 2 ⋅ ( )
CDel node 1.png
2 1 3
Δ2 2배속
(표준)
{3} = 3 ⋅ ( )
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
3 3 1 7
Δ3 31200x
(4면체)
{3,3} = 4 ⋅ ( )
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
4 6 4 1 15
Δ4 41200x
(5셀)
{33} = 5파운드 ( )
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
5 10 10 5 1 31
Δ5 51200x {34} = 6파운드 ( )
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
6 15 20 15 6 1 63
Δ6 61200x {35} = 7 † ( )
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
7 21 35 35 21 7 1 127
Δ7 71200x {36} = 8파운드 ( )
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
8 28 56 70 56 28 8 1 255
Δ8 8180x {37} = 9 ⋅ ) ( )
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
9 36 84 126 126 84 36 9 1 511
Δ9 9169x {38} = 10 † ( )
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 1023
Δ10 10-1996x {39} = 11 ⋅ ) ( )
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 2047

일반인의 용어로, n-심플렉스는 n개의 차원이 필요한 단순한 모양(다각형)입니다.선분 AB를 1차원 공간의 "모양"으로 간주합니다(1차원 공간은 세그먼트가 있는 선입니다).새로운 C는 선에서 벗어난 곳에 배치할 수 있습니다.새로운 형태인 삼각형 ABC는 2차원을 필요로 한다; 원래의 1차원 공간에 들어갈 수 없다.삼각형은 2차원을 필요로 하는 단순한 모양인 2-심플렉스입니다.2차원 공간(삼각형이 있는 평면)의 도형인 삼각형 ABC를 생각해 보십시오.비행기에서 떨어진 어딘가에 새로운 점 D를 배치할 수 있습니다.새로운 형태인 사면체 ABCD는 3차원이 필요합니다. 원래 2차원 공간에 들어갈 수 없습니다.4면체는 3차원을 필요로 하는 단순한 형태인 3심플렉스이다.3차원 공간(사면체가 있는 3차원 공간)의 형상인 사면체 ABCD를 생각해 보십시오. E를 3공간 바깥 어딘가에 배치할 수 있습니다.5셀이라고 불리는 새로운 형태의 ABCDE는 4차원을 필요로 하고 4차원으로 불린다; 그것은 원래의 3차원 공간에 들어갈 수 없다.(또한 쉽게 시각화할 수 없습니다.)이 아이디어는 일반화할 수 있습니다.즉, 현재 점유하고 있는 공간 외부에 새로운 점을 하나 추가함으로써 새로운 형상을 유지하기 위해 다음으로 높은 차원으로 이동해야 합니다.이 아이디어는 역방향으로도 사용할 수 있습니다.처음 시작한 선분은 1차원 공간을 필요로 하는 심플한 형태입니다.선분은 1심플렉스입니다.선분 자체는 0차원 공간의 단일 점(이 초기 점은 0-simplex)에서 시작하여 두 번째 점을 추가함으로써 형성되었으며, 1차원 공간으로 증가해야 했습니다.

보다 형식적으로는 (n+1)-심플렉스를 n-심플렉스와 점의 결합(θ 연산자)으로 구성할 수 있으며 ()-심플렉스는 m-심플렉스와 n-심플렉스의 결합으로 구성할 수 있다.두 단순화는 서로 완전히 정규 분포를 따르도록 배치되어 있으며, 두 단순화와 직교하는 방향으로 변환됩니다.1-sqx는 2개의 포인트의 결합입니다. ( ) = 2 ( ( ) 。일반적인 2-심플렉스(scalene triangle)는 3개의 점( ( )의 결합입니다.이등변삼각형은 1심플렉스와 점 { } ( ( )의 결합입니다.정삼각형은 3µ ( ) 또는 {3}입니다.일반적인 3-심플렉스는 ( ) ( ( ) ( ( ) ( ( ) ( ( )의 4개의 점의 결합입니다.거울 대칭을 가진 3-심플렉스는 에지의 결합으로, 삼각 대칭을 가진 3-심플렉스는 정삼각형과 1: 3( )의 결합으로 표현할 수 있습니다.정4면체는 4µ( ) 또는 {3,3} 등입니다.

위 표의 면 수는 왼쪽 대각선 없이 파스칼의 삼각형과 동일합니다.
면의 총수는 항상 2 빼기 1의 거듭제곱입니다.이 그림(테서랙트의 투영)은 사면체의 15개 면의 중심체를 보여준다.

규칙에 [7]따라 빈 집합은 (-1)-simplex로 정의됩니다.위의 심플렉스의 정의는 n = -1인 경우에도 여전히 의미가 있습니다.이 규칙은 폴리토프의 연구보다 대수적 위상(단순 호몰로지 등)에 적용하는 데 더 일반적이다.

규칙 단순화의 대칭 그래프

이러한 Petrie 폴리곤(스큐 직교 투영)은 에 있는 일반 심플렉스의 모든 정점과 모서리로 연결된 모든 정점 쌍을 표시합니다.

1-simplex t0.svg
1
2-simplex t0.svg
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20

표준 심플렉스

R3 표준 2-심플렉스

표준 n-simplex(또는 단위 n-simplex)는 다음과 같이 주어진 Rn+1 서브셋이다.

심플렉스 Ω은n 위의 정의에서 제한i t 00을 삭제하여 얻은 아핀 하이퍼플레인에 있습니다.

표준 n-simplex의 n + 1 정점은 e rn+1 R 지점이다i.

e0 = (1, 0, 0, 0, ..., 0),
e1 = (0, 1, 0, ..., 0),
en = (0, 0, 0, ..., 1)

표준 n-simplex에서 임의의 n-simplex로의 표준 맵은 다음과 같이 주어진 정점(v0, ..., vn)을 가진다.

계수i t를 n-단순에서 점의 중심 좌표라고 합니다.이러한 일반 심플렉스는 표준 맵이 아핀 변환임을 강조하기 위해 종종 아핀 n-심플렉스라고 불린다.표준 맵이 방향을 보존하거나 반전할 수 있음을 강조하기 위해 방향성 아핀 n-심플렉스라고도 합니다.

보다 일반적으로, 표준( ){ -simplex (n개의 정점이 있는)에서 n개의 정점이 있는 임의의 폴리토프까지의 표준 맵이 있으며, 동일한 방정식(색인 수정)에 의해 주어진다.

이것들은 일반화된 중심 좌표라고 불리며 모든 폴리토프를 심플렉스의 이미지로 나타냅니다. n- .\ \^ { \ right P }

R에서n 표준내부( ) -simplex까지 일반적으로 사용되는 함수는 softmax 함수 또는 정규화된 지수 함수이며, 이는 표준 로지스틱 함수를 일반화합니다.

  • δR1 점 1이다0.
  • δ는1 R의 선분 결합(1, 0) 및 (0, 12)입니다.
  • δ2 R의 정점(1, 0, 0), (0, 1, 0) 및 (0, 03, 1)을 갖는 정삼각형이다.
  • δ3 정점(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0) 및 (0, 0, 0, 0, 1)이4 R에 있는 정4면체이다.
  • δ는4 정점(1, 0, 0, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1, 0) 및 (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1)을5 R로 하는 정규 5 입니다.

좌표 증가

대체 좌표계는 무기한 합계를 취함으로써 주어진다.

이를 통해 순서별로 대체 표현을 할 수 있습니다.즉, 0과 1 사이의 n-tuples가 해제되지 않습니다.

기하학적으로 이것은 R