단위 벡터

수학에서, 노름 벡터 공간의 단위 벡터는 길이가 1인 벡터이다. 단위 벡터는 종종 v $^$ {\ $displaystyle$ {\ $mathbf {v}}$ ${\hat {\mathbf {v} }}$ ("v-hat"로 발음됨)처럼 곡절 또는 "hat"이 있는 소문자로 나타난다.

일반적으로 d로 표기되는 방향 벡터라는 용어는 공간 방향과 상대 방향을 나타내기 위해 사용되는 단위 벡터를 나타내기 위해 사용됩니다. 2D 공간 방향은 단위 원 위의 점과 수치적으로 동등하고 3D 공간 방향은 단위 구 위의 점과 동등합니다.

두 개의 2D 방향 벡터의 예

2개의 3D 방향 벡터의 예

0이 아닌 벡터 u의 정규화 벡터 θ는 u 방향의 단위 벡터이다.

\mathbf {u}} = flac {mathbf {u} {\mathbf {u}

여기서 u는 ^[1]^[2]u의 표준(또는 길이)입니다.정규화 벡터라는 용어는 단위 벡터의 동의어로 사용되기도 한다.

단위 벡터는 종종 벡터 공간의 기초를 형성하기 위해 선택되며, 공간 내의 모든 벡터는 단위 벡터의 선형 조합으로 기록될 수 있다.

직교 좌표

데카르트 좌표

단위 벡터는 데카르트 좌표계의 축을 나타내기 위해 사용될 수 있다.예를 들어, 3차원 데카르트 좌표계의 x, y, z축 방향의 표준 단위 벡터는 다음과 같다.

\mathbf {i} =param {bmatrix}1\\0\end {bmatrix},,\mathbf {j} =param {bmatrix}0\,\,\mathbf {k} =param {bmatrix},\,\,\mathbf {bmatrix

이들은 보통 선형 대수학에서 표준 기저라고 하는 상호 직교 단위 벡터 집합을 형성합니다.

표준 단위 벡터 표기법( $\mathbf {\hat {\imath }}$ : $^\$ imath $}})$ 이 아닌 공통 벡터 표기법(예: i 또는 ${\vec {\imath }}$ $→$ { $displaystyle\vec\$ imath ${\vec {\imath }}$ 을 사용합니다.대부분의 경우 i, j, k( ${\vec {\imath }},$ ${\vec {\imath }},$ , { $displaystyle$ { $vec$ $},$ ${\vec {\jmath }},$ $},$ { $displaystyle$ { $}}$ 및 k $→$ { $displaystyle$ {vec {k ${\vec {k}}$ 는 3D 데카르트 좌표계의 버서라고 가정할 수 있습니다. $(\mathbf {\hat {x}} _{1},\mathbf {\hat {x}} _{2},\mathbf {\hat {x}} _{3})$ $(\mathbf {\hat {x}} ,\mathbf {\hat {y}} ,\mathbf {\hat {z}} )$ ( $(\mathbf {\hat {x}} ,\mathbf {\hat {y}} ,\mathbf {\hat {z}} )$ $x$ $(\mathbf {\hat {x}} ,\mathbf {\hat {y}} ,\mathbf {\hat {z}} )$ ^ , $(\mathbf {\hat {x}} ,\mathbf {\hat {y}} ,\mathbf {\hat {z}} )$ , $(\mathbf {\hat {x}} ,\mathbf {\hat {y}} ,\mathbf {\hat {z}} )$ ) $(\mathbf {\hat {x}} ,\mathbf {\hat {y}} ,\mathbf {\hat {z}} )$ { $displaystyle$ ( \ $mathbf { hat$ { $x$ $}$ , \ $mathbf$ { $y }$ , \ mathbf { hat { $z$ } ) $(\mathbf {\hat {x}} _{1},\mathbf {\hat {x}} _{2},\mathbf {\hat {x}} _{3})$ , ( $(\mathbf {\hat {x}} _{1},\mathbf {\hat {x}} _{2},\mathbf {\hat {x}} _{3})$ ^ $(\mathbf {\hat {x}} _{1},\mathbf {\hat {x}} _{2},\mathbf {\hat {x}} _{3})$ , $(\mathbf {\hat {x}} _{1},\mathbf {\hat {x}} _{2},\mathbf {\hat {x}} _{3})$ ^ $(\mathbf {\hat {x}} _{1},\mathbf {\hat {x}} _{2},\mathbf {\hat {x}} _{3})$ , x $(\mathbf {\hat {x}} _{1},\mathbf {\hat {x}} _{2},\mathbf {\hat {x}} _{3})$ ^ 3 ) , \ $displaystyle$ ( $\ mathbf$ { $x$ 2 $}$ , \ $mathbf$ { $x 2 }$ ) , \ mathbf { x 2 } ) } } $}$ 모자를 쓰거나 없이){\displaystyle(\mathbf{\hat{e}}_{x},\mathbf{\hat{e}}_{y},\mathbf{\hat{e}}_{z})}, 또는(e^ 1, e^ 2, e3^){\displaystyle(\mathbf{\hat{e}}_{1},\mathbf{\hat{e}}_{2},\mathbf{\hat{e}}_{3})},, 또한 used,[1]특히 제가 거기, j, k로 이어질 수 있는 상황에서. 사기다른 수량과의 융합(예를 들어 i, j, k와 같은 지수 기호를 사용하여 집합, 배열 또는 변수 시퀀스의 요소를 식별하는 데 사용됨).

공간의 단위 벡터가 i, j, k의 선형 조합으로 데카르트 표기법으로 표현될 때, 그 세 개의 스칼라 성분은 방향 코사인이라고 언급될 수 있다.각 성분의 값은 단위 벡터와 각각의 기저 벡터에 의해 형성된 각도의 코사인 값과 같습니다.이 방법은 직선, 직선 세그먼트, 방향 축 또는 방향 축 세그먼트(벡터)의 방향(각도 위치)를 설명하는 데 사용되는 방법 중 하나입니다.

원통 좌표

원통 대칭에 적합한 세 개의 직교 단위 벡터는 다음과 같습니다.

${\boldsymbol {\hat {\rho }}}$ § $^$ {\ $displaystyle {\rho$ $\mathbf {\hat {e}}$ }}}( ${\boldsymbol {\hat {\rho }}}$ $또한$ e $\mathbf {\hat {e}}$ ^ ${\displaystyle$ \ $mathbf$ ${e}}$ $s$ ^ ${\$ displaystyle {\ $displaystyle {\hat$ {s $}}})$ 는 대칭축으로부터의 점 거리를 측정하는 방향을 ${\boldsymbol {\hat {\rho }}}$ .
$§$ ^ ${\$ displaystyle {\ $boldsymbol {\hat$ {\varphi ${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$ 대칭 축을 중심으로 점이 시계 반대 방향으로 회전할 경우 관측되는 움직임의 방향을 ${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$ .
$^$ {\ $displaystyle$ \ $mathbf {z$ 대칭축 방향을 나타냅니다.

이들은 다음과 같이 데카르트 ${\hat {x}}$ { $}),$ { $}), z(\displaystyle {z$ ${\hat {y}}$ 와 ${\hat {z}}$ 관련이 있습니다.

(\displaystyle\boldsymbol\hat\cos(\varphi)\mathbf {x} +\sin(\varphi)\mathbf {y}})

(\displaystyle\boldsymbol\hat\sin(\varphi)\mathbf {x} +\cos(\varphi)\mathbf {y}}}

\displaystyle \mathbf {z} = \mathbf {z} .

${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$ $^{$ displaystyle $\boldsymbol\hat\rho}}$ 및 ${\boldsymbol {\hat {\rho }}}$ $^{displaystyle\boldsymbol\hat\varphi}}$ 는 ${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$ $^,$ {\ $displaystyle\varphi}$ 의 $\varphi ,$ 함수이며 방향이 일정하지 않습니다.원통형 좌표를 미분하거나 통합할 때는 이러한 단위 벡터 자체도 작동해야 합니다. $§$ {\ $display \varphi}$ 에 $\varphi$ 관한 파생상품은 다음과 같습니다.

(*displaystyle\frac\boldsymbol\hat\varphi}}=-\sin\varphi\mathbf{x}+\cos \varphi\mathbf{y}=boldsymbol\hat}}}}}}

(*displaystyle\frac\boldsymbol\hat\varphi}}=-\cos \varphi\mathbf {x}-\sin \varphi\mathbf {hat}=-{\boldsymbol\ho}}}}}}

\displaystyle \frac \mathbf {z} {\frac \varphi } = \mathbf {0}

구면 좌표

$\mathbf {\hat {r}}$ 대칭에 적합한 단위 벡터는 r $^$ ${\displaystyle$ \ $mathbf {r$ 원점으로부터의 반경 거리가 증가하는 ${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$ , $^$ {\ $displaystyle \boldsymbol$ \ $hat \varphi$ x축에서 시계 반대 방향으로 x-y 평면의 각도가 증가하는 방향입니다. ${\boldsymbol {\hat {\theta }}}$ ; 및 $^$ {\ $boldsymbol {\hat {\$ theta ${\boldsymbol {\hat {\theta }}}$ 양의 z축에서 각도가 증가하는 방향입니다.표현의 용장성을 최소화하기 위해 극각θ $(\displaystyle \theta)$ 는 $\theta$ 보통 0도에서 180도 사이에 있습니다.구면 좌표로 쓰여진 순서 3중항 문맥에 ${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$ 주목해야 합니다. ^ ${\$ {\ $boldsymbol {\varphi}}$ 과 ${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$ $^$ {\ $display$ {\style {\ $boldsymbol {\theta}}}}}$ 의 ${\boldsymbol {\hat {\theta }}}$ 역할은 종종 뒤바뀌기 때문입니다.여기서는 미국의 "물리학" 규약이^[3] 사용됩니다.그러면 원통 좌표와 동일하게 정의된 $(\displaystyle \varphi)$ 가 $\varphi$ 유지됩니다.데카르트 관계는 다음과 같습니다.

\displaystyle \mathbf {r} =\sin \theta \varphi {x} +\sin \theta \sin \varphi \mathbf {y} +\cos \theta \mathbf {z} }

{\symbol {hat}=\cos \theta \varphi {x} +\cos \theta \sin \mathbf {y} -\sin \theta \hat {z}

(\displaystyle\boldsymbol\hat\varphi{x}=-\sin\mathbf\mathbf{x}+cos\varphi\mathbf{y}}})

구면 단위 벡터는 ${\$ { $displaystyle$ \ $varphi }$ $\theta$ ${\$ { \ $displaystyle$ \ $theta$ $\theta$ 에 $\varphi$ 따라 달라지므로 0이 아닌 도함수가 5개 있습니다.자세한 설명은 야코비 행렬과 행렬식을 참조하십시오.0이 아닌 도함수는 다음과 같습니다.