중심 좌표계

1-면(가장자리) 2-면(삼각형) 및 3-면(몸체)의 중중심 세분화가 있는 3-심플렉스.

기하학에서, 중심 좌표계는 점의 위치가 심플렉스(평면의 점에 대한 삼각형, 3차원 공간의 점에 대한 사면체 등)를 참조하여 지정되는 좌표계입니다.점의 무게중심 좌표는 점이 이러한 질량의 무게중심(또는 무게중심)이 되도록 심플렉스의 꼭짓점에 배치된 질량으로 해석할 수 있습니다.이러한 질량은 0일 수도 있고 음수일 수도 있습니다. 점이 심플렉스 내부에 있는 경우에만 모든 질량이 양수입니다.

모든 점은 중심점 좌표를 가지며, 그들의 합은 0이 아닙니다.두 개의 중중심 좌표 튜플은 서로 비례하는 경우에만 같은 점을 지정합니다. 즉, 다른 튜플의 요소에 0이 아닌 동일한 수를 곱하여 한 튜플을 얻을 수 있는 경우입니다.따라서 중심좌표는 0이 아닌 상수에 의한 곱셈까지 정의되거나 합을 일치시키기 위해 정규화된 것으로 간주됩니다.

중심좌표는 1827년 아우구스트 뫼비우스에 의해 소개되었습니다.^[1]^[2]^[3]그들은 특별한 동질적인 좌표입니다.중심좌표는 데카르트좌표와, 더 일반적으로 아핀좌표와 관련이 깊습니다(중심좌표와 아핀좌표 사이의 관계 § 참조).

중심좌표는 세바의 정리, 루스의 정리, 메넬라오스의 정리와 같이 삼각형의 각도에 의존하지 않는 성질을 연구하는 데 특히 유용합니다.컴퓨터 지원 설계에서는 베지어 표면의 일부를 정의하는 데 유용합니다.^[4]^[5]

정의.

A $A_{0},\ldots ,A_{n}$ , $A_{0},\ldots ,A_{n}$ A ${\$ $A_$ ${n$ $}$ 를 $A_{0},\ldots ,A_{n}$ $\mathbf {A}$ 유클리드 공간, 평면 또는 아핀 $공간$ 의 $n$ + $1$ 점이라고 하자. 이는 모든 점을 포함하는 차원 $n$ - $\mathbf {A}$ $1$ 의 아핀 $\mathbf {A}$ $부분$ 공간이 없거나, 점이 심플렉스를 $\mathbf {A}$ 정의하는 것과 동등함을 의미합니다.임의의 점 $P\in \mathbf {A} ,$ ∈ $P\in \mathbf {A} ,$ $P\in \mathbf {A$ $a_{0},\ldots ,a_{n}$ 에 모두 $a_{0},\ldots ,a_{n}$ 이 아닌 $a_{0},\ldots ,a_{n}$ {\ $displaystyle$ a_{ $0},\ldots,a_$ {n $} 가$ $a_{0},\ldots ,a_{n}$ .

{\displaystyle(a_{0}+\cdots +a_{n}){\overrightarrow {OP}}=a_{0}{\overrightarrow {OA_{0}}}+\cdots +a_{n}{\overrightarrow {OA_{n}}}

임의의 점 $O$ 에 대하여. (통상적으로 ${\overrightarrow {AB}}$ A ${\overrightarrow {AB}}$ → ${\overrightarrow {AB}$ 는 점 $A$ 를 점 $B$ 에 매핑하는 변환 벡터 또는 자유 벡터를 나타냅니다.)

이 식을 만족하는 $(a_{0}:\dotsc :a_{n})$ ( $n$ + $(a_{0}:\dotsc :a_{n})$ $)$ 튜플 ( $(a_{0}:\dotsc :a_{n})$ 0 $(a_{0}:\dotsc :a_{n})$ : $(a_{0}:\dotsc :a_{n})$ … : $(a_{0}:\dotsc :a_{n})$ n $(a_{0}:\dotsc :a_{n})$ ) ${\displaystyle (a_{0$ } $:\dotsc :a_{n}}}$ 의 요소를 $A_{0},\ldots ,A_{n}.$ $A_{0},\ldots ,A_{n}.$ $A_{0},\ldots ,A_{n}.$ $A_{0},\ldots,A_{n}$ 에 대한 $P$ 의 중심 좌표라고 합니다 $A_{0},\ldots ,A_{n}.$ .즉, 모든 좌표에 동일한 0이 아닌 상수를 곱하면 점이 변경되지 않습니다.또한 원점인 보조점 $O$ 가 변경되면 중심좌표도 변경되지 않습니다.

점의 무게 중심 좌표는 스케일링까지 고유합니다.즉, 두 튜플 $(a_{0}:\dotsc :a_{n})$ ( $(a_{0}:\dotsc :a_{n})$ $(a_{0}:\dotsc :a_{n})$ : $(a_{0}:\dotsc :a_{n})$ : n $(a_{0}:\dotsc :a_{n})$ ) ${\displaystyle (a_{0$ } $:\dotsc :a_{n})}$ 및 $(b_{0}:\dotsc :b_{n})$ 0 : $(b_{0}:\dotsc :b_{n})$ : $(b_{0}:\dotsc :b_{n})$ ) $(b_{0}:\dotsc :b_{n})$ {\ $displaystyle (b_{0}$ :\ $dotsc :b_{n})}$ {\displaystyle $\$ lambda }이(가) 0이 아닌 스칼라 λ ${\$ displaystyle \λ}인 경우에만 모든 $i$ 에 $b_{i}=\lambda a_{i}$ i $b_{i$ =\displaystyle $a_{i}$ 를 lambda하는 동일한 점의 중심 좌표입니다.

일부 맥락에서는 점의 무게 중심 좌표가 고유하도록 제한하는 것이 유용합니다.이는 일반적으로 조건을 부과함으로써 달성됩니다.

\suma_{i}=1,

또는 모든 $a_{i}$ ${\$ $}$ 를 모든 $a_{i}.$ ${\displaystyle$ a_{ $i}$ 의 합으로 $a_{i}$ 나누어 동등하게 계산할 수 있습니다. $}$ 이러한 $a_{i}.$ 특정한 중심좌표를 정규화 또는 절대 중심좌표라고 합니다.^[7]이 용어는 일반적으로 약간 다른 개념을 나타내지만 때로는 아핀 좌표라고도 합니다.

때로는 정규화된 중심좌표를 중심좌표라고 부르기도 합니다.이 경우 위에 정의된 좌표를 균질 중중심 좌표라고 합니다.

위의 표기법으로 $A$ 의_i 균질한 중심 좌표는 지수 $i$ 를 제외하고 모두 0입니다.실수에 대해 연구할 때(위의 정의는 임의의 필드 위의 아핀 공간에도 사용됨), 모든 정규화된 중심 좌표가 음수가 아닌 점은 { $\{A_{0},\ldots ,A_{n}\},$ $\{A_{0},\ldots ,A_{n}\},$ $\{A_{0},\ldots ,A_{n}\},$ $\{A_{0},\ldots ,A_{n}\},$ $\{A_{0},\ldots,A_{n}\$ 의 볼록 선체를 형성하며, 이는 $\{A_{0},\ldots ,A_{n}\},$ 이 점들을 정점으로 하는 단순함입니다.

위 표기법을 사용하면 다음과 같은 $(a_{1},\ldots ,a_{n})$ 개의 튜플을

\sum _{i=0}^{n}a_{i}=0

어떤 점도 정의하지 않지만 벡터는

a_{0}{\overrightarrow {OA_{0}}+\cdots +a_{n}{\overrightarrow {OA_{n}}

원점 $O$ 로부터 독립적입니다.모든 $a_{i}$ ${\$ 에 $a_{i}$ 동일한 스칼라를 곱하면 이 벡터의 방향이 변경되지 않으므로, 동차 튜플 $(a_{0}:\dotsc :a_{n})$ 0 : $(a_{0}:\dotsc :a_{n})$ … $(a_{0}:\dotsc :a_{n})$ : $(a_{0}:\dotsc :a_{n})$ ) $(a_{0}:\dotsc :a_{n})$ {\ $displaystyle (a_{0}$ :\ $dotsc :a_{n})}$ 은 $(a_{0}:\dotsc :a_{n})$ 무한대의 한 점인 선의 방향을 정의합니다.자세한 내용은 아래를 참조하십시오.

데카르트 좌표 또는 아핀 좌표와의 관계

중심좌표는 데카르트좌표와 더 일반적으로 아핀좌표와 강한 관련이 있습니다.차원 $n$ 의 공간에 대해 이 좌표계들은 좌표가 0인 점 O와 좌표가 0인 점 A $A_{1},\ldots ,A_{n},$ $A_{1},\ldots ,A_{n},$ $A_{1},\ldots ,A_{n},$ ${\displaystyle A_{1},\ldots,A_{n},$ 1과 같은 인덱스 $i$ 를 제외하고 좌표가 0인 점 $A_$ $A_{1},\ldots ,A_{n},$ {n}에 대해 상대적으로 정의됩니다.

점은 좌표를 갖습니다.

{\displaystyle(x_{1},\ldots,x_{n})}

그러한 좌표계에 대하여, 만약 그것의 정규화된 중심 좌표가 다음과 같은 경우에만

{\displaystyle(1-x_{1}-\cdots -x_{n},x_{1},\ldots,x_{n})}

점 $O,A_{1},\ldots ,A_{n}.$ $O,A_{1},\ldots ,A_{n}.$ 1 $O,A_{1},\ldots ,A_{n}.$ $O,A_{1},\ldots ,A_{n}.$ $.$ {\ $displaystyle O,A_{1},\ldots,A_{n}}$ 에 상대적으로 가깝습니다.

중심 좌표계의 주된 장점은 $n +1개$ 의 정의점에 대해 대칭인 것입니다. $따라서$ n + $1$ 점에 대해 대칭인 특성을 연구하는 데 유용합니다.반면에 거리와 각도는 일반적인 중심 좌표계에서는 표현하기 어렵고, 관련된 경우에는 일반적으로 데카르트 좌표계를 사용하는 것이 더 간단합니다.

투영좌표와의 관계

균질한 중심 좌표는 일부 투영 좌표와도 밀접한 관련이 있습니다.그러나 이 관계는 아핀 좌표의 경우보다 더 미묘하며, 명확하게 이해되기 위해서는 아핀 공간의 투영 완성에 대한 무좌표 정의와 투영 프레임에 대한 정의가 필요합니다.

차원 $n$ 의 아핀 공간의 사영적 완성은 초평면의 상보와 아핀 공간을 포함하는 동일한 차원의 사영적 공간입니다.투영 완성은 동형 사상까지 고유합니다.초평면은 무한대의 초평면이라 불리며, 그 점들은 아핀 공간의 무한대의 점들입니다.^[8]

차원 $n$ 의 투영 공간이 주어졌을 때, 투영 프레임은 동일한 초평면에 포함되지 않는 $n$ + 2 $점$ 의 순서 집합입니다.투영 좌표계는 프레임의 ( $n$ + $2)$ 번째 점의 좌표가 모두 같도록 투영 좌표계를 정의하며, 그렇지 않으면 i번째 점을 제외한 모든 좌표가 0이 됩니다.^[8]

아핀 좌표계로부터 투영 완성을 구성할 때, 좌표축의 무한대에서 초평면과의 교차점, 아핀 공간의 원점, 그리고 모든 아핀 좌표가 1과 같은 점으로 구성된 투영 프레임에 대해 공통적으로 정의합니다.이는 무한대의 점들이 0과 같은 마지막 좌표를 가지며, 아핀 공간의 한 점의 투영 좌표는 아핀 좌표를 $(n$ + $1)$ 번째 좌표로 1만큼 완성함으로써 얻어짐을 의미합니다.

중심 좌표계를 정의하는 아핀 공간에 $n +1개$ 의 점이 있을 때, 이것은 선택하기 편리한 투영 완성의 또 다른 투영 프레임입니다.이 틀은 이 점들과 그 중심으로 구성되어 있는데, 이 점은 모든 무게중심 좌표가 동일합니다.이 경우 아핀 공간에 있는 점의 균질한 중심 좌표는 이 점의 투영 좌표와 동일합니다.좌표의 합이 0인 경우에만 점은 무한대에 있습니다.이 점은 § 정의 끝에 정의된 벡터 방향입니다.

삼각형 위의 중심좌표

정삼각형과 직각삼각형에서 중심좌표 (λ $(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3})$ λ $(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3})$ , $(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3})$ λ $(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3})$ ${\displaystyle (\lambda _{1},\lambda$ _ ${2},\lambda _{3})}.$

삼각형의 맥락에서, 중중심 좌표는 영역 좌표 또는 실제 좌표로도 알려져 있는데, 삼각형 ABC에 대한 P의 좌표는 기준 삼각형 ABC의 영역에 대한 PBC, PCA 및 PAB의 영역의 (서명된) 비율과 동일하기 때문입니다.실제 및 삼선 좌표는 기하학에서 유사한 용도로 사용됩니다.

중심좌표 또는 면적좌표는 삼각형 부분영역을 포함하는 공학적 응용에서 매우 유용합니다.이를 통해 분석 적분을 평가하기가 쉬워지며, 가우스 직교 표는 종종 면적 좌표로 표시됩니다.

세 꼭짓점으로 정의된 $삼각형$ T ${\$ displaystyle $T$ $}$ 를 생각해 $T$ $.$ r 1 {\ $displaystyle$ \ $mathbf {r}$ _ ${$ r 2 {\ $displaystyle$ \ $mathbf {r}$ _ $\mathbf {r} _{2}$ ${$ r 3 {\ $displaystyle$ \ $mathbf {r}$ _{3 $\mathbf {r} _{3}$ 이 삼각형 안에 위치한 $\mathbf {r}$ 각 점 $\mathbf {r}$ ${\$ 은 세 꼭짓점의 고유한 볼록 조합으로 쓸 수 있습니다.즉, $\mathbf {r}$ r $\mathbf {r}$ 에 대해 λ $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\geq 0$ , $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\geq 0$ λ $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\geq 0$ λ $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\geq 0$ ≥ $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\geq 0$ ${\displaystyle$ \lambda $_{1},\$ lambda $_{2},\$ lambda $_{3}\geq 0},$ λ $\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=1$ + $\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=1$ λ 2 $\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=1$ + λ $\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=1$ = $\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=1$ ${\displaystyle \$ lambda _ ${1}+\$ lambda $_{2}+\$ lambda $_{3$ }= $1$ 및

\mathbf {r} =\lambda _{1}\mathbf {r} _{1}+\lambda _{2}\mathbf {r} _{2}+\lambda _{3}\mathbf {r} _{3}

세 $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}$ λ $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}$ 1, λ $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}$ 2, λ $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}$ 3 {\ $displaystyle$ \ $lambda _$ {1 $},\lambda _$ {2 $},\lambda _{$ 3}는 삼각형에 대한 $\mathbf {r}$ r $\mathbf {r}$ 의 "barycentric" 또는 "area" 좌표를 나타냅니다.흔히 λ $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}$ λ $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}$ λ $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}$ ${\displaystyle$ \ $alpha,\$ beta $,\$ gamma } 대신 $\alpha ,\beta ,\gamma$ , $\alpha ,\beta ,\gamma$ γ {\displaystyle \alpha,\lambda}로 표시됩니다 $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}$ 좌표는 3개이지만 λ $\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=1$ + $\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=1$ λ $\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=1$ + $\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=1$ λ $\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=1$ = $\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=1$ ${\displaystyle$ \lambda $_{1}+\$ lambda $_{2}+\$ lambda $_{3}$ = $1$ {\displaystyle \lambda} 이후 자유도는 2개뿐입니다 $\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=1$ 따라서 모든 점은 두 개의 중심 좌표에 의해 고유하게 정의됩니다.

이 좌표들이 부호가 있는 영역의 비율인 이유를 설명하기 위해, 유클리드 공간 E $\mathbf {E} ^{3}$ ${\$ 에서 일한다고 가정하자 $\mathbf {E} ^{3}$ 여기서, 데카르트 $좌표계$ $Oxyz$ {\ $displaystyle Oxyz}$ 와 $Oxyz$ 그와 관련된 기저, 즉 $\{\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} \}$ { $\{\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} \}$ $\{\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} \}$ $\{\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} \}$ $\{\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} \}$ {\ $displaystyle \{\mathbf {i},\mathbf {j},\mathbf {k} \}$ 를 생각하자 $\{\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} \}$ 또한 $Oxy$ $Oxy$ 평면에 $Oxy$ 있는 $ABC$ 양의 방향 삼각형 $ABC$ $ABC$ 을(를) 고려합니다. $\mathbf {E} ^{3}$ ${\$ 의 $\{\mathbf {e} ,\mathbf {f} ,\mathbf {g} \}$ $\mathbf {E} ^{3}$ \ $displaystyle \{\mathbf {e},\mathbf {f},\mathbf {g} \}$ 및 자유 벡터 $\mathbf {h}$

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정의.

데카르트 좌표 또는 아핀 좌표와의 관계

투영좌표와의 관계

삼각형 위의 중심좌표