p그룹

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기본 개념 서브그룹 정규 부분군 몫군 (반쪽-)다이렉트 프로덕트 군 동형사상 커널 이미지 직접 합계 화환 제품 간단하죠. 유한한 인피니트 계속되는 곱셈의 첨가물 순환의 아벨리안 이면체 무효 해결 가능한 액션. 군론 용어집 그룹 이론 토픽 목록
유한군 유한단순군분류 순환의 번갈아 거짓말형 산발적인 코시의 정리 라그랑주 정리 시로우 정리 홀의 정리 p그룹 초등 아벨 군 프로베니우스군 슈어 승수 대칭군n S 클라인 4족 V 이면체군n D 사분위수 Q 쌍환기n Dic
개별 그룹 격자 ${\displaystyle \mathbb{}}$($$Z \$displaystyle \mathbb {Z$$$) 자유 그룹 모듈러 그룹 PSL(2,$Z{\displaystyle \mathbb{}}$ \$style \mathbb {Z$ 표시$)$ SL(2,$Z{\displaystyle \mathbb{}}$ \$displaystyle \mathbb {Z$ 산술군 격자 쌍곡선 군
토폴로지 그룹 및 Lie 그룹 솔레노이드 원형 일반 선형 GL(n) 특수 선형 SL(n) 직교 O(n) 유클리드 E(n) 특수 직교 SO(n) 유니터리 U(n) 특수 유니터리 SU(n) 심플렉틱 Sp(n) G2 에프4 E6. E7. E8. 로렌츠 푸앵카레 컨포멀 미분 동형 고리 무한 차원 리 군 O()) SU()) Sp())
대수군 선형 대수군 환원군 아벨 변종 타원 곡선
v t

수학, 특히 군 이론에서, 소수 p가 주어졌을 때, p-군은 모든 원소의 순서가 p의 거듭제곱인 군이다.즉, p-group G의 각 요소 g에 대해, g의 p 복사본의ⁿ 곱이 동일하지 않고, n이 음이 아닌 정수 n이 존재한다.서로 다른 원소의 순서는 p의 서로 다른 거듭제곱일 수 있습니다.

아벨리안 p-군은 p-primary 또는 단순히 1차라고도 불린다.

유한군은 그 순서(원소의 수)가 p의 거듭제곱인 경우에만 p-군이다. 유한군 G가 주어졌을 때, 시로우 정리는 G의 순서를 나누는 모든 소수ⁿ p에 대해 G의 차수ⁿ p의 부분군의 존재를 보증한다.

이 기사의 나머지 부분은 유한한 p-groups에 대해 다룬다.무한 아벨 p-군의 예는 프뤼퍼 그룹을 참조하고 무한 단순 p-군의 예는 타르스키 몬스터 그룹을 참조한다.

특성.

정의상 모든 원소가 유한순서를 가지므로 모든 p-그룹은 주기적이다.

p가 소수이고 G가 차수^k p의 그룹이라면 G는 1µm µk마다 차수^m p의 정규 부분군을 갖는다.이것은 코치의 정리와 그룹에 대한 대응정리를 사용하여 귀납으로 이어진다.증명 스케치는 다음과 같다: G의 중심 Z는 사소하지 않기 때문에(아래 참조), 코시의 정리 Z는 p차수의 부분군 H를 가진다.G에서 중심인 H는 반드시 G에서 정상이다.이제 귀납 가설을 G/H에 적용할 수 있고, 그 결과는 대응 정리에 따른다.

사소하지 않은 중심

클래스 방정식을 사용한 첫 번째 표준 결과 중 하나는 사소한 유한 p-그룹의 중심이 사소한 부분군이 ^[1]될 수 없다는 것입니다.

이것은 p-그룹에서 많은 유도 방법의 기초를 형성한다.

예를 들어 유한 p군 G의 고유 부분군 H의 노멀라이저 N은 H=N인 반례에 대해 중심 Z가 N에 포함되는 것과 마찬가지로 H에 포함되는 것과 동시에 G/Z의 노멀라이저가 N/Z=무한 강하를 생성하는 작은 예가 있다.결과적으로, 모든 유한한 p-group은 영가능이 아니다.

다른 방향에서는 유한한 p군의 모든 법선 서브그룹 N은 결합에 의해 G가 N에 작용했을 때 고정되는 N의 원소를 고려함으로써 증명될 수 있는 바와 같이 중심을 비삼각으로 교차한다.모든 중앙 부분군은 정규 분포를 따르므로 유한 p-그룹의 모든 최소 정규 부분군은 중심이고 차수가 p입니다.실제로, 유한한 p-군의 소클은 p차수의 중심 원소로 구성된 중심 부분군이다.

만약 G가 p-그룹이라면, G/Z도 마찬가지고, 따라서 그것 역시 중요하지 않은 중심을 가지고 있습니다.G/Z 중심의 G에 있는 프리이미지는 두 번째 중심이라고 불리며 이러한 그룹은 위쪽 중심 시리즈를 시작합니다.소체에 대한 이전의 주석을 일반화하면, 순서ⁿ p가 0 µ i µ n인 순서 p의ⁱ 정규 부분군이 포함되며, 순서ⁱ p의 정규 부분군은 ith 중심_i Z에 포함됩니다.정규 부분군이 Z에 포함되지_i 않으면 Z와의_i+1 교집합 크기가 p 이상이어야ⁱ⁺¹ 합니다.

자기동형

p-groups의 자기동형성 그룹은 잘 연구되어 있다.모든 유한한 p군이 비사소한 중심을 가지듯이, 모든 유한한 p군은 비사소한 외부 자기사소한 그룹을 가진다.G의 모든 자기동형은 G/Ω(G)에 자기동형을 유도하며, 여기서 δ(G)는 G의 Frattini 서브그룹이다.G/δ(G)는 기본 아벨 군이고, 그 자기동형군은 일반 선형 군이기 때문에 매우 잘 이해된다.G의 자기동형성 그룹에서 이 일반 선형 그룹으로 가는 지도는 번사이드에 의해 연구되었고, 번사이드는 이 지도의 커널이 p-그룹임을 보여주었다.

예

예를 들어, 순환 그룹₄ C와 클라인 4-그룹₄ V는 모두 순서 4의 2-그룹이지만, 이들은 반드시 동형인 것은 아니다.

또한 p-군이 아벨리안이 될 필요도 없다. 8차 이면체군₄ Dih는 비-벨리안 2-군이다.그러나² 순서 p의 모든 그룹은 ^{[note 1]}아벨리안이다.

2면체 그룹은 4면체 그룹 및 반면체 그룹과 매우 유사하고 매우 다르다.이면체군, 반면체군 및 사분면체군은 함께 최대 등급의 2개 군, 즉 2차ⁿ⁺¹ 및 0차 효력 등급 n의 군을 형성한다.

반복 화환 제품

p순서의 순환 그룹의 반복 화환 제품은 p-group의 매우 중요한 예입니다.순서 p의 순환기를 W(1)로 나타내며, W(1)를 W(n + 1)로 하는 W(n)의 화환 제품을 나타낸다.다음으로 W(n)는 대칭 그룹 Sym(pⁿ)의 Sylow p-subgroup입니다.일반 선형 그룹 GL(n,Q)의 최대 p-부분군은 다양한 W(n)의 직접적 산물이다.순서^k p는 k = (pⁿ - 1)/(p - 1)입니다.0 퍼텐시 클래스ⁿ⁻¹ p를 가지며, 하위 중심 시리즈, 상위 중심 시리즈, 하위 지수-p 중심 시리즈 및 상위 지수-p 중심 시리즈가 같습니다.순서 p의 요소에 의해 생성되지만, 그 지수는ⁿ p입니다.두 번째 그룹인 W(2)도 순서^p+1 p와 제로 퍼텐시 클래스 p를 가지지만 일반 p 그룹이 아니기 때문에 최대 클래스의 p 그룹입니다.순서^p p의 그룹은 항상 정규 그룹이기 때문에, 그러한 최소한의 예이기도 합니다.

일반화 이면체군

p = 2 및 n = 2일 때, W(n)는 순서 8의 이면체 군이므로, 어떤 의미에서 W(n)는 n = 2일 때 모든 소수 p에 대해 이면체 군을 유사체로 제공한다.그러나 n이 클수록 유추는 왜곡된다.순서ⁿ 2의 이면체 그룹을 더 가깝게 모방하는 다른 종류의 예가 있지만, 이 경우 좀 더 많은 설정이 필요합니다.θ는 복소수에서 단일성의 원시 p번째 근을 나타내며, Z[θ]는 그에 의해 생성된 사이클로토믹 정수의 고리이며, P는 1-γ에 의해 생성된 일차 아이디얼이다.G를 원소 z에 의해 생성된 순서 p의 순환군이라고 하자.Z[ acts]와 G의 반직접 곱 E(p)를 형성한다. 여기서 z는 θ의 곱셈으로 작용한다.검정력ⁿ P는 E(p)의 정규 부분군이며, 예제 그룹은 E(p,n) = E(p)/P입니다ⁿ.E(p,n)는 순서ⁿ⁺¹ p와 제로 퍼텐시 클래스 n을 가지며, 최대 클래스의 p-group도 마찬가지입니다.p = 2일 때, E(2,n)는 순서ⁿ 2의 이면체 군이다.p가 홀수일 때 W(2)와 E(p,p)는 모두 최대 클래스 및 순서 p의^p+1 불규칙한 그룹이지만 동형이 아니다.

단위각행렬군

일반 선형 그룹의 Sylow 부분군은 또 다른 기본적인 예제입니다.V를 기저 {e₁, e₂, ..., e_n}를 갖는 차원 n의 벡터 공간이라고 하고, V를 1µi µn에 대해 {e_i, e_i+1, ..., e_n }에서 생성된 벡터 공간이라고 정의하며_i, i > n일 때 V = 0을 정의한다_i.각 1≤ m≤ n은, V의 Vi+m에 각 Vi을 가역 선형 변환의 집합 Aut(V)의 하위 그룹 음을 설명을 형성한다.Aut(V))GL(n, p)의 Z/pZ 만약 V는 벡터 공간, U1은 Sylow p-subgroup고, 하단 중앙 시리즈의 조건 있는 그대로의 음.매트릭스의 측면에서, 음 1로 하나를 가지고 그 위쪽 삼각형 매트릭스 있다.첫 번째 m-1 슈퍼다이아널에서 대각선 및 0이 됩니다.그룹₁ U에는 순서^n·(n−1)/2 p, nilpotency 클래스 n 및 지수^k p가 있습니다.여기서 k는 적어도 n의 기본 p 로그만큼 큰 정수입니다.

분류

주문 pn의 0≤ n≤의 그룹 4일찍 그룹의 역사에서 theory,[2]과 현대적인 일 같은 모임 가족들의 완벽한 숫자가 너무 빠른 대사를 따라 추가 분류에 대한 인간의 마음을 파악하기 힘들다고 판단된다 자란다 오더, p7을 나누는 그룹에 이러한 분류 확대로 분류되어 있었다[3]예를 들어 마샬 홀 주니어와 제임스 K.1964년 ^[4]n 6 6에 대한 2차ⁿ 2급 고위 분류 그룹.

필립 홀은 그룹을 순서별로 분류하는 대신, 유한한 p-그룹을 큰 지수와 ^[5]부분군에 기초한 군으로 모으는 그룹의 등사성 개념을 사용할 것을 제안했다.

전혀 다른 방법은 유한한 p-그룹을 동일 클래스, 즉 구성 길이와 제로 효력 클래스 간의 차이로 분류한다.소위 coclass 추측은 고정 coclass의 모든 유한 p-groups 집합을 완전히 많은 pro-p 그룹의 섭동으로 설명했다.동류 추측은 1980년대에 리 대수와 강력한 ^[6]p-그룹과 관련된 기술을 사용하여 입증되었다.동류 정리들의 최종 증명은 A에 기인한다.셰일브와 C. R. Leedham-Green과는 독립적으로 1994년에 둘 다.그들은 유한한 p-그룹의 분류를 (무한히 많은) 구성원이 유한하게 많은 매개 변수화된 프레젠테이션으로 특징지어지는 유한한 다수의 동일 클래스 트리로만 구성된 유도 동일 클래스 그래프에서 인정한다.

순서⁵ p의 모든 그룹은 메타벨리안입니다.^[7]

최대³ p

사소한 그룹은 순서 1의 유일한 그룹이고 순환 그룹_p C는 순서 p의 유일한 그룹입니다.순서² p에는 정확히 두 개의 그룹, 즉_p² C와 C_p × C가_p 있다. 예를 들어, 순환 그룹₄ C와₂ C × C인₂ 클라인 4군₄ V는 둘 다 순서 4의 2군이다.

순서³ p에는 C, C_p² × C_p, C_p × C의_pp 세 개의_p³ 아벨 그룹이 있다.또한 두 개의 비-벨리안 그룹이 있다.

p 2 2의 경우 하나는 C × C와_pp C의_p 반직접 곱이고, 다른 하나는 C와_p²p C의 반직접 곱이다.첫 번째는 하이젠베르크 그룹 mod p라고도 불리는 p개의 요소를 가진 유한장 위의 단위각행렬의 그룹 UT(3,p)로 다른 용어로 설명될 수 있다.

p = 2의 경우, 위에서 언급한 두 반직접 생성물은 8차 이면체기₄ Dih와 동형이다.순서 8의 다른 비벨 그룹은 4분위 그룹₈ Q입니다.

유병률

그룹간

순서ⁿ p의 그룹의 동형 클래스 수는 ${\displaystyle {p2\frac{\mathrm{}}{}}^{}}$ ${\displaystyle {27{}^{}}^{}}$ n${\displaystyle {{}^{}{3\mathrm{}}^{}}^{}}$ +${\displaystyle {{}^{}}^{}}$ ( n${\displaystyle {{8\mathrm{}}^{}}^{}}$ /${\displaystyle {{}^{}{3\mathrm{}}^{}}^{}}$ $){$ $display style$ p$^{\frac {2}{27} n^{3}+O(n^{8/3$에 $따라{\displaystyle {}^{}}$ 증가하며, 이들은 2단계 nilpotent인 ^[8]클래스가 지배한다.이러한 급속한 성장으로 인해, 거의 모든 유한 집단이 2개의 집단이라고 주장하는 민속적 추측이 있다: 최대 n개의 질서 집단의 동형 집단들 중 2개의 집단의 동형 집단들의 분율은 n이 무한에 대한 경향이 있기 때문에 1에 경향이 있는 것으로 생각된다.예를 들어 최대 2000개의 49910 529 484개의 서로 다른 순서 그룹 중 99%가 넘는 49487 365 422가 순서 ^[9]1024의 2그룹입니다.

그룹 내

순서를 p로 나눌 수 있는 모든 유한군은 비사소한 p-군인 부분군, 즉 코시의 정리로부터 얻은 순서 p의 원소에 의해 생성된 순서 p의 순환군을 포함한다.실제로, 최대 차수의 p-group을 포함한다: ${\displaystyle 만약}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {}^{}}$ k$$m {\$style$ G$$=$$n$$= p$^{$$k$$}$ m} 이라면, G는 sylow $p-group$이라고 불리는 p ${\displaystyle k^{}}차수$의 p-group을 $가진다$$.$이 부분군은 고유할 필요는 없지만 이 순서의 부분군은 모두 켤레이며 G의 모든 p-부분군은 Sylow p-부분군에 포함됩니다.이것과 다른 성질은 Sylow 이론에서 증명된다.

그룹 구조에 적용

p-groups는 그룹의 구조를 이해하고 유한한 단순 그룹의 분류에 있어 기본적인 도구이다. p-groups는 부분군과 몫군 둘 다로 발생한다.서브그룹으로서 소정의 p에 대해 Sylow p-subgroups P(일치는 아니지만 모두 공역하는 최대 p-subgroups)와 p-core O p$)\displaystyle O_{p}(G)}($일반 p-subgroup 중 가장 큰 p-group) 및 기타 다양한 p-core O(G)가 있습니다.몫으로서 가장 큰 p-그룹 상수는 p-잔류 $부분군{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {Op}^{}G)}$에 의한 G의 몫이다$.\style$ O$^{p}(G)$} 이러한$$ 군들은 (다른 소수점에 대하여) 관련되며, 초점 부분군 정리 등의 중요한 성질을 가지고 있으며, 군 구조의 많은 측면을 결정할 수 있다$.$

로컬 컨트롤

유한 그룹의 구조 대부분은 비동일성 p-하위 ^[10]그룹의 정규화 장치인 소위 국소 하위 그룹의 구조에서 전달된다.

유한 그룹의 큰 기본 아벨 부분군은 Feit-의 증명에 사용된 그룹에 대한 통제력을 발휘한다.톰슨 정리엑스트라 스페셜 그룹이라고 불리는 소 아벨 그룹의 특정 중심 확장은 그룹의 구조를 심플렉틱 벡터 공간에 작용하는 것으로 묘사하는 것을 돕는다.

리처드 브라워는 시로우 2-부분군이 4차 2개의 순환군인 모든 그룹을 분류했고, 존 월터, 다니엘 고렌스타인, 헬무트 벤더, 미치오 스즈키, 조지 글라우버만 및 다른 사람들은 시로우 2-부분군이 아벨리안, 이면체, 반면체 또는 쿼테리온인 단순 그룹을 분류했다.

「 」를 참조해 주세요.

• 초등 그룹
• 프뤼퍼 계급
• 일반 p-group

각주

메모들

인용문

레퍼런스

추가 정보

외부 링크

• Rowland, Todd & Weisstein, Eric W. "p-Group". MathWorld.