연관 소수

추상 대수학에서 링 R 위에 있는 모듈 M의 관련 프라이밍은 M의 (프라임) 하위절의 전멸기로서 발생하는 R의 프라임 이상형의 일종이다.연관된 프리임의 집합은 보통 ${\displaystyle {\mathrm{Ass}}_{}}$ ${\displaystyle R_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle M}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle \operatorname {Ass} _{R}(M)}$에 의해 표시되며$$, 때로는 M의 암살자나 암살자(기호와 연관된 프라임이 섬멸자라는 사실 사이의 단어 놀이)라고 부르기도 한다.^[1]

정류 대수학에서 관련 소수들은 정류 노메테리아 링에서 이상에 대한 라스커-노에더 1차 분해와 연관되어 있다.구체적으로는 이상 J가 1차적 이상과의 유한한 교차점으로서 분해되는 경우, 이러한 1차적 이상들의 급진성은 1차적 이상이며, 이러한 1차적 이상들의 집합은 ${\displaystyle {\mathrm{앗스}}_{}}$ ${\displaystyle R_{}}$⁡${\displaystyle }$( ${\displaystyle R/J}$)${\displaystyle }$. ${\displaysty \operatorname {Ass} _{R}(R/J$)과 일치한다$.$$}$ 또한 이상에 대한 "관련된 프리타임"의 개념과 연계되어$$^[2] 고립된 프리타임과 임베디드 프리타임의 개념이다.

정의들

비제로 R 모듈 N은 N의 비제로 하위 ${\displaystyle \mathrm{모듈}}$ N'에 대해 섬멸기$$ A n $R{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{n}}_{}}$ R${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle {}_{}{}^{}}$′${\displaystyle }$) ${\$)'\$matrmatrm {An} _{R}(N')\}\}.$기본 모듈 N의 경우, A ${\displaystyle {\mathrm{n}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{R}}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}}$ )${\$ {$An} _{R}(N$)\,}이$($가) R의 기본 이상이다$$.^[3]

R 모듈 M의 관련 prime은 ${\displaystyle {\mathrm{An}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{n}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle N}$) ${\$ 형식의 이상이며, 여기서$$ N은 M의 primary submodule이다.In commutative algebra the usual definition is different, but equivalent:^[4] if R is commutative, an associated prime P of M is a prime ideal of the form ${\displaystyle \mathrm {Ann} _{R}(m)\,}$ for a nonzero element m of M or equivalently ${\displaystyle R/P}$ is isomorphic to a submodule of M.

정류 링 R에서 ${\displaystyle {\mathrm{Ass}}_{}}$ ${\displaystyle R_{}}$⁡${\displaystyle }$( ${\displaystyle M}$) ${\displaystyle \operatorname {Ass} _{R}(M)}($설정-이론적 포함)에서 최소 요소는 분리 소수라고 하고 나머지 관련 소수(즉, 관련 소수점이 적절히 포함된 소수)는 내장 소수라고 한다.

0이 아닌 일부의 경우 xm = 0을 의미하며, 일부 양의 정수 n은 xMⁿ = 0을 의미하면 모듈을 coprimary라고 한다.0이 아닌 미세하게 생성된 모듈 M은 상호 작용하는 노메트리안 링 위에 정확히 하나의 프라임이 있는 경우에만 동일하다.M의 하위 모듈 N은 M/${\displaystyle M/N}$이(가) P와 동일시되면$$ P-primary라고 한다.이상적인 I는 ${\displaystyle {\mathrm{Ass}}_{}}$ ${\displaystyle R_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle R}$/ I${\displaystyle }$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }${ P ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \operatorname {Ass} _{R}(R/I)=\{P$ 그러므로 개념은 1차 이상형의 일반화일 뿐이다.

특성.

대부분의 이러한 속성과 주장은 (Lam 2001) harv error: no target: CITREFLam2001 (도움말) 86페이지에서 시작한다.

• If M' ⊆M, then ${\displaystyle \mathrm {Ass} _{R}(M')\subseteq \mathrm {Ass} _{R}(M).}$ If in addition M' is an essential submodule of M, their associated primes coincide.
• 상호 작용하는 국소 링의 경우에도 정밀하게 생성된 모듈의 관련 프리타임 세트가 비어 있는 것이 가능하다.그러나 이상(예: 오른쪽 또는 왼쪽의 노메트리안 링)의 상승 체인 조건을 만족하는 어떤 링에서 모든 비제로 모듈에는 적어도 하나의 관련 프라이밍이 있다.
• 모든 균일한 모듈은 0 또는 1개의 관련 프리마임을 가지며, 균일한 모듈이 공동모듈의 예가 된다.
• 단측 노메트리안 링의 경우, S $p{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{e}}$ ${\displaystyle \mathrm{c}}$( R${\displaystyle }$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle \mathrm {Spec} ($R)에 대한 외설 주사 모듈의 이형성 등급 집합에서 추론이 있다$.$${}$ R이 아르티니안 반지라면$$ 이 지도는 편견이 된다.
• 마틀리스의 정리:정류형 노메테리아 링 R의 경우, 외설적 주입 모듈의 이형성 등급에서 스펙트럼까지의 지도는 편향이다.더욱이 그러한 등급에 대한 완전한 대표자 집합은 $E{\displaystyle }$(${\displaystyle R\mathfrak{}}$/ p$){\$에 의해 주어지는데, $여기$서 E${\displaystyle }$(${\displaystyle }$-${\displaystyle }$) ${\$은 R의 주요 이상에 걸쳐 있는 $주입{\displaystyle \mathfrak{}}$ 선체와 p$displaystystylease{\}$ 범위를$$ $나타낸다.$
• 노메테리아 모듈 M의 경우, 어떤 링 위에서도 M과 연관된 소수만이 있을 뿐이다.

상용 노메트리안 링의 경우, 1차 분해#관련 프리타임에서 1차 분해를 참조하십시오.

예

• If ${\displaystyle R=\mathbb {C} [x,y,z,w]}$ the associated prime ideals of ${\displaystyle I=((x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2})\cdot (z^{3}-w^{3}-3x^{3}))}$ are the ideals ${\displaystyl$$e(x^{2}+y^{2}+z^{$2}+z^{$2}+w^{2}})$${\displaystyle }$및$$ (${\displaystyle {}^{}{}^{}}$3${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ )${\displaystyle }$. ${\displaystyle (z^{3}-w^{3}-3x^{3}).$$}$
• R이 정수의 고리라면, 비종교 자유 아벨리아 그룹과 비종교적 아벨리아 그룹들이 일차적인 힘의 질서가 일치한다.
• 만약 R이 정수의 고리이고 M이 유한 아벨 그룹이라면, M의 관련 소수들은 정확히 M의 순서를 나누는 소수들이다.
• 순서 2의 그룹은 정수 Z(자체 위에 자유 모듈로 간주됨)의 몫이지만, 연관된 프라임 이상(2)은 Z의 관련 프라임이 아니다.

메모들

참조

• 부르바키, 알제브레 정류장
• Eisenbud, David (1995), Commutative algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 150, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960
• Lam, Tsit-Yuen (1999), Lectures on modules and rings, Graduate Texts in Mathematics No. 189, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98428-5, MR 1653294
• Matsumura, Hideyuki (1970), Commutative algebra