노메테리아 반지

수학에서, 더 구체적으로 말하면, 고리 이론으로 알려진 추상 대수학 영역에서, 노에테리아 링은 좌우 이상에서 상승 체인 조건을 만족시키는 고리다. 즉, 좌(또는 우) 이상들의 증가하는 순서에 따라:

I_{1}\subseteq I_{2}\subseteq I_{3}\subseteq \cdots,

다음과 같은 자연수 n이 존재한다.

I_{n}=I_{n+1}=\cdots.

노메테리아 반지는 에미 노에더의 이름을 따서 붙여졌다.null

노메테리아 반지의 개념은 반지의 이상적인 구조를 단순화하는 데 있어 그것이 하는 역할 때문에, 상호 작용적인 반지와 비협동적인 반지 이론 모두에서 근본적인 중요성을 갖는다.예를 들어, 정수의 고리와 들판 위의 다항식 고리는 둘 다 노메테리아 고리로서, 결과적으로 래스커-노에더 정리, 크룰 교차 정리, 힐버트의 기본 정리 등이 그들을 지탱하고 있다.게다가, 만약 반지가 노메테리아라면, 그것은 주요한 이상에 대한 하강 체인 조건을 만족시킨다.이 속성은 크룰 차원의 개념에서 출발하는 노메테리아 고리들에 대한 깊은 차원 이론을 암시한다.null

특성화

비확정 링의 경우 매우 유사한 세 가지 개념을 구별할 필요가 있다.

반지는 좌뇌 이상에서 상승 체인 조건을 만족시킨다면 좌뇌-노메테리아이다.
반지는 올바른 이상에서 상승 체인 조건을 만족시킨다면 우-노메트리안이다.
반지는 좌익과 우익 모두 노메테리아라면 노메테리아다.

정류반지의 경우 세 가지 개념이 모두 일치하지만, 일반적으로는 다르다.좌뇌-노메테리아인이며 우뇌-노메테리아인이 아닌 고리가 있고, 그 반대의 경우도 있다.null

링 R을 좌뇌-노메트리안(Noetherian)으로 하는 다른 동등한 정의가 있다.

R의 모든 왼쪽 이상 I는 미세하게 생성된다. 즉, I에는 $a_{1},\ldots ,a_{n}$ $a_{1},\ldots ,a_{n}$ , $a_{1},\ldots ,a_{n}$ $a_{1},\ldots ,a_{n}$ ${\$ $I=Ra_{1}+\cdots +Ra_{n}$ = $I=Ra_{1}+\cdots +Ra_{n}$ = $I=Ra_{1}+\cdots +Ra_{n}$ + $I=Ra_{1}+\cdots +Ra_{n}$ + $I=Ra_{1}+\cdots +Ra_{n}$ , ${\$ ^[1]
부분적으로 포함에 의해 주문된 모든 비빈 좌익 이상 R은 최대 요소를 가지고 있다.^[1]

비슷한 결과가 우-노메테리아 반지에 대해서도 유효하다.null

다음 조건은 또한 R 링이 좌-노메테리아인이 되는 것과 동등한 조건이며 힐베르트의 원래 제형이다.^[2]

Given a sequence $f_{1},f_{2},\dots$ of elements in R, there exists an integer $n$ such that each $f_{i}$ is a finite linear combination ${\textstyle f_{i}=\sum _{j=1}^{n}r_{j}f_{j}}$ with coefficients $r_{j}$ $r_{j}$ r j ${\$ 의 $r_j$ R.

교감반지가 노메테리아인이 되려면 반지의 모든 주요 이상이 미세하게 생성되는 것으로 충분하다.^[3]null

특성.

R이 노메테리아 고리라면, 힐베르트의 기본 정리로는 다항 $R[X]$ R $R[X]$ [ $R[X]$ $R[X]$ $R[X]$ 이(가) 노메테리아 링이다 $R[X]$ .유도에 의한 $R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ [ X $R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ , $R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ … , $R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ $R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ $R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ $R[X_{1},\ldots ,X_{n}}}}$ 은 $R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ (는) 노메테리아 링이다.또한 파워 시리즈 링인 $R [X]$ 은 노에테리아 링이다.
$R$ 이 노메트리안 반지이고 $내$ 가 양면 이상이라면, 그 몫의 $반지$ R $/ I$ 도 노메트리안이다.다르게 표현하면, 노에테리아 반지의 어떤 허탈적인 고리 동형주의 이미지는 노에테리아인이다.
노에테리아 반지를 넘어 미세하게 생성되는 모든 조합 대수학들은 노에테리아인이다.(이것은 이전의 두 속성에서 나온 것이다.)
링 R은 미세하게 생성된 모든 좌측 R-모듈이 노메트리안 모듈인 경우에만 좌-노메트리안이다.
만약 교감반지가 그 위에 충실한 노메트리안 모듈을 인정한다면, 그 반지는 노메트리안 반지일 것이다.^[4]
(에킨-나가타) 만약 A가 B가 A보다 정밀하게 생성된 모듈인 것처럼 노메트리안 링 B의 부링이라면, A는 노메트리안 링이다.^[5]
마찬가지로, 만약 링 A가 B가 A 위에 충실하게 평평하게(또는 보다 일반적으로 순수한 서브링으로 A를 나타냄)되도록 정류형 노메트리안 링 B의 서브링이라면, A는 노메트리안 링이다(추론은 "진실로 평평한" 기사 참조).
노메테리아 반지의 모든 국산화들은 노메테리아적이다.
아키즈키-의 결과- 홉킨스-레비츠키 정리란 모든 왼쪽 아르티니아 반지는 노메테리아로 남겨진다는 것이다.또 다른 결과는 왼쪽 아르티니아 반지가 오른쪽의 노메테리아인이라면 오른쪽의 아르티니아인 반지가 오른쪽의 노메테리아인이다."우측"과 "좌측"이 상호 교환된 유사한 진술도 사실이다.
왼쪽의 노메테리아 반지는 왼쪽의 일관성이 있고 왼쪽의 노메테리아 도메인은 왼쪽의 오레 도메인이다.
(Bass) 링은 주입식(좌/우) 모듈의 모든 직접 합이 주입식인 경우에만 노메트리안이다.좌측 노메트리안 모듈 위에 있는 모든 좌측 주입 모듈은 강제 주입 모듈의 직접적인 합으로 분해될 수 있다.^[6]
노메테리아식으로 대화하는 고리에는 소수 이상의 소수만이 있을 뿐이다.또한, 하강 사슬 조건은 가장 중요한 이상을 유지한다.
노메테리아 영역 R에서, 모든 요소들은 되돌릴 수 없는 요소들로 인수될 수 있다.따라서, 덧붙여, 불가해한 요소들이 주요 요소라면, R은 고유한 요소화 영역이다.

예

합리적인 숫자와 실수와 복잡한 숫자의 필드를 포함한 어떤 분야든 노메테리아어. (영역은 그 자체와 (0)의 두 가지 이상만 가지고 있다.)
모든 이상은 하나의 원소에 의해 생성되기 때문에 정수와 같은 주요한 이상적 고리는 노메테리아적이다.여기에는 주요 이상 도메인과 유클리드 도메인이 포함된다.
디데킨드 도메인(예: 정수의 고리)은 모든 이상이 최대 두 가지 요소에 의해 생성되는 노메테리아 도메인이다.
아핀 품종의 좌표 링은 힐버트 기본 정리의 결과로 노메테리아 링이다.
The enveloping algebra U of a finite-dimensional Lie algebra ${\mathfrak {g}}$ is a both left and right Noetherian ring; this follows from the fact that the associated graded ring of U is a quotient of $\operatorname {Sym} ({\mathfrak {g}})$ , which is a polynomial ring over a field;그래서, 노메테리아인.^[7]같은 이유로 웨일 대수학, 그리고 미분 연산자의 더 일반적인 고리는 노메테리아인이다.^[8]
정수나 한 필드의 미세하게 많은 변수에 있는 다항식의 고리는 노메테리아어이다.

노메테리아인이 아닌 고리는 (어떤 의미에서는) 매우 큰 경향이 있다.노메테리아 링이 아닌 다른 링의 예는 다음과 같다.

무한히₁ 많은 변수, X, X, X₃ 등의₂ 다항식 링.이상(X₁), (X₁, X₂), (X₁, X₂), (X₃, X) 등의 순서는 상승하며, 종료되지 않는다.
모든 대수 정수의 반지는 노메테리아인이 아니다.예를 들어, 주요 이상에 대한 무한 상승 체인을 포함한다: (2), (2^1/2), (2^1/4^1/8), (2), (2), ...
실수에서 실수에 이르는 연속적인 기능의 링은 노메테리아인이 아니다.모든_n x ) n에 대해 f(x) = 0과 같은 모든 연속 함수의 이상이 되도록 한다.이상 나₀, 나₁, 나₂ 등의 순서는 종말을 고하지 않는 상승 사슬이다.
안정적인 호모토피 그룹들의 반지는 노메테리아인이 아니다.^[9]

그러나 노에테리아 링이 아닌 반지는 노에테리아 링의 하위 링이 될 수 있다.어느 일체형 도메인이든 필드의 서브링이기 때문에, 노메테리아인이 아닌 일체형 도메인이면 모두 예를 제공한다.좀 더 사소한 예를 들자면

필드 k에 대해 x와 y/x에ⁿ 의해 생성된 합리적인 함수의 링은 단지 두 변수에서 필드 k(x,y)의 서브링이다.

실제로 오른쪽 노메테리아인이지만 노메테리아인이 남아 있지 않은 고리가 있기 때문에 이런 식으로 반지의 '크기'를 측정하는 데 주의해야 한다.예를 들어 L이 Q와² Z의 이형체 부분군이라면, R은 Q에서² f(L) ⊂ L을 만족하는 그 자체로 동형체 f의 링이 되게 한다. 근거를 선택하면, 우리는 동일한 링 R을 설명할 수 있다.

R=\left\{\left.{\begin{bmatrix}a&\beta \\\beta \end{bmatrix}\,\right\vert \a\in \mathbf {Z},\beta \in \mathbf {Q},\gammathmatbf {Q}\rigma \}.}

이 반지는 오른쪽 노메테리아인이지만 왼쪽 노메테리아인이 아니다; a = 0과 γ = 0의 원소로 구성된 부분집합 I iR은 왼쪽 R-모듈로서 정밀하게 생성되지 않는 왼쪽 이상이다.null

만약 R이 왼쪽 노메트리안 링 S의 정류자 서브링이고, S가 왼쪽 R-모듈로 미세하게 생성된다면 R은 노메트리안이다.^[10](S가 역순일 때의 특수한 경우, 이것을 에킨의 정리라고 한다.)그러나 R이 상응하지 않으면 이는 사실이 아니다: 전항의 링 R은 왼쪽 Noetherian 링 S = Hom²(Q², Q)의 서브링이고, S는 왼쪽 R-모듈로서 미세하게 생성되지만 R은 Noetherian에서 떠나지 않는다.null

고유한 요소화 영역이 반드시 노메테리아 링은 아니다.그것은 더 약한 조건, 즉 주요 이상에 대한 상승 연쇄 조건을 충족시킨다.무한히 많은 변수의 다항식 링은 노메테리아 고유 인수 도메인의 예다.null

가치평가 링은 그것이 주요한 이상적인 영역이 아닌 한 노메테리아인이 아니다.대수 기하학에서 자연적으로 발생하지만 노메테리아기가 아닌 반지의 예를 들어준다.null

주요 이론들

링 이론에서 많은 중요한 이론들(특히 정류 링 이론)은 그 링들이 노메테리아인이라는 가정에 의존한다.null

상쇄 케이스

교감형 노메테리아 링 위에 걸쳐 각 이상에는 일차 분해(primary discription)가 있는데, 이는 이상 Q가 적절하다면 일차 Q라고 하고, 어떤 양의 정수 n에 대해 xy ∈ Q 또는 yⁿ ∈ Q라고 할 때마다 일차적인 이상(역학 모두 구별되는)의 교차점으로 쓸 수 있다는 것을 의미한다.For example, if an element $f=p_{1}^{n_{1}}\cdots p_{r}^{n_{r}}$ is a product of powers of distinct prime elements, then $(f)=(p_{1}^{n_{1}})\cap \cdots \cap (p_{r}^{n_{r}})$ and thus the primary decomposition은 정수와 다항식의 프라임 인수화의 직접적인 일반화다.^[11]
노메테리아 링은 이상향의 사슬로 정의된다.The Artin–Rees lemma, on the other hand, gives some information about a descending chain of ideals given by powers of ideals $I\supseteq I^{2}\supseteq I^{3}\supseteq \cdots$ . It is a technical tool that is used to prove other key theorems such as the Krull intersection theorem.
교감반지의 차원 이론은 비노메테리아적인 고리들에 비해 형편없이 작용한다; 아주 근본적인 정리인 크룰의 주된 이상 정리는 이미 "노메테리아" 가정에 의존하고 있다.여기서, 사실, "노메테리아" 가정은 종종 충분하지 않고, (노메테리아) 보편적으로 카트리네이션 링은, 특정한 차원-이론적 가정을 만족하는 반지를 대신 사용하는 경우가 많다.어플리케이션에 등장하는 노메트리안 링은 대부분 보편적으로 카트리네이션이다.

비확정 사례

골디의 정리

주입 모듈에 대한 의미

링이 주어지면 링 위에서 주입 모듈들의 동작과 링이 노메트리안 링인지 아닌지가 밀접하게 연결된다.즉, R 링을 지정하면 다음과 같다.

R은 왼쪽의 노메테리아 반지 입니다.
(Bass) 주입 좌측 R-모듈의 각 직접 합은 주입이다.^[6]
각각의 주입식 좌측 R-모듈은 외설적인 주입 모듈의 직접적인 합이다.^[12]
(Faith-Walker)R에 대한 각 주입 좌측 모듈이 c ${\$ $mathfak$ { $c}$ 생성 ${\mathfrak {c}}$ 모듈의 직접 ${\mathfrak {c}}$ 인 기본 ${\mathfrak {c}}$ 번호 c {\displaystyle {\ $mathfak$ ${$ c}이(가) 있음(모듈은 ${\mathfrak {c}}$ ${\$ 최대 ${\$ }에서 카디널리티 세트가 생성되는 경우 생성됨 ${\mathfrak {c}}$ ${\mathfrak{c}}$ ). ${\mathfrak {c}}$ ^[13]
왼쪽 R-모듈 H가 존재하여 왼쪽 R-모듈이 H의 직접 합에 내장된다.^[14]

외설주입 모듈의 내형성 링은^[15] 국소적이며 따라서 아즈마야의 정리는 왼쪽 노메테리아 링 위에서 각각 주입주입 모듈의 외형성 분해는 서로 동등하다고 말하고 있다(크룰-슈미트 정리의 변종).null

참고 항목

메모들

^ ^a ^b 램(2001), 페이지 19
^ 아이젠버드 1995, 연습 1.1.
^ Cohen, Irvin S. (1950). "Commutative rings with restricted minimum condition". Duke Mathematical Journal. 17 (1): 27–42. doi:10.1215/S0012-7094-50-01704-2. ISSN 0012-7094.
^ 마츠무라, 정리 3.5. harvnb 오류: 대상 없음: CATEREFMatsumura (도움말)
^ 마츠무라, 정리 3.6. harvnb 오류: 대상 없음: CATEREFMatsumura (도움말)
^ ^a ^b Anderson & Fuller 1992, 발의안 제18.13. harvnb 오류: 대상
^ 부르바키 1989, Ch III, §2, no. 10, 숫자 harvnb 오류의 끝에서 언급: 목표 없음: CITREFBourbaki1989 (도움말)
^ 핫타, 타케우치 & 타니사키(2008, §D.1, 제안서 1.4.6)
^ 안정적인 구들의 호모토피 그룹들의 고리는 노에테리아적이지 않다.
^ Formanek & Jategetakar 1974년, 정리 3
^ 아이젠버드, 발의안 3.11.
^ Anderson & Fuller 1992, Organis 25.6. (b) (도움말)
^ Anderson & Fuller 1992, Organis 25.8. harvnb error: no
^ Anderson & Fuller 1992, Corollary 26.3.
^ Anderson & Fuller 1992, Lema 25.4.

참조

Anderson, Frank W.; Fuller, Kent R. (1992), Rings and categories of modules, Graduate Texts in Mathematics, vol. 13 (2 ed.), New York: Springer-Verlag, pp. x+376, doi:10.1007/978-1-4612-4418-9, ISBN 0-387-97845-3, MR 1245487
아티야, 엠에프, 맥도날드, I. G. (1969년)정류 대수학 입문.애디슨-웨슬리-롱맨ISBN 978-0-201-40751-8
니콜라스 부르바키, 정류 대수학
Eisenbud, David (1995). Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 150. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-5350-1. ISBN 0-387-94268-8.
Formanek, Edward; Jategaonkar, Arun Vinayak (1974). "Subrings of Noetherian rings". Proceedings of the American Mathematical Society. 46 (2): 181–186. doi:10.2307/2039890.
Hotta, Ryoshi; Takeuchi, Kiyoshi; Tanisaki, Toshiyuki (2008), D-modules, perverse sheaves, and representation theory, Progress in Mathematics, vol. 236, Birkhäuser, doi:10.1007/978-0-8176-4523-6, ISBN 978-0-8176-4363-8, MR 2357361, Zbl 1292.00026
Lam, Tsit Yuen (2001). A first course in noncommutative rings. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 131 (2nd ed.). New York: Springer. p. 19. doi:10.1007/978-1-4419-8616-0. ISBN 0387951830. MR 1838439.
제 X장
Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative Ring Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36764-6

외부 링크

"Noetherian ring", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

[:0-1] 램(2001), 페이지 19

[2] 아이젠버드 1995, 연습 1.1.

[3] Cohen, Irvin S. (1950). "Commutative rings with restricted minimum condition". Duke Mathematical Journal. 17 (1): 27–42. doi:10.1215/S0012-7094-50-01704-2. ISSN 0012-7094.

[4] 마츠무라, 정리 3.5. harvnb 오류: 대상 없음: CATEREFMatsumura (도움말)

[5] 마츠무라, 정리 3.6. harvnb 오류: 대상 없음: CATEREFMatsumura (도움말)

[Bass_injective-6] Anderson & Fuller 1992, 발의안 제18.13. harvnb 오류: 대상

[7] 부르바키 1989, Ch III, §2, no. 10, 숫자 harvnb 오류의 끝에서 언급: 목표 없음: CITREFBourbaki1989 (도움말)

[8] 핫타, 타케우치 & 타니사키(2008, §D.1, 제안서 1.4.6)

[9] 안정적인 구들의 호모토피 그룹들의 고리는 노에테리아적이지 않다.

[10] Formanek & Jategetakar 1974년, 정리 3

[11] 아이젠버드, 발의안 3.11.

[12] Anderson & Fuller 1992, Organis 25.6. (b) (도움말)

[13] Anderson & Fuller 1992, Organis 25.8. harvnb error: no

[14] Anderson & Fuller 1992, Corollary 26.3.

[15] Anderson & Fuller 1992, Lema 25.4.

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