노메테리아식 계략

대수 기하학에서 noeterian 체계는 오픈 아핀 서브셋 ${\displaystyle \mathrm{Spec}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle A_{}}$ ${\$ ${\displaystyle {Ai}_{}}$ ${\$Noeterian$$ 링에 의한 유한 덮개를 인정하는 체계다.더 일반적으로, 어떤 계획은 만약 그것이 노에테리아 링의 스펙트럼에 의해 가려진다면 국소적으로 노에테리아적이다.따라서, 어떤 계획은 국소적으로 noeterian과 준-compact일 경우에만 noeterian이다.노에테리아 반지와 마찬가지로, 이 개념은 에미 노에더의 이름을 따서 명명되었다.

로컬 noeterian ${\displaystyle \mathrm{체계}}$에서 ${\displaystyle \mathrm{Spec}}$ ${\displaystyle \{}$A {\$displaystyle \operatorname {Spec}$A}이$$(가) 개방형 부속품이라면 A가 noeterian 링임을 알 수 있다.특히 ${\displaystyle \mathrm{Spec}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$은 A가 노에테리아 링인 경우에만 노에테리아식 계략이다.X를 지역적으로 노메테리아적인 계획이 되게 하라.그러면 로컬 링 $O{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$, ${\displaystyle x_{}}$ ${\$은(는) 노에테리아 링이다$$.

노에테리아식 계획은 노에테리아식 위상학적 공간이다.그러나 그 반대는 일반적으로 거짓이다. 예를 들어, 비 노메테리아적 가치평가 링의 스펙트럼을 고려하라.

그 정의는 형식적인 계획으로 확장된다.

특성 및 노메테리아 가설

계획들에 대한 진술에 대해 (로컬하게) 노에테리아 가설을 갖는 것은 일반적으로 많은 문제들이 그것의 많은 특성들을 충분히 경직시키기 때문에 더 쉽게 접근할 수 있게 한다.

데비사주

노메테리아 링과 노메테리아 계략에 대한 가장 중요한 구조 정리 중 하나는 데비사지 정리다.이 정리는 일관성 있는 피복에 대한 주장을 귀납적 주장으로 분해하는 것을 가능하게 한다.왜냐하면 정확한 연속적인 연속된 정밀한 조각들이 주어지기 때문이다.

${\displaystyle 0\to {\mathcal {E}\mathcal {E}\to 0}$

한 포대가 어떤 재산을 가지고 있다는 것을 증명하는 것은 다른 두 포대가 그 재산을 가지고 있다는 것을 증명하는 것과 같다.In particular, given a fixed coherent sheaf ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ and a sub-coherent sheaf ${\displaystyle {\mathcal {F}}'}$, showing ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ has some property can be reduced to looking at ${\displaystyle {\mathcal {F}}'}$ and ${\di$$splaystyle {\mathcal{F}/{\mathcal {F$ 이 프로세스는 비경쟁적인 방식으로 한정된 횟수만 적용할 수 있기 때문에 많은 유도 인수가 가능하다.

복구할 수 없는 구성 요소의 수

모든 노메테리아의 계획은 아주 많은 요소만 가질 수 있다.^[1]

노메테리아식 계획에서 나온 형태론은 준법률이다.

노메테리아식 계략 $X{\displaystyle }$→ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle$ X$\to S}$의 모든 형태론은 준법률이다.^[2]

동질적 특성

노메테리아식 계획에는 많은 훌륭한 동질적 특성이 있다.^[3]

체흐와 셰프 코호몰로지

체흐 코호몰로지(Cech cohomology)와 셰이프 코호몰로지(Sheaf cohomology)는 아핀이를 통해 표준 오픈 커버에 Cech cohomology를 사용하여$$ P ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$의 쉐프 코호몰리를 계산할 수 있다.

코호몰로지와의 콜리밋 호환성

Given a direct system ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{\alpha },\phi _{\alpha \beta }\}_{\alpha \in \Lambda }}$ of sheaves of abelian groups on a Noetherian scheme, there is a canonical isomorphism

${\displaystyle \varinjlim H^{i}(X, {\mathcal {F}_{\alpha })\to H^{i}(X,\varinjlim {\mathcal {F}_{\alpha})}}$

즉, functors를 의미한다.

${\displaystyle H^{i}(X,-):{\text{Ab}(X)\to {\text{Ab}}}$

직할한계 및 복직물을 보존하다

파생직접이미지

Given a locally finite type morphism ${\displaystyle f:X\to S}$ to a Noetherian scheme ${\displaystyle S}$ and a complex of sheaves ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\bullet }\in D_{Coh}^{b}(X)}$ with bounded coherent cohomology such that the sheaves ${\dis$$playstyle H^{i}({\mathcal {E}}^{\bullet })}$ have proper support over ${\displaystyle S}$, then the derived pushforward ${\displaystyle \mathbf {R} f_{*}({\mathcal {E}}^{\bullet })}$ has bounded coherent cohomology over ${\displaystyle S}$, meaning it is an object in ${\d$$isplaystyle D_{Coh}^{b}(S)}$^[4].

예

야생에서 발견된 많은 계획들은 노메테리아 계획들이다.

노메트리안 기지에 걸쳐 유한한 지역 유형

계획의Noetherian schemes[5]의 예들을 또 다른 학급은 가족들이 기지 S{S\displaystyle}및 X{X\displaystyle}S{S\displaystyle}에 한정된 형식Noetherian은 X야 → S{\displaystyle X\to S}. 이것은 힐베르트 계획의 연결된 구성 요소는 많은 예들, 즉은 어떤과 포함한다.xed힐버트 다항식의이것은 대수곡선의 모둘리, 안정된 벡터다발의 모둘리처럼 야생에서 마주치는 많은 모둘리 공간이 노메테리아라는 것을 암시하기 때문에 중요하다.또한, 이 특성은 대수 기하학에서 고려된 많은 계획들이 사실 노메테리아라는 것을 보여주기 위해 사용될 수 있다.

준투영품종

특히 준프로젝트 품종은 노메테리아식 계략이다.이 세분류는 대수 곡선, 타원 곡선, 아벨 품종, 칼라비 야우 체계, 시무라 품종, K3 표면 및 입방 표면을 포함한다.기본적으로 고전 대수 기하학에서 나온 모든 물체는 이 종류의 예에 들어맞는다.

노메테리아식 계획의 극소수 변형

특히 노메테리아식 계략의 극히 미미한 변형은 다시 노메테리아식이다.For example, given a curve ${\displaystyle C/{\text{Spec}}(\mathbb {F} _{q})}$, any deformation ${\displaystyle {\mathcal {C}}/{\text{Spec}}(\mathbb {F} _{q}[\varepsilon ]/(\varepsilon ^{n}))}$ is also a Noetherian scheme.그러한 변형의 탑은 공식적인 노메테리아식 계획을 세우는 데 사용될 수 있다.

비예시

아델릭 베이스에 대한 체계

노메테리아인이 아닌 자연적인 고리 중 하나는 대수적 숫자 필드 $K{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle \mathb{A} _{K}$ 에 대한$$ 아델 $A{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$$displaystyle K}$이다$.$ 이러한 고리를 다루기 위해 위상학적 고리를 제공하는 위상이 고려된다.Weil과 Alexander Grotendieck가 개발한 그러한 고리 위에 대수 기하학의 개념이 있다.^[6]

무한 확장을 통한 정수 링

Given an infinite Galois field extension ${\displaystyle K/L}$, such as ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{\infty })/\mathbb {Q} }$ (by adjoining all roots of unity), the ring of integers ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ is a Non-noetherian ring which is dimension ${\display$$스타일 1$. 이것은 유한한 차원 체계가 반드시 노메테리아식이라는 직관을 깨트린다$.$또한, 이 예는 비 노메테리아적 기반에 대한 체계 연구, 즉 ${\displaystyle \text{Sch}/\text{Spec}}$ ($){\displaystyle{\text{Sch}/{\text{Spec}}}{\mathcal{O}_{E$가 흥미롭고 유익한 과목이 될 수 있는 이유에 대한 동기를 제공한다.

이러한 확장의 특별한^{[7]pg 93} 경우 중 하나는 ${\displaystyle 최대}$ 미RAM 확장자 $K{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle u^{}}$ r${\displaystyle {}^{}}$/ K ${\displaystyle$ K$^{ur}/K}$를 취하고 정수 $O{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle k_{{}^{}}}$ ${\displaystyle {u^{}}_{}}$ ${\displaystyle {r^{}}_{}}$ ${\$의 링을 고려하는 것이다$.$유도 형태론

${\displaystyle {\text}{Spec}({\mathcal {O}_{K^{ur})\to {\text{Spec}({\mathcal {O}_{K})}}}$

${\displaystyle \text{규격}({\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle K_{}}$) ${\displaystyle {\text{Spec}({\mathcal {O}_{K})$의 범용 커버를 형성한다$.$

발전기가 무한히 많은 다항식 링

비노메테리아 유한차원 체계(사실상 0차원)의 또 다른 예는 무한히 많은 발전기가 있는 다항식 링의 다음과 같은 몫으로 제시된다.

${\displaystyle {\frac {\mathb {Q} [x_{1},x_{2},\ldots ]}{(x_{1},x_{2}^{2},x_{3}^{3}},\ldots )}}}}}}$

참고 항목

• 뛰어난 반지 - 노메트리안 반지보다 약간 더 견고하지만 특성이 더 우수함
• 구성 가능한 집합에 대한 체발리의 정리
• 자리스키의 주요 정리
• 이중화 복합체
• 나가타의 압축 정리

참조

• 로빈 하트손, 대수 기하학.
• 더 세게. 산술 그룹의 코호몰로지
• 노메테리아식 계략수학 백과사전.URL: http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Noetherian_scheme&oldid=34135