에킨-나가타 정리

추상 대수학에서, Eakin–Nagata 정리의 주 즉, 가환성의 고리를 주어진 ⊂ B{A\subset B\displaystyle}만약 B{B\displaystyle}은Noetherian 반지는 B{B\displaystyle}제한적으로. 한{A\displaystyle}에 대한 모듈은 이룬 정도라면, thenA{A\displaystyle}은Noetherian 반지.[1](주는 converse는 또한 진실이고 더 쉽다.)

이 정리는 아르틴-테이트 보조정리(Artin-Tate lema)와 비슷한데, 이 보조정리에는 "완전히 생성된 대수"로 대체된 "노메테리아"로 같은 문장이 들어 있다고 한다(베이스 링이 노메테리아 링이라고 가정한다).

그 정리는 처음에 Paul M에서 증명되었다.에킨의 논문(에킨 1968년)과 후에 나가타 마사요시(1968년)에 의해 독자적으로 발표되었다.^[2]또한 (아이젠부드 1970)의 데이비드 아이젠부드가 한 것과 같이 주입 모듈 측면에서 노메테리아 링의 특성화에서 정리는 추론할 수 있다. 이 접근법은 비확정 링에 대한 일반화에 유용하다.

증명

다음의 더 일반적인 결과는 Edward W 때문이다. 포마넥은 에킨과 나가타에 의해 원론적인 증거에 근거한 논거로 증명된다.(마쓰무라 1989년)에 의하면, 이 제형이 가장 투명한 제형이 될 가능성이 높다고 한다.

증거: $일반적$으로 충실한 노메트리안 모듈을 인정하는 반지는 노메트리안 반지이기 때문에 M ${\displaystyle M}$이(가) 노메트리안 모듈임을 보여주기에 충분하다.^[4]그렇지 않다고 가정하자.By assumption, the set of all ${\displaystyle IM}$, where ${\displaystyle I}$ is an ideal of ${\displaystyle A}$ such that ${\displaystyle M/IM}$ is not Noetherian has a maximal element, ${\displaystyle I_{0}M}$. Replacing ${\displaystyle M}$ and ${\displaystyle A}$ by ${\displaystyle M}$${\displaystyle /}$ ${\displaystyle I{}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ M ${\displaystyle M/I_{0}M$$}$ $및{\displaystyle }$ A${\displaystyle }$/ ${\displaystyle \mathrm{Ann}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle M}$/ ${\displaystyle I{}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {M\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle A/\operatorname {Ann}(M/I_{0}M$ 우리는 가정할 수 있다.

• 0이 아닌 각 이상 I ${\displaystyle \mathrm{ideal}}$ A${\displaystyle I\subset A}$에 대해 모듈 M$/$$I{\displaystyle }$ ${\displaystyle M/IM}$은(는) 노메트리안이다.

다음으로, $M{\displaystyle /N}$ ${\displaystyle M/N}$이(가) 충실하도록$$ 하위 모듈$$ N${\displaystyle }$ules $M{\displaystyle }$ {\$displaystyle N\subset M}$의 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$을(를) 고려하십시오.Choose a set of generators ${\displaystyle \{x_{1},\dots ,x_{n}\}}$ of ${\displaystyle M}$ and then note that ${\displaystyle M/N}$ is faithful if and only if for each ${\displaystyle a\in A}$, the inclusion ${\displaystyle \{ax_{1},\dots ,ax_{$$n}\}\subset N}$은(는) ${\displaystyle \mathrm{a}}$= 0 ${\displaystyle a=0}$을(를) 암시한다$.$Thus, it is clear that Zorn's lemma applies to the set ${\displaystyle S}$, and so the set has a maximal element, ${\displaystyle N_{0}}$. Now, if ${\displaystyle M/N_{0}}$ is Noetherian, then it is a faithful Noetherian module over A and, consequently, A is a Noetherian ring, a contradiction.따라서 $M{\displaystyle }$/ ${\displaystyle N{}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$은(는) 노메트리안이 아니며$$ M ${\displaystyle M}$을(를) $M{\displaystyle }$/ ${\displaystyle N{}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$로 대체한다고 가정할 수도 있다$.$

• 0이 아닌 각 하위 모듈 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N\subset M}$은(는) $M{\displaystyle /N}$ ${\displaystyle M/N}$이(가) 충실하지 않은 것과 같다$$.

하위 모듈 $0{\displaystyle \mathrm{}\mathrm{subm}}$N {$$M {\$displaystyle 0\neq$N\$subset M}$을(를) 제공하십시오$$.Since ${\displaystyle M/N}$ is not faithful, there is a nonzero element ${\displaystyle a\in A}$ such that ${\displaystyle aM\subset N}$. By assumption, ${\displaystyle M/aM}$ is Noetherian and so ${\displaystyle N/aM}$ is finitely generated.${\displaystyle M}$ ${\displaystyle aM}$도 미세하게 생성되기$$ 때문에 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$이(가) 미세하게 생성되고$$, $즉{\displaystyle }$ M ${\displaystyle M}$은(는) 모순인 노메트리안(Noetherian)이다$$.${\displaystyle \square }$

참조

• Eakin, Paul M., Jr. (1968), "The converse to a well known theorem on Noetherian rings", Mathematische Annalen, 177 (4): 278–282, doi:10.1007/bf01350720, MR 0225767
• Nagata, Masayoshi (1968), "A type of subrings of a noetherian ring", Journal of Mathematics of Kyoto University, 8 (3): 465–467, doi:10.1215/kjm/1250524062, MR 0236162
• Eisenbud, David (1970), "Subrings of Artinian and Noetherian rings", Mathematische Annalen, 185 (3): 247–249, doi:10.1007/bf01350264, MR 0262275
• Formanek, Edward; Jategaonkar, Arun Vinayak (1974), "Subrings of Noetherian rings", Proceedings of the American Mathematical Society, 46 (2): 181–181, doi:10.1090/s0002-9939-1974-0414625-5, MR 0414625
• Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative Ring Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 8 (2nd ed.), Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36764-6, MR 1011461

추가 읽기

• 연산 스택 교환 - 카플란스키의 정류 링과 에킨-나가타 정리에서의 운동