도메인(링 이론)

수학 영역인 대수학에서 영역은 아브 = 0이 a = 0 또는 b = 0을 내포하는 비제로 링이다.(^[1]때로는 그러한 링은 "제로-제품 특성"을 갖는다고 한다.) 동등하게, 도메인은 0이 유일한 왼쪽 영점 구분자(또는 동등하게 유일한 오른쪽 영점 구분자)인 링이다. 상호 작용 도메인을 통합 도메인이라고 한다.^[1]^[2] 수학 문헌에는 "도메인"^[3]의 정의에 대한 여러 변형이 포함되어 있다.

예시 및 비예시

링 Z/6Z는 도메인이 아니다. 왜냐하면 이 링에서 2와 3의 이미지는 0이 아닌 0의 원소 제품이기 때문이다. 보다 일반적으로 양의 정수 n의 경우, n이 prime인 경우에만 링 Z/nZ가 도메인이다.
유한 영역은 웨더번의 작은 정리에 의해 자동적으로 유한한 영역이다.
쿼터니언은 비커밋 도메인을 형성한다. 보다 일반적으로, 0이 아닌 모든 원소들은 되돌릴 수 없기 때문에, 모든 분할 대수학은 영역이다.
모든 일체형 쿼터니온의 집합은 쿼터니온의 하위 문자열인 비커머티브 링이며, 따라서 비커머티온 도메인이다.
n ≥ 2에 대한 매트릭스 링 M_n(R)은 결코 도메인이 아니다: R이 0이 아닌 경우, 그러한 매트릭스 링은 0이 아닌 0이 아닌 다이비저와 심지어 0이 아닌 영점 원소를 가진다. 예를 들어, 행렬 단위 E의₁₂ 제곱은 0이다.
벡터 공간의 텐서 대수 또는 동등하게 필드 위에 있는 비 커밋 변수에 있는 다항식 대수 $\mathbb {K} \langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle ,$ $\mathbb {K} \langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle ,$ x $\mathbb {K} \langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle ,$ , $\mathbb {K} \langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle ,$ … , $\mathbb {K} \langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle ,$ x $\mathbb {K} \langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle ,$ $\mathbb {K} \langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle ,$ , ${\displaystyle \mathb$ {K} \ $langle x_{$ 1},\ $ldots ,x_{n}\rangele .}$ 는 도메인이다 $\mathbb {K} \langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle ,$ . 이것은 비확정적 단일문서에 대한 주문을 사용하여 증명될 수 있다.
R이 도메인이고 S가 R의 Ore 확장이라면 S는 도메인이다.
Weyl 대수학(Weyl 대수학)은 비전투적인 영역이다.
어떤 분야 위에 있는 모든 Lie 대수학의 보편적 포락 대수학은 영역이다. 그 증거는 범용 봉투 대수학 및 푸앵카레-비르호프-위트 정리에 표준 여과법을 사용한다.

그룹 링과 제로 디비저 문제

G가 그룹이고 K가 필드라고 가정해 보자. 그룹 링 R = K[G] 도메인인가? 아이덴티

{\displaystyle(1-g)(1+g+\cdots +g^{n-1}=1-g^{n}}

유한 순서 n > 1의 원소 g가 R에서 영점 1 - g을 유도한다는 것을 보여준다. 제로 디비저 문제는 이것이 유일한 방해물인가를 묻는다; 다시 말해서,

필드 K와 토션 프리 그룹 G를 감안할 때, K[G]에 디비저가 0이 없다는 것이 사실인가?

백배는 알려져 있지 않지만, 문제는 일반적으로 (2017년 현재) 열려 있다.

많은 특별한 계층의 그룹에게 대답은 긍정적이다. 파르카스와 스나이더는 1976년 G가 토션 없는 다순환 피니티 그룹이고 char K = 0이면 그룹 링 K[G]가 도메인임을 증명했다. 이후(1980년) 클리프는 그 분야의 특성에 대한 제한을 없앴다. 1988년 크로폴러, 린넬, 무디스는 이러한 결과를 토션 없는 해결가능하고 해결 가능한 최종 집단의 사례로 일반화했다. 약 20년 동안 그 분야의 전문가들로부터 중요성이 인정받지 못했던 미셸 라자드의 초기(1965) 작업은 K가 p-adic 정수의 고리, G는 GL(n, Z)의 p번째 조합 하위그룹인 경우를 다루었다.

적분영역의 스펙트럼

제로 디비저는 위상학적 해석을 가지고 있는데, 적어도 정류 링의 경우: 링 R은 그것이 축소되고 그것의 스펙트럼 Spec R은 되돌릴 수 없는 위상학적 공간인 경우에만 필수 영역이다. 첫 번째 속성은 종종 일부 극소수의 정보를 인코딩하는 것으로 간주되는 반면, 두 번째 속성은 더 기하학적인 것이다.

예: k[x, y]/(xy), 여기서 k는 필드(field)인 링 k[, y]/(xy)는 도메인이 아니며, 이 링에 있는 x와 y의 이미지는 0divisor이기 때문이다. 기하학적으로 이것은 x = 0과 y = 0의 선들의 조합인 이 고리의 스펙트럼이 되돌릴 수 없다는 사실에 해당한다. 사실, 이 두 선은 되돌릴 수 없는 구성 요소들이다.

참고 항목

메모들

^ ^a ^b 램(2001), 페이지 3
^ 로웬(1994), 페이지 99.
^ 일부 저자들은 또한 제로 링을 도메인으로 간주한다: 폴치노 M. & Sehgal(2002년), 페이지 65를 참조하라. 일부 저자는 0-product 속성이 있는 rng에도 "도메인"이라는 용어를 적용한다. 그러한 저자들은 nZ를 각 양의 정수 n에 대한 도메인으로 간주한다: 란스키(2005년), 페이지 343을 참조한다. 그러나 통합 도메인은 항상 0이 아니라 1이 되어야 한다.

참조

Lam, Tsit-Yuen (2001). A First Course in Noncommutative Rings (2nd ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95325-0. MR 1838439.
Charles Lanski (2005). Concepts in abstract algebra. AMS Bookstore. ISBN 0-534-42323-X.
César Polcino Milies; Sudarshan K. Sehgal (2002). An introduction to group rings. Springer. ISBN 1-4020-0238-6.
Nathan Jacobson (2009). Basic Algebra I. Dover. ISBN 978-0-486-47189-1.
Louis Halle Rowen (1994). Algebra: groups, rings, and fields. A K Peters. ISBN 1-56881-028-8.

[Lam-1] 램(2001), 페이지 3

[2] 로웬(1994), 페이지 99.

[3] 일부 저자들은 또한 제로 링을 도메인으로 간주한다: 폴치노 M. & Sehgal(2002년), 페이지 65를 참조하라. 일부 저자는 0-product 속성이 있는 rng에도 "도메인"이라는 용어를 적용한다. 그러한 저자들은 nZ를 각 양의 정수 n에 대한 도메인으로 간주한다: 란스키(2005년), 페이지 343을 참조한다. 그러나 통합 도메인은 항상 0이 아니라 1이 되어야 한다.

[1]

[2]

[3]

Search

도메인(링 이론)

네임스페이스

더

목차

예시 및 비예시

그룹 링과 제로 디비저 문제

적분영역의 스펙트럼

참고 항목

메모들

참조