추상지수 표기법

추상지수 표기법(slot-naming index 표기법이라고도 함)^[1]은 특정 기준의 성분이 아니라 지수를 사용하여 자신의 유형을 표시하는 텐서 및 스피너에 대한 수학적 표기법이다.^[2] 지수는 단순히 자리 표시자에 불과하며, 어떤 기준과도 관련이 없으며, 특히 비숫자적이다. 따라서 리치 미적분과 혼동해서는 안 된다. 로저 펜로즈는 아인슈타인 요약 규약의 형식적인 측면을 이용하여, 관련된 표현들의 명시적인 공분산을 보존하면서 현대의 추상적인 텐서 표기법으로 수축과 공변 분화를 기술하는 데 어려움을 보완하는 방법으로 도입되었다.^[3]

$V$ $V$ 을(를) 벡터 공간으로 하고 $V$ , $V^{*}$ $V^{*}$ ${\$ 의 $V^{*}$ 이중 공간으로 한다. Consider, for example, an order-2 covariant tensor $h\in V^{*}\otimes V^{*}$ . Then $h$ can be identified with a bilinear form on $V$ . In other words, it is a function of two arguments in $V$ which can be represented as a pair of s로트:

(\displaystyle h=h(-,-)}

추상 인덱스 표기법은 슬롯의 라벨로 지정된 것(즉, 숫자가 아닌 것) 외에 의미가 없는 라틴 문자로 슬롯을 라벨로 표시하는 것에 불과하다.

h=h_{ab}.

두 텐서 사이의 텐서 수축(또는 트레이스)은 인덱스 라벨의 반복으로 나타내며, 여기서 한 라벨은 반선호도( $인자$ V $V$ 에 해당하는 상위 지수 $V$ 이고 한 라벨은 공변량(인자 $V^{*}$ ∗ ${\$ V $^{*}})$ 이다. $V^{*}$ 따라서 예를 들어,

{\displaystyle{t_{ab}^{b}}

마지막 두 슬롯에 걸쳐 $t={t_{ab}}^{c}$ $t={t_{ab}}^{c}$ $t={t_{ab}}^{c}$ $t={t_{ab}}^{c}$ = t a b ${\displaystyle$ t={ $t_{ab}^{c}}$ 의 추적이다. 반복된 지수에 의한 긴장 수축을 나타내는 이러한 방식은 공식적으로 아인슈타인의 요약 규칙과 유사하다. 그러나 지수가 비수수가므로 합산을 의미하지는 않는다. 오히려 V $유형$ $V$ 의 $V$ 텐서 인자와 V $V^{*}$ $V^{*}$ ${\$ V $^{*}}$ 의 텐서 인수 사이의 추상적 기준 독립 추적 연산(또는 자연 쌍)에 해당한다 $V^{*}$

추상 인덱스 및 텐서 공간

일반 동종 텐서는 $V$ 과 같은 $V^{*}$ V $V$ 및 $V$ $V^{*}$ $V^{*}$ ${\$ 복사본의 텐서 제품이다.

V\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V^{*}

이 텐서 제품의 각 인자에 라벨을 붙이십시오. 각 $반대편$ V $V$ 인자에 $V$ 대해 상승 위치 및 각 공변량 $∗{\$ V $^{*}}}$ 위치에 $V^{*}$ 라틴 문자를 붙이십시오. 이렇게 하여 제품을 다음과 같이 기재한다.

V^{a}V_{b}V_{c^{d}V_{e}}

또는 간단히 말하면

{{V^{a}_{bc}}^{d}_{e}.

마지막 두 표현은 첫 번째 표현과 같은 대상을 나타낸다. 이러한 유형의 텐서는 다음과 같은 유사한 표기법을 사용하여 표시된다.

{\displaystyle {{h^{a}_{bc}}}{{{v^{a}}}}{{v^{a}}}}:{d}}^{d}}}}=V\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V^{*}}}}}}}.

수축

일반적으로 공간의 텐서 생성물에서 한 개의 반대변수와 한 개의 공변인자가 발생할 때마다 연관된 수축(또는 트레이스) 지도가 있다. 예를 들어.

\mathrm {Tr} _{12:V\time V^{*}\time V^{*}\time V^{*}\to V^{*}\time V^{*}\time V^{*}}}

텐서 제품의 처음 두 공간에 대한 추적이다.

\mathrm {Tr} _{15:V\time V^{*}\time V^{*}\time V^{*}\to V^{*}\time V^{*}\time V^{*

첫 번째와 마지막 공간의 흔적이야

이러한 추적 연산은 지수의 반복에 의해 텐더에 표시된다. 따라서 첫 번째 추적 맵은 다음과 같이 제공된다.

\mathrm{Tr} _{12}:{h^{a}}_{bc}^{d}}\mapsto {{h^{a}}_{ac}}^{d}}}}}{e}}}}}}

그리고 둘째로

\mathrm {Tr} _{15:{h^{a}_{bc}^{d}}}{d}}\mapsto {{h^{a}}}}{{d}}}}}}.

브레이딩

단일 벡터 공간에 있는 텐서 제품에 연결된 브레이딩 맵이 있다. 예를 들어 브레이딩 맵은

\tau _{(12):V\oth V\wrightarrow V\oth V

두 텐서 인자를 교환한다(단순 텐서에서의 동작은 $\tau _{(12)}(v\otimes w)=w\otimes v$ ( $\tau _{(12)}(v\otimes w)=w\otimes v$ ) $\tau _{(12)}(v\otimes w)=w\otimes v$ ( $\tau _{(12)}(v\otimes w)=w\otimes v$ $\tau _{(12)}(v\otimes w)=w\otimes v$ w $\tau _{(12)}(v\otimes w)=w\otimes v$ ) $\tau _{(12)}(v\otimes w)=w\otimes v$ = $\tau _{(12)}(v\otimes w)=w\otimes v$ $\tau _{(12)}(v\otimes w)=w\otimes v$ $\tau _{(12)}(v\otimes w)=w\otimes v$ ${\displaystyle \tau_{(12)(v\otimes w)=w\otimes v}).$ 일반적으로 브레이딩 맵은 대칭 그룹의 요소들과 일대일 대응으로 이루어지며, 텐서 인자를 허용함으로써 작용한다. 여기서는 ${\$ $\$ $tau_$ ${\$ $sigma}}$ 순열과 관련된 브레이딩 맵을 나타내기 위해 $\tau _{\sigma }$ $\sigma$ {\ $displaystyle \sigma$ }( $\sigma$ 해부식 주기 순열의 산물로 표시됨)을 사용한다.

예를 들어, 비앙치 정체성을 표현하기 위해 브레이딩 맵은 미분 기하학에서 중요하다. 여기서 $R$ $R$ 이( $V^{*}\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V$ ) V $V^{*}\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V$ $V^{*}\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V$ ∗ $V^{*}\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V$ $V^{*}\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V$ V $V^{*}\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V$ { V $display$ V {\ $displaystyle V^{*}\$ otimes V $^{*}\otimes V}$ 에서 텐서로 간주되는 리만 텐서(리만 텐서)를 가리키도록 $R$ 하자 $V^{*}\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V$ 그러면 첫 번째 비안치 정체성이 주장하게 된다.

R+\tau _{(123)R+\tau _{(132)R=0.

추상지수 표기법은 브레이딩 처리방법은 다음과 같다. 특정 텐서 제품에서 추상적 지수의 순서는 고정되어 있다(보통 이것은 사전 편찬 순서). 그런 다음 땋은 부분은 지수의 라벨을 허용함으로써 표기법으로 표현된다. 따라서, 예를 들어, 리만 텐서(Riemann tensor)와 함께.

R={R_{abc}}^{d}\in {V_{abc}}^{d}=V^{*}\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V,}}}}}

비안치 정체성이 되다

{\displaystyle{R_{abc}^{d}+{R_{cab}^{d}+{R_{bca}^{d}=0.}

대칭 및 대칭

일반 텐서는 대칭 또는 대칭일 수 있으며, 표기법에 따른다.

우리는 그 표기법을 예시로 증명한다. $\omega _{abc}$ (0,3) 텐서 $\omega _{abc}$ a b ${\$ 여기서 S $\mathrm {S} _{3}$ ${\$ 는 세 원소의 대칭 그룹이다 $\mathrm {S} _{3}$ .

\displaystyle \omega _{[filename]:={\frac {1}{3!}}}\sum _{\sigma \in \mathrm {S} _{3}-^{\text{sgn}(\sigma )}\omega _{\sigma(a)\sigma(b)\sigma(c)}}}}}}}

마찬가지로 다음과 같이 대칭할 수 있다.

\displaystyle \omega _{(수평):={\frac {1}{3!}}}\sum _{\sigma \in \mathrm {S} _{3}\오메가 _{\sigma (a)\sigma (c)}}}}

참고 항목

참조

^ Kip S. Thorne and Roger D. Blandford (2017). Modern Classical Physics: Optics, Fluids, Plasmas, Elasticity, Relativity, and Statistical Physics. Princeton University Press. ISBN 978-0-69115902-7.
^ Roger Penrose (2007). The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe. Vintage. ISBN 978-0-67977631-4.
^ Roger Penrose and Wolfgang Rindler (1984). Spinors and Space-Time, Volume 1: Two-Spinor Calculus and Relativistic Fields. Cambridge University Press. ISBN 978-0-52133707-6.

[Thorne2017-1] Kip S. Thorne and Roger D. Blandford (2017). Modern Classical Physics: Optics, Fluids, Plasmas, Elasticity, Relativity, and Statistical Physics. Princeton University Press. ISBN 978-0-69115902-7.

[Penrose2007-2] Roger Penrose (2007). The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe. Vintage. ISBN 978-0-67977631-4.

[Penrose1984-3] Roger Penrose and Wolfgang Rindler (1984). Spinors and Space-Time, Volume 1: Two-Spinor Calculus and Relativistic Fields. Cambridge University Press. ISBN 978-0-52133707-6.

[1]

[2]

[3]

show v t 로저 펜로즈
책들	황제의 새로운 마음 (1989년) 마음의 그림자(1994) 현실로 가는 길(2004) 시간 주기(2010년) 우주의 새로운 물리학의 패션, 믿음, 판타지 (2016)
공동독서	공간과 시간의 특성 (Stephen Hawking과 함께)(1996) The Large, the Small and Human Mind (Abner Shimony, Nancy Cartwright, Stephen Hawking과 함께) (1997년) White Mars 또는 The Mind Set Free (Brian W와 함께) 알디스)(1999년)
학술작품	상대성에서의 미분위상 기법(1972) 스피너와 공간-시간: 제1권, 2-스파이너 미적분 및 상대론적 필드 (볼프강 린들러 포함) (1987년) Space-Time: Volume 2, Space-Time 기하학의 Spinor 및 Twistor 방법 (Wolfgang Rindler 포함) (1988)
개념	트위스터 이론 스핀 네트워크 추상지수 표기법 블랙홀 폭탄 스페이스타임의 기하학 우주 검열 웨일 곡률 가설 펜로스 불평등 양자역학의 펜로즈 해석 무어-펜로즈 역 뉴먼-펜로스 형식주의 펜로즈 도표 펜로스-호킹 특이점 이론들 펜로즈 부등식 펜로즈 공정 펜로즈 타일링 펜로즈 계단 펜로즈 그래픽 표기법 펜로즈 변환 펜로스-테렐 효과 조정된 목표 감소 /펜로스-루카스의 주장 펠릭스 실험 갇힌 표면 안드로메다 역설 등차 순환 우주론
관련	리오넬 펜로즈(아버지) 올리버 펜로즈 (오빠) 조나단 펜로스 (형) 셜리 호지슨(누나) 존 베레스포드 레테스(할아버지) 조명 문제 양자마인드

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