순환 순열

수학에서, 특히 그룹 이론에서,^[1]^[2] 순환 순열은 단일 주기로 구성된 순열입니다.순환 순열이 ^[3]k개의 원소를 갖는 경우 k개의 주기라고 할 수 있습니다.일부 저자는 이 정의를 확장하여 최대 하나의 사소한 주기 ^[3]^[4]외에도 고정점이 있는 순열을 포함합니다.주기 표기법에서 순환 순열은 괄호로 둘러싸인 원소 목록으로 순열 순서대로 표시됩니다.

예를 들어, 1~3, 3~2, 2~4, 4~1을 보내는 순열(1 3 2 4)은 4주기이고, 일부 저자들은 1~3, 3~2, 2~1, 4~4를 보내는 순열(1 3 2)(4)을 3주기로 간주합니다.반면에, 1~3, 3~1, 2~4, 4~2를 보내는 순열(13)(24)은 쌍 {1, 3} 및 {2, 4}을 별도로 순열하기 때문에 순환 순열이 아닙니다.

순환 순열에 의해 고정되지 않는 원소들의 집합을 순환 ^{[citation needed]}순열의 궤도라고 합니다.무한히 많은 요소의 모든 순열은 분리된 궤도에서 순환 순열로 분해될 수 있습니다.

순열의 개별 순환 부분은 사이클이라고도 합니다. 따라서 두 번째 예제는 3-사이클과 1-사이클(또는 고정점)로 구성되고 세 번째 예제는 두 개의 2-사이클로 구성됩니다.

정의.

순환 순열의 정확한 정의에 대한 광범위한 합의는 없습니다.일부 저자들은 $집합$ X의 순열 $δ$ 를 순환으로 정의합니다. "연속 적용이 순열 집합의 각 개체를 다른 모든 개체의 위치를 통해 순차적으로 취할 것"^[1]이거나, 사이클 표기법에서의 표현이 단일 ^[2]주기로 구성된 경우 동등하게.다른 것들은 고정점을 ^[3]^[4]허용하는 보다 허용적인 정의를 제공합니다.

X의 $비어$ 있지 않은 $부분$ 집합 S는 S에 $대한$ $σ의 제한$ 이 $\sigma$ 다음의 순환 순열이라면 $\sigma$ σ의 $\sigma$ $주기$ 이다.S $만약$ X가 유한하다면, 그것의 주기는 분리되고, 그들의 $합$ 은 X입니다.즉, 이들은 $π$ 의 주기 분해라고 불리는 파티션을 형성합니다 $. 그래서$ 좀 더 허용적인 정의에 따르면 $X$ 의 순열은 X가 고유한 주기일 $경우$ 에만 순환합니다.

예를 들어, 순환 표기법과 두 줄 표기법(두 가지 방식으로)으로 작성된 순열은 다음과 같습니다.

디스플레이(*style{aligned}(1\4\6\&8\3\7)(2)\&={pmatrix}1&2&3&5&6&6&8&1\end{pmatrix}\&4&8&7&5&8&8&7}{pmatrix}\&6&8&8&7&8&8&7}{pmatrix}&8&8&8&8&8&8&8&8&8&7}{end{pmatmatmatrix}.

에는 오른쪽에 사이클 다이어그램이 표시된 6사이클과 1사이클이 각각 1개씩 있습니다.일부 저자들은 이 순열을 주기적으로 간주하는 반면 다른 저자들은 그렇지 않습니다.

두 개의 고정점(1주기)과 6주기를 갖는, 확대된 정의에 대해 순환하지만 제한된 정의에는 순환하지 않는 순열

확대된 정의를 사용하면 단일 주기로 구성되지 않는 순환 순열이 있습니다.

좀 더 공식적으로, 확대된 정의의 $\sigma :X\to X$ , 집합 X의 순열 $\sigma :X\to X$ $σ$ \ $displaystyle$ $\$ displaystyle \displaystyle \displaystyle $\$ display $\to$ X $\sigma :X\to X$ 이 생성된 부분군의 X에 대한 작용이 하나 이상의 ^[5]원소와 함께 최대 하나의 궤도에 있을 경우, X $\sigma :X\to X$ σ $\$ $\sigma :X\to X$ \displaystyle \displaysyle \displaysyle X $\$ to X}라고 $\sigma$ $\sigma$ 합니다.이 개념은 X가 유한 집합일 때 가장 일반적으로 사용되며, 가장 큰 궤도인 S도 유한합니다.0({displaystyle s_{0}}을 S의 임의 요소로 하고 임의의 i∈ Z에 대해 i = σ i(s 0) {{displaystyle s_{i}=\displaystyle ^{i}(s_{0})를 입력합니다. S가 유한할 경우, s = 0(s)인 ≥1displaystyle k\geq 1(s)이 존재합니다. $S=\{s_{0},s_{1},\ldots ,s_{k-1}\}$ S $=$ { $S=\{s_{0},s_{1},\ldots ,s_{k-1}\}$ 0 $S=\{s_{0},s_{1},\ldots ,s_{k-1}\}$ $S=\{s_{0},s_{1},\ldots ,s_{k-1}\}$ $S=\{s_{0},s_{1},\ldots ,s_{k-1}\}$ $S=\{s_{0},s_{1},\ldots ,s_{k-1}\}$ - $S=\{s_{0},s_{1},\ldots ,s_{k-1}\}$ }{\ $displaystyle$ S=\{ $s_{0}, s_{1}},$ \ $ldots, s_{k-1$ 그리고 $σ{displaystyle$ \displaystyle $}$ 는 $\sigma$ 다음과 같이 정의된 순열입니다.

\sigma (s_{i})=s_{i+1}

◦

\sigma (s_{i})=s_{i+1}

(

\sigma (s_{i})=s_{i+1}

=

\sigma (s_{i})=s_{i+1}

+

({

(

s_{i

})=

s_{i+1}},

0

\sigma (s_{i})=s_{i+1}

≤ i < k

그리고 X $∖$ $S$ 의 $X\setminus S$ 의 요소에 대해 $\sigma (x)=x$ $\sigma$ ( $\sigma (x)=x$ ) $=$ $({$ $displaystyle$ \displaystyle (x)= $x}.$ $σ$ $\disetminus S$ $}$ 에 $\sigma$ 의해 고정되지 않은 요소는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

s_{0}\mapsto s_{1}\mapsto s_{2}\mapsto \cdots \mapsto s_{k-1}\mapsto s_{k}=s_{0}

0

s_{0}\mapsto s_{1}\mapsto s_{2}\mapsto \cdots \mapsto s_{k-1}\mapsto s_{k}=s_{0}

s_{0}\mapsto s_{1}\mapsto s_{2}\mapsto \cdots \mapsto s_{k-1}\mapsto s_{k}=s_{0}

1

s_{0}\mapsto s_{1}\mapsto s_{2}\mapsto \cdots \mapsto s_{k-1}\mapsto s_{k}=s_{0}

s_{0}\mapsto s_{1}\mapsto s_{2}\mapsto \cdots \mapsto s_{k-1}\mapsto s_{k}=s_{0}

s_{0}\mapsto s_{1}\mapsto s_{2}\mapsto \cdots \mapsto s_{k-1}\mapsto s_{k}=s_{0}

s_{0}\mapsto s_{1}\mapsto s_{2}\mapsto \cdots \mapsto s_{k-1}\mapsto s_{k}=s_{0}

s_{0}\mapsto s_{1}\mapsto s_{2}\mapsto \cdots \mapsto s_{k-1}\mapsto s_{k}=s_{0}

k -

s_{0}\mapsto s_{1}\mapsto s_{2}\mapsto \cdots \mapsto s_{k-1}\mapsto s_{k}=s_{0}

↦

s_{0}\mapsto s_{1}\mapsto s_{2}\mapsto \cdots \mapsto s_{k-1}\mapsto s_{k}=s_{0}

k

=

s_{0}\mapsto s_{1}\mapsto s_{2}\mapsto \cdots \mapsto s_{k-1}\mapsto s_{k}=s_{0}

0 {{

displaystyle s_{0}\mapstos s_{1}\mapstos s_{2}\mapsto \cdots \mapstos s_{k}=s_{0

순환 순열은 콤팩트 주기 표기법 σ $=$ ( $\sigma =(s_{0}~s_{1}~\dots ~s_{k-1})$ $\sigma =(s_{0}~s_{1}~\dots ~s_{k-1})$ $\sigma =(s_{0}~s_{1}~\dots ~s_{k-1})$ 1 … $\sigma =(s_{0}~s_{1}~\dots ~s_{k-1})$ - $\sigma =(s_{0}~s_{1}~\dots ~s_{k-1})$ ) \ $displaystyle$ \displaystyle =( $s_{0}~s_{1}~\$ displaystyle ~ $s_{k-1}}}($ 이 표기법에서는 요소 사이에 쉼표가 없으므로 k-discompactle과 혼동되지 않습니다)를 사용하여 작성할 수 있습니다.주기의 길이는 가장 큰 궤도의 요소의 수입니다.길이 k의 주기는 k-주기라고도 합니다.

1주기의 궤도는 순열의 고정점이라고 불리지만, 순열로서 매 1주기는 동일한 ^[6]순열입니다.주기 표기법을 사용할 경우 혼동이 ^[7]없을 때 1주기가 생략되는 경우가 많습니다.

기본 속성

대칭군에 대한 기본적인 결과 중 하나는 어떤 순열도 분리된 주기(더 정확하게는 분리된 궤도를 가진 주기)의 곱으로 표현될 수 있다는 것입니다. 그러한 주기는 서로 통근하며, 순열의 표현은 ^[a]주기 순서에 따라 고유합니다.따라서 이 식(사이클 유형)에서 사이클 길이의 다중 집합은 순열에 의해 고유하게 결정되고 대칭 그룹에서 순열의 서명 및 켤레 클래스 모두가 그것에 ^[8]의해 결정됩니다.

대칭군_n S의 k-사이클 수는 1 $1\leq k\leq n$ ≤ $1\leq k\leq n$ ≤ $1\leq k\leq n$ { $displaystyle$ 1 $\leq$ k $\leq$ n $1\leq k\leq n$ 에 $1\leq k\leq n$ 다음과 같은 동등한 공식으로 주어집니다.

display {\style {n}{k}(k-1)!=nbfrac {n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k}}=nbfrac {n!}{(n-k)!k}}.}

k-사이클에는 서명(-1)^{k − 1}이 있습니다.

주기의 역수 δ = (s 0 s 1 … sk - 1 ) \displaystyle \displaystyle = (s_{0}~s_{1}~\displaystyle ~s_{k-1})은 (a) 2(b) = (s_{k-1}~\displaystyle ^{-1})의 순서를 거꾸로 하여 주어진다.분리된 사이클이 통근하기 때문에 분리된 사이클의 곱의 역방향은 각 사이클을 개별적으로 반전시킨 결과입니다.

트랜스포지션

두 개의 원소만 있는 주기를 전치라고 합니다.예를 들어, 2와 4를 교환하는 순열 $π =$ ( $\pi ={\begin{pmatrix}1&2&3&4\\1&4&3&2\end{pmatrix}}$ $\pi ={\begin{pmatrix}1&2&3&4\\1&4&3&2\end{pmatrix}}$ 3 $\pi ={\begin{pmatrix}1&2&3&4\\1&4&3&2\end{pmatrix}}$ 1 $\pi ={\begin{pmatrix}1&2&3&4\\1&4&3&2\end{pmatrix}}$ $\pi ={\begin{pmatrix}1&2&3&4\\1&4&3&2\end{pmatrix}}$ 2 $){$ = begin ${\{pmatrix }1&2&3&4&3&2\end{pmatrix}}$ 입니다 $\pi ={\begin{pmatrix}1&2&3&4\\1&4&3&2\end{pmatrix}}$ .2사이클이므로 $\pi =(2,4)$ $=$ ( $\pi =(2,4)$ $)$ \ $displaystyle \pi$ = ( $2, 4)$ 로 $\pi =(2,4)$ 표기할 수 있습니다.

특성.

모든 순열은 트랜스포지션의 구성(생성물)으로 표현될 수 있습니다. 공식적으로 트랜스포지션은 ^[9]그룹의 생성기입니다.실제로, 순열되는 집합이 어떤 $정수$ n에 대해 { $1, 2, ..., n$ }일 때, 모든 순열은 인접한 위치 $(1~2),(2~3),(3~4),$ ( $12$ ( $(1~2),(2~3),(3~4),$ ( $),$ ( $1~2),$ ( $2~3),$ ( $3~4)$ 의 $(1~2),(2~3),(3~4),$ 곱으로 표현될 수 있습니다.이것은 임의의 전치가 인접한 전치의 곱으로 표현될 수 있기 때문입니다.구체적으로 k를 한 번에 한 $단계씩$ 이동한 다음 l을 k가 $있던$ 위치로 다시 $이동$ 하여 k $k<l$ < $k<l$ { $displaystyle$ k $<l}$ 의 $(k~~l)$ $k < l$ 전치 $k$ ~~ $l)$ 를 표현할 수 있습니다.

{\displaystyle(k~~l)=(k~~k+1)\cdot(k+1~k+2)\cdot(l-1~l-1)\cdot(k~k+1)}

치환의 곱으로 치환의 분해는, 예를 들어, 치환을 분리 주기의 곱으로 쓴 다음, 길이 3 이상의 각 사이클을 전치와 길이 1 이하의 곱으로 반복적으로 분할함으로써 얻어집니다.

(a~b~c~d~\ldots ~y~z)=(a~b)\cdots (b~c~d~\ldots ~y~z)

즉, 초기 요청은 c, displaystyle c, y를 z, z, z, z를 .displaystyle a로 이동시키는 것이다연산자 표기법에서 일반적이며, 순열 항목의 규칙을 따릅니다.이렇게 하면 z ${displaystyle$ z}가 $z$ b $,{displaystyle$ b $}$ 의 $b,$ 로 $z$ 하므로 첫 번째 순열 후 요소 ${displaystyle$ a $}$ $z$ z ${displaystyle$ z}가 $b,$ $z$ 아직 최종 위치에 있지 않습니다.그 후에 실행된 전치 $(a~b),$ b $(a~b),$ {\ $displaystyle$ $(a~b)}$ 는 $(a~b),$ 처음에 $디스플레이 스타일$ 와 $a$ $z$ 를 바꾸기 위해b{ $displaystyle$ b $}$ 의 $b$ 인덱스로 z ${displaystyle$ z}를 $z$ 지정합니다 $.$ $}$

실제로 대칭군은 콕서터 군이며, 이는 2차 원소(인접 전이)에 의해 생성되며, 모든 관계가 특정한 형태를 가지고 있다는 것을 의미합니다.

대칭 그룹에 대한 주요 결과 중 하나는 주어진 순열을 트랜스포지션으로 분해하는 모든 것이 짝수 개의 트랜스포지션을 가지거나 홀수 ^[10]개의 트랜스포지션을 가지고 있다고 말합니다.이를 통해 순열의 패리티가 잘 정의된 개념이 될 수 있습니다.

참고 항목

Cycle sort – 정렬할 순열을 Cycle로 분해할 수 있다는 생각에 기초한 정렬 알고리즘으로, 개별적으로 회전하여 정렬된 결과를 얻을 수 있습니다.
주기 및 고정점
정수의 순환 순열
주기 표기법
단백질의 원형 순열
피셔-예이츠 셔플

메모들

^ 주기 표기법은 고유하지 않습니다. 각 k-주기는 궤도에서 s $s_{0}$ ({{ $displaystyle s_{0}})$ 의 $s_{0}$ 선택에 따라 k-주기 자체가 다른 방식으로 작성될 수 있습니다.

레퍼런스

^ ^a ^b Gross, Jonathan L. (2008). Combinatorial methods with computer applications. Discrete mathematics and its applications. Boca Raton, Fla.: Chapman & Hall/CRC. p. 29. ISBN 978-1-58488-743-0.
^ ^a ^b Knuth, Donald E. (2002). The Art of Computer Programming. Addison-Wesley. p. 35.
^ ^a ^b ^c Bogart, Kenneth P. (2000). Introductory combinatorics (3 ed.). London: Harcourt Academic Press. p. 554. ISBN 978-0-12-110830-4.
^ ^a ^b Rosen, Kenneth H. (2000). Handbook of discrete and combinatorial mathematics. Boca Raton London New York: CRC press. ISBN 978-0-8493-0149-0.
^ Fraleigh 1993, 페이지 103
^ Rotman 2006, 페이지 108
^ Sagan 1991, 2페이지
^ Rotman 2006, 117페이지, 121페이지
^ Rotman 2006, 118페이지, Prop. 2.35
^ Rotman 2006, 122페이지

원천

Anderson, Marlow 및 Feil, Todd(2005), 추상 대수학의 첫 번째 과정, Chapman & Hall/CRC; 2판.ISBN 1-58488-515-7입니다.
Fraleigh, John (1993), A first course in abstract algebra (5th ed.), Addison Wesley, ISBN 978-0-201-53467-2
Rotman, Joseph J. (2006), A First Course in Abstract Algebra with Applications (3rd ed.), Prentice-Hall, ISBN 978-0-13-186267-8
Sagan, Bruce E. (1991), The Symmetric Group / Representations, Combinatorial Algorithms & Symmetric Functions, Wadsworth & Brooks/Cole, ISBN 978-0-534-15540-7

외부 링크

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[8] 주기 표기법은 고유하지 않습니다. 각 k-주기는 궤도에서 s $s_{0}$ ({{ $displaystyle s_{0}})$ 의 $s_{0}$ 선택에 따라 k-주기 자체가 다른 방식으로 작성될 수 있습니다.

[:0-1] Gross, Jonathan L. (2008). Combinatorial methods with computer applications. Discrete mathematics and its applications. Boca Raton, Fla.: Chapman & Hall/CRC. p. 29. ISBN 978-1-58488-743-0.

[:1-2] Knuth, Donald E. (2002). The Art of Computer Programming. Addison-Wesley. p. 35.

[:2-3] Bogart, Kenneth P. (2000). Introductory combinatorics (3 ed.). London: Harcourt Academic Press. p. 554. ISBN 978-0-12-110830-4.

[:3-4] Rosen, Kenneth H. (2000). Handbook of discrete and combinatorial mathematics. Boca Raton London New York: CRC press. ISBN 978-0-8493-0149-0.

[5] Fraleigh 1993, 페이지 103

[6] Rotman 2006, 페이지 108

[7] Sagan 1991, 2페이지

[9] Rotman 2006, 117페이지, 121페이지

[10] Rotman 2006, 118페이지, Prop. 2.35

[11] Rotman 2006, 122페이지

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