곡률형

미분 기하학에서 곡률 형태는 주요 번들에 대한 연결의 곡률을 설명한다.리만 기하학에서 곡률 텐서(tensor)를 대체하거나 일반화하는 것으로 생각할 수 있다.null

정의

Lie 대수 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$을$($를) 가진 Lie 그룹이 되고, P → B는 G번들 주체가 된다.옴을 P에 대한 Ehresmann 연결로 한다($G{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\${\$mathfrak {g}$ - 값이 P에 있는 단일 양식임).null

그러면 곡률 양식은 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$에 의해 정의된 P의 값 2-form이다.

${\displaystyle \D\omega +{1 \over 2}[\omega \wedge \omega ]=D\omega.}$

여기서 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$은(는) 외부 파생상품을 의미하며$,{\displaystyle }$ [ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle ]}$ ] ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [\cdot \wedge \cdot ]$은 "Lie 대수값 형식"에 정의되어$$ 있으며, D는 외부 공변량 파생상품을 의미한다.다른 말로 ^[1]하자면

${\displaystyle \,\Oomega(X,Y)=d\omega(X,Y)+{1 \over 2}[\omega(X),\omega(Y)]}}$

여기서 X, Y는 P와 접선 벡터다.

Ω에 대한 다른 표현도 있다: X, Y가 P의 수평 벡터 필드인 경우^[2],

$\displaystyle \sigma \Oomega(X,Y)=-[X,Y]=-[X,Y]+h[X,Y]}}$

여기서 hZ는 Z의 수평 구성요소를 의미하며, 오른쪽에서 이를 생성하는 수직 벡터장과 Lie 대수적 요소(근본적 벡터장)를 확인하였으며, $,}{\displaystyle \sigma \in \{1,2\}$는 외부 파생상품 공식에서 관례에 의해 사용되는 정규화 인자의 역이다$$.null

연결은 곡면성이 사라지면 평탄하다고 한다: Ω = 0. 마찬가지로 구조 그룹을 동일한 기초 그룹으로 축소할 수 있지만 이산 위상과의 경우 평탄하다.null

벡터 번들의 곡면성 형태

E → B가 벡터 번들이라면 Ω도 1-폼의 행렬로 생각할 수 있고 위의 공식은 E. Cartan의 구조 방정식이 된다.

$\displaystyle \,\Oomega =d\omega +\omega \wedge \omega,}$

여기서 $\wedge {\displaystyle }$ ${\displaystyle \wedge}$은(는) 쐐기 제품이다.More precisely, if ${\displaystyle {\omega ^{i}}_{j}}$ and ${\displaystyle {\Omega ^{i}}_{j}}$ denote components of ω and Ω correspondingly, (so each ${\displaystyle {\omega ^{i}}_{j}}$ is a usual 1-form and each ${\displaystyle {\Omega ^{i}}_{j}}$ is a usual 2-form) 그러면

${\displaystyle \Oomega_{j}^{i}=d{\omega^{i}_{j}+\sum _{k}{k}}{k}}\wedge{\omega ^{k}}_{j}.}$

예를 들어, 리만 다지관의 접선다발의 경우, 구조 그룹은 O(n)이고 Ω은 O(n), 즉 대칭 행렬의 리 대수에서 값을 갖는 2-형식이다.이 경우 Ω 형식은 곡률 텐서(즉, 곡률 텐서)의 대체 설명이다.

${\displaystyle \,R(X,Y)=\Oomega(X,Y),}$

리만 곡률 텐서 표준 표기법을 사용한다.null

비안치 정체성

프레임 번들의 표준 벡터 값 1 형식인$$ {$${\$displaystyle \theta}$이(가) $\omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \tega$ $}$인 경우, 연결$$ 형식의 비틀림 $\omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \omega$ }은 구조 방정식에 의해 정의된 벡터 값 2 형식이다$$.

${\displaystyle \d\theta +\omega \wedge \theta =D\theta ,}$

여기서 위 D는 외부 공변량 파생물을 나타낸다.null

최초의 비앙치 정체는 형태를 취한다.

$D\ 디스플레이 스타일 D\세타 =\Oomega \wedge \theta .}$

두 번째 비앙치 정체는 형태를 취한다.

${\displaystyle \,D\Oomega =0}$

주요 번들의 모든 연결에 더 일반적으로 유효하다.null

메모들

참조

• 고바야시 쇼시치와 노미즈 가쓰미(1963) 미분 기하학의 기초, 볼.나, 2.5장 곡률 형태와 구조 방정식, 페이지 75, 와일리 인터사이언스.

참고 항목

• 연결(기본 번들)
• 커브드 스페이스타임 수학 기본소개
• 체르-시몬스 양식
• 리만 다지관의 곡률
• 게이지 이론