Mnogostrukost

Mnogostrukost je apstraktan topološki prostor u kome svaka tačka ima okolinu koja podseća na euklidski prostor, ali čija globalna struktura može biti komplikovanija. Kada se proučavaju mnogostrukosti, pojam dimenzije je važan. Na primer, prave su jednodimenzione, a ravni su dvodimenzione.

U jednodimenzionoj mnogostrukosti (jedan-mnogostrukost), svaka tačka ima okolinu koja izgleda kao segment prave. Primeri jedan-mnogostrukosti su prava, krug i dva odvojena kruga. Kod dva-mnogostrukosti, svaka tačka ima okolinu koja podseća na disk. Kao primeri se mogu uzeti ravan, površina sfere i površina torusa.

Mnogostrukosti su važni objekti u matematici i fizici, jer omogućavaju da se komplikovanije strukture izraze i shvate u okvirima relativno dobro razumljivih svojstava jednostavnijih prostora.

Često se na mnogostrukostima definišu dodatne strukture. Primeri mnogostrukosti sa dodatnim strukturama su diferencijabilne mnogostrukosti, na kojima možemo da vršimo matematičku analizu, Rimanove mnogostrukosti, na kojima mogu da se definišu razdaljine i uglovi, simplektičke mnogostrukosti koje služe kao fazni prostor u klasičnoj mehanici, i četvorodimenzione pseudo-Rimanove mnogostrukosti, koje modeluju prostor-vreme u opštoj relativnosti.

Da bi se u potpunosti razumela matematika koja leži u osnovi mnogostrukosti, neophodno je poznavati elementarne koncepte koji se tiču skupova i funkcija, a od koristi je imati i radno znanje iz analize i topologije.

Kružnica je najjednostavniji primer topološke mnogostrukosti posle prave. Topologija ignoriše savijanja, tako da mali odeljak je kružnice jednak malom delu linije. Posmatrajmo na primer, gornju polovinu jedinične kružnice (kružnice sa poluprečnikom 1), x² + y² = 1, gde su y koordinate pozitivne (označeno žutom na slici 1). Svaka tačka ove polukružnice se na jedinstven način može opisati svojom x koordinatom. Tako se projektovanjem na prvu koordinatu dobija neprekidno preslikavanje iz polukruga i otvorenog intervala (−1, 1):

${\displaystyle \chi _{\mathrm {gore} }(x,y)=x\,}$

i slično

${\displaystyle \chi _{\mathrm {desno} }(x,y)=y.\,}$

Takva funkcija se zove karta. Postoje odgovarajuće karte za donji (crvena), levi (plava) i desni (zelena) deo kružnice. Zajedno ovi delovi pokrivaju celu kružnicu i četiri karte formiraju atlas date kružnice.

Gornja i desna karta se preklapaju: njihov presek leži u četvrtini kružnice gde su i x i y koordinate pozitivne. Karte χ_gore i χ_desno obe preslikavaju ovaj deo bijektivno na interval (0, 1). Stoga se može konstruisati funkcija T sa (0, 1) na samog sebe, koja prvo invertuje žutu kartu da bi došla do kruga, a zatim koristi zelenu kartu nazad na interval. Neka je a neki broj iz (0, 1), onda:

${\displaystyle T(a)=\chi _{\mathrm {desno} }\left(\chi _{\mathrm {gore} }^{-1}(a)\right)=\chi _{\mathrm {desno} }\left(a,{\sqrt {1-a^{2}}}\right)={\sqrt {1-a^{2}}}.}$

Takva funkcija se zove tranziciono preslikavanje.

Gornja, donja, leva i desna karta pokazuju da je kružnica mnogostrukost, ali one ne čine jedini mogući atlas kružnice. Karte ne moraju da budu geometrijske projekcije, a njihov broj je donekle stvar izbora. Posmatrajmo karte

${\displaystyle \chi _{\mathrm {minus} }(x,y)=s={y \over {1+x}}}$

i

${\displaystyle \chi _{\mathrm {plus} }(x,y)=t={y \over {1-x}}.}$

Ovde je s nagib linije kroz tačku nakoordinatama (x, y) i fiksiranu pivot tačku (−1, 0); t je slika u ogledalu, sa pivot tačkom (+1, 0). Inverzno preslikavanje sa s na (x, y) glasi

${\displaystyle x={{1-s^{2}} \over {1+s^{2}}},\qquad y={{2s} \over {1+s^{2}}};}$

i lako se može proveriti da x²+y² = 1 za sve vrednosti nagiba s. Ove dve karte čine novi atlas za kružnicu, sa

${\displaystyle t={1 \over s}.}$

Svaka karta izuzima jednu tačku, ili (−1, 0) za s ili (+1, 0) za t, tako da nijedna karta sama po sebi nije dovoljna da pokrije celu kružnicu. Nije moguće pokriti celu kružnicu jednom kartom, jer je kružnica dvostruko povezana, a linija je prosto povezana. Treba imati u vidu da je moguće konstuisati kružnicu zalepljivanjem jednog odsečka prave, ali ovo ne čini kartu, jer će se deo kruga preslikavati u obe zalepljene oblasti u isto vreme.

Beskonačno dimenzione mnogostrukosti

Definicija mnogostrukosti se može generalizovati izostavljanjem zahteva konačne dimenzionalnosti. Stoga je jedna beskonačno dimenziona mnogostrukost topološki prostor koji je lokalno homeotrofan na topološki vektorski prostor. Ovo izostavljanje tačka-skup aksioma, omogućava više kardinalnosti i ne-Hausdorfove mnogostrukosti. Izostavljanje konačnih dimenzija omogućava da se strukture kao što su Hilbertove mnogostrukosti modeluju na Hilbertovim prostorima, Banahove mnogostrukosti na Banahovim prostorima, i Frešeove mnogostrukosti na Frešeovim prostorima. Obično se relaksira jedan ili drugi uslov: mnogostrukosti sa tačka-skup aksiomima se izučavaju u opštoj topologiji, dok se beskonačno dimenzionalne mnogostrukosti izučavaju u funkcionalnoj analizi.

Orbistrukosti

Orbistrukost je generalizacija mnogostrukosti koja omogućava izvesne vrste „singularnosti” u topologiji. Grubo govoreći, to je prostor koji lokalno izgleda kao kvocijent nekog jednostavnog prostora (e.g. Euklidovog prostora) putem dejstva raznih konačnih grupa. Singulariteti korespondiraju sa fiksnim tačkama grupnih akcija, i te akcije moraju da budu kompatibilne u izvesnom smislu.

Algebarske varijante i šeme

Nesingularni algebarski varijeteti nad realnim ili kompleksnim brojevima su mnogostrukosti. Ovo se generalizuje prvo tako što se dozvoljavaju singularnosti, a zatim se dozvoljavaju različita polja, i treće emulacijom dopunjene konstrukcije mnogostrukosti: kao što je mnogoznačnost spojena u celinu polazeći od otvorenih podskupovima Euklidovog prostora, algebarska mnogoznačnost je spojena u celinu od afinih algebarskih varijeteta, koji su nulti skupovi polinoma nad algebarski zatvorenim poljima. Sheme su isto tako spojene u celinu od afinih shema, koje su generalizacije algebarskih varijeteta. Obe su povezane sa mnogostrukostima, ali su konstruisane algebarski koristeći snopove umesto atlasa.

Zbog singularnih tačaka, varijetet generalno nije mnogostrukost, mada su lingvistički francusko variété, nemačko Mannigfaltigkeit i englesko manifold uglavnom sinonimni. U francuskom algebarski varijetet se naziva une variété algébrique (algebarski varijetet), dok se glatka mnogostrukost naziva une variété différentielle (diferencijalni varijetet).

Slojevit prostor

„Slojevit prostor” je prostor koji se može podeliti u komade („slojeve”), pri čemu je svaki sloj mnogostrukost, i slojevi se uklapaju na propisane načine (formalno, filtracijom putem zatvorenih podskupova). Postoje razne tehničke definicije. Jedna od značajnijih je Vitnijev slojeviti prostor (pogledajte Vitnijeve uslove^[1][2]) glatke mnogostrukosti i tompološki slojevit prostor za topološke mnogostrukosti.^[3][4] U osnovne primere se ubrajaju mnogostrukost sa granicom (gornje dimenzionalna mnogostrukost i granica kodimenzije 1) i mnogostrukost sa uglovima (gornje dimenzionalna mnogostrukost, granica kodimenzije 1, kodimenzija 2 ugla). Vitnijevi slojeviti prostori su široka klasa prostora, koja obuhvata algebarske varijetete, analitičke varijetete, polualgebarske setove, i subanalitičke setove.

CW-kompleksi

CW-kompleks je topološki prostor formiran spajanjem diskova različitih dimenzionalnosti. Generalno, rezultirajući prostor je singularan, i stoga nije mnogostrukost. Međutim, postoji centralni interes in algebarsku topologiju, a posebno u homotopsku teoriju, jer se oni laki za izračunavanje i singulariteti ne predstavljaju problem.

Homologne mnogostrukosti

Homologna mnogostrukost je prostor koji se ponaša kao mnogostrukost sa tačke gledišta homologne teorije. Sve one nisu mnogostrukosti, ali (u visokim dimenzijama) mogu se analizirati pomoću teorije hirurgije slično mnogosturkostima, i odsustvo mnogostrukosti je lokalna prepreka, kao u teoriji hirurgije.^[5]

Diferencijalni prostori

Neka je ${\displaystyle M}$ neprazan skup na kome je data familija realnih funkcija ${\displaystyle M}$ izabrana. Ona je označena sa ${\displaystyle C\subseteq \mathbb {R} ^{M}}$. Ona predstavlja algebru u pogledu sabiranja i množenja nad tačkama. Neka ${\displaystyle M}$ ima topologiju opisano sa ${\displaystyle C}$. Može se pretpostaviti da i sledeći uslovi važe. Prvo: za svako ${\displaystyle H\in C^{\infty }\left(\mathbb {R} ^{i}\right)}$, gde je ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$, i proizvoljno ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{n}\in C}$, postoji kompozicija ${\displaystyle H\circ \left(f_{1},\dots ,f_{n}\right)\in C}$. Drugo: svaka funkcija, koja se u svakoj tački ${\displaystyle M}$ lokalno podudara sa nekom funkcijom iz ${\displaystyle C}$, takođe pripada ${\displaystyle C}$. Par ${\displaystyle (M,C)}$ za koji važe gornji uslovi, naziva se Sikorskijev diferencijalni prostor.^[6][7]

• Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Manifold”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1-55608-010-4.