Hilbertov prostor

Hilbertov prostor je matematički koncept koji generalizuje euklidski prostor. U njemu se metode vektorske algebre i analize iz euklidske ravni i trodimenzionalnog prostora proširuju na prostor sa konačnim ili beskonačnim brojem dimenzija. Dobio je ime po Davidu Hilbertu.

Hilbertov prostor se često pojavljuje u matematici, fizici i inžinjerstvu, tipično kao preslikavanja beskonačnog broja dimenzija.

Geometrijske analogije imaju veliki značaj u razumevanju teorije Hilbertovih prostora. Za njih postoji ekvivalentna Pitagorina teorema i zakon paralelograma.

Jedan od najjasnijih primera Hilbertovih prostora je euklidski prostor koji se sastoji iz trodimenzionalnih vektora, označavamo ga sa R³, u kome je definisan operator proizvoda. Ovaj proizvod uzima dva vektora x i y kao argumente i kao rezultat daje realan broj x·y. Ako su x i y predstavljeni u Dekartovim koordinatama, onda se operator proizvoda definiše kao:

${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})\cdot (y_{1},y_{2},y_{3})=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}.}$

Operator proizvoda zadovoljava sledeće uslove:

1. Simetričan je u odnosu na x i y: x·y = y·x.
2. Linearan je u odnosu na prvi argument: (ax₁ + bx₂)·y = ax₁·y + bx₂·y za bilo koje skalare a, b i vektore x₁, x₂ i y.
3. To je pozitivna bilinearna forma: za sve vektore x, x·x ≥ 0, gde znak jednakosti važi ako i samo ako je x = 0.

Operacija nad parom vektora koja zadovoljava ova tri uslova se naziva vektorski proizvod. Svaki vektorski prostor sa konačnim brojem dimenzija u kome je definisan vektorski proizvod predstavlja Hilbertov prostor. Karakteristika goredefinisanog operatora množenja koja ga povezuje sa euklidskom geometrijom je što zavisi i od dužine (ili intenziteta) vektora, koji se označava sa ||x||, i od ugla θ između vektora x i y. Ta zavisnost se izražava formulom:

${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\|\mathbf {x} \|\,\|\mathbf {y} \|\,\cos \theta .}$

Matematički niz

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\mathbf {x} _{n}}$

koji se sastoji iz vektora u R³ apsolutno konvergira pod uslovom da suma dužina konvergira (kao u slučaju niza realnih brojeva):

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\|\mathbf {x} _{k}\|<\infty .}$

Slično nizu skalara, niz vektora koji apsolutno konvergira istovremeno konvergira ka nekom vektoru L u euklidskom prostoru, i to tako da:

${\displaystyle \left\|\mathbf {L} -\sum _{k=0}^{N}\mathbf {x} _{k}\right\|\to 0\quad {\text{kada }}N\to \infty .}$

Hilbertov prostor H je realan ili kompleksan vektorski prostor koji je istovremeno i Košijev metrički prostor u odnosu na metričku funkciju vektorskog proizvoda. Kakda kažemo da je H kompleksni vektorski prostor, to znači da u H postoji proizvod ⟨x,y⟩ koji paru elemenata x,y'- iz H, pridružuje kompleksnu vrednost, pri čemu je:

• ⟨y,x⟩ je konjugovan kompleksan broj od ⟨x,y⟩:

${\displaystyle \langle y,x\rangle ={\overline {\langle x,y\rangle }}.}$

• ⟨x,y⟩ je linearna po prvom argumentu. Za sve kompleksne brojeve a i b,

${\displaystyle \langle ax_{1}+bx_{2},y\rangle =a\langle x_{1},y\rangle +b\langle x_{2},y\rangle .}$

• Proizvod je pozitivna bilinearna forma:

${\displaystyle \langle x,x\rangle \geq 0}$

gde znak jednakosti važi za x = 0.

Realni vektorski prostor se definiše na isti način, osim što vektorski proizvod ima realne vrednosti.

Intenzitet vektora definiše se kao proizvod ⟨•,•⟩ u obliku realne funkcije:

${\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }},}$

a rastojanje između tačaka x,y u H definiše se pomoću intenziteta na sledeći način:

${\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|={\sqrt {\langle x-y,x-y\rangle }}.}$

Ovo je funkcija metrike, što znači da (1) da je simetrična po x i y, (2) da je rastojanje između x i x nula, a da su ostala rastojanja između x i y pozitivna, (3) da važi nejednakost trougla, što znači da dužina stranice a u trouglu xyz ne može biti duža od zbira preostale dve stranice:

${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z).}$

Poslednja osobina je posledica Koši-Švarcove nejednakosti koja tvrdi da:

${\displaystyle |\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\,\|y\|}$

gde znak jednakosti važi kada su x i y linearno zavisni.

Kada se funkcija udaljenosti definiše na ovaj način, kao funkcija metrike, onda vektorski prostor postaje pre-Hilbertov prostor. Svaki kopmpletan pre-Hilbertov prostor je Hilbertov prostor. Kompletnost se definiše uslovom: ako za niz vektora važi ${\displaystyle \textstyle {\sum _{k=0}^{\infty }u_{k}}}$ apsolutno konvergira tako da

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\|u_{k}\|<\infty ,}$

tada niz konvergira u H, u smislu da parcijalne sume teže nekom elementu H.

Kao Košijevi normirani prostori, Hilbertovi prostori su po definiciji i Banahovi prostori. Oni su i topološki vektorski prostori u kojima su definisaani topološki pojmovi otvorenih i zatvorenih podskupova.

• Hilbertov prostor na Mathworld