Interval (matematika)

Interval (na lat.: međuprostor; međuvreme; razmak; praznina) u matematici predstavlja podskup nekog skupa elemenata, za kojga važi tačno jedan od sledećih uslova:

• Interval je prazan skup
• Interval sadrži samo jedan elemenat
• Interval sadrži više od jednog elementa i svaki od njih, sem dva krajnja, ima po dva suseda (po nad tim skupom definisanoj metrici) koji takođe pripada intervalu. Dva krajnja elementa, koji se još nazivaju i granice intervala, imaju samo po jednog suseda koji pripada intervalu. Pritom je sused y elementa x skupa M definisan kao elemenat za koga važi da između njega i x nema ni jednog drugog elementa iz skupa M. Zarad precizne definicije suseda je potrebno imati definisanu operaciju poretka nad ovim skupom.

Na primer, skup {4,5,6,7,8} je u skupu prirodnih brojeva jedan interval. Pošto je niz članova skupa kontinualan, tj. u njemu se nalaze svi elementi koji se inače nalaze između njegovih granica, on sam se može jednoznačno predstaviti navođenjem samo njegovih granica, koje su u ovom slučaju brojevi 4 i 8. Ovo i jeste princip po kome se beleže intervali u matematici: navode se granice intervala, jer sve ono što se nalazi unutar tih granica pripada intervalu.

Pak, same granice intervala mogu da pripadaju intervalu ili ne. Ukoliko granični element pripada intervalu, granica intervala se na strani tog elementa naziva zatvorenom. U suprotnom, ista granica je otvorena. Ukoliko su obe granice intervala otvorene odnosno zatvorene, sam interval se naziva otvorenim odnosno zatvorenim. U suprotnom se naziva poluotvorenim.

Sem u matematici, izraz interval se koristi pri merenju vremena i u muzici, za imenovanje odnosa među tonovima.

Pretpostavimo da se sledeći iskazi odnose na skup K, sa određenom metrikom i nad celim skupom definisanom operacijom poretka. Neka su a, b i x bilo koja tri elementa iz K, pri čemu je ${\displaystyle a\leq b}$.

Zatvoreni interval se beleži navođenjem granica između uglastih zagrada.

${\displaystyle x\in [a,b]:=\{x\in K:x\geq a\wedge x\leq b\}}$

Otvoreni interval se beleži navođenjem granica između običnih ili inverznih uglastih zagrada.

${\displaystyle x\in \left(a,b\right)\Leftrightarrow x\in \;]a,b[\;:=\{x\in K:x>a\wedge x<b\}}$

Poluotvoreni ili poluzatvoreni interval može biti otvoren odnosno zatvoren sa leve ili desne strane. Ovo se beleži odgovarajućom kombinacijom prethodna dva slučaja.

${\displaystyle x\in (a,b]\Leftrightarrow x\in \;]a,b]:=\{x\in K:x>a\wedge x\leq b\}}$
${\displaystyle x\in [a,b)\Leftrightarrow x\in [a,b[\;:=\{x\in K:x\geq a\wedge x<b\}}$

Prazan interval se obeležava istim znakom kao i prazan skup.

${\displaystyle x\in \left(a\right)\Leftrightarrow \left(\right)\Leftrightarrow \varnothing :=\{x\not \in K,\;a<x<a\}}$

Ukoliko je jedna od granica intervala nad skupom realnih brojeva jednaka beskonačnosti (${\displaystyle \infty }$), na njenoj strani je interval uvek otvoren, a uslov vezan za tu stranu intervala nije potrebno navoditi, jer se sam po sebi podrazumeva. Tj. ${\displaystyle -\infty >x<\infty }$ uvek važi.

${\displaystyle x\in \left(a,\infty \right)\Leftrightarrow x\in \;]a,\infty [\;:=\{x\in R:x>a\}}$
${\displaystyle x\in [a,\infty ):=\{x\in R:x\geq a\}}$
${\displaystyle x\in \left(-\infty ,a\right)\Leftrightarrow x\in \;]-\infty ,a[\;:=\{x\in R:x<a\}}$
${\displaystyle x\in (-\infty ,a]\Leftrightarrow x\in \;]-\infty ,a]\;:=\{x\in R:x\leq a\}}$
${\displaystyle x\in (-\infty ,\infty )\Leftrightarrow x\in R}$

• T. Sunaga, "Theory of interval algebra and its application to numerical analysis" Arhivirano 2012-03-09 na Wayback Machine-u, In: Research Association of Applied Geometry (RAAG) Memoirs, Ggujutsu Bunken Fukuy-kai. Tokyo, Japan, 1958, Vol. 2, pp. 29–46 (547-564); reprinted in Japan Journal on Industrial and Applied Mathematics, 2009, Vol. 26, No. 2-3, pp. 126–143.

• A Lucid Interval by Brian Hayes: An American Scientist article provides an introduction.
• Interval Notation Basics
• Interval computations website Arhivirano 2006-03-02 na Wayback Machine-u
• Interval computations research centers Arhivirano 2007-02-03 na Wayback Machine-u
• Interval Notation by George Beck, Wolfram Demonstrations Project.