Logaritmul, Istoria Si Aplicatiile Sale in Stiinte1
Logaritmul, Istoria Si Aplicatiile Sale in Stiinte1
Logaritmul, Istoria Si Aplicatiile Sale in Stiinte1
SALE ÎN ȘTIINȚE
egală expresia: a log . Se înțelege ușor că, ridicînd baza logaritmilor a la o putere
egală cu logaritmul numărului b , vom obține chiar numărul b .
John Napier, s-a născut în anul 1550 în orașul Edinburgh, Scoţia, a lucrat
două decenii înainte de a publica cartea care a revoluţionat modul în care se
realizau calculele complexe. Cartea avea numele de "Mirifici Logarithmorum
Canonis Descriptio" şi a apărut în 1614, la un interval de cinci ani după ce Galileo
Galilei inventase luneta astronomică şi cu ajutorul ei ”observase petele de pe
Soare, relieful de pe Lună, sateliţii lui Jupiter şi fazele lui Venus, similare cu ale
Lunii”1.
1
https://www.scientia.ro/stiinta-la-minut/48-scurta-istorie-descoperiri-stiintifice/1361-john-napier-si-inventarea-
logaritmilor.html
cu proprietatea sa algebrică fundamentală:
log (a ×b)=log ( a ) +¿ log ( b ) ¿
Briggs prezintă logaritmul tuturor numerelor întregi de la 1 la 20.000 și de la
90.000 la 100.000. El întocmește tabelele folosind două tehnici: prima folosește
faptul că logaritmul unui număr a corespunde unei unități, cu excepția numărului
de cifre ale unui 1014 , cealaltă constă în extragerea rădăcinilor pătrate succesive
până la obținerea unui număr suficient de apropiat de 1 deoarece a arătat că
pentru h mic, logaritmul de 1+ h este proporțional la h . Briggs efectuează calculele
acestui coeficient de proporționalitate cu 18 cifre semnificative. Lucrarea sa a fost
tradusă în franceză în 1628 de Adrian Vlacq, care a completat tabelele după
logaritmul tuturor numerelor întregi de la 20.000 la 90.000. Tabelele Briggs s-au
întâlnit cu succes imediat și, până la sfârșitul anilor 1620, toate lucrările de
matematică tehnică au prezentat un tabel logaritmic cu instrucțiunile sale de
utilizare.
După câțiva ani, ei au fost înlocuiți prin tabele cu 10 zecimale ale
matematicianului olandez Adrian Vlacq. Evoluția tabelelor de logaritmi a mers de
la mantisele cu multe zecimale la mantise mai scurte și nu s-a finalizat nici în zilele
noastre, deoarece și astăzi mulți oameni nu vor să accepte că precizia calculelor nu
poate depăși precizia măsurătorilor.
După apariția tabelelor logaritmice, s-a născut ideea asocierii între tabele și
o scară logaritmică. De exemplu, pe coperta cărții lui Jost Bürgi au fost ilustrate
două cercuri aproape concentrice pe care apar numere roșii și numere negre.
Astronomul Edmund Gunter, primul om de științe, a prezentat un instrument
inspirat din logaritmi să ușureze calculele. El întocmește o scară logaritmică ce este
completată cu logaritmii funcțiilor trigonometrice și fixează această scară pe o
riglă. Acest instrument util navigației permite, numai cu o busolă simplă, să
efectueze multiplicări și divizări prin adăugarea sau eliminarea lungimilor. Acestă
scară a fost prezentată în 1624 de către Edmund Wingate ca regulă proporțională.
scală logaritmică
Pe scările glisante, numerele sunt însemnate la distanțe proporționale cu diferențele
dintre logaritmii lor. Glisarea corespunzătoare a scării superioare echivalează cu
adunarea mecanică a logaritmilor. De exemplu, dacă se adaugă distanța dintre 1 și
2 de pe scara inferioară la distanța dintre 1 și 3 de pe scara superioară, se obține un
produs de 6, care se citește în partea inferioară. Mulți ingineri și oameni de știință
au folosit reguli de calcul până în anii 1970. Oamenii de știință pot lucra mai
repede folosind o riglă de calcul decât folosind un tabel de logaritmi.
Ce sunt logaritmii? Logaritmul, în matematică, este operația inversă a
ridicării la putere. Un logaritm este o operație matematică care determină de câte
ori un anumit număr, numit baza, se înmulțește de la sine pentru a ajunge la un alt
număr. Dacă exponentul este număr natural, logaritmul exprimă numărul de factori
din înmulțirile repetate. Luăm un exemplu de logaritmi cu valori discrete: logaritm
în baza 10 din 1000 este 3, deoarece că 10 la puterea a treia este 1000. Trecerea la
un exponent fracționar face ca valorile logaritmilor să fie continue. Exponentul
fracționar asociat unui radical de ordin oarecare dintr-un număr logaritmul permite
determinarea valorilor radicalilor de orice ordin.
În general, logaritmul lui x în baza b , notat cu log b ( x ) ,este numărul real y unic
cu proprietatea că by = x, ne arată că logaritmul unui număr real pozitiv este
exponentul la care trebuie ridicată baza b , (b >0)pentru a obține numărul dat.
De exemplu, dacă 32=25 , atunci: log 2 ( 32 )=5.
Logaritmii pot fi:
Logaritm zecimal este logaritmul în baza 10 (unde b=10 ¿ și are divere
aplicații în știință și inginerie
Logaritm natural are bază numărul e (≈ 2.718) și utilizarea sa este
răspândită în matematică și fizică
Logaritmul binar utilizează baza 2 (b=2 ¿ și este folosit frecvent în
informatică.
Domeniile de utilizare a logaritmilor sunt: chimie, biologie, muzică,
seismologie, astronomie și fizică.
Domeniul chimic
Logaritmii în domeniul chimic se folosesc la determinarea pH-ului din
soluțiile lichide. pH este forma prescurtată pentru ”power of hydrogen”. Scara pH
măsoară cât de acidă sau bazică este o substanță. Ea oscilează de la 0 la 14. O
soluție cu un pH de 7 este neutră (apa), cu un pH mai mic decât 7 este acidă, iar
mai mare decât 7 este bazică. De concentrația ionilor de hidrogen în lichid
(moli/litru) depinde aciditatea scrisă astfel: ¿Cu cât concentrația ionilor de
hidrogen este mai mare, cu atât este mai acidă soluția. pH-ul reprezintă logaritmul
zecimal cu semn schimbat al concentrației ionilor din soluție, adică pH = - lg ¿. Apa
pură conține concentrația ionilor de hidrogen de 1∙ 10−7 moli. Să calculăm pH-ul:
pH = −lg ( 1∙ 10−7 ) →pH =−lg (1 )−lg (10−7 )→ pH = 0 –(-7) →pH = 7. Este mai ușor
pentru creierul nostru să rețină valoarea pH-ului de 7, decât numărul molilor.
Astfel, logaritmii ne ajută să folosim numere de mărimi mai mici.
Domeniul biologie
Acum câteva miliarde de ani a apărut pe planeta Pământ viața. Molecula de
ADN, care stă la baza tuturor formelor organice de viaţă de pe Terra, este de
departe mai complexă decât orice galaxie spirală, deoarece structura ADN-ului
conţine ceva nou - ceva ce lipsea materiei neînsufleţite - şi anume conţine
informaţie. ADN-ul are o structură specifică fiecărei specii, specificitate datorată
ordonării aperiodice a bazelor azotate din structura moleculei. Are capacitatea de
replicare, deci de a transmite informația genetică de la o generație la alta. În
nucleul celulelor somatice diploide (ce conțin perechi de cromozomi omologi),
indiferent de țesut, conținutul în ADN este aproximativ egal. În nucleul celulelor
gametice haploide (cu cromozomi nepereche), cantitatea de ADN este redusă la
jumătate. Cantitatea de ADN este direct proporțională cu numărul cromozomilor:
diploid sau haploid.
Domeniul muzică
Muzicienii vin în contact cu matematica foarte des fără să-și imagineze și
încă cu lucruri ”atât de grozave” cum sunt logaritmii. Logaritmii cu muzica sunt
legați de tonurile și intervalele muzicale. Între tempouri, raportul frecvențelor
depinde numai de intervalul dintre două tonuri și nu de o anumită înălțime a
acestora. Nota La are frecvența de 440 Hz și Si bemol are o frecvență de 446 Hz.
Intervalul între ele este de un semiton, identic cu cel și între Si bemol și Si, numai
466 493
că rapoartele frecvențelor sunt aceleași: 440 ≈ 466 ≈ 1.059 ≈ √ 2.
12
Domeniul seismologie
2
https://ro.wikipedia.org/wiki/Logaritm#Aplica%C8%9Bii
În anul 1935, Charles Richter și Gutenberg Beno, de la California Institute pf
Technology, au întocmit scara Richter, pentru a măsura puterea unui cutremur.
După Richter, este o scară logaritmică, pentru că magnitudinea, corespunde
logaritmului măsurării amplitudinii undelor de volum (de tip P și S), la 100 km de
epicentru și este gradată de la 1 la 9. Intensitatea cutremurelor se exprimă în
numere fracționare. Deoarece scara Richter este o scară logaritmică, o modificare
de un grad pe scara Richter este corelată cu o modificare de 10 ori a amplitudinii
undelor seismice și de aproximativ 30 de ori a energiei eliberată de cutremur.
Domeniul astronomie
În astronomie, stelele și zhomotul stau alături, fiindcă intensitatea sunetului
și strălucirea stelelor sunt evaluate în același fel, după o scară logaritmică.
Astronomii clasifică stelele, după gradul lor de strălucire aparentă, în: stelele de
prima magnitudine aparentă, stelele de a doua magnitudine...Magnitudinea
aparentă este o mărime din domeniul astronomiei care caracterizează strălucirea
unui corp ceresc așa cum apare el unui observator uman. Valoarea depinde de
strălucirea absolută a obiectului precum și de distanța dintre corpul ceresc și
observator. Pentru a caracteriza strălucirea independent de distanță se folosește
magnitudinea absolută. Magnitudinea aparentă se măsoară pe o scară logaritmică,
iar o valoare mai mică corespunde unei străluciri mai puternice. O stea de o sută de
ori mai strălucitoare decât alta are magnitudinea aparentă cu 5 unități mai mică.
Notația pentru magnitudinea aparentă este de obicei de tipul 3,0 m. În domeniului
astronomiei logaritmii se folosesc la calcularea magnitudinii aparente.
Domeniul fizică
Efectul dăunător al zgomotelor industriale asupra sănătății angajațiilor și asupra
productivității muncii a determinat elaborarea unor procedee pentru evaluarea
cantitativă a intensității zgomotelor. Unitatea pentru măsurarea intensității
sunetului este belul, iar în practică decibelul. Decibelul (dB) este o măsură
logaritmică a raportului dintre două puteri. Este folosită în acustică, fizică,
electronică (inginerie). Intensitatea sunetului , cantitatea de energie care curge pe
unitate de timp printr-o unitate de zonă care este perpendiculară pe direcția în care
se deplasează undele sonore . Intensitatea sunetului poate fi măsurată în unități de
energie sau de lucru - de exemplu, microjoule (10 -6 joule) pe secundă pe
centimetru pătrat - sau în unități de putere, ca microwati (10 -6 watt) pe centimetru
pătrat. Spre deosebire de intensitate sonoră , intensitatea sunetului este obiectivă și
poate fi măsurată de un echipament auditiv independent de auzul unui observator.
Căutare binară
Bibliografie