MÓ DULO DE UM NÚ MERO

LIVRO 6
Professor Matheus Burgã o
 Módulos 91 e 92

01 - Sendo x a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo, a e b as medidas dos catetos desse mesmo
triângulo, temos a seguinte relação: x2 = a2 + b2
Essa relação indica uma equação literal na incógnita x. Uma vez que se define valores numéricos para a e
b, temos uma equação do 2º grau incompleta e, como toda equação desse tipo, podemos ter raízes
positivas ou negativas. Entretanto, nessa equação em específico, devemos considerar x > 0. Explique a
razão dessa condição para o valor de x.

Nessa equação, a incógnita x indica a medida do lado de um triângulo. Logo, deve ser uma medida positiva.
 Módulos 91 e 92
02 - Calcule a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos medem 12 cm e 5 cm.
 

03 - Um dos famosos triângulos retângulos, chamado de triângulo pitagórico, tem as medidas de seus lados
formadas pelos números naturais consecutivos: 3, 4 e 5. Faça uso de recursos algébricos e mostre que não existe outro
triângulo retângulo que apresente as medidas dos lados formadas por outros números naturais e consecutivos.

Por soma e produto temos que as raízes da equaçã o é

Logo, x só pode ser 3 e, consequentemente, os outros dois lados medirão 4 e 5 unidades.

 Módulos 91 e 92
04 - Uma empresa fabricante de trens está projetando um novo modelo de vagão. No entanto, a linha férrea já existe e
passa por túneis. De acordo com o projeto, o vagão deverá ter 3 metros de largura e sua vista frontal terá o formato de
um retângulo. Já o túnel apresenta, em sua vista frontal, um semicírculo com diâmetro de 8 metros. Veja nas figuras a
seguir a representação do túnel e as dimensões máximas que o retângulo pode ter.

Na figura, M indica o ponto médio entre os dois trilhos, bem

como o centro do semicírculo, e h indica a altura máxima do
retângulo do projeto. Nesse sentido, considerando o raio
dado de 4 metros, determine, com aproximação de uma casa
decimal, qual é a medida que delimita o valor de h na figura
anterior.

 
 Módulos 91 e 92

05 - A figura mostra o esboço de um terreno com algumas de suas medidas. Ele tem a forma de um trapézio
retângulo, e deseja-se determinar a medida x da frente do terreno para a rua. Calcule essa medida.

 
 Módulos 91 e 92
06 - Parte de um terreno retangular medindo 12 m de largura e 16 m de comprimento será usada para o plantio
de flores. Para isso, uma cerca de madeira será construída sobre a linha diagonal, com medida x, indicada no
esboço seguinte:

 
 Módulos 93 e 94
01 - Considere o seguinte triângulo PQR com as medidas de alguns dos segmentos dadas por letras. Complete o
quadro indicando a letra que representa a respectiva medida.

Segmento Variável que indica a

mediada
Cateto PQ do triâ ngulo PQR r
Cateto PR do triâ ngulo PQR q
Hipotenusa QR do triângulo PQR P
Altura relativa à Hipotenusa QR h
Projeçã o ortogonal do cateto PQ x
sobre a hipotenusa QR
Projeçã o ortogonal do cateto PR y
sobre a hipotenusa QR
 Módulos 93 e 94
02 - Aplique as relações métricas e determine o valor de x nos triângulos retângulos a seguir, cujas medidas são dadas
em metros. Quando necessário, aproxime a medida para uma casa decimal

   
 Módulos 93 e 94

   
 Módulos 93 e 94
03 - O projeto de construção do telhado de uma determinada casa segue a seguinte relação: a altura d relativa à base
do telhado, partindo do topo, divide a parede em duas partes que estão na proporção de 3 para 5. Além disso, a base
do telhado tem 10 m de comprimento.

Considerando as informações da figura, que mostram uma visão frontal do telhado

indicando que se trata de um triângulo retângulo e as demais informações, qual deverá ser
a altura aproximada do telhado?

 
 
 Módulos 93 e 94
04 - As cidades A, B e C estão localizadas de tal forma que representam os vértices de um triângulo retângulo.
Além disso, 3 estradas retilíneas unem as cidades duas a duas, representadas por AB, AC, e BC, conforme
indicado no esquema a seguir com as respectivas medidas.

Pretende-se construir uma rodovia retilínea partindo da cidade B

perpendicularmente à rodovia que une as cidades A e C. O
comprimento dessa nova rodovia, indicado na figura pela letra d,
deverá ter medida de

 
 Módulos 95
01 - A figura a seguir mostra o início de um projeto da estrutura de um telhado. Cada segmento de reta
representa um tubo de aço e, além desses, outros elementos ainda serão inseridos para reforçar a estrutura.
Sabe-se que AB = 90 cm e AC = 3 m. Com base nessas informações, faça uso de uma calculadora e
descubra, em metros, a medida aproximada de:
b.
  Calcular o valor do segmento AD:
Podemos usar a relação métrica do triângulo
retângulo que trabalha com a hipotenusa a
altura relativa e os catetos.

a.
  Calcular o valor do segmento BC:
 Módulos 95
02 - A figura representa o projeto de construção de uma praça retangular com 100 m de comprimento e 80 m
de largura. A diagonal AC representa uma calçada que servirá para atravessar o local, e haverá também
calçadas indicadas nos segmento BE e DF. Calcule a medida aproximada de BE e de AC.

Calculando
  o valor do segmento BE:
Podemos usar a relação métrica do triângulo
retângulo que trabalha com a hipotenusa a
altura relativa e os catetos.

Calculando
  AC:
Usando Pitágoras, temos que o valor de AC é
a hipotenusa do triângulo ACD. DC e AD
são catetos do triângulo ACD. Portanto.
 Módulos 95
03 - A figura mostra o esboço de um suporte para prateleira. Um reforço com medida x será colocado. Calcule
essa medida.

Calculando
  o valor do segmento x:
Podemos usar a relação métrica do triângulo
retângulo que trabalha com a hipotenusa a
t altura relativa e os catetos.

Para
  calcular o valor de x precisamos determinar
o valor da hipotenusa do triângulo.
 Módulos 95
04 - Alberto é responsável pelo estoque em uma loja de materiais de construção. Ele está projetando um espaço para
guardar tubos cilíndricos de plástico, todos com mesmo diâmetro. No entanto, ele ficou em dúvida sobre qual é a
melhor forma para armazenagem. As figuras 1 e 2 a seguir ilustram as duas possibilidades nas quais Alberto pensou:
intercalar os tubos ou sobrepô-los exatamente um sobre o outro.

Na figura 1, o corte transversal nos mostra que será necessário um espaço retangular e, na figura 2, que será
necessário um espaço em forma de quadrado. Considerando que o raio de cada cano mede 1 unidade, verifique a
diferença aproximada na área de cada seção mostrada nas figuras 1 e 2.
 Módulos 95

Figura 2: a base e a altura são iguais, cada uma delas com 3 diâmetros, ou
seja, 3·(2·1) = 6 Logo, a área será de 6²= 36 unidades quadradas

Figura
  1 - Calculando AD=x: Portanto,
  as dimensões do retângulo
Usando Pitágoras, temos que o valor de AC é na figura 1 são 7 e 5,46. Logo, a área
a hipotenusa do triângulo ACD. DC e AD será de aproximadamente 38,22
são catetos do triângulo ACD. Portanto.
unidades quadradas.
Diferença entre as áreas é dada por:
 Capítulo 12
Módulos 96
01 - Em uma indústria, uma rampa será instalada no final de uma esteira em uma linha de montagem. O ângulo de
inclinação deverá ser de 14°, sendo a parte superior da rampa com altura de 2 metros em relação ao piso plano
horizontal, como mostra a figura. Nessas condições, qual deverá ser o comprimento c da base dessa rampa? Considere
tg 14° = 0,25.

  0,25 = 2
𝐶

  0,25 𝐶 =2
  1
𝐶 =2
4
𝐶=8
 
 Módulos 96
02 - Com a finalidade de verificar se a tangente de certo ângulo agudo é, de fato, igual em qualquer triângulo
retângulo que apresente este ângulo, Pedro e Fábio desenharam, com auxílio de régua e transferidor, dois
triângulos retângulos com um ângulo de 25°, porém com os lados de medidas diferentes. Observe os triângulos
desenhados na figura dada. Ajude Pedro e Fábio a verificar se a tangente de 25° (tg 25°) é, de fato, igual para os
dois triângulos dados. Observação: devido a pequenos erros de medição feita com uma régua, como nos casos
em que algumas medidas são dadas por números irracionais, os valores numéricos das medidas são
aproximados. Assim, considere apenas 2 casas decimais em seus cálculos, fazendo um truncamento.

 
  25 ° = 37
𝑡𝑔 ≅ 0,47
81
As razões são, de fato, iguais.
 𝑡𝑔25 ° = 𝐶𝑂   25 ° =
𝑡𝑔
28
≅ 0,47
𝐶𝐴 60
 Módulos 96
03 - No projeto de uma linha de produção, certa rampa terá suas medidas baseadas no seguinte triângulo retângulo:

A inclinação dessa rampa tomará como referência a medida do ângulo α.

Nesse contexto, pretende-se determinar a tangente de α. É correto, então,
concluir que

 𝑡𝑔 𝛼= 3
4
 Módulos 96

Sobre o triângulo ABC a seguir, faça o que se pede.

a. Usando um transferidor, meça o ângulo CÂB em destaque, e
complete a sentença com a medida inteira, em graus, mais próxima.

A medida do ângulo é de 42°

b. Calcule a tangente do ângulo medido no item anterior,

completando a sentença
 

c. Determine o valor da medida x indicada no triângulo a seguir

usando a razão anterior.

 
  2,7   2,7
0,9=
𝑥
0,9.
  𝑥 =2,7 𝑥= =3 0,9
 Módulos 97
01 - Considerando o triângulo ABC a seguir, cujas medidas são dadas em centímetros, calcule o que se pede.

A . Determine a medida x, indicando-a na forma de raiz.

B . Calcule cada razão trigonométrica pedida, racionalizando o denominador quando possível.

  3 3 √34 3 √ 34   5 = 5 . √34 = 5 √ 34
𝑠𝑒𝑛
  𝐵 =¿
^ = . =   cos
34
√34   √ 34   √34   34 √34   √ 34   √34  

  5 5 √34 5 √ 34
.
  3 = 3 . √34 = 3 √ 34
𝑠𝑒𝑛
  𝐶 =¿
^ = =   cos
√34   √ 34   √34   34
√34   √ 34   √34   34
 Módulos 97
02 - Usando uma calculadora, calcule com aproximação de duas casas decimais as razões trigonométricas
pedidas em relação ao triângulo ABC dado:

  5 12
𝑠𝑒𝑛
  ^𝐴 =¿ 13 =0,38   cos   =0,92
13

12   cos  5 =0,38
𝑠𝑒𝑛   =0,92
  𝐶 =¿ 13
^ 13
 Módulos 97

03 - Certo triângulo tem um ângulo de 13°, sendo o cateto oposto a esse ângulo com medida de 10 cm.
Considerando que sen13° = 0,225, determine a medida x aproximada da hipotenusa desse triângulo.

  13 °= 𝐶𝑂
𝑠𝑒𝑛
h𝑖𝑝

  10
0,225=
𝑥

  10
𝑥= ≅ 44,44 𝑐𝑚
0,225
 Módulos 97
04 - Considere o seguinte triângulo retângulo com o ângulo em destaque.

Com base nas informações da figura, faça o que se pede.

a. Determine:
𝑦 𝑥
𝑠𝑒𝑛    
  𝛼=¿ 𝑧 𝑐𝑜𝑠
  𝛼=¿ 𝑧

  b. Determine . Depois, mostre que

𝑦
  𝛼=
𝑡𝑔
𝑥

𝑦
  𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑧 𝑦 𝑧 𝑦
𝑡𝑔 𝛼= = = . = =𝑡𝑔 𝛼
𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑥 𝑧 𝑥 𝑥
𝑧
 Módulos 98 e 99

01 - Consulte a tabela trigonométrica indicada no texto teórico e determine o valor de:

0,259 0,530
0,454 3,732
c 0,743 0,344
 Módulos 98 e 99
02 - É possível determinar a medida aproximada dos ângulos agudos de um triângulo sem, contudo, medi-los, mas conhecendo-
se as medidas de seus lados e consultando uma tabela trigonométrica. Pensando nessa ideia, faça uso de uma calculadora e
determine a medida aproximada de cada ângulo destacado com as letras x e y nos triângulos a seguir. As medidas dos lados são
dadas de forma aproximada em uma mesma unidade de medida.

   
Corresponde ao ângulo de 24°, x e y são Corresponde ao ângulo de 50º, x e y são
complementares assim y = 66° complementares assim y = 40°
 Módulos 95
04 - A inclinação das vias públicas é um problema para o transporte. Na cidade de Dunedin, na Nova Zelândia, está
localizada a Rua Baldwin, que, em seu trecho inferior, tem uma rampa de inclinação moderada e, em seu trecho
superior, tem uma rampa extremamente íngreme.
O trecho com maior inclinação apresenta uma taxa de 1:2,86, o que significa que, para cada 2,86 metros percorridos
horizontalmente, é necessário vencer um metro na vertical. Considere que:
- O ângulo de inclinação de uma rampa é medido entre a horizontal e a rampa.
- A inclinação de uma rampa é expressa pela tangente do seu ]ângulo de inclinação
- o triangulo retângulo, da figura, representa parte do trecho com maior inclinação da rua Baldawin

  𝑥= 1
𝑡𝑔 =0,349
2,86

Por aproximação atentando a tabela percebemos que o valor mais próximo do ângulo
de inclinação é 19°
 Módulos 95
05 - A base da escada de um caminhão de bombeiros está posicionada a 10 metros de um edifício, formando um
ângulo de 50° com a horizontal. Veja o esquema.
De acordo com as informações apresentadas na figura e
considerando que a escada está posicionada exatamente no topo do
edifício, determine a altura total do edifício.

  Como
  a altura do caminhão é de 2 m
temos que verificar que a soma-se ao
valor encontrado. Assim a altura do
edifício fica representado por