Caderno V10

2008
MATEMÁTICA
CADERNO DE APOIO AO ALUNO
DEMA- DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Marisa Oliveira, Susana Nicola Araújo

Instituto Superior de Engenharia do Porto
Descrição:
Estes apontamentos destinam-se ao acompanhamento das aulas de matemática do curso

Maiores de 23.
Contém, para cada capítulo, uma explicação teórica seguida de um conjunto de exercícios
resolvidos e de exercícios propostos.
Em relação aos exercícios propostos alguns serão resolvidos nas aulas em conjunto e os
restantes serão resolvidos pelos alunos para consolidação das matérias expostas nas aulas.
Introdução:
Nos dias de hoje, a Matemática ocupa um lugar de destaque, pois o homem como parte
integrante da sociedade actual necessita de conhecimentos matemáticos. Na verdade, dado o
progresso das tecnologias na nossa sociedade, é necessário criar uma Matemática cada vez
mais forte, que permita a sua contextualização na sociedade. Um dos objectivos principal
destes apontamentos é proporcionar aos alunos uma aprendizagem, de tal modo que se
sintam motivados e aprendam de facto. Apresentar uma visão da Matemática agradável,
aplicável e simples. Esperar que os alunos sintam alguma diferença na sua relação com a
disciplina e que a sua ideia da própria Matemática, como ciência se altere para algo positivo e
importante para a vida. Resumindo, procuraremos motivar os alunos para a análise e estudo
dos conteúdos desenvolvidos durante o curso mostrando a importância da matemática usando-
a de maneira que seja compreendida.
Objectivos:
Pretendemos que os alunos consigam:
• Desenvolver a capacidade de comunicar conceitos com clareza e rigor lógico;

• Usar correctamente o vocabulário específico da Matemática;
• Desenvolver a capacidade de utilizar a Matemática na interpretação e
intervenção do real;
• Descobrir relações entre conceitos de Matemática;

• Desenvolver o sentido de responsabilidade pelas suas iniciativas e tarefas;
• Desenvolver a confiança em si próprio;
• Autonomizar o processo de aprendizagem;
• Adquirir o hábito de estudar por iniciativa própria;
• Criar motivação e auto-confiança para o estudo da matemática;
• Adquirir rapidez e exactidão nos cálculos;
2 Marisa Oliveira, Susana Araújo

Capítulo 1
OPERAÇÕES E
PROPRIEDADES EM IR

Operações em IR
Adição.
Subtracção.
Multiplicação
Divisão.
Potenciação e radiciação
Objectivos:
Utilizar as propriedades das operações para simplificar os

cálculos;
Conhecimento do conjunto dos números racionais, das diferentes

formas de representação dos elementos desses conjuntos e das
relações entre eles, bem como a compreensão das propriedades
das operações em cada um deles e a aptidão para usá-las em
situações concretas;
Aptidão para trabalhar com valores aproximados de números

racionais de maneira adequada ao contexto do problema ou da
situação em estudo;
Aptidão para operar com potências.
Pré-requisitos:
Operações com números relativos.

1. Operações em IR
IR Q Z IN
1.1 Números inteiros positivos
{ }
IN – conjunto dos números naturais = 1, 2, 3, ....
Neste conjunto a adição é sempre possível pois, se considerarmos dois

números a e b, existe sempre um número natural c que é a soma de a com b. A
multiplicação também é sempre possível.
Quer a adição quer a multiplicação são:
- comutativas: quaisquer que sejam os números naturais a e b
a+b=b+a
axb=bxa
- associativas: quaisquer que sejam os números naturais a, b e c
(a + b) + c = a + (b + c)
(a.b).c = a.(b.c)
- sendo ainda a multiplicação distributiva em relação à adição
(a + b).c = a.c + b.c
a.(b + c) = a.b + a.c

Sendo a e b números naturais, se conseguirmos determinar x, tal que:
b.x = a
a
ou x = a : b, o que é o mesmo que x =
b
dizemos que x representa o quociente exacto de a por b.
a diz-se dividendo;
b diz-se divisor.
Exemplo: 5 = 15 : 3 pois 5 x 3 = 15
Mas a divisão exacta nem sempre é possível no conjunto dos números

naturais. Não existe nenhum número natural x, tal que 3.x = 2.
Para que a divisão exacta se torne possível, é preciso ampliar o conjunto dos
números naturais, acrescentando-lhe os números fraccionários positivos.
No exemplo anterior, o quociente de 2 por 3, que não era possível em IN,
2
representa agora o número fraccionário , em que 2 é o numerador e 3 o
3
denominador.
1.2 Números inteiros positivos, negativos e o zero
Z – conjunto dos números inteiros relativos = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ....}
É claro que as propriedades já enunciadas, para a adição e multiplicação,

permanecem válidas ao alargar o conjunto dos números naturais.
1.3 Números inteiros e números fraccionários relativos
Q – conjunto dos números racionais

Números racionais são todos aqueles que se podem escrever sob a forma de
x
fracção com y ≠ 0 , x e y inteiros. Estes números podem ser representados
y
por dízimas finitas ou infinitas periódicas.
Repare que duas fracções podem representar o mesmo número, dizendo-se

fracções equivalentes.
12 8
Exemplo: e representam o número natural 2.
6 4
12 8
e são fracções equivalentes.
6 4
2 8
Exemplo: São ainda equivalentes, por exemplo, as fracções e . Se
7 28
dividirmos ambos os membros da segunda fracção por 4 obtemos
2
.
7
2
Exemplo: é uma fracção irredutível.
7
8
Exemplo: é uma fracção redutível.
28
Dadas duas fracções com o mesmo denominador elas serão

equivalentes se tiverem o mesmo numerador, caso contrário será maior
a que tiver maior numerador.
3 1 7 4
Exemplo: é maior do que . é maior do que .
5 5 3 3
a b a + b
Só podemos somar fracções com o mesmo denominador, sendo + =
c c c

Exemplo:
5 3 5+3 8
a) + = = = 4
2 2 2 2
3 7 3+ 7 10 5
b) + = = =
4 4 4 4 2
2 1
Exemplo: + . Como as fracções não têm o mesmo denominador, teremos
5 3
que reduzi-las a um denominador comum. m.m.c. (5,3) = 15
2 2×3 6 1 1× 5 5
= = = =
5 5×3 15 3 3×5 15
2 1 6 5 11
Logo, + = + =
5 3 15 15 15
Para multiplicar fracções, multiplicamos numerador com numerador,

denominador com denominador.
11 2 11 × 2 22
Exemplo: × = =
7 3 7×3 21
a c
A divisão em Q é sempre possível. Dividir por , é o mesmo que multiplicar
b d
a c d
pelo inverso de ; .
b d c
a c a d ad
: = × =
b d b c bc
2 7 2 3 6
Exemplo: : = × =
5 3 5 7 35

1.4 Números racionais e números irracionais
IR – conjunto dos números reais
Números irracionais são todos aqueles que se podem escrever sob a forma de
fracção. Estes representam-se por dízimas infinitas não periódicas.
IR ⊃ Q ⊃ Z ⊃ IN
Nos inteiros positivos (IN)

os
N inteiros relativos (Z) Zero
Nos racionais (Q) Nos inteiros negativos
Nos reais (IR) N os fraccionários– dízimas infinitas periódicas
Nos irracionais – dízimas infinitas não periódicas
1.5 Operações com números reais
1.5.1 Adição
a + b com a, b ∈ IR
1) Adicionar um número real com 0, dá o próprio número, pois 0 é o

elemento neutro da adição:
0 + a = a + 0 = a, ∀ a ∈ IR
2) Adicionar os números simétricos a e – a:

(- a) + a = a + (- a) = 0, ∀ a ∈ IR
3) Se as parcelas têm o mesmo sinal:

(+…) + (…+) ou (-…) + (-…)
a soma tem esse mesmo sinal e o seu módulo é igual à soma dos
módulos
4) Se as parcelas têm sinais contrários:

(+…) + (-…) ou (-…) + (+…)

O sinal da soma é o da parcela com maior módulo e o módulo da
soma é igual à diferença dos módulos das parcelas.
Exemplo:(+ 5) + (+ 2) = + (5 + 2) = + 7
(- 3) + (- 2) = - (3 + 2) = - 5
(- 4) + (+ 2) = - (4 – 2) = - 2
Porque |- 4| > |2|
(+ 5) + (- 3) = + (5 – 3)= 2
Porque |5| > |-3|
1.5.2 Subtracção
a - b com a, b ∈ IR
Subtrair ao número a o número b é adicionar ao número a o simétrico

de b.
a – b = a + (-b) com a, b ∈ IR
1  − 1  = 14 +  − 1  = + 13
Exemplo: 7 − = 7 +    
2  2 2  2 2
1.5.3 Multiplicação
a . b com a, b ∈ IR
1) Qualquer que seja o número a, a.0 = 0.a = 0, o que traduz que 0 é

o elemento absorvente da multiplicação.
2) O produto tem sinal + se os factores tiverem o mesmo sinal e tem

sinal – se os factores tiverem sinais diferentes.

Podemos traduzir isto pela tabela seguinte:
. + -
+ + -
- - +
 1 5
Exemplo: +5. +  =
 2 2
5  − 3  = + 5.3 15
− .
 7  2.7 = +
2   14
 + 2  = − 3.2 6
−3.   = −
 5 5 5
2 − 1  = − 2 2
+ .   = −
3  7  3.7 21
1.5.4 Divisão
a : b com a, b ∈ IR e b ≠ 0
Dividir a por b, não é mais que multiplicar por a o inverso de b.
a 1
a : b = = a×  
b b
Exemplos: Calcular:
1
a) 2: = 2.3 = 6
3
1 1 1 1
:5 = . =
2 2 5 10
4 7 4 5 20
: = . =
3 5 3 7 21

1 1 2 1 12 1  2
b) 2− 4 +  + = 2−  + +
5 3  15 5 3 3  15
1 13 2 2 13 2 30 13 2
= 2 − . + = − + = − +
5 3 15 1 15 15 15 15 15
(15 )
17 2 19
= + =
15 15 15
c) 1 14 1
2× +  : 
3 2 5 2
2 14 
= +  .2 
3 25 
2 1 8
= + .
3 2 5
2 8
= +
3 10
2 4
= +
3 5
(5) (3)
10 12
= +
15 15
22
=
15
1.6 Valores aproximados
1.6.1 Dizimas
As dízimas podem ser finitas, infinitas periódicas e infinitas não

periódicas
Exemplo: 0,111…. Ou 0,(1) é uma dízima infinita periódica de período 1

Exemplo: 0,123123… ou 0,(123) é uma dízima infinita periódica de período
123
Exemplo: 1,15893571973… é uma dízima infinita não periódica (não há

repetição de algarismos ou de sequência de algarismos)
1.6.2 Valores aproximados, erro máximo cometido e valores

3casas decimais 3casasdecimais
exactos
1, 414 < 2 < 1, 415
Valor aproximadode 2 , por excesso a menos de0,001

Valor exacto
3casasdecimais
Valor aproximado de 2 , por defeito a menos de0,001
O erro máximo cometido é a diferença entre valor aproximado por excesso pelo
valor aproximado por defeito: 1,415 - 1,414 = 0,001. Neste caso o erro máximo
cometido é uma milésima.
Exemplo: 7 ~ 2, 64575...
O valor aproximado de 7 às milésimas por defeito é 2,645
O valor aproximado de 7 às milésimas por excesso é 2,646
O valor aproximado de 7 às centésimas por excesso é 2,65
O valor aproximado de 7 a menos de uma décima por defeito é 2,6
O valor exacto de 7 é 7

Exemplo: 2 + 7 =?
1, 414 + 2, 645 < 2 + 7 < 1, 415 + 2, 646
4, 059 < 2 + 7 < 4, 061
2 + 7 = 4,061 é o valor aproximado por excesso a menos de 0,001
2 + 7 0 4,059 é o valor aproximado por defeito a menos de 0,001
O erro máximo cometido é 4,061 – 4,059 = 0,002
1.7 Potências
Regras de Cálculo:
p+q
p q
I) a .a = a
Na multiplicação de potências, com a mesma base,

mantém-se essa base e somam-se os expoentes.
Exemplo:
5 3 5+3 8
a) 2 .2 = 2 = 2
3 4 3+ 4 7
 1  . 1  1 1
b)     =   =  
2 2 2 2
p
p p
II) a .b ( )
= a .b
Na multiplicação de potências, com o mesmo expoente,

multiplicam-se as base e mantém-se esse expoente.

Exemplo:
3 3 3
 1  . 5  5
a)     =  
3 2 6
2 2
2 4
. 
 12 
= −
2
b) ( −3)  = ( −4) = 16
3  3
p −q
p q
III) a :a = a
Na divisão de potências, com a mesma base, mantém-se

essa base e subtraem-se os expoentes.
Exemplo:
3 2 3− 2
a) ( −4) : ( −4) = ( −4) = −4
3 2 1
− 1  : − 1   1  1
b)     = −  = − 
 5  5  5  5
p
p p a
IV) a :b =  
b
Na divisão de potências, com o mesmo expoente, dividem-

se as base e mantém-se esse expoente.

Exemplo:
3 3
a)
3 1  1 3 3
( −5) :  =  −5 :  = ( −5 : 3) = ( −15)
3  3
4 4 4 4 4 4
5 :1 5 1 5   10  5
b)     =  :  =  .2  =   =  
4 2 4 2 4  4 2
q
V) ( )
a
p
= a
pq
Podemos elevar uma potência a outra potência. Para se

efectuar este cálculo mantém-se a base comum e
multiplicam-se os expoentes respectivos.
Exemplo:
2
a) ( −2)3  6
 
= ( −2)
3
 1 5  1
15
b)    =  
 2   2
n
Nota: a é sempre não negativa se o expoente é par; tem o sinal de a se o
0 1
expoente é ímpar; por convenção a = 1 e a = a .
Exemplo:
3
a) ( −3) = −27

2
b) ( −4) = +16
3
c) 2 = 8
2
d) 5 = 25
2 2 2
Nota: −4 ≠ ( −4) pois −4 = − (4 × 4) = −16 (a base da potência é 4) e
2
( −4) = ( −4) × ( −4) = +16
2 5
Se quisermos efectuar a operação 3 : 3 ?
2 2
2 5 3 3 1
3 : 3 = = =
5 2 3 3
3 3 .3 3
2 5 2−5 −3
Mas por III) 3 : 3 = 3 = 3
1 −3
Então 3
= 3 que se trata de uma potência de expoente negativo.
3
VI) a
−n
=
1 1
=   , com a ∈ IR , a ≠ 0 e n ∈ IN
a
n
a
O que significa que uma potência de expoente inteiro

negativo é igual ao inverso da potência de base igual e
expoente simétrico.
Exemplo: Transformar em potência de expoente positivo:
−3 −5 −3+1 −5 −2 −5 −2 +5 3
a) 2 .2 : 2 = 2 : 2 = 2 : 2 = 2 = 2

b)
−5 −5 −2 −5 −2
 1  2  .  − 10   1   2   10 
     
: − =
 5  :  − 3  .  − 3 
 5  3  3 
−5 −2 −5 −2
 1   3   10   3   10 
=   . − 
 5   2  .  − 3  = −  . − 
 10   3 
5 −2 5− 2 3
 10   10   10   10 
= −  . −  = −  = − 
 3  3  3  3
p
q p q p
VII) O radical a = a com a > 0; q ∈ IN e ∈Q
q
Exemplo: Escrever como uma potência de expoente fraccionário:
3
3
a) 2 = 2
2
b)
1  5 1
5 =  
2 2
1
4
c) 7 = 7
4
1
− 1
3 −1
d) 2
3
= 2 = 3
2

Exercícios Propostos:
1. Calcule:
2 3
a)
 1 −1 1
−  × ( −5) : 
 5 3
2 2 3
( −3) ×2 × ( −6)
b) 2 2
( −2) ×3
30
 1  −3 3 2 
c) ( −1) +   :5 ×2 
 10 

−5 2
1 1 2
 
: 5 × 
d)
5  10 
2
−1
   
1 3
−3
 1
2

  ×   ×   
 3   2   2  
2 2
( −1) + 5 ×   ×  
11 1 6 2
e)
3 5
9
−3  3 
2
(2 ) : 2 ×  2  : 37
3

2. Transforme em radicais:
a) 3
2
b) ( ) 5
−2 5
c)
 32
 
5
 1   6 3
d)   
 3  
  1
4
   2
  
2
e)
 
5
 

−3
 14 
f) 4 
 
5
 − 23 
g)  5  
 7  
 

Capítulo 2
POLINÓMIOS

Polinómios:
Operações com polinómios.
Zeros de um polinómio.
Casos notáveis da multiplicação de binómios.
Decomposição de um polinómio em factores.
Objectivos:
Operar com polinómios simples;
Decompor um binómio ou trinómio em factores;
Determinar o quociente e o resto da divisão de um polinómio por

outro pelo algoritmo da divisão inteira de polinómios;
Usar a regra de Ruffini e reconhecer a validade da regra;
Decompor um polinómio em factores, encontrando por tentativas

uma raiz e depois usar a regra de Ruffini;
Determinar os zeros de um polinómio.
Pré-requisitos:
Operações com monómios e polinómios.

2. Polinómios
Comecemos por analisar um exemplo da vida real onde existem, sem darmos
por isso, expressões com polinómios.
O Miguel depositou no banco Y, 10 contos. A taxa anual de juro praticada é x.

Observando a figura conclui-se que as expressões 10(1 + x ) e
2
10(1 + x ) representam o dinheiro que terá o Miguel ao fim de 2 e 3 anos

3
respectivamente.
10 10(1 + x ) 10(1 + x ) 10(1 + x )

2 3
Miguel
anos
0 1 2 3
A expressão 10(1 + x ) pode ser escrita de outra forma:

3
10(1 + x ) = 10(1 + x ) (1 + x )
3 2
( )
= 10 1 + 2 x + x 2 (1 + x )
= 10(1 + 2 x + x + x + 2 x
2 2
+ x3 )
= 10(x + 3x + 3x + 1)
3 2
= 10 x 3 + 30 x 2 + 30 x + 10
As expressões 10(1 + x ) e 10 x 3 + 30 x 2 + 30 x + 10 são equivalentes e ambas são
3
polinómios, mas a segunda está escrita sob a forma de polinómio reduzido e

ordenado.
Chama-se polinómio na variável x a a toda a expressão

do tipo:
a0 x n + a1 x n −1 + ... + an −1 x + an
em que n ∈ ℵ0 e a0 , a1 ,..., an −1 , an ∈ ℜ

No polinómio: a0 x n + a1x n −1 + ... + an −1 x + an ,
a0 x n , a1 x n −1,..., an −1 x, an → são os termos

a0 , a1,..., an −1, an → são os coeficientes
an → termo independen te
Nota: Designação de polinómios “especiais”
Números de termos Designação do polinómio
Um termo.
x Monómio
Exemplo: −
4
Dois termos.
1 Binómio
Exemplo: 3x +
4
Três termos.
Exemplo: 2 x 2 + 3x + 1 Trinómio
Reduzir um polinómio é escrevê-lo de forma a que não apareçam monómios

semelhantes.
3
Exemplo: 3x + x + 1 → polinómio não reduzido .
2
3
Resolução: Os termos 3x e x são semelhantes uma vez que têm a mesma
2
parte literal. Adicionando-os obtemos:
9
x + 1 → polinómio reduzido
2
Ordenar um polinómio é escrevê-lo segundo as potências crescentes ou

decrescentes de x .

Depois de reduzido e ordenado o polinómio, é fácil de identificar o seu grau e
verificar se é ou não um polinómio completo.
Exemplo: O polinómio 5x 4 + 3x 2 + 2 x + 1 tem grau 4 e é incompleto porque

tem nulo o coeficiente do termo em x 3 .
Exemplo: O polinómio 3x 2 + x + 2 tem grau 2 e é completo.
Exemplo: O polinómio 0 x 2 + 0 x + 0 tem os coeficientes todos nulos, é um

polinómio nulo e tem grau indeterminado.
2.1 Operações com polinómios
Qualquer polinómio fica determinado pelos seus coeficientes, ou seja se
A(x) = a0 x n + a1 x n −1 + ... + an −1 x + an e B(x) = b0 x m + b1 x m −1 + ... + bm −1 x + bm são
polinómios de grau n e m, respectivamente, então tem-se A = B se e só se

n = m e a0 = b0 e a1 = b1 e... e an = bm .
2.1.1 Adição
Para adicionar dois polinómios aplicam-se as

propriedades comutativa e associativa da
adição e reduzem-se os termos semelhantes
Exemplo:
(4x 2
) ( )
+ 3x + 1 + 2 x 2 + 1 =
= 4 x 2 + 3x + 1 + 2 x 2 + 1 =
= 6 x 2 + 3x + 2
Ou, usando o algoritmo da adição:
4 x 2 + 3x + 1
2x 2 + 0x + 1
+
6x 2 + 3x + 2

2.1.2 Subtracção
Para obter a diferença de dois polinómios aplica-se a seguinte propriedade dos
números reais:
Para subtrair dois números adiciona-se, ao
aditivo, o simétrico do subtractivo.
Exemplo: 2 − 3 = 2 + (− 3 )
a − b = a + (−b )
( ) (
Exemplo: 4 x 2 + 3x + 1 − 2 x 2 + 1 = )
(
= 4x 2 + 3x + 1) + (− 2 x − 1)
2
= 2 x 2 + 3x
2.1.3 Multiplicação
Para calcular o produto de dois polinómios aplica-se a

propriedade distributiva da multiplicação relativamente à
adição e, em seguida, adicionam-se os termos
semelhantes.
( ) (
Exemplo: 4x 2 + 3x + 1 × 2 x 2 + 1 = )
= 8 x 4 + 4x 2 + 6x 3 + 3x + 2 x 2 + 1 =
= 8 x 4 + 6x 3 + 6 x 2 + 3x + 1
Exercícios Resolvidos:
1. Considere os polinómios A, B e C definidos por
A(x) = x3 + x2 + 3, B(x) = x2 + 2x + 1 e C(x) = 2x + 4.
Calcule os coeficientes e o grau do polinómio A - BC.
Resolução:
A(x) - B(x)C(x) = (x3 + x2 + 3) - (x2 + 2x + 1) (2x + 4)

= x3 + x2 + 3 - (x2 + 2x + 1) 2x - (x2 + 2x + 1) 4
= x3 + x2 + 3 - (2x3 + 4x2 + 2x) - (4x2 + 8x + 4)
= x3 + x2 + 3 - 2x3 - 4x2 - 2x - 4x2 - 8x - 4
= (x3 - 2x3) + (x2 - 4x2 - 4x2) + (-2x - 8x) + (- 4 + 3)
= -x3 - 7x2 - 10x - 1,
logo os coeficientes do polinómio A - BC são a0 = -1, a1 = -10, a2 = -7 e

a3 = -1, e o seu grau é 3.
2. Calcule os coeficientes do único polinómio A de grau 2 que verifica

A(-1) = 2 e A(0) = 5 e A(1) = 3.
Resolução: Se a0, a1 e a2 são os coeficintes de A, temos
A(x) = a2x2 + a1x + a0, para qualquer x ∈ ℜ .
e portanto:
A(-1) = a2 (-1)2 + a1 (-1) + a0 = a2 - a1 + a0;
A(0) = a202 + a10 + a0 = a0;
A(1) = a212 + a11 + a0 = a2 + a1 + a0.
Vemos assim que o polinómio A verifica
A(-1) = 2 e A(0) = 5 e A(1) = 3
se e só se
a2 - a1 + a0 = 2 e a0 = 5 e a2 + a1 + a0 = 3,
ou ainda
a2 - a1 = -3 e a0 = 5 e a2 + a1 = -2.

Logo os coeficientes de A são a0 = 5, a1 = 1/2 e a2 = -5/2.
2.1.4 Divisão Inteira de Polinómios

No conjunto dos números naturais, ℵ , efectuar a divisão inteira de
um número D (dividendo) por um número d (divisor) é encontrar um
número natural q (quociente) e um natural r (resto), tais que:
D = d × q + r , com r < d
Se o resto é zero , então D = d × q
Recorde que para quaisquer polinómios A(x ) e B (x ) existem polinómios

únicos Q(x ) e R (x ) que verificam simultaneamente:
1. A(x ) = B (x ).Q(x ) + R (x )
2. R (x ) é o polinómio nulo, ou grau R (x ) < grau B (x ) .
Os polinómios Q(x ) e R (x ) chamam-se respectivamente quociente e

resto da divisão inteira de A(x ) por B (x ) . Se R (x ) é o polinómio nulo
temos A(x ) = B (x ).Q (x ) , e dizemos neste caso que A(x ) é divisível por
B (x ) .
1. Calcule o quociente e o resto da divisão inteira de
A(x) = 4x3 + 8x2 + 1 por B(x) = 2x2 + 3x - 1.
Resolução: Recorde que o algoritmo da divisão inteira de polinómios

permite calcular o quociente e o resto da divisão inteira de dois quaisquer
polinómios. Neste caso obtemos:

e portanto
Q(x) = 2x + 1 e R(x) = 2 - x.
Descrição do algoritmo da divisão:
a) Começa por se escrever, ordenadamente, o dividendo e o divisor

segundo as potências decrescentes de x, escrevendo também os
termos nulos do dividendo.
b) Dividem-se os termos de maior grau do dividendo e do divisor.
Exemplo: 4 x 3 : 2 x 2 = 2 x
c) Multiplica-se o divisor pelo termo de maior grau do quociente,
escreve-se o simétrico desse produto e adiciona-se ao dividendo,
obtendo assim o resto parcial. Neste caso o resto parcial será,
2x 2 + 2x + 1.
d) Divide-se o termo de maior grau do resto parcial pelo termo de
maior grau do divisor. Exemplo: 2 x 2 : 2 x 2 = 1 . O resultado é o
segundo termo do quociente. Repete-se em seguida todo o
processo.
2. Calcule o quociente e o resto da divisão inteira de
A(x) = x3 + 6x2 + 7x - 1 por B(x) = x + 3.
Resolução: Implementando o algoritmo da divisão obtemos:

logo
Q(x) = x2 + 3x - 2 e R(x) = 5.
Alternativamente poderíamos utilizar a regra Ruffini. Recorde que este

algoritmo permite determinar o quociente e o resto da divisão de A(x) por
B(x) quando (e só quando) B(x) = x - a. Neste caso teríamos
1 6 7 -1
-3 -3
x 1 3
1 6 7 -1
-3 -3 -9
x 1 3 -2
1 6 7 -1
-3 -3 -9 6
x 1 3 -2 5
e portanto Q(x) = x2 + 3x - 2 e R(x) = 5.
2.2 Raízes (ou Zeros) de um Polinómio

Dado um polinómio
A( x ) = a0 x n + a1 x n −1 + ... + an −1 x + an
diz-se que um número α ∈ ℜ é uma raiz real de A(x ) se
. A(α ) = a0α n + a1α n −1 + ... + an −1α + an = 0
As raízes reais de um polinómio A(x ) são portanto as soluções reais da

equação polinomial

. a0 x n + a1 x n −1 + ... + an −1 x + an = 0
Note que se A(x ) é um polinómio e α é um número real, então o resto

da divisão inteira de A(x ) por x - α é A( α ). Isto significa que existe um
polinómio Q (x ) tal que
A(x ) = Q(x )(x − α ) + A(α ) (1)
e portanto
α é raiz de A(x ) ⇔ A(x ) é divisível x − α . (2)
Recorde que esta equivalência fundamental desempenha um papel

importante no cálculo das raízes reais de um polinómio. Em particular
permite demonstrar que qualquer polinómio de grau n não pode ter mais
do que n raízes.
1. Considere o polinómio
A(x) = x6 - x5 - 2x4 + x2 - x - 2
e os números -1, 1, -2 e 2. Verifique que dois destes números são raízes

de A.
Resolução: Temos:
A(-1) = (-1)6 - (-1)5 - 2 (-1)4 + (-1)2 - (-1) - 2 = 0,
A(1) = 16 - 15 - 2 (1)4 + 12 - 1 - 2 = - 4,
A(-2) = (-2)6 - (-2)5 -2(-2)4 + (-2)2 - (-2) - 2 = 68
A(2) = 26 - 25 - 2 (2)4 + 22 - 2 - 2 = 0.
Vemos assim que A(-1) = 0, A(1) 0, A(-2) 0 e A(2) = 0. Logo, dos

números -1, 1, -2 e 2, apenas -1 e 2 são raízes de A.

2. Considere o polinómio
A(x) = x3 + x2 - 2x -2.
Calcule o resto da divisão de A por x − 2 . Verifique que A é divisível

por x − 2 .
( )
Resolução: Sabemos por (1) que o polinómio R (x ) = A 2 é o resto da
divisão de A por x − 2 . Assim basta calcular
( ) ( 2) + ( 2) − 2
A 2 =
3 2
2 −2 =
= 23 + 2 2 − 2 2 − 2 = 0
para concluir que R(x) é o polinómio nulo. Isto demonstra que A(x) é
divisível por x − 2
3. Calcule as soluções reais da equação
2x2 = 3x + 1.
Resolução: A equação
2x2 = 3x + 1
é equivalente a
2x2 - 3x - 1 = 0.
Recorde que para resolvermos a equação polinomial
ax2 + bx + c = 0,
devemos distinguir dois casos:
1º Se a = 0 e b 0 ficamos na presença de uma equação do 1ª grau.

Neste caso a equação tem solução única dada por
c
α =− .
b

2º Se a 0 ficamos na presença de uma equação do 2º grau. Neste caso
a existência de soluções para esta equação depende do descriminante
∆ = b2 - 4ac.
o Se ∆ > 0 a equação tem exactamente duas soluções

dadas por
−b+ ∆ −b− ∆
α1 = e α2 =
2a 2a
o Se ∆ = 0 a equação tem solução única dada por
b
α =− .
2a
o Se ∆ < 0 a equação não tem soluções reais.
Neste caso temos a = 2, b = -3 e c = -1 e portanto
∆ = (-3)2 - 4 (2) (-1) = 17 > 0,
logo a equação tem duas soluções irracionais dadas por
3 + 17 3 − 17
α1 = e α2 = .
4 4
4. Calcule as raízes do polinómio
(
A( x ) = x 2 − 2 x − 3 )( )
Resolução: Temos
(x 2
)( )
− 2 x − 3 = 0 ⇔ x2 − 2 = 0 ∨ x − 3 = 0
assim, porque as raízes do polinómio x 2 − 2 são − 2 e 2, e 3é a
única raiz de x − 3 , vemos que as raízes de A(x) são − 2 , 2e 3.

5. Sabendo que o número 2 é uma raiz do polinómio
A(x) = x3 - 2x2 - 3x + 6,
calcule todas as raízes reais de A.
Resolução: Porque 2 é raiz de A sabemos por (2) que existe um

polinómio Q tal que
A(x) = Q(x)(x - 2).
Note que Q é o quociente da divisão de A(x) por x - 2. Assim, pela regra

de Ruffini:
1 -2 -3 6
2 2 0 -6
x 1 0 -3 0
vemos que Q(x) = x2 - 3 e portanto
A(x) = (x2 - 3)(x - 2).
Temos então
( )
A(x ) = 0 ⇔ x 2 − 3 = 0 ∨ x − 2 = 0 , logo as raízes de A(x) são 2, − 3
e 3.
6. Sabendo que uma das raízes do polinómio
A(x) = 2x3 + 14x2 - x - 7
é um número inteiro, calcule as raízes de A.

Resolução: Recorde que se o polinómio
A( x ) = an + an −1 x + ... + a0 x n
é tal que an ,..., a0 ∈ Z e an ≠ 0 , e α ∈ Z é uma raiz de A(x), então tem-

se
an
∈Z , (3)
α
ou seja an é divisível por α. Este facto, útil na determinação das raízes

inteiras de um polinómio com coeficientes inteiros, decorre
imediatamente da definição de raiz.
Vemos assim por (3) que qualquer raiz inteira α de
A(x) = 2x3 + 14x2 - x - 7
terá de verificar
−7
∈Z .
α
Isto significa que as possíveis raízes inteiras de A(x) se encontram entre

os elementos de
{-7, -1, 1, 7}.
Assim basta calcular
A(-7) = 0, A(-1) = 6, A(1) = 8, A(7) = 1358
para concluir que -7 é a única raiz inteira de A(x). Para calcular as

restantes raízes de A(x) podemos recorrer a (2) para factorizar A(x).
Dividindo A(x) por x + 7:

2 14 -1 -7
-7 -14 0 7
x 2 0 -1 0
vemos que
A(x) = (2x2 – 1) (x + 7)
e portanto
(
A( x ) = 0 ⇔ 2 x 2 − 1 = 0 ∨ x + 7 = 0 )
2 2
Logo as raízes de A são -7, − e .
2 2
3. Casos notáveis da multiplicação de binómios
A multiplicação de dois polinómios pode processar-se sempre do mesmo

modo.
No entanto, há produtos de polinómios que aparecem com muita frequência e
com variadas aplicações em Matemática e que nos merecem especial atenção:
o quadrado do binómio e a diferença de quadrados.
Assim chamam-se casos notáveis da multiplicação ao produto de dois binómios

iguais (a + b )(a + b ) = (a + b ) ou ao produto de dois binómios conjugados
2
((a + b )(a − b )) .
Nota:
Área do quadrado
a
A =a2
Área do rectângulo a
A =ab b

Entre todos os produtos de polinómios há três casos que têm um interesse
particular, não só pela sua aplicação a muitas situações, como pela sua ligação
à geometria.
1. O quadrado da soma
Vejamos se (a + b ) = a 2 + 2ab + b 2
2
Temos (a + b ) = (a + b )(a + b )
2
Aplicando a regra geral do produto de b2 ab b
polinómios temos: a+b
(a + b )2 = a 2 + ab + ab + b 2 ab a2 a
(a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2
A=A + A +A +A
Logo,
(a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2
2. O quadrado da diferença
2
(a-b) a-b
a ba
(a − b )2 = (a − b )(a − b ) ab b
= aa - ab - ba - b(- b ) =
= a2 − ab − ab + b 2 =
= a2 − 2ab + b 2
Logo,
(a − b )2 = a2 − 2ab + b 2

3. Diferença de quadrados
a+b
Vejamos se (a + b )(a − b ) = a 2 − b 2
a-b
Temos
a
(a + b )(a − b ) = a 2 + ab − ab − b 2
b
= a2 − b2
Logo,
(a + b )(a − b ) = a 2 − b 2
4. Decomposição de um polinómio em factores
Decompor um polinómio em factores ou factorizar um polinómio é escrevê-

lo sob a forma de um produto de factores do menor grau possível.
x 2 − 25 = (x − 5)(x + 5)
Polinómio Polinómio
não factorizado factorizado
x 2 + 2 x + 1 = (x + 1)(x + 1)
(x − 3)2 − 16 = (x − 3 − 4)(x − 3 + 4)
(x − 3)2 − 16 = (x − 7)(x + 1)

Existe um teorema que diz o seguinte:
Seja P (x ) = a0 x n + a1 x n −1 + ... + an −1 x + an um polinómio de

grau n, com n raízes x1, x 2 ,..., xn , então P (x ) pode ser
decomposto em factores do seguinte modo:
P (x ) = a0 (x − x1 )(x − x 2 )...(x − x n )
Se, por exemplo, x1 = x 2 , diz-se que a raíz x1 é dupla.

RELEMBRE: Fórmula Resolvente
Um polinómio pode ter raiz dupla, tripla, etc.
ax 2 + bx + c = 0
Exemplos: Decompor em factores − b ± b 2 − 4ac
x=
2a
1. Calcule-se as raízes dos trinómios.
2
a) 2 x − 7 x + 3
Resolução: 2x 2 − 7 x + 3 = 0
7 ± 49 − 24
x=
4
7±5
x=
4
1
x = 3∨ x =
2
1
Raízes: 3 e
2
 1
Então, 2 x 2 − 7 x + 3 = 2(x − 3) x − 
 2
b) 2 x 2 − 12 x + 18

Resolução: 2 x 2 − 12 x + 18 = 0
dividindo tudo por 2
x 2 − 6x + 9 = 0
(x − 3)2 = 0
x = 3 (raíz dupla )
Raízes: 3 (raíz dupla)
Então, 2 x 2 − 12 x + 18 = 2(x − 3)(x − 3)
c) x 2 − 4x + 5
Resolução: x 2 − 4 x + 5 = 0
x = 2± 4−5
Equação impossível
Raízes: não tem
Então, x 2 − 4 x + 5 não se pode decompor de modo que os factores tenham

grau inferior ao polinómio dado.
No conjunto dos números reais um polinomio de grau n tem no

máximo n raízes reais.

Exercícios Propostos
1. Indica o coeficiente e a parte literal de cada um dos seguintes

monómios:
1.1 5xy 2
1.2 − xy 2 z
4
1.3 b
5
2. Reduzindo os termos semelhantes, simplifica cada uma das

expressões seguintes:
2.1 a + b + 3a − 3b + 7a
x 2
2.2 x + 3x 2 − + 7x 2 + x
2 3
1 mn
2.3 mn + m + 3n − 7m + 2n −
2 3
1 2 1 8 7
2.4 z + yz + z − yz − z
2 3 4 3 5
1 1 2
2.5 2u 2v − u 2 − u 2v + 3u + u 2
2 4 5
3. Depois de reduzir e ordenar o polinómio:

3x 2 + x 3 1
+ x +3
0,1 2
Indique o grau, os termos nulos e o termo independente.
4. Dados os polinómios
1 2 3
R = x 3 − 3x 2 + 3 S= x − 2x + 1 T = x2 − x +
2 2
4.1 R + S +T
4.2 R − S − T
4.3 − R + S − T

4.4 − R − S − T
5.Efectua e simplifica
(
5.1 3 4 − 5x 2 )
(
5.2 x (3 − 2 x ) − 3 − x 2 − 8x + 2 )
5.3 a 2 b(2 − 3a ) − 4a(ab + b − 1)
1
(
5.4 3mn 2 (m − n ) + m 2 n − m 2 + 1
2
)
6. Apresenta sob a forma de polinómio reduzido
6.1 (a + 3)(b + 4)
6.2 (a − 3)(a − 4)
6.3 (a + 6)(3a + 8)
6.4 (2 − x )(3 + 5x )
(
6.5 (a − 2) 2a 2 − 3b + 4 )
( )(
6.6 2 + 3m 2 − n 2m − 5n 2 + mn )
6.7 (x − 3) + 3
2
6.8 (y + 2 ) − 3
2
 x 2 2x 1   2x 2 1 
6.9  + −  −  − 
 3 5 4   3 4
[ (
6.10 − 2 x 2 − − 5x − 6 + 2 x − 3x 2 + x − 2 )]
7. Qual o polinómio que se deve subtrair 7 x 3 − x − 3 , para se obter 2 − x 2 − 3x ?

8. Calcule aplicando a fórmula do quadrado do binómio
8.1 (2 x − 3)
2
8.2 (x + 7 )2
2
 1
8.3  y + 
 2
8.4 (4a − 3b )
2
8.5 (− x − 1)
2
8.6 (x + 1)2
9. Calcule, aplicando a diferença de quadrados
9.1 (x + 5)(x − 5)
9.2 (2 x − 1)(2 x + 1)
9.3 (1 − x )(1 + x )
 1  1 
9.4 1 − x 1 + x 
 2  2 
10. Completa
10.1 (x + ....) = .... + .... + 25

2
10.2 (y − ....) = .... − .... + 1

2
10.3 (z + ....) = .... + 8z + ....

2
10.4 (n + ....)(n − ....) = .... − 49
10.5 (.... + 4 ) = 9 x 2 + .... + ....

2

11. Usando o algoritmo da divisão, calcule o quociente e o resto
da divisão de:
11.1 4 x 2 − 3x + 1 : x + 1;
1 2
11.2 x − 3x 3 + 2 x : 3x − 2;
2
11.3 4 x 3 − 3x 2 + 13x + x 5 : x 2 − 2 x + 3
12. Usando a regra de Ruffini, determine o quociente e o resto da divisão:
( )
12.1 x 2 + 3x + 1 : (x − 3)
12.2 (x + 3x + 5x + 1) : (x − 2)
3 2
12.3 (4 x −3x + 1) : (x + 1)
2
1 
12.4  x 2 − 3x 3 + 2 x  : (3x − 2 )
2 
x3 + x2 + x +1
12.5
x +1
x5 +1
12.6
x+3
3x 3 + 5 x 2 + x − 5
12.7
3x − 1
13. Calcule o valor numérico do polinómio A(x ) = x 3 − 7 x 2 + x + 5 para:
14.1 x = 0
14.2 x = 1
14.3 x = −1
14. Averigue quais dos seguintes números: − 1; 3; − 2 e 5 são raízes do

polinómio x 3 − 7 x 2 + 7 x + 15 .
15. Determine a e b de modo que o polinómio x 4 − ax 3 + bx 2 + 3x + 1 seja

divisível por (x − 1)(x + 1) .

16 . Determine as raízes de cada um dos seguintes polinómios e decomponha-
os em factores:
16.1 2 x 2 − x − 1
16.2 5 x 2 + 19 x + 5
16.3 2 x 3 − 8 x
1 2 9
16.4 x 3 − x − 9x +
2 2
17. Averigue a multiplicidade da raíz −2 em cada um dos seguintes

polinómios e, em seguida, decomponha-o em factores:
17.1 x 3 + 5 x 2 + 8 x + 4
17.2 x 4 + 2 x 3 − 3x 2 − 4 x + 4
Soluções:
4
1.1 coeficient e : 5 1.2 coeficient e : -1 1.3 coeficient e :
5
2 2
parte literal : xy parte literal : xy z parte literal : b
2 7 2mn 13 13 1 2 7 2
2.1) 11a - 2b; 2.2) 10x + x;2.3 ) + 5n − m; 2.4) − z − 2 yz; 2.5) − u + u v + 3u
6 3 2 20 10 4
3 2 x 3 3 2 11 3 9 2 1 3 5 2 9 3 3 2 11
3 ) 10x + 30 x + + 3; 4.1) x − x − 3x + ; 4.2) x − x + 3 x + ; 4.3) − x + x − x − ; 4.4) − x + x + 3 x −
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 3 2 2 3 1 2 1 4 1 2
5.1) 12 − 5 x ; 5.2) x + 27 x − 6; 5.3) − 2a b − 3a b − 4ab + 4a; 5.4) 3m n − 3mn + m n − m + m
2 2 2
2 2 2
6.1) ab + 4a + 3b + 12; 6.2) a − 7a − 12; 6.3) 3a + 26a + 48; 6.4) - 5x + 7 x + 6;
3 2 2 3 2 2 3 3 2
6.5) 2a − 4a − 3ab + 4a + 6 b − 8; 6.6) 4m - 10n + 6m − 15 m n + 3 m n + 5 n − mn ;
2 2 x 2 2x 2
6.7) x − 6 x + 12; 6.8) y + 4 y + 1; 6.9) - + ; 6.10) - 5x + 8 x + 4
3 5

2 2 2 1 2 2 2 2
8.1) 4 x - 12x + 9; 8.2)x + 14x + 49 ; 8.3) y + y + ; 8.4) 16a - 24ab + 9b ; 8.5) x + 2x + 1; 8.6)x + 2 x + 1
4
2 2 2 1 2 2 1 1 2
9.1) x - 25 ; 9.2) 4x - 1; 9.3)1 - x ; 9.4) 1 - x ;11.1)Q (x ) = 4 x-7 R(x) = 8; 11.2)Q (x ) = − x − x + R(x) = ;
4 2 3 3
3 2
11.3)Q (x ) = x + 2 x + 5 x + 1 R(x) = −3;
2
12.1)Q (x ) = (x + 6 ) R(x) = 19; 12.2)Q (x ) = x + 5 x + 15 R(x) = 31;
3 2
12.3)Q (x ) = 4 x − 7 R(x) = 8; 12.4)Q (x ) = −3 x − x + 1 R(x) = ; 1
2 3
2 4 3 2
12.5)Q (x ) = x + 1 R(x) = 0; 12.6)Q (x ) = x − 3 x + 9 x − 27 x + 71 R(x) = −212;
2
12.7)Q (x ) = 3 x + 6 x + 3 R(x) = −4;
13.1)A (0 ) = 5; 13.2)A (1) = 0; 13.3)A (- 1) = −4; 14) As raízes são 3 e 5 ; 15) a = 3 b = -2;
1 - 19 + 261 - 19 − 261
16.1)Raíze s : - e 1;16.2)Raí zes : e ; 16.3)Raíze s : - 2,0 e 2;
2 10 10
16.4); 17.1)Multi plicidade 2; 17.2)Multi plicidade 2;

Capítulo 3
Equações e Inequações do 1º
e 2º Grau

Equações
Equações do 1º grau
o Equações com denominadores

o Equações literais
Equações de grau superior ao 1º
o Operações com polinómios (adição algébrica, multiplicação)

o Lei do anulamento do produto, disjunção de condições e reunião
de conjuntos
o Casos notáveis da multiplicação de binómios
Objectivos:
Interpretar o enunciado de um problema

Traduzir um problema por meio de uma equação
Procurar soluções de uma equação
Escrever o enunciado de um problema que possa ser traduzido por meio
de uma equação dada
Resolver equações do 1º grau a uma incógnita
Resolver equações literais em ordem a uma das incógnitas
Operar com polinómios simples
Decompôr um binómio ou trinómio em factores
Aplicar a lei do anulamento do produto à resolução de equações
Interpretar e criticar as soluções de uma equação no contexto de um
problema
Pré-requisitos:
Resolução de equações do primeiro grau: soluções, equações

equivalentes, redução de termos semelhantes
Resolução de problemas

3 Equações do 1º grau
Embora todos os dias se resolvam situações que envolvem cálculos mais ou

menos simples (contar dinheiro, programar o tempo, etc.), nem sempre a
solução é imediata e daí a necessidade de, por vezes, equacionar o problema.
Equação Igualdade que contém pelo menos uma letra de valor

desconhecido.
Incógnita Letra ou letras que aparecem na equação e que representam

valores desconhecidos.
Resolver uma equação Descobrir o valor da incógnita que torna a

igualdade verdadeira. Esse valor é a raiz ou solução da equação.
Numa equação o sinal = separa a equação em duas partes, os

membros.
Cada membro é formado por um ou mais termos.
Para verificar se um dado número é ou não raiz ou solução da equação:
Substitui-se, na equação, a incógnita pelo número dado;

Observa-se a igualdade obtida:
Se for verdadeira, esse número é raiz ou solução da equação
Se for falsa, esse número não é raiz ou solução da equação
Equações equivalentes são as que admitem as mesmas soluções
3.1 Regras usadas na resolução de equações
3.1.1 Regra da adição
Adicionando ou subtraindo o mesmo número aos dois membros da equação,

obtemos uma equação equivalente à dada, o que, na prática, se traduz por:
Numa equação podemos mudar um termo de um membro para o outro

trocando-lhe o sinal.

3.1.2 Regra da multiplicação
Numa equação podemos multiplicar ou dividir ambos os membros pelo mesmo

valor (diferente de zero), que obtemos uma equação equivalente à inicial.
3.2 Classificação de equações:
Determinadas
Possíveis
Indeterminadas
Impossíveis
As equações com mais do que uma variável chamam-se equações literais.
Exemplo:
3x + 2 y = 5
Monómio é uma expressão em que apenas surge a multiplicação a ligar

constantes e/ou variáveis.
Exemplo:
5xy (coeficiente: 5 ; parte literal: xy )
Grau de um monómio é a soma dos expoentes das variáveis.
Exemplo:
2 3
xy z - monómio de grau 6

Os monómios que têm partes literais iguais chamam-se monómios
semelhantes
Exemplo:
1
2 xy e xy são monómios semelhantes
2
Grau de um polinómio é o maior dos graus dos seus termos
Exemplo:
2 3
x + 3x + 3x + 1 -polinómio de grau 3
Adição Algébrica
Para adicionar dois polinómios, utilizam-se as propriedades usuais da adição

(comutativa, associativa, etc.) e segue-se o processo já estudado para
adicionar monómios.
Etapas Exemplo
2 2
(3 x − 2 x + 1) − ( x + 7 x − 8)
2. Desembaraçar de 3x
2
− 2x + 1 − x
2
− 7x + 8
parêntesis
3. Pela propriedade 3x
2
−x
2
− 2x − 7x + 1 + 8
comutativa pode-se juntar
os monómios, ou termos,
semelhantes
4. Adicionam-se os termos 2x
2
− 9x + 9
semelhantes até obtermos
um polinómio reduzido

3.3 Equações do 1º grau com denominadores
Etapas Exemplo
3 3 3 
x+  x − x  + 135 = x
5 8 5 
1. Desembaraçar a equação de
parênteses
• Usar a propriedade
distributiva da
multiplicação para
eliminar os parêntesis
2. Desembaraçar a equação de
denominadores
• Multiplicar ambos os
membros da equação
pelo m.m.c.(5,8,40) = 40 3 3 9
x+ x− x + 135 = x
5 8 40
(x8) (x5) (x40) (x40)
24 15 9 5400 40
x+ x− x+ = x
40 40 40 40 40
• Suprimir os 24 x + 15 x − 9 x + 5400 = 40 x
denominadores
3. Agrupar:
• Termos com incógnitas
num membro
• Termos sem incógnita
noutro membro
Ao trocar um termo de
24 x + 15 x − 9 x − 40 x = −5400
membro mudar o sinal
4. Reduzir os termos semelhantes −10 x = −5400
5. Dividir ambos os membros de x = 540

equação pelo coeficiente de x
(regra da multiplicação)

Verificação:
Substitui-se na equação x por 540:
3 3 3 
× 540 +  540 − × 540  + 135 = 540
5 8 5 
3
324 + × 216 + 135 = 540
8
324 + 81 + 135 = 540
540 = 540

Exercícios propostos:
1. Resolva cada uma das seguintes equações:
x−2 3
a) + x =3
4 2
1 x + 2 3 1
b)   − = +x
2 4  8 4
2x − 1 2 − 4x x −1
c) − =
3 5 15
2. Três irmãos decidem comprar um CD para oferecer à mãe no dia do

seu aniversário. O irmão mais velho paga metade; o segundo paga a
terça parte e o mais novo paga 3 €, que é o que falta. Qual é o preço
do CD?
3. Resolva cada uma das equações em ordem à letra indicada entre
parêntesis
a) 3 a + b = a − 2b (a)
b) P = 2π r (r )
( )
c) 3 x − 2 1 + y = 5 y + 2 ( y)
4. Um agricultor dispõe de 200€ para vedar um terreno rectangular. A

vedação deve ser feita do seguinte modo: um dos lados com tijolo e
rede nos restantes três.
Cada metro de rede custa 2€ e cada metro de parede em tijolo fica
por 4€.
a) Escreva uma equação que

x 10 20 30
y
Relacione x e y.
y
b) Resolva a equação obtida,
x em ordem a y.
c) Complete o quadro ao lado.

5. Considere as expressões:
1 2 3 3 1 2
A( x ) = − x + 2x − 5 ; B ( x ) = 4 x − 5 x + 1 ; C ( x ) = −2 x + x + 7 x
2 3
Determine:
a) A + B
b) A − B + C
c) 2 A − (3C − B )
Soluções:
1a )S = {2}; b )S = − 3 ; c )S = 10 ;2O preço do CD é de 18€;3a )a = − 3 b; b )r =

P
; c )y =
3x − 4
 7  21 2 2π 7
3 3 1 2 3 1 2
4a )200 = 6 x + 4 y ; b )y = 50 − x; c )y = 35, y = 20, y = 5;5a )4 x − x − 3 x − 4; b ) − 6 x − x + 14 x − 6;
2 2 6
3 2
c )10 x − 2 x − 22 x − 9;

3.4 Intervalos de números reais
Condição Recta real Intervalo

{x∈IR:a< x<b} ] [
a, b
a b
{ x∈IR:a≤ x<b} [ [
a, b
a b
{x∈IR:a< x≤b} ] ]
a, b
a b
{x∈IR:a≤ x≤b} [ ]
a, b
a b
{x∈IR:x>a} ]a , +∞ [
a b
{x∈IR:x<b} ]−∞ , b [
a b
3.4.1 Reunião e intersecção de intervalos de números reais
A reunião do intervalo A com o intervalo B representado por A∪ B é constituído

por todos os elementos de ambos os intervalos.
Exemplo:
A = 0;5 e B =  −3;3 , na recta real temos:
-3 0 3 5
A∪ B = ] ]
−3; 5
A intersecção do intervalo A com o intervalo B representado por A∩ B é

constituído por todos os elementos comuns aos dois intervalos.
Exemplo:
A = 0;5 e B =  −3;3 , na recta real temos:
57 Marisa-3Oliveira, Susana Araújo

3 5
0
A∩ B = [ [
0; 3
3.5 Inequações do 1º grau
Uma inequação é uma expressão onde está presente uma ou mais variáveis e
um sinal de desigualdade (>, <, ≤ ou ≥).
Exemplo:
2x − 5 ≥ 3
2º membro
1º membro
Solução de uma inequação é o valor ou conjunto de valores que ao serem

concretizados na variável, obtêm uma proposição verdadeira.
Exemplo:
2x + 1 ≥3 5 é uma solução da inequação pois substituindo x por 5 temos:
2.(5) + 1 ≥ 3 ⇔ 10 + 1 ≥ 3 ⇔ 11 ≥ 3 proposição verdadeira
Este é o processo que utilizamos para verificar se um número é solução de

uma inequação. Duas ou mais inequações são equivalentes se tiverem o
mesmo conjunto solução.
3.5.1 Resolver uma inequação
Significa determinar o seu conjunto solução. Os passos a seguir, na resolução

de uma inequação são os seguintes:
a) Desembaraçar de parênteses, caso os haja.
b) Desembaraçar de denominadores, se existirem.
c) Todos os termos com incógnita passam para o 1º membro e os
restantes para o 2º membro.
d) Isolar a incógnita.
e) Apresentar o conjunto-solução.
3.5.2 Princípios de equivalência de inequações
1º Se substituirmos um ou os dois membros de uma inequação por uma

expressão equivalente, ainda obtemos uma inequação equivalente à primeira.
Exemplo:
− ( x + 2) ≤ 2( x − 2) ⇔ − x − 2 ≤ 2 x − 4
2º Se numa inequação mudarmos um termo de um membro para o outro

trocando-lhe o sinal, ainda obtemos uma inequação equivalente à primeira.
Exemplo:
−x − 2 ≤ 2x − 4 ⇔ −x − 2x ≤ 2 − 4
3º Quando multiplicamos ou dividimos ambos os membros de uma inequação

pelo mesmo número positivo, ainda obtemos uma inequação equivalente à
primeira.
Exemplo:
x x
≥ 2 ⇔ 3. ≥ 3.2 ⇔ x ≥ 6
3 3
4º Quando multiplicamos ou dividimos ambos os membros de uma inequação

pelo mesmo número negativo, teremos de inverter o sentido da desigualdade
para obtermos ainda uma inequação equivalente à primeira.
Exemplo:
−2 x 3 3
−2 x ≥ 3 ⇔ ≤ ⇔ x ≤ −
−2 −2 2

3.6 Disjunção e conjunção de inequações
À disjunção (v) de inequações está associada a reunião ( ∪ ) de conjuntos.
Exemplo:
x + 1 ≥ 2 ∨ x < −3 ⇔ x ≥ 1 ∨ x < −3
-3 0 1
]− ∞;−3[ ∪ [1;+∞[ conjunto-solução da disjunção das duas inequações.
À conjunção ( ∧ ) de inequações está associada a intersecção ( ∩ ) de conjuntos.
Exemplo:
x x
− ≥ −1 ∧ x − 3 > −3 ⇔ − .( −2) ≤ ( −1).( −2) ∧ x > −3 + 3 ⇔ x ≤ 2 ∧ x > 0
2 2
0 2
] ] ] [ ] ]
−∞ ; 2 ∩ 0, +∞ = 0; 2 conjunto-solução da conjunção das duas inequações

Exercícios propostos:
x −1
1. Considere as condições A , B, C e D : A =  x ∈ IR : 
− 1 ≥ x + 2
 2 
 1 x
B =  x ∈ IR : 3 x + < 5 + 
 2 2
C = { x ∈ IR : −5 ≤ x < 3}
D = { x ∈ IR : x > 1}
Represente sob a forma de intervalo de números reais:

a) O conjunto A
b) O conjunto B
c) O conjunto C
d) O conjunto D
e) C ∪ D
f) A∪ B
g) A∩ B
h) ( A∪B ) ∩ 2;+∞ 
i) C ∩ D
j) ( C ∪D ) ∩ 2;+∞ 
2( x + 1) 3( x − 2)
2. Considere a inequação +1 ≤ 2−
3 5
3
a) Verifique se é solução da inequação.
2
b) Qual é o conjunto-solução da inequação?

c) Que conjunto solução se irá obter se fizer a conjunção dessa
2x − 1 x − 2
inequação com a inequação + 2 >1− ?
4 2

3. Resolva cada uma das seguintes condições apresentando, sempre que
possível, o resultado sob a forma de intervalo de números reais.
2 2 1
a) ( x − 2) + 1 > ( x − 1) −
2
x ( x − 1) x ( x + 2) 2
x
b) − ≤
6
−1
2 3
x 1 x −1
c) − ≤ x −1∧
3
−1≤ 1
2 3
d) { x − 1 > 2x − 1
2 x + 1 < 3x − 1
x −5 3
e) − x > x −1
2 4
1
x +
f) 0 ≤
2
≤ 5
3
4. Considere que
 x − 1 + 1
f ( x ) = −2  
 3 
a) Resolva as equações:
a1 f ( x) = 0
b1 f ( x) = 1
b) Resolva a inequação f ( x ) ≥ −5
c) Quais os dois maiores números inteiros que verificam a condição

f ( x ) ≥ −5 ?
d) Determine os valores de x para os quais f ( x ) não é positiva.
x −1 x + 3
5. Considere a inequação + < x +1
2 5
a) Verifique, sem resolver a inequação, que 2 pertence ao conjunto-

solução, justificando a sua resposta.
−
b) Qual o menor número pertencente a Z que satisfaz a inequação
dada?
c) Resolva a conjunção da inequação dada com a seguinte:
2( x + 2) 3( x − 1)
− +1≤ 0
3 2
d) Apresente o conjunto-solução da disjunção das duas inequações.
6. Resolva os seguintes problemas:
a) A diferença do dobro de um número pela sua terça parte é maior que

o quíntuplo da soma desse número com dois
i. Traduza para linguagem matemática o enunciado do
problema.
ii. Determine o maior número inteiro que satisfaz a
condição enunciada.
b) Determine o conjunto dos números inteiros que verificam
simultaneamente as condições seguintes:
- A diferença entre cada um deles é quatro e negativa.
- A soma de quádruplo de cada um deles com dois não é
negativa.
c) A família da Sofia foi de férias no Verão passado à ilha de São

Miguel, nos Açores, e aí decidiram alugar um carro para visitar a ilha.
Tiveram a possibilidade de escolha a agência de aluguer de
automóveis “Popó” e a “Calhambeque”. A primeira praticava o preço
de 9 euros fixo mais 15 cêntimos ao km e a segunda 14 euros fixo
mais 12 cêntimos ao km. O pai da Sofia optou pela agência
“Calhambeque”, tendo percorrido 850 km. Terá sido a escolha mais
económica? Justifica a tua resposta.

Soluções:
 9  9
1a )A = ]− ∞;−7]; b )B =  − ∞; ; c )A ∪ B = B =  − ∞; ; d )A ∩ B = A = ]− ∞;−7]; e)( A ∪ B ) ∩ [2 : +∞[ = B ∩ [2 : +∞[ = ∅
 5  5
3  23   1 23   9 6   4
2a) não é solução da inequação ; b )x ∈  − ∞; ; c )x ∈  ; ;3a)C.S =  − ∞; ; b)C.S =  ;+∞ ; c )C.S =  − ∞; ;
2  19   4 19   4 7   3
2   6  1 29  5 
d )C.S =  ;10 ; e)C.S =  − ∞;− ; f )C.S =  − ; ;4a1 )C.S =  ; a2 )C.S = {1}; b )C.S = ]− ∞;10]; c )9 e 10;
3   5  2 2 2 
5   23 
d )C.S =  ;+∞ ;5a )2 é solução da inequação; b ) − 2; c )C.S =  ;+∞ ; d )]− 3;+∞[;
2  5 
x
6a1 )2x − > 5(x + 2); a2 ) − 4; b ){0,1,2,3}; c ) sim a escolha foi acertada em termos económicos.
3

3.7 Equações do 2º grau
Objectivos:
Traduzir o enunciado de um problema da linguagem corrente para

a linguagem matemática.
Decompor um binómio ou trinómio em factores, com vista à
resolução de equações
Resolver equações do 2º grau, procurando utilizar o processo
mais adequado a cada situação ( lei do anulamento do produto,
fórmula resolvente, noção de raiz quadrada).
Interpretar e analisar as soluções ou a impossibilidade de uma
equação no contexto de um problema.
Discutir, apresentando argumentos, o processo usado na
resolução de um problema.

Equações do 2º grau
2
Toda a equação que seja equivalente a uma equação do tipo ax + bx + c = 0 em
que a, b e c são números reais e a ≠ 0, é uma equação do 2º grau.
2
Quando uma equação do 2º grau está escrita na forma ax + bx + c = 0 , em que a,
b e c são números reais e a ≠ 0 dizemos que a equação está escrita na forma
canónica.
2
a – coeficiente do termo x
b – coeficiente do termo em x
c – termo independente
3.7.1 Classificação das equações do 2º grau
As equações do 2º grau podem classificar-se em:
Completas quando b ≠ 0 e c ≠ 0
2
Incompletas quando b = 0 ax +c = 0
2
c = 0 ax + bx = 0
2
b = 0 e c = 0 ax = 0
Factorização de um polinómio
Factorizar é transformar num produto uma adição algébrica.
Colocação em evidência do factor comum

x é o factor comum
ax + bx = x ( a + b )
adição produto

Exemplos:
2
3x + 2 x = x (3 x + 2)
( 2 x + 3)( x + 3) − ( 2 x + 3) = ( 2 x + 3)( x + 3 − 1) = ( 2 x + 3)( x + 2)
Lei do anulamento do produto
O produto de dois ou mais factores é zero quando pelo menos um deles é zero.
a×b = 0 ⇔ a = 0 ∨ b = 0
Exemplos:
a) (2 x + 3)( x + 2) = 0 ⇔ 2 x + 3 = 0 ∨ x + 2 = 0
b) a(a − 3) = 0 ⇔ a = 0 ∨ a − 3 = 0
3.7.2 Resolução de equações do tipo ax 2 + b = 0, a ≠ 0
 b
se < 0 a equação é impossível
a

2 2 b  b b
ax = b ⇔ x = se > 0 a equação tem duas raízes distintas x = ±
a  a a
 b
se = 0 a equação tem uma única solução x = 0
 a
Exemplos:
5 5
2 x2 − 5 = 0 ⇔ 2 x 2 = 5 ⇔ x2 = ⇔x=±
2 2
a)
 5 5 
C.S . = − ; 
 2 2 
2 x 2 + 5 = 0 ⇔ 2 x 2 = −5 equação impossível
b) `
C.S . = { }

0
2 x2 = 0 ⇔ x2 = ⇔ x2 = 0 ⇔ x = 0
c) 2
C.S . = {0}
3.7.3 Resolução de equações do tipo ax 2 + bx = 0, a ≠ 0
ax 2 + bx = 0 ⇔ x( ax + b) = 0
⇔ x = 0 ∨ ax + b = 0
b
⇔ x = 0∨ x = −
a
 b
C.S . = 0; − 
 a
Exemplo:
2 x 2 − 4 x = 0 ⇔ x(2 x − 4) = 0
⇔ x = 0 ∨ 2x − 4 = 0
4
⇔ x = 0∨ x = = 2
2
C.S . = {0; 2}
3.7.3 Equações do 2º grau completas ax 2 + bx + c = 0
1º Caso - Se for possível transformar o 1º membro no quadrado de um binómio
2
( cx + d ) = 0 ⇔ cx + d = 0
d
⇔ x=−
c
 d
C.S . = − 
 c
Exemplo:
x 2 − 4 x + 4 = 0 ⇔ ( x − 2) 2 = 0
⇔ x−2 = 0 ⇔ x = 2
C.S . = {2}
O primeiro membro de uma equação do 2º grau completa escrita na forma

canónica nem sempre é o desenvolvimento do quadrado de um binómio.

2º Caso – Usando a fórmula resolvente
Fórmula resolvente das equações do 2º grau:
−b ± b 2 − 4ac
x=
2a
Onde a, b e c são os coeficientes dos termos da equação, com a ≠ 0
Exemplo:
x 2 + 3x − 70 = 0 ⇔
−3 ± 32 − 4 × 1× (−70)
⇔x=
2 ×1
−3 ± 9 + 280
⇔x=
2
−3 ± 289
⇔x=
2
−3 ± 17
⇔x=
2
14 20
⇔x= ∨x=− ⇔ x = 7 ∨ x = −10
2 2
C.S . = {−10;7}

1. Resolva as seguintes equações, através do método que considere mais

adequado:
x2
a) = −4( x + 2)
2
b) ( x + 4 )2 = 25
c) ( x + 3)2 = 7
d) x 2 + 18 x − 19 = 0
e) x 2 − 10 x + 22 = 0
f) x 2 + 3 x − 70 = 0
g) x 2 = 5 ( − x + 1)
2. Um terreno rectangular tem 666 m 2 . Calcule as dimensões do terreno

sabendo que o comprimento excede em 19 m a largura.
A = 666 m 2 x - 19
3. O triplo da idade do Ricardo é igual ao quadrado da sua metade. Qual é

a idade do Ricardo?
Soluções:
{ }
1a )C.S = {− 4}; b )C.S = {− 9,1}; c )C.S = − 3 − 7 ;−3 + 7 ;
2 )compriment o = 37, l arg ura = 18;3 )12

3.8 Inequações do 2º grau
3.8.1 Gráfico da função de segundo grau
O gráfico da função definida de IR em IR por f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) é uma

curva chamada parábola, que terá concavidade voltada para cima se a > 0 ou
para baixo se a < 0.
O gráfico de qualquer função f(x) corta o eixo Ox nos seus zeros (ou raízes).
No caso da parábola, isso ocorre dependendo do valor do discriminante ∆ .
• Se ∆ > 0, a parábola intersecta o eixo Ox em dois pontos (a função tem

duas raízes distintas).
• Se ∆ = 0, a parábola intersecta o eixo Ox num único ponto (a função
tem uma raiz dupla).
• Se ∆ < 0, a parábola não intersecta o eixo Ox (a função não tem raízes
reais).
A parábola possui um eixo de simetria que passa pelo vértice V.
O vértice V pode ser um ponto de máximo (a < 0) ou um ponto de mínimo (a >

0) da função.
O vértice da parábola é dado por V  − , −  .

b ∆
 2a 4a 
Para resolvermos uma inequação do 2º grau, utilizamos o estudo do sinal.
As inequações são representadas pelas desigualdades: > , > , < , < .
Exemplo:
x 2 − 3x + 2 > 0
x 2 − 3x + 2 = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = 2

Como desejamos os valores para os quais a função é maior que zero
devemos fazer um esboço do gráfico e ver quais os valores de x para os quais
isso ocorre.
Vemos, que as regiões que tornam positivas a função são: x<1 e x>2
C.S. = {x ∈ IR: x<1 ou x>2} = ]−∞;1[ ∪ ]2; +∞[
Exemplo:
−8 < x 2 − 2 x − 8 < 0
1º Passo) Separar as inequações, obedecendo o intervalo dado.
Temos:
I) x 2 − 2 x − 8 > −8 e
II) x2 − 2x + 1 < 0
2º Passo) Determinar as raízes ou zeros de cada uma das funções obtidas

pela separação x 2 − 2 x + 1 < 0 .
I) x 2 − 2 x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 2
II) x 2 − 2 x + 1 = 0 ⇔ x = 1 (raíz dupla)

3º Passo) Fazer o estudo do sinal para cada função.
I) x < 0 ∨ x > 2
II) x ≠ 1
4º Passo) Calcular a solução S, que é dada pela intersecção dos intervalos de
S1 e S2.
Observação: o quadro de resposta será preenchido pelo intervalo achado.
0 1 2
C.S . = ]−∞; 0[ ∪ ]2; +∞[
3.8.2 Inequação produto e inequação quociente
São as desigualdades da forma:
f(x) . g(x) > 0, f(x) . g(x) < 0, f(x) .g(x) > 0 e f(x) .g(x) < 0.
f(x) / g(x) > 0, f(x) / g(x) < 0, f(x) / g(x) > 0 e f(x) / g(x) < 0, respectivamente.
Exemplo:
a) (x 2
− 9 x − 10 )( x 2 − 4 x + 4 ) ≤ 0
1º Passo) Trabalhar f(x) e g(x) separadamente

x 2 − 9 x − 10 = 0 (I)
x2 − 4x + 4 = 0 (II)
2º Passo) Determinar as raízes das funções
(I) x1 = −1; x2 = 10 (II) x1 = x2 = 2
3º Passo) Fazer o estudo do sinal para cada função.
I) x < −1 ∨ x > 10 II) x ≠ 2
4º passo) Calcular a solução, que é dado pelo sinal de desigualdade da

função de origem, isto é:
> intervalo positivo e bolinha fechada
> intervalo positivo e bolinha aberta
< intervalo negativo e bolinha fechada
< intervalo negativo e bolinha aberta
Observação1: no quadro de respostas (ou soluções), se os intervalos forem

em: f(x) positivo e g(x) positivo o h(x) = f(x). g(x) será +, assim temos: + e + =
+;+e-=-;-e+=-;-e-=+

Observação2: Na inequação quociente nos zeros do denominador aparece
S.S o que irá influenciar o C.S.; Nos zeros do denominador que aparecem no
C.S. o intervalo será sempre aberto.
x -∞ -1 2 10 +∞
x 2 − 9 x − 10 + 0 - - - 0 +
x2 − 4x + 4 + + + 0 + + +
Produto + 0 - 0 - 0 +
Assim, as únicas regiões positivas (maiores que zero) são em x < −1 e x > 10 .
Logo: C.S . = ]−∞; −1[ ∪ ]10, +∞[

Exercícios Propostos
1. Complete com >,< ou =
a) b)
c) d)
e) f)
2. Determine ,em IR, o conjunto solução das condições:
a) (x 2
+ 1)( x 2 − 3x ) ≤ 0
x2 + 1
b) ≤0
x 2 − 3x
c) ( 3 − x ) ( x 2 − 1) > 0
3− x
d) >0
x2 − 1

1
e) 2 ≥
x2
x 2 − 8 x + 16
f) ≤0
2x −1
x2 − 1
g) > −x
x
1 1
h) ≤
3x + 1 x
x3 − x
i) ≤0
3x + 1
Soluções:
1. a) a > 0; ∆ > 0 ;b) a > 0; ∆ < 0 ;c) a < 0; ∆ > 0 ;d) a > 0; ∆ = 0
e) a < 0; ∆ = 0 ; f) a < 0; ∆ < 0
2. a) 0,3] ; b) ]0,3[ ; c) ]−∞; −1[ ∪ ]1;3[ ;d) ]−∞; −1[ ∪ ]1;3[ ;
 2  2   1  2   2 
e)  −∞; − ∪ ; +∞  ;f)  −∞; 2  ∪ {4} ;g)  − 2 ; 0  ∪  2 ; +∞ 
 2   2       
 1  1   1
h)  − ;0  ∪  ; +∞  ; e)  −1; −  ∪ [ 0;1]
 3  2   3

Capítulo 4
NOÇÕES BÁSICAS DE
GEOMETRIA

Noções básicas de geometria:
Composição e decomposição de figuras geométricas planas.
Cálculo de perímetros, de áreas e de volumes
Semelhança de triângulos
Objectivos:
Decompor um polígono em triângulos e quadriláteros;
Por composição de figuras, obter uma figura dada;
Resolver problemas, relacionando entre si propriedades das

figuras geométricas;
Resolver problemas, no plano e no espaço, aplicando o Teorema

de Pitágoras;
Usar critérios de semelhança de triângulos e as relações entre os

elementos homólogos na justificação de raciocínios;
Relacionar os perímetros e as áreas em triângulos semelhantes;
Usar a semelhança de triângulos na análise de figuras;

Determinar áreas e volumes de sólidos e de objectos da vida real.
Pré-requisitos:
Semelhança de figuras (ampliação e redução de figuras,

polígonos semelhantes);
Áreas e volumes de sólidos.
4. Noções Básicas de Geometria
O estudo da Geometria contribui para uma maior compreensão do mundo que

nos rodeia e que é essencialmente geométrico. Historicamente falando, a
Geometria é uma técnica inventada pelos Babilónios e pelos Egípcios e
transformada numa ciência pelos Gregos.
4.1 Decomposição de figuras e áreas
Decompondo e compondo um figura geométrica
Analise o que se passa em cada conjunto de figuras.
D
e
co
m
p
o
n
d
o
Compondo
C
o
m
p
o
n
d
o

Para calcularmos a área de um polígono qualquer podemos decompô-lo em
triângulos e quadriláteros .
4.1.1 Unidades de área
: 100 : 100 : 100 : 100 : 100 : 100
km 2 hm 2 dam 2 m2 dm2 cm2 mm 2
X 100 X 100 X 100 X 100 X 100 X 100
2 2
Exemplos: 1cm = 100mm
0,1m 2 = 10dm 2 Para passarmos de uma unidade para a
0,001dam 2 = 10dm 2 unidade imediatamente inferior,
(dam 2
→ m 2 → dm 2 ) multiplica-se por 100
× 100 × 100
Exemplos: 1hm 2 = 0,01km 2 Para passarmos de uma unidade para a

unidade imediatamente superior,divide-se
0,1cm 2 = 0,001dm 2
por 100
1000mm2 = 0,1dm 2
(dm 2
← cm 2 ← mm 2 )
: 100 : 100
4.1.2 Áreas.
Q u a d ra d o lL A = L2
L
R e c tâ n g u lo L A = c×L
c
h b×h
81 Marisa Oliveira, Susana Araújo A =
T riâ n g u lo 2
b
Pa ra le lo g ra m o h A = b×h
A figura mostra a área de um terreno. Determine a sua área.
7
5
Resolução: As linhas a tracejado foram desenhadas para ajudar a

resolver o problema.
A =25 m
2
+ + A = 4 × 7m 2
= 28 m 2
= Atotal = 157m 2
A = 8 × (6 + 7 )m 2
= 104 m 2
4.2 Teorema de Pitágoras

Conta a lenda que Pitágoras, filósofo e matemático grego, ao olhar para o
chão verificou que:
A=25
A área de um quadrado construído sobre a
A=9 hipotenusa de um triângulo rectângulo é
igual à soma das áreas dos quadrados
construídos sobre os catetos.
A=16
Desta relação entre as áreas dos quadrados construídos sobre os lados de

um triângulo rectângulo surgiu o Teorema de Pitágoras.
5
3
52 = 32 + 42
Teorema de Pitágoras
Num triângulo rectângulo, o quadrado da hipotenusa é

igual à soma dos quadrados dos catetos
1. Determine o x da figura:
xcm
12cm
5cm

Resolução: x 2 = 122 + 52
x 2 = 144 + 25
x 2 = 169
x = 169
x = 13
Logo, x = 13cm
Determinação da altura de um poste.
Resolução: Imaginemos que o poste é um segmento de recta

perpendicular ao plano do chão e que a escada é outro segmento de
recta. Aplicamos assim o teorema de pitágoras no espaço.
Considerando x a altura do poste, vem:

152 = x 2 + 32
225 = x 2 + 9
225 − 9 = x 2
216 = x 2
x = 216
x = 14,7(1c.d )
Logo, a altura do poste é aproximadamente 14,7 m.
2. Determinação da diagonal de um cubo

Resolução: Comecemos por calcular a diagonal de uma das faces.
x 2 = 52 + 52
x
5
x 2 = 25 + 25
x 2 = 50
5
x = 50
Desenhemos o triângulo em que a hipotenusa é a diagonal do cubo.
d2 = ( 50 ) + 5
2
2
d
5 d 2 = 50 + 25
d 2 = 75
50
d = 75
Logo, o comprimento da diagonal é 75 .
3. A figura representa um trapézio rectângulo [ABCD ] em que:
D C
m 2,5cm
c
2
A B
Resolução:
Vamos calcular a área do trapézio. Comecemos por calcular DC .

Cálculo de DC Cálculo de AB
2
3,52 = 2 2 + DC
2
AB = 2,52 + 3,52
2
2
DC = 3,52 − 22 AB = 18,5
2 2 AB = 18,5
DC = DC
DC = 8, 25
Área do trapézio = B + b × h = DC + AB .2 = DC + AB = 8, 25 + 18,5

2 2
4.3 Semelhança de triângulos
4.3.1 Contexto Histórico: Tales de Mileto, matemático e filósofo grego, VI

a.c, certa vez, apresentou-se ao Rei Amasis, do Egipto oferecendo-se para
calcular a altura da pirâmide de Quéops, sem escalar o monumento. Nas
proximidades da pirâmide, fincou uma estaca de madeira no solo.
Concluiu que, no momento em que o comprimento da sombra da

pirâmide fosse igual ao comprimento da estaca, a altura da pirâmide
seria igual ao comprimento da sombra da pirâmide mais metade da
medida da base.
O raciocínio de Tales nas pirâmides
A pirâmide de Quéops,
situada a dez milhas a Oeste do Cairo,
na planície de Gizé, no Egito, a 39 metros
do vale do rio Nilo, foi construída a cerca
de 2500 a.C.
Considerada uma das sete maravilhas do
mundo antigo, ela tem 146 m de altura.
estaca Sua base é um quadrado, cujos lados
medem cerca de 230m.
RACIOCÍNIO MATEMÁTICO
DE TALES
NA PIRÂMIDE

Altura
da pirâmide Altura
(H) da
estaca
(2 m )
115 m 250 m 5m
base sombra sombra
H = 115 + 250 → 5 H = 365 x 2 → 5 H = 730 → H = 730 → H = 146

2 5 5
Altura da Pirâmide : 146 metros
•CONCEITO MATEMÁTICO
“Se dois triângulos têm os ângulos respectivamente
congruentes, então seus lados são respectivamente
proporcionais”
R
A
C B T S
^ ^ ^ ^ ^ ^
AB = AC = BC e C ≡ T B ≡ S A ≡ R
RS RT ST
Essa propriedade tem inúmeras aplicações práticas:
Um topógrafo, para calcular a largura de um rio,

sem atravessá-lo, faz uso do teodolito - aparelho
para medir ângulos, estabelecendo uma distância
de sua posição à margem do rio.
Com essas informações, desenha-se um triângulo

semelhante às medidas traçadas ao rio.

4.3.2 Casos de semelhança de triângulos
Vamos ver os casos de semelhança de triângulos recordando os casos

de igualdade de triângulos
Existe um grande paralelismo entre os casos de igualdade de triângulos

e os casos de semelhança de triângulos.
Casos de igualdade de triângulos
Dois triângulos são iguais se Dois triângulos são iguais se tiverem Dois triângulos são iguais se têm um lado
os três lados de um são iguais dois lados e o ângulo por eles formado igual e os dois ângulos adjacentes a
aos três lados de outro. iguais. esse lado iguais.
ALA
LLL LAL
Casos de semelhança de Triângulos
Dois triângulos são semelhantes Dois triângulos são semelhantes Dois triângulos são semelhantes
se os três lados de um são se têm dois lados proporcionais e o se têm dois ângulos iguais.
proporcionais aos três lados do outro ângulo por eles formado igual.
B′ C′
a′ b′ a′
C′ A′ A′ B′
c′ b′
B C
88 Marisa Oliveira, Susana
b Araújo
a a
C A A B
c b
1. Observe os triângulos. Os números representam as medidas, em

centímetros, dos segmentos a que estão associados.
I
U
4,5
7,5
3 5
R O
L A
6 9
1.1 Mostre que os triângulos são semelhantes e indique uma razão de

semelhança que permita construir um a partir do outro.
1.2 Escreva as relações entre os ângulos dos dois triângulos.
Resolução:
1.1 Para verificarmos se os triângulos são semelhantes teremos de

ver se os lados de um são proporcionais aos lados do outro.
6 5 3 Comprimentos dos três lados do triângulo [LUA]

= = → por ordem decrescente
6 5 3
= = → Comprimento dos três lados do triângulo [RIO] por ordem
9 7,5 4,5 decrescente
2 2 2
Como = = os triângulos [LUA] e [RIO] são semelhantes.
3 3 3

2
A razão de semelhança é r = .
3
1.2 Em triângulos semelhantes, a lados correspondentes opôem-se

ângulos iguais. Logo, Rˆ = Lˆ,Uˆ = Iˆ e Aˆ = Oˆ .
4.3.2 Relações entre perímetros e entre áreas de triângulos

semelhantes.
Vamos considerar três triângulos semelhantes.
5 Q
A C
10 3
y
2
R
x z
Uma vez que são semelhantes, podemos concluir que:
[XZ ] = 4cm e [QR ] = 6cm

E de acordo com o quadro e comparando a 1ª com a 3ª colunas, podemos
concluir que:
Razão de Cálculo das Razão das

semelhança áreas áreas
∆[ABC ] 5 25
25
∆[XYZ ] 2 4
4
∆[ABC ] 25
5 25
∆[PQR ] 3 9
9

∆[XYZ ] 4
2 4
∆[PQR ] 3 9
9
A razão das áreas é igual ao quadrado da razão de

Ay
semelhança = r2
Ax
De modo análogo,
A razão dos perímetros é igual à razão de semelhança

Py
=r
Px
Os perímetros de dois triângulos semelhantes são, respectivamente, 16 cm

e 48 cm. Calcule a área do segundo triângulo sabendo que a área do
primeiro é 20 cm2.
Resolução:
Comecemos por determinar a razão de semelhança:
P2 48
r= = =3
P1 16
A razão entre as áreas é igual ao quadrado da razão de

semelhança:
A2 A
= 9; 2 = 9; A2 = 20 × 9
A1 20
Logo, a área do segundo triângulo é 180cm2.

4.4 Áreas e Volumes
4.4.1 Áreas de figuras planas
Já vimos no item 4.1.2 algumas áreas de figuras planas.
Área do Círculo = πr 2
4.4.2 Áreas e Volumes de Sólidos
No cálculo da área dos sólidos temos de distinguir:
Área Lateral - Al ; Área da base – Ab ; Área Total - At
Se quisermos calcular a área lateral de uma pirâmide regular,

calculamos a área de uma face lateral e multiplicamos pelo
número de faces laterais.
l × apot
A = 4×
2
4×l
A= × apot
2
face lateral
Pb
Al = × apot
base 2
At = Al + Ab
No cálculo das áreas e volumes dos sólidos, iremos usar as

seguintes fórmulas:
Paralelipípedo
At = Al + Ab
Al = 2(ac + bc )
c Ab = ab
At = 2Ab + Al
V = a ×b×c
b
a
Cubo
At = 6a 2
a=b=c V = a3
Prisma recto
Al = Pb × h Pb Perímetro da base
At = 2 Ab + Al
h altura
V = Ab × h
Pirâmide Regular Al = n × Af n Número de f aces

Pb
Al = × apot Af Área da f ace
2
At = Al + Ab apot Apótema da pirâmide
1
V = Ab × h
3
Cilindro de Revolução
Al = Pb × h
At = 2 Ab + Al
V = Ab × h
Cone de Revolução Pb
Al = ×g
2
At = Ab + Al
1
V = Ab × h
3

1. Determine a área da figura ao lado, considerando como unidade de área:
1.1 A área do
1.2 A área do
2. Calcule a área das seguintes figuras. (As medidas indicadas são em

centímetros.)
2.1
2.2
2.3
3. Calcule a área, em m2, do seguinte trapézio.
19cm
20cm
46cm
4. Todos os rectângulos da figura têm 7 cm por 4 cm.
4.1 Qual a área de qualquer dos rectângulos?
4.2 Qual a área de cada um dos triângulos sombreados?
5. Se a área de for 0,5 cm2, qual a área de cada uma das figuras?
6. Sabendo que o lado do quadrado mede 12 cm, determine a área da zona

sombreada de cada figura.

7. Utiliza o teorema de Pitágoras para determinar a medida indicada:
8. Classifica, quanto aos ângulos, cada um dos triângulos em que as medidas

dos lados são:
8.1 3,4 e 5 cm
8.2 3,4 e 6 cm
8.3 3,4 e 3 cm
9. Qual o comprimento da diagonal de um quadrado com 18 cm de lado?
10. A diagonal de um quadrado mede 30 cm. Qual é a área do quadrado? E o

perímetro?
11. Dois navios navegam, um para norte e outro para oeste, respectivamente
com as velocidades de 30 km/h e 40 km/h. Sabe-se que largaram à mesma
hora e que se encontraram ao fim de 15 horas. A que distância se
encontram os dois portos de onde largaram os dois barcos?

12. Pretende-se ligar por um tubo condutor de água os pontos U e A de um
terreno [UVAS] de forma quadrada e que tem 324 m2 de área. Qual será a
despesa, se cada metro de tubo custa 2,50€.
13. O volume do cubo da figura é 27 m3.
Determine:
13.1 O comprimento da diagonal [PQ].
13.2 O comprimento da diagonal [PR].
14. Sabendo que são semelhantes os pares de triângulos e que os números

representam as medidas, em cm, dos lados a que estão associados,
determine x. ( Utiliza-se o mesmo símbolo para indicar que os angulos são
iguais.)
14.1
14.2
15. Observe a figura e, de acordo com os dados, determine x.

16. Considere o seguinte paralelipípedo com as medidas apresentadas na
figura. Determine:
16.1 A área total do paralelipípedo.
16.2 O volume do paralelipípedo.
17. Uma esfera está inscrita num cubo de aresta 20 cm. Determine:
17.1 A área da superfície esférica.
17.2 O volume da esfera.
17.3 O volume do cubo.
17.4 O volume do cubo não ocupado pela esfera.
18. A figura representa uma pirâmide quadrangular. A aresta da base mede 10

cm, a altura da pirâmide é de 20 cm e E é o ponto médio da aresta da base
[DA]. Determine:
18.1 A área total da pirâmide.

18.2 VÊO
Soluções:
1.1 8u.a; 1.2 48u.a; 2.112cm 2 ; 2.2 270cm 2 ; 2.3 88cm 2 ; 3 0,065m 2 ; 4.1 28cm 2 ; 4.2 14cm 2 ;
5 a) 3cm 2 ; b) 4cm 2 ; c)6cm 2 ; d) 4,5cm 2 ; e) 6cm 2 ; 6a)31cm 2 ; b)31cm 2 ; c)31cm 2 ; d)31cm 2 ;
7 a)13 ; b)17 ; c) 52; d) 10; 8.1 rectângulo ; 8.2 obtusângul o ; 8.3 acutângulo ; 9 25,5cm;
10 A = 450cm 2 P = 84,9cm; 11 750km; 12 63,75€; 13.1 PQ = 18 ≅ 4,24cm;
13.2 PR = 27 = 5,20cm; 14.17 ; 14.2 6,6; 15 4,5 ; 16.1A t = 175cm 2 ; 16.2 V = 125cm 3 ;
4000  4000  3
17.1 400πcm2 ; 17.2 πcm3 ; 17.3 8 000cm 3 ; 17.4  8000 - π cm ;
3  3 
18.1100 + 200 5cm; 18.2 63 o 24′

Capítulo 5
TRIGONOMETRIA

Objectivos
Determinar razões trigonométricas de um dado ângulo agudo (por construção,

utilizando tabelas, usando calculadora).
Determinar um ângulo agudo conhecida uma das suas razões trigonométricas
(por construção, utilizando tabelas, usando calculadora).
Determinar uma razão trigonométrica de um ângulo agudo, conhecida outra.
Procurar estratégias adequadas para determinar distâncias a locais
inacessíveis, alturas de edifícios, etc.
Competências
o A compreensão do conceito de forma de uma figura geométrica e o

reconhecimento das relações entre elementos de figuras semelhantes.
o A aptidão para resolver problemas geométricos através de construção,
nomeadamente envolvendo igualdade e semelhança de triângulos, assim
como para justificar os processo utilizados.
o A tendência para procurar invariantes em figuras geométricas e para utilizar
modelos geométricos na resolução de problemas reais.
o A aptidão para visualizar e descrever propriedades e relações geométricas,
através da análise e comparação de figuras, para fazer conjecturas e justificar
os seus raciocínios.

5.1 Razões Trigonométricas de um ângulo agudo
As razões trigonométricas mais conhecidas são o seno, o coseno e a tangente. Assim,

em qualquer triângulo rectângulo com ângulo θ , como o do exemplo, as raízes
trigonométricas são:
____
BC cateto oposto
senθ = ___
= B
hipotenusa
AB
hipotenusa
Cateto oposto
____
AC cateto adjacente θ
cosθ = ___
= A C
hipotenusa Cateto adjacente
AB
____
BC cateto oposto
tgθ = ___
=
cateto adjacente
AC
5.2 Fórmula fundamental da trigonometria
No triângulo da figura, e de acordo com o teorema a β

c
de Pitágoras, α
C b A
b2 + c 2 = a 2
Dividindo ambos o membros por a 2 , vem
2 2
b2 c2 a 2 b c
+ = ⇔   +  =1.
a2 a 2 a 2 a a
c b
Mas, senα = e cos α = .
a a
Então ( cos α ) + ( senα ) = 1

2 2
Ou sen 2α + cos 2 α = 1 Fórmula Fundamental da Trigonometria

5.3 Fórmulas secundárias:
Partindo da fórmula fundamental:

sen 2α + cos 2 α = 1
Dividindo ambos os membros por sen 2α e cos 2 α ,obtemos respectivamente as

seguintes equações :
1 1 1
1+ = tg 2α + 1 =
tg α sen2α
2
cos 2 α
3.4 Valores especiais
Considere-se o seguinte triângulo escaleno.
2 60º
1
30º
3
Observando a figura vem:
1 3
sen30º = sen60º =
2 2
3 1
cos30º = cos 60º =
2 2
1 3
tg 30º = = tg 60º = 3
3 3

• Considere-se o seguinte triângulo isósceles, tendo os catetos uma unidade de
comprimento:
2
1
sen 45º = cos 45º =

2 45º
2
tg 45º = 1 1
Em resumo, tem-se:
θ 30º 45º 60º

sen θ 1 2 3
2 2 2
cos θ 3 2 1
2 2 2
tg θ 3 1 3
3
Exemplo:
3
Seja senα = . Então,
5
sen 2α + cos 2 α = 1 ⇔ cos 2 α = 1 − sen 2α ⇔

2
3 9
⇔ cos 2 α = 1 −   = 1 − ⇔
5 25
16 16
⇔ cos 2 α = ⇒ cos α = ± ⇒
25 25
3
cos α =
5

1. Uma cegonha tem o seu ninho num

poste de alta tensão, com 20 metros de altura,
no qual foi colocada uma placa especial de
modo a que a cegonha não corra qualquer
perigo. Do seu ninho, a cegonha vê um
alimento no chão e voa em direcção a ele
numa inclinação de 35º.
Qual foi a extensão do voo da cegonha?
2. O Tiago mede 1,80 m. Qual é o ângulo de

elevação da lua, quando numa noite de lua
cheia, a uma certa hora, a sombra do Tiago
mede 3 metros?
3. Utilizou-se um teodolito como

auxiliar para medir a altura do Padrão dos
Descobrimentos, em Belém. Tenha em
atenção a figura e considere que α = 2º , β
___
= 39º e PT = 60m.
Qual é a altura do Padrão dos
Descobrimentos?

4. O Rui quer mudar uma lâmpada.
Usou um escadote como se representa na
figura ao lado. Tendo em atenção as
medições que ele efectuou, as quais são
indicadas na figura, determine a que altura
se encontra a lâmpada do topo do
escadote.
5. O Rui quer colocar a bengala do

avô numa caixa com a forma de um
paralelepípedo, como se mostra na figura
e com as dimensões assinaladas. Será
que a bengala do avô do Rui cabe na
caixa?
6. Calcule sen β sendo:
1
a) cos β =
5
b) tg β = 2,5
7. Mostre que :
cos 2 x
a) 1 − sen x =
1 + sen x
2 2
b) ( cos α + senα ) + ( cos α − senα ) =2
1 − sen 2 x
c) = cos x
cos x
d) cos 2 β − sen 2 β = 2 cos 2 β − 1

Soluções:
º 2 5
1. 24m; 2. α = 59 ; 3.51m; 4 70cm ou 0,7 m ; 5 A bengala do Rui cabe na caixa ; 6a)senβ = ; b)senβ = 0, 93
5

Capítulo 6
ESTATÍSTICA E
PROBABILIDADES

Objectivos
Indicar situações da vida quotidiana ou das ciências onde a estatística

presta relevantes serviços;
Identificar, num estudo estatístico, a população, a amostra, a unidade
estatística e o tipo de variável;
Identificar variável discreta e contínua;
Construir tabelas de frequências absolutas, relativas, e acumuladas, a
partir de dados;
Construir e interpretar gráficos de barras, poligonais, circulares e
histogramas;
Usar o símbolo Σ nos cálculos;
Calcular a média, a moda e a mediana de um conjunto de dados;

6.1 Noções Básicas de Estatística
É objectivo da Estatística extrair informação dos dados para obter uma melhor
compreensão das situações que representam.
No estudo de um problema envolvendo métodos estatísticos, estes devem ser

utilizados mesmo antes de se recolher a amostra, isto é, deve-se planear a
experiência que nos vai permitir recolher os dados, de modo a que, posteriormente, se
possa extrair o máximo de informação relevante para o problema em estudo, ou seja
para a população de onde os dados provêm.
Uma noção fundamental em Estatística é a de conjunto ou agregado, conceito para o

qual se usam, indiferentemente, os termos População ou universo.
População Colecção de unidades individuais, que podem ser

pessoas ou resultados experimentais, com uma ou mais
características comuns, que se pretendem estudar.
Exemplo
Por vezes, identifica-se População com a característica populacional que se pretende

estudar. Por exemplo a população das alturas dos alunos curso de preparação para a
prova de Matemática do Concurso Maiores de 23 anos; a população das notas obtidas
no exame;
Nem sempre é possível estudar exaustivamente todos os elementos da população
porque, por exemplo:
- a população pode ser infinita.

Exemplo: a população constituída pelas pressões atmosféricas, nos
diferentes pontos de uma cidade;
- o estudo da população pode levar à destruição da população.
Exemplo: a população dos fósforos de uma caixa;
- o estudo da população pode ser muito dispendioso.
Exemplo: sondagens exaustivas de todos os eleitores, sobre
determinado candidato;
Quando não é possível estudar, exaustivamente, todos os elementos da população,

estudam-se só alguns elementos, a que damos o nome de Amostra.
Amostra – conjunto de dados ou observações, recolhidos a partir de um subconjunto

da população, que se estuda com o objectivo de tirar conclusões para a população de
onde foi recolhida.
Exemplo:
Relativamente à população das alturas dos alunos matriculados no ISEP,

consideremos a seguinte amostra, constituída pelas alturas (em cm) de 20 alunos
escolhidos ao acaso
175, 163, 167, 162, 176, 169, 180, 177, 168, 167, 171, 172, 170, 168, 176, 180, 168, 177, 161, 182
É muito importante a escolha da amostra pois esta deve ser tão representativa quanto
possível da população que se pretende estudar, uma vez que vai ser a partir do estudo
da amostra que vamos tirar conclusões para a população.
A análise estatística envolve duas fases fundamentais, com objectivos distintos:
- Estatística Descritiva onde se procura descrever a amostra, pondo em

evidência as características principais e as propriedades;

- Estatística Indutiva onde conhecidas certas propriedades (obtidas a partir de
uma análise descritiva da amostra), expressas por meio de proposições,
imaginam-se proposições mais gerais, que exprimam a existência de leis (na
população).
Esquematicamente, temos:
Exemplo:
O gerente de uma fábrica de detergentes pretende lançar um novo produto para lavar
a loiça pelo que, encarrega uma empresa especialista em estudos de mercado de
“estimar” a percentagem de potenciais compradores desse produto
População- conjunto de todos os agregados familiares do país.

Amostra- conjunto de alguns agregados familiares, inquiridos pela empresa.
Problema- pretende-se, a partir da percetagem de respostas afirmativas, de entre os
inquiridos sobre a compra do novo produto, obter uma estimativa do número de
compradores na população.
Podemos classificar os dados que constituem a Amostra, ou dados amostrais, em

dois grupos fundamentais:
- Dados qualitativos representam a informação que identifica alguma

qualidade, categoria ou característica, não susceptível de medida, mas de
classificação, assumindo várias modalidades;

Exemplo: O estado civil de um indivíduo é um dado qualitativo, assumindo as
categorias solteiro, casado, viúvo e divorciado.
Os são organizados na forma de uma tabela de frequências que apresenta o
número de elementos – frequência absoluta – de cada uma das categorias ou
classes numa tabela de frequências. Além das frequências absolutas também
se apresentam as frequências relativas, onde
frequência absoluta
frequência relativa =
dimensão da amostra
Exemplo: Num inquérito realizado a 150 indivíduos, estes tiveram de assinalar

o sexo – M ou F, e o estado civil – Solteiro, casado, viúvo ou divorciado. Uma
forma de resumir informação contida nos dados, no que diz respeito ao estado
civil, é construir uma tabela de frequências em que se consideram para as
classes as diferentes modalidades que o estado civil pode tomar
Tabela de frequências
classes Frequência absoluta Frequência relativa
solteiro 78 0,52
casado 50 0,33
viúvo 5 0,03
divorciado 17 0,12
Total 150 1
- Dados quantitativos representam a informação resultante de características

susceptíveis de serem medidas, apresentando-se com diferentes intensidades,
que podem ser de natureza discreta (descontínua) – dados discretos, ou
contínua – dados contínuos.
Exemplo: Consideremos uma amostra constituída por 10 alunos de uma turma

em que se pretende saber o número de irmãos de cada um: 3, 4, 1, 1, 3, 1, 0,
2, 1, 2. Estes dados são de natureza discreta.
Se para os mesmos alunos considerarmos as alturas (cm): 153, 157, 161, 160,
158, 155, 162, 156, 152, 159 obteremos dados do tipo contínuo.

Dados discretos – Estes dados só podem tomar um número finito ou infinito
numerável de valores distintos, apresentando vários valores repetidos – é o
caso, por exemplo, do número de filhos de uma família ou o número de
acidentes, por dia, em determinado cruzamento.
Os dados são organizados na forma de uma tabela de frequências, análoga à
construída para o caso de dados qualitativos. No entanto, em vez das
categorias apresentam-se os valores distintos da amostra, os quais vão
constituir as classes.
Exemplo:
Apresentação de dados de variáveis discretas
Consideremos a amostra constituída pelo número de irmãos dos 20 alunos de
uma determinada turma:
1, 1, 2, 1, 0, 3, 4, 2, 3, 1, 0, 2, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 3, 2
A tabela de frequências é a seguinte:
Classes Frequências absolutas Frequências relativas
0 4 0,20
1 8 0,40
2 4 0,20
3 3 0,15
4 1 0,05
Total 20 1
Exemplo:
Apresentação de dados de variáveis contínuas
Fez-se um estudo sobre as alturas, em metros, dos jogadores de uma equipa e os

dados obtidos estão indicados em baixo.
1,60 1,70 1,62 1,80 1,83

1,82 1,71 1,68 1,68 1,65
1,62 1,64 1,80 1,81 1,78
1,76 1,69 1,64 1,63 1,67
1,68 1,83 1,70 1,71 1,6
Vamos construir uma tabela com os dados agrupados em 5 classes.
xi Frequências Frequências
absolutas relativas
[1, 60;1, 65[ 6 6
= 0, 24
25
[1, 65;1, 70[ 7 7

= 0, 28
25
[1, 70;1, 75[ 4 4

= 0,16
25
[1, 75;1,80[ 2 2
= 0, 08
25
[1,80;1,85[ 6 6
= 0, 24
25
n = 25 1
6.2 Medidas de localização
6.2.1 Média
Considere-se x1 , x2 ,..., xn , uma amostra de n observações
__
Definição: Chama-se média aritmética ou simplesmente média e representa-se por x
ao valor assim obtido:
Para os dados não classificados

n
__
x1 + x2 + ... + xn ∑x
i =1
i
x= =
n n
Para os dados classificados
__
f1 x1 + f 2 x2 + ... + f n xn ∑fx
i =1
i i
x= =
n n

Onde:
m é o número de classes
m
fi é a frequência absoluta da classe i, n = ∑ f1
i =1
xi é o valor correspondente da classe i
Se os dados são discretos ou contínuos e as classes são intervalos então, xi é o

ponto médio da classe i. Neste caso o valor da média é um valor aproximado e não um
valor exacto.
Exemplo
Média em dados simples
Perguntou-se a 10 alunos as suas classificações em Estatística e obtiveram-se os

seguintes resultados:
12 15 13 14 13 16 15 15 16 16
Para determinar a classificação média destes alunos aplicamos directamente a

definição de média
__
12+15+13+14+13+16+15+15+16+16
x= = 14,5
10
Exemplo:
Média em dados classificados
Suponhamos que os dados do exemplo anterior eram apresentados através da

seguinte tabela

xi fi
12 1
13 2
14 1
15 3
16 3
∑f i = 10 = n
Para determinarmos a média aproveitamos a tabela anterior para reduzir o número de

parcelas da soma
xi fi xi fi
12 1 12
13 2 26
14 1 14
15 3 45
16 3 48
∑f i = 10 = n ∑x f
i i = 145
__
f1 x1 + f 2 x2 + ... + f n xn ∑fx
i =1
i i
145
x= = = = 14,5
n n 10
Exemplo:
Média – dados classificados em classes
A tabela seguinte refere a área, em hectares, das quintas de uma dada região:
Área (ha) Frequência

[0,5[ 31
[5,10[ 12
[10,15[ 8
[15, 20[ 5
n = 56

Neste caso, como os dados estão agrupados em classes, recorre-se ao cálculo do
valor central da classe. Este valor xi (marca da classe) obtém-se determinando a
média dos extremos.
0+5
Por exemplo x1 = = 0,5
2
Deste modo, este caso reduz-se ao anterior.
Classe fi Valor central fi xi

xi
[0,5[ 31 2,5 77,5
[5,10[ 12 7,5 90
[10,15[ 8 12,5 100
[15, 20[ 5 17,5 87,5
∑f i = 56 ∑fx
i i = 355
__
355
Temos x = = 6,3 (1 c.d .)
56
Duas outras medidas de localização são a mediana e a moda.
6.2.2 Mediana
Definição: A mediana é o valor que divide a amostra, depois de ordenada, em duas

partes com o mesmo número de observações cada. Pode ser assim calculada
 x n +1  n ímpar
  2 
__

x = x n + x n
   
  2   +1
2 
 n par
 2
Onde x(1) ≤ ... ≤ x( n ) são as observações ordenadas correspondentes à amostra
x1 , x2 ,..., xn .

1. Determinação da mediana em dados simples
Determine a mediana para cada um dos seguintes conjuntos de dados
12 14 15 15 16 16 17 18
20 20 20 20 21 21 22 23
Resolução:
Os dados estão escritos por ordem crescente. O número de dados é 16. Os valores
__
18 + 20
centrais são 18 e 20. Então x = = 19
2
2. Perguntou-se a 37 crianças de uma turma que número calçavam. As respostas

foram registadas na tabela seguinte.
Número de sapato, xi 28 30 32 34 36
Frequência, fi 3 16 9 6 3
Calcule o número mediano.
Resolução:
n = 37, n é ímpar.
Vamos construir uma tabela de frequências absolutas acumuladas.
xi fi Fi
28 3 3
30 16 19
32 9 28
34 6 34
36 3 37
n = 37

O número de termos é 37. A ordem do temo mediano é:
37 + 1
t= = 19
2
Na coluna Fi aparece o número 19.

~
A mediana é o valor x19 , ou seja, x = 30 .
3. Calcule a mediana para os dados da seguinte tabela:
xi 28 30 32 34 36
fi 5 10 15 6 3
Resolução:
Vamos construir a tabela de frequências absolutas acumuladas.
xi fi Fi
28 5 5
30 10 15
32 15 30
34 6 36
36 3 39
n = 39
O número de termos é 39, logo, a ordem do termo mediano é
39 + 1
k= = 20
2
~
A mediana é o valor x20 , ou seja, x = 32 .

4. Calcule a mediana para os dados da seguinte tabela:
xi fi Fi
28 4 4
30 10 14
32 12 26
34 5 31
36 3 34
n = 34
Resolução:
O número de elementos é 34, n é par.
34 34 + 2
k1 = = 17 k2 = = 18
2 2
Percorrendo a coluna Fi , não encontramos nem o 17 nem o 18.
Como ambos são maiores do que 14 e menores do que 26, assinalamos a linha
~
correspondente a 26, da coluna Fi . Logo x = 32 .
5. Calcule a mediana para os dados da tabela.
xi fi Fi
28 4 4
30 13 17
32 10 27
34 4 31
36 3 34
n = 34
Resolução:
O número de elementos é 34.

34 34 + 2
k1 = = 17 k2 = = 18
2 2
Neste caso, procurando estes valores, na coluna Fi encontramos apenas o número

17. O outro valor (18) está na linha seguinte (18 > 17 e 18 < 27).
Logo, os termos a considerar são x17 = 30 e x18 = 32 .
~ 30 + 32
Logo, x = = 31
2
6. Calcule a mediana para os dados da tabela.
xi fi Fi
28 4 4
30 13 17
32 11 28
34 3 31
36 1 32
n = 32
Resolução:
O número de elementos é 32.
32 32 + 2
k1 = = 16 k2 = = 17
2 2
Neste caso, procurando estes valores, na coluna Fi encontramos o número 17. Um

dos valores que vai entrar no cálculo da mediana é x17 = 30 .
O outro valor, x16 , será também determinado na mesma linha (16 > 4 e 16 < 17).
Logo, os termos a considerar são x17 = 30 e x18 = 32 .
~ x16 + x17 30 + 30
Logo, x = = = 30
2 2

7. Determinação da mediana: dados classificados em classes
A tabela seguinte mostra os resultados de um estudo estatístico sobre as

distâncias percorridas pelos táxis de uma companhia durante um ano. Calcule a
classe mediana desta distribuição.
Distância [80,85[ [85,90[ [90,95[ [95,100[ [100,105[

(milhares de km)
Frequência 18 25 30 22 5
Resolução:
Para determinar a mediana, construamos uma tabela de frequências absolutas e

acumuladas.
Classe fi Fi
[80,85[ 18 18
[85,90[ 25 43
[90,95[ 30 73
[95,100[ 22 95
[100,105[ 5 100
n = 100
Como a distribuição apresenta os dados agrupados em classes, admite-se que os

valores da variável se distribuem igualmente em cada uma delas e considera-se a
n
mediana o termo de ordem , não se fazendo distinção se n é par ou ímpar.
2
100
Como o número de elementos é 100, a ordem do termo mediano é t = = 50 . A
2
mediana é o termo de ordem 50, que, apesar de não aparecer na coluna Fi ,
corresponde a F3 = 73 . Então, x50 ∈ [90,95[ .
Logo, [90,95[ é a classe mediana.

6.2.3 Moda
Definição: A moda, mo, é a observação mais frequente, se existir.

Caso discreto – é o valor que ocorre com maior frequência.
Caso contínuo – só faz sentido definir-se sobre dados agrupados – é um valor do
intervalo de classe com maior frequência.
Exercícios Resolvidos
1. Determine a moda para cada um dos conjuntos de dados.
1.1
1 3 5 3 5 6 8 5
Resolução:
A moda é 5;
1.2
1 3 2 3 2 7
Resolução:
Há duas modas: 2 e 3;
1.3
1 2 3 4 5
Resolução:
O conjunto de dados não tem moda; é, portanto, amodal.

2. Pediu-se aos 21 alunos de uma turma para indicarem o género de leitura que preferem:
livros de cowboys (C); aventuras (A); ficção (F); viagens (V); animais (Na); outros (O). Os
resultados obtidos foram os seguintes:
F A An F C O A
V C F F A F F
F F A An F O V
Qual é a moda?
Resolução:
Por observação directa, verificamos que o valor mais frequente é F.

Logo, a moda é F. Assim, podemos dizer que para este grupo de alunos os livros
preferidos são os de ficção.
3. Observe a seguinte tabela:
Temperatura mínima (ºC) Número de dias

em Julho, xi ni
12 3
14 4
15 6
16 7
17 5
18 6
Qual é a moda?
Resolução:
Por observação da tabela conclui-se que o valor da variável xi que aparece com
maior frequência é 16. Logo a moda é 16.

4. Pesaram-se 100 sacos de arroz embalados por uma máquina programada para produzir
embalagens com 1 kg. A tabela seguinte sintetiza os resultados da observação.
Peso (g) Nº de sacos

[994,996[ 4
[996,998[ 15
[998,1000[ 35
[1000,1002[ 40
[1002,1004[ 6
n = 100
Qual é a classe modal?
Resolução:
A classe [1000,1002[ tem maior frequência. Logo, podemos dizer que a moda pertence à
classe [1000,1002[ e que esta é a classe modal.
Exemplos:
1. Um agricultor estudou o crescimento de plantas da mesma espécie em ambiente
de estufa:
Crescimento em, cm, de 11 plantas

3 5 6 8
6 9 4 7
7 10 6
Calculou o crescimento médio das plantas em estudo e dividiu pelo nº total de

plantas:
3+6+7+5+9+10+6+4+6+7+8
11
Concluiu que o crescimento médio é de 6.5 cm.

2. Observou-se o nº de cartões amarelos mostrados por um árbitro em 12 jogos de
futebol consecutivos
Nº de cartões amarelos
3 5 6 1
6 9 8 6
1 8 3 6
A medida mais simples que se usa para representar este conjunto de dados é a
moda, ou seja, o valor da variável que ocorre com maior frequência.
Nos dados apresentados verifica-se que o dado que aparece com maior
frequência é o 6. Logo a moda é o 6.
Para um conjunto de dados, pode existir mais do que uma moda ou até
nem existir moda.
Se o conjunto de dados tiver uma única moda, esse conjunto diz-se unimodal;
Se o conjunto de dados tiver duas moda, esse conjunto diz-se multimodal;
Se o conjunto de dados não tiver moda diz-se amodal.
3. Em cinco testes de Matemática o João obteve as seguintes classificações:

30% 50% 25% 80% 65%
Por ordem crescente as classificações são as seguintes:
25% 30% 50% 65% 80%
Mediana
Mais tarde o João fez um sexto teste e agora os dados são:

25% 30% 50% 65% 80% 85%
Valores centrais
50%+65%
Mediana = = 57,5
2

1. Uma amostra de 25 caixas de bombons foi seleccionada de um stock de 100

caixas. O peso em gramas de cada caixa foi o seguinte:
93 100 106 104 98

97 98 104 92 94
101 103 96 100 108
100 108 97 103 100
94 104 95 101 102
a) Construa uma tabela de frequências, agrupando o peso das caixas em

intervalos de amplitude 5g.
b) Determine, em percentagem, as frequências relativas de cada classe.
2. As alturas, em centímetros, de um grupo de alunos são:
160 162 152 159 155

155 161 155 153 154
Determine a:
a) altura média;
b) altura mediana;
c) altura modal.
3. As classificações obtidas por uma turma de 24 alunos num teste de matemática,

cotado de 0 a 100 pontos, foram as seguintes:
46 64 50 35 85 42 47 72
31 42 53 47 51 31 15 81
80 72 60 52 53 47 32 50

Determine:
a) A classificação média;
b) A classificação mediana;
c) A classificação modal.
4. As horas de sol por dia, registadas numa praia durante um período de 61 dias,
foram as seguintes
Horas de sol 5 6 7 8 9 10 11
Frequência
6 12 10 9 8 8 8
(dias)
a) Determine o número modal de horas de sol por dia;

b) Determine o número mediano de horas de sol por dia;
c) Determine o número médio de horas de sol por dia.
5. Pediu-se aos alunos de uma turma que contassem o número de objectos que
tinham nos seus bolsos. Os resultados obtidos apresentam-se na tabela seguinte
Nº de objectos [0,5[ [5,10[ [10,15[ [15, 20[ [ 20, 25[

Frequência 6 11 6 4 3
Determine o número médio de objectos e as classes modal e mediana.
Soluções:

6.3 Estatística e Probabilidades
Objectivos:
Reconhecer que em determinados acontecimentos há um grau de incerteza.

Identificar resultados possíveis numa situação aleatória.
Calcular, em casos simples, a probabilidade de um acontecimento como
quociente entre número de casos favoráveis e número de casos possíveis.
Compreender e usar escalas de probabilidades de 0 a 1 ou de 0% a 100%.
Usar conscientemente as expressões “muito provável”, “improvável”, “certo”,
“impossível”,…
Compreender e usar a frequência relativa como aproximação da probabilidade.
Competências Específicas:
o Sensibilidade para distinguir fenómenos aleatórios e fenómenos deterministas e

interpretar situações concretas de acordo com essa distinção.
o Aptidão para entender e usar de modo adequado a linguagem das probabilidades
em casos simples.

Quando realizamos várias vezes a experiência deixar cair um prego para dentro de um
balde de água, verificamos que fatalmente o prego se afunda.
Existe, no entanto, outro tipo de experiências cujo resultado final não é assim tão certo.
A uma experiência cujo resultado depende do acaso, ainda que repetida nas mesmas
condições, chama-se experiência aleatória.
Exemplos: São experiências aleatórias:

- lançamento de uma moeda;
- lançamento de um dado;
- tirar ao acaso uma bola de um saco com bolas numeradas;
- tirar ao acaso uma carta de um baralho de 52 cartas.
Apesar de não sabermos qual vai ser o resultado de uma experiência aleatória, é
possível identificar quais são os resultados possíveis. Assim, no lançamento de um dado,
embora não se saiba qual será a face que ficará voltada para cima, conhecem-se todos
os resultados possíveis {1, 2,3, 4,5, 6}
Ao conjunto de todos os resultados possíveis numa experiência aleatória chama-se

espaço de resultados ou espaço amostral.
Acontecimentos certos são aqueles que se verificam sempre.

Exemplo:
No lançamento de um dado “sair número menor do que 7” é um acontecimento certo.
Acontecimentos impossíveis são aqueles que nunca se verificam.

Exemplo:
No lançamento de um dado “sair número negativo” é um acontecimento impossível.
Exemplo:
No lançamento de um dado é tão provável “sair número par” como “sair número ímpar”,
ou seja, são acontecimentos equiprováveis.

6.3.1 Probabilidade de um acontecimento
A probabilidade de um acontecimento A, P(A), é o quociente entre o número de casos

favoráveis e o número de casos possíveis
número de casos favoráveis

P( A) =
número de casos possíveis
Exemplo:
No jogo do dado, a probabilidade de “sair um número par” é:
3 1
P(“”sair nº par) = =
6 2
Acontecimentos equiprováveis
3 1
P(“”sair nº ímpar) = =
6 2
Exemplo:
No jogo do dado, a probabilidade de “sair um número negativo” é:
0
P(“sair nº negativo”) = =0 Acontecimento Impossível
6
Exemplo:
No jogo do dado, a probabilidade de “sair um número menor do que 7” é:
6
P(“sair nº < 7”) = =1 Acontecimento certo
6
A probabilidade de um acontecimento certo é 1 (100%)

A probabilidade de um acontecimento impossível é 0 (0%)
A probabilidade de um acontecimento pode variar entre 0 e 1 (entre 0% e 100%).

Exemplo:
Num saco estão 10 bolas idênticas e numeradas de 0 a 9. Tira-se uma bola desse saco
ao acaso.
Qual a probabilidade da bola extraída:
A- “ser a bola com o número 7”?
B- “ser uma bola com número primo”?
C- “não ser uma bola com número par”?
D- “ser uma bola com número ímpar ou com número primo”?
1 4 5
P(A) = = 0,1 = 10%; P(B) = = 0,4 = 40%; P(C) = = 0,5 = 50%,
10 10 10
6
P(D) = = 0,6 = 60%
10
A contagem do número de casos favoráveis e do número de casos possíveis necessária

na determinação de uma probabilidade (aplicando a Lei de Laplace) nem sempre é tarefa
fácil. Nos problemas mais complexos é usual recorrer-se a esquemas que permitem
conhecer mais facilmente o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis.
Entre estes esquemas destacam-se os:
- diagramas de Venn;
- diagramas de dupla entrada;
- diagramas de árvore.
Exemplo:
Utilização de um diagrama de Venn
Interrogaram-se os 80 trabalhadores de uma fábrica sobre o jornal que costumam ler
diariamente.
Dos 80, 25 declararam que lêem diariamente o jornal Alfa, 40 o jornal Beta e 10 afirmam
que lêem ambos.
Escolhem-se aleatoriamente um desses 80 trabalhadores.

Elaborando o diagrama de Venn respectivo, temos
A 10 30
15
25
Ω = {trabalhadores da fábrica}
A = {trabalhadores que lêem o jornal Alfa}
B = {trabalhadores que lêem o jornal Beta}
Com a ajuda do diagrama de Venn facilmente se determinam as probabilidades:
30 3
P(“ler apenas o jornal Beta”) = =
80 8
25 5
P(“não ler nenhum dos jornais”) = =
80 16
55 11
P(“ler pelo menos um dos jornais”) = =
80 16

Exemplo:
Utilização de um diagrama de dupla entrada
Lançam-se dois dados equilibrados com as faces numeradas de 1 a 6. Qual a

probabilidade de a soma dos pontos saídos ser 5?
Dado 2
1 2 3 4 5 6
Dado1
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
Observando a tabela de dupla entrada facilmente se verifica que a probabilidade pedida

é:
4 1
P(“a soma dos pontos ser cinco”) = = = 0,1111 = 11,11%
36 9

Exemplo:
Utilização de um diagrama de árvore
Lança-se uma moeda equilibrada ao ar três vezes seguidas. Qual é a probabilidade de se

obter duas vezes euro e uma vez face?
E → (E E E )
E
F → (E E F )
E
E → (E F E )
F
F → (E F F )
E → (F E E )
E
F → (F E F )
F
E → (F F E )
F
F → (F F F )
Observando o diagrama de árvore, verifica-se que:
3
P(“obter duas vezes euro e uma face”) = = 0, 375 = 37, 5%
8
6.3.2 Frequência relativa e probabilidade
Lei dos grandes números: Para um número muito elevado de experiências, a

frequência relativa de um acontecimento é um valor muito aproximado da sua
probabilidade.

1. Escreva alguns acontecimentos:
a) Prováveis;
b) Certos;
c) Impossíveis.
2. Quais dos seguintes valores não correspondem à probabilidade de um

2 7 9 1
acontecimento: ,1, , , 0, , 2 ?
3 8 8 2
3. Escolheu-se ao acaso um número entre 1 e 11. Qual a probabilidade de escolher

um número ímpar?
4. Qual é a probabilidade de escolher uma carta de copas num baralho de 52

cartas?
5. Lançou-se um dado perfeito. Calcule a probabilidade de obter:
a) O número 6;
b) Um número par;
c) Um número ímpar;
d) Um número menor que 5.
6. Uma caixa contém 6 bolas vermelhas, 5 verdes, 8 azuis e 3 amarelas. Determine

a probabilidade de, escolhendo uma bola ao acaso, ela ser:
a) Verde;
b) Vermelha;
c) Amarela;
d) Azul.

7. A professora de Matemática colocou 4 bolas pretas e 1 vermelha numa caixa.
Pediu aos alunos para determinarem a probabilidade de sair uma bola vermelha
quando se tira da caixa uma bola ao acaso.
1
A Maria disse que era , porque há uma bola vermelha e quatro pretas. O Miguel
4
1
disse , porque das 5 bolas só uma é vermelha.
5
a) Qual das respostas está correcta? Explique porque é que a outra está errada.
b) Qual é a probabilidade de sair uma bola preta?
8. Uma caixa contém 40 chocolates com a mesma forma e tamanho: 6 são de

chocolate com avelã, 15 de chocolate preto, 10 de chocolate de leite e os
restantes de chocolate branco. Retirando ao acaso um chocolate da caixa , qual a
probabilidade de:
a) Ser de chocolate com avelã?
b) Ser de chocolate de leite?
c) Ser de chocolate branco?
9. Um saco contém 3 bolas pretas e 2 brancas. Calcule a probabilidade de tirar (sem

reposição):
a) Uma bola branca;
b) Três bolas brancas (em 3 extracções consecutivas);
c) Três bolas pretas (em 3 extracções consecutivas);
d) Uma bola azul;
e) Uma bola branca ou preta (numa só extracção).

Capítulo 7
FUNÇÕES REAIS DE
VARIÁVEL REAL: AFIM,
QUADRÁTICA E MÓDULO

Funções reais de variável real
Gráfico cartesiano de uma função em referencial ortogonal
Definição de função, gráfico e representação gráfico de uma

função.
Estudo do domínio, contradomínio, pontos notáveis e extremos

relativos e absolutos.
Objectivos:
Definir função;
Identificar uma correspondência entre dois conjuntos que seja

uma função;
Distinguir a variável dependente da variável independente;
Usar a simbologia das funções;
Identificar o domínio, o contradomínio, pontos notáveis, monotonia

e extremos (relativos e absolutos) de uma função quando
possível.
Determinar o domínio de uma função quando definida para uma

expressão algébrica;
Identificar uma função afim;
Conhecer as designações função linear e função constante como

casos particulares de uma função afim.
Definir zero, extremo absoluto, extremo relativo e intervalo de

monotonia de uma função.
Pré-requisitos:
Definição de função

7. Funções
Na resolução de problemas práticos usamos muitas vezes relações entre

grandezas que variam. Por exemplo, a distância percorrida numa viagem e o
tempo gasto, o número de impulsos e o preço de uma chamada telefónica a
temperatura do ar e a altitude. Em Matemática estas grandezas que variam
damos o nome de variáveis e a algumas relações entre elas chamamos
funções.
7.1 Definição, domínio e contradomínio
Dados dois conjuntos A e B, uma função de A em B é uma correspondência

que associa a cada elemento a ∈ A um e um só elemento b ∈ B
(correspondência unívoca). É usual a notação
f :A→B
para representar uma função f de A em B. Para cada a∈ A o correspondente

elemento b ∈ B é a imagem de a por f e é usualmente representado por f(a).
O conjunto A é o domínio de f, também representado por Df .
O conjunto B é o conjunto de chegada de f.
O conjunto das imagens dos elementos de A por f, isto é, o conjunto
{f (a ) ∈ B : a ∈ A}
é o contradomínio de f, usualmente representado por CDf. Naturalmente, tem-

se que CDf ⊆ B.
Uma função está definida quando se conhece o seu domínio, o seu conjunto de
chegada e o modo de identificar ou calcular a imagem de cada elemento do
domínio.

Uma função pode ser definida de diversas formas. Por exemplo, a função f de
A = {1, 2, 3, 4, 5} em B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} que a cada elemento de A
faz corresponder o seu dobro pode ser definida indicando explicitamente a
imagem f(a) de cada elemento a ∈A:
f :A→B
f (1) = 2
f (2) = 4
f (3) = 6
f (4) = 8
f (5) = 10
Observe-se que se tem CDf = {2, 4, 6, 8, 10}.
Pode também utilizar-se um diagrama:
Este tipo de diagrama designa-se usualmente por diagrama de Venn.
Pode também recorrer-se a uma expressão designatória, neste caso a

expressão designatória 2x, e escrever
f :A→B
f (x ) = 2 x para x ∈ A
Para simplificar pode omitir-se a referência “para x ∈A” e escrever
f :A→B
x → f (x ) = 2 x

ou ainda
f :A→B
x → 2x
Pode também recorrer-se a mais de uma expressão designatória para definir

uma função, caso em que se diz que a função está definida por troços ou
ramos.
Por exemplo, a função
associa a cada real não negativo x o seu quadrado e a cada real negativo x o
simétrico do seu quadrado.
Exemplo: Seja
f : IN → IN
a correspondência que a cada natural x ∈IN faz corresponder o

natural x ∈IN . Trata-se duma correspondência unívoca nos naturais, logo
temos uma função. Esta função é conhecida como função identidade nos
naturais. Neste caso, o domínio Df é o conjunto dos naturais e contradomínio
Df′ coincide com o conjunto de chegada , isto é
Df = CDf = IN
Ao gráfico desta função pertencem os pares (1,1), (2,2), (5,5), por

exemplo. Em geral, escrevemos para o gráfico
cuja representação gráfica (conjunto de pontos discretos) se vê na Fig.

1.

Fig. 1. Representação gráfica da função f
Observe-se que é possível efectuar um teste simples à representação

gráfica para determinar se se trata da representação gráfica duma
função (teste do gráfico): se qualquer recta vertical intersectar o gráfico
em, no máximo, um ponto, pode concluir-se que se trata da
representação gráfica duma função.
Se se considerar
g : IR → IR
a correspondência que a cada real x ∈IR associa o real x ∈IR também

se obtém uma função, que é conhecida como função identidade nos
reais. Observe que neste caso, o domínio Dg é o conjunto dos números
reais, bem como o contradomínio CDg, e por isso f ≠g . A representação
gráfica desta função pode ver-se na Fig. 2.
Fig. 2. Representação gráfica da função g

Vamos considerar a correspondência h que a cada x ∈IR0+ associa e
. Trata-se duma correspondência que não é unívoca. Por exemplo,

temos que a x = 1 corresponde o valor 1, mas também o valor -1, logo
não temos uma função. Conforme se pode ver na Fig.3, a curva
representada não é o gráfico duma função (observe que falha o teste do
gráfico).
Fig. 3. Representação gráfica da correspondência h
7.2 Funções reais de variável real
Funções reais de variável real são funções cujo domínio é um subconjunto de

IR e o conjunto de chegada é IR.
Ao definir uma função real de variável real f através de uma expressão

designatória f(x), se não se indicar explicitamente o domínio de f deve sempre
assumir-se que este é o conjunto de todos os reais a tais que f(a) representa
um número real. Por exemplo, quando se diz “f é a função real de variável real
definida por no seu domínio” tal significa que f é a função
pois é precisamente o conjunto dos reais a para os quais

representa um número real.

De igual modo, quando se diz “f é a função real de variável real definida por
no seu domínio” tal significa que f é a função
dado que é o conjunto dos reais a para os quais representa

um número real.
7.2.1 Gráfico
Seja f uma função real de variável real.
O gráfico de f é o conjunto
A representação gráfica de G é constituída pelos pontos do plano cartesiano

que representam os pares (x, f(x)) com x Df . É usual designar a
representação gráfica do gráfico de f simplesmente por representação gráfica
de f ou gráfico de f.
Considerando o sistema de eixos Oxy na Fig. 2,
Fig. 2. Sistema de eixos Oxy
a recta Ox é usualmente designada eixo das abcissas ou eixo dos xx e a

recta Oy é usualmente designada eixo das ordenadas ou eixo dos yy.

Note-se que Df se identifica graficamente com o conjunto das abcissas dos
pontos do gráfico (a azul na Fig. 2) e que CDf se identifica graficamente com o
conjunto das ordenadas dos pontos do gráfico (a cor de laranja na Fig. 2).
Fig. 2. Representação gráfica do gráfico G de uma função f com Df a cor azul e

CDf a cor de laranja.
7.2.2 Igualdade de funções
Duas funções reais de variável real f e g são iguais se
• Df = Dg
• f(x) = g(x) para cada x Df .
7.2.3 Zeros e sinal de uma função
Seja f uma função real de variável real a ∈Df . Diz-se que
• a é um zero de f se f(a) = 0
• f é positiva em a se f(a) > 0
• f é não negativa em a se f(a) 0
• f é negativa em a se f(a) < 0
• f é não positiva em a se f(a) 0

Diz-se que a função f é positiva num subconjunto A de Df se f é positiva em a
para cada a ∈ A. De igual modo se define função não negativa, negativa e não
positiva em A.
Fig. 3. Gráfico de uma função f
Na Fig. 3 encontra-se o gráfico de uma função f real de variável real, com

domínio Df=[-2,11/2[. Observe-se que
• -2 e 2 são zeros da função f

• f é positiva em ]2,11/2[
• f é não negativa em [2,11/2[
• f é negativa em ]-2,2[
• f é não positiva em [-2,2]
7.2.4 Monotonia de uma função
Seja f uma função real de variável real e seja A um subconjunto de Df .
Diz-se que
• f é uma função crescente em A se
f(a) > f(b) para cada a, b ∈A tal que a > b
• f é uma função crescente em sentido lato em A se
f(a) f(b) para cada a, b ∈A tal que a > b

• f é uma função decrescente em A se
f(a) < f(b) para cada a, b ∈A tal que a > b
• f é uma função decrescente em sentido lato em A se
f(a) f(b) para cada a, b ∈A tal que a > b
Designa-se também por estritamente crescente e estritamente decrescente

em A uma função crescente e decrescente em A, respectivamente.
A função f diz-se monótona em A se for crescente em A ou se for decrescente

em A.
Quando A = Df, pode omitir-se a referência a A. Neste caso, fala-se então

simplesmente de função crescente, função decrescente, função monótona, etc.

domínio Df=[-2,11/2[, decrescente em [-2,0] e em [4,11/2[ (a cor de laranja na
Fig. 4) e crescente em [0,4] (a azul na Fig. 4).

7.2.5 Extremos de uma função
Vizinhança
Recorde que uma vizinhança de a ∈ IR é um intervalo com ∂∈IR + .
Seja f uma função real de variável real, a Df.
• Extremos relativos
– f tem um máximo relativo em x = a se existir uma vizinhança I de a tal

que para todo o
– f tem um mínimo relativo em x = a se existir uma vizinhança I de a tal

que para todo o
• Extremos absolutos
– f tem um máximo absoluto em x = a se para todo x Df ; f(a) é

o maior valor de CDf e é o maior dos máximos relativos
– f tem um mínimo absoluto em x = a se para todo x Df ; f(a) é

o menor valor de CDf e é o menor dos mínimos relativos

domínio Df=[-2,11/2[. A função f tem um mínimo absoluto com valor -2 em x=0
e um máximo absoluto com valor 3 em x=4.
7.2.6 Função par e função ímpar
Seja f uma função real de variável real tal que x Df se e só se −x Df , para

todo o x . Diz-se que
• f é uma função par se f(−a) = f(a) para todo a Df

• f é uma função ímpar se f(−a) = −f(a) para todo a Df
Fig. 6. Gráfico de uma função ímpar a preto e de uma função par a azul
Note que um gráfico de uma função par é sempre simétrico relativamente ao

eixo Oy.
7.2.7 Função injectiva, sobrejectiva e bijectiva
Seja f uma função real de variável real. Diz-se que
• f é uma função injectiva se
para quaisquer a, b Df tais que a b se tem f(a) f(b)
• f é uma função sobrejectiva se

para cada b existe a Df tal que f(a) = b
• f é uma função bijectiva se é injectiva e sobrejectiva
7.2.8 Função periódica
A função real de variável real f diz-se periódica se existe um número real P

diferente de 0 tal que para todo o x Df
• x + P Df e x − P Df
• f(x + P) = f(x)
Exemplo de funções periódicas são as funções trigonométricas seno, coseno e

tangente.
7.2.9 Função inversa
Seja f uma função real de variável real injectiva. Chama-se função inversa de f
à função que se designa por f−1 e é tal que
• Df−1 = CDf
• dado y CDf , ou seja y = f(x) então f−1(y) = x.
Observe-se que f(f−1(x)) = x para todo o x Df−1 e que f−1(f(x)) = x para todo x
Df. Note-se também que CDf−1 = Df.
Note-se ainda que (f−1)−1 = f.

Fig. 7. Diagrama de Venn de uma função f (setas a preto) e de f-1 (setas a cor
de laranja).
7.2.10 Operações sobre funções
Sejam f e g função real de variável real.
• A função f + g é a função real de variável real tal que
– Df+g = Df Dg
– (f + g)(x) = f(x) + g(x).
• A função f − g é a função real de variável real tal que
– Df−g = Df Dg
– (f − g)(x) = f(x) − g(x).
• A função f × g é a função real de variável real tal que
– Df × g = Df Dg
– (f × g)(x) = f(x) × g(x).
A função f x g pode também ser designada por fg.
• A função fn, com n , é a função real de variável real tal que
– Dfn = Df
– (fn)(x) = (f(x))n.

• A função é a função real de variável real tal que
– .
• A função , com n ímpar, é a função real de variável real tal que
– .
• A função , com n par, é a função real de variável real tal que
7.2.10 Composição de funções
Sejam f e g função real de variável real. A função composta de g com f é a

função real de variável real que se designa por e é tal que
•
• .
As funções f e g dizem-se permutáveis se .

Fig. 8. Diagrama de Venn de f e g (setas a preto) e da composição (setas as
cor de laranja).
7.2.11 Extensão e restrição de função
Seja f uma função real de variável real.
• Uma extensão, ou prolongamento, de f a um conjunto tal que

é uma função real de variável real g tal que
– g(x) = f(x) para cada .
Note que se existem muitas extensões de f a C, pois o valor de g(x)

quando pode ser um qualquer valor real.
• A restrição de f a um conjunto é a função real de variável real g tal

que
– g(x) = f(x) para cada .
É frequente usar a notação para representar a restrição da função f ao

conjunto C.
7.3 Funções cujos os gráficos são rectas. Função afim.
Existem muitas situações que podem ser traduzidas e resolvidas por

funções lineares ou afins. Estas funções constituem uma família e a
representação gráfica de cada elemento dessa família é sempre uma
recta.

Qual o significado do número 4 nas expressões que definem as
funções?
As rectas que representam as funções intersectam o eixo dos yy no

ponto de ordenada 4.
Qualquer das funções representadas tem a designação de função afim.
Uma função afim é definida por uma expressão algébrica do tipo

y = ax + b, a, b ∈IR ou y = mx + b , m designa o declive da recta e
b a ordenada na origem.
O gráfico de uma função afim é uma recta.
1 1
y=x y = −4 x y = x y =− x
3 3
7.4 Função Módulo
O valor absoluto ou módulo de x representa-se por x e é definido do

seguinte modo:
 x se x > 0
 x se x ≥ 0  x se x > 0 
x = ou x =  ou x = 0 se x = 0
− x se x < 0 − x se x ≤ 0 − x se x < 0

A função real de variável real, f :→ y = x é chamada a função módulo ou valor
absoluto.

Outra forma de encontrar o valor absoluto de um número é elevar o
número ao quadrado e em seguida determinar a raiz quadrada.
y = x2
x = x2
Escreva a expressão algébrica das funções representadas.
Resolução:
2
g (x ) = x − 4 + 3 ; h (x ) = − x;
3
i ( x ) = −( x + 6 ) − 2 ; j (x ) = − 2(x − 7 ) − 2 .

7.4.1 Gráfico da função f (x ) .
O que poderá acontecer ao gráfico de uma função se substituirmos

f (x ) por f (x ) ?
Nas funções y = x as imagens são sempre positivas. A parte do gráfico da
função y = x que estava “abaixo” do eixo dos xx aparece simetricamente

colocada relativamente ao eixo dos xx.
7.4.2 Gráfico de função f (x )
Quando se substitui x por x , na expressão designatória de unma função,
obtém-se uma nova função que é necessariamente uma função par.
Seja f :→ y = x
O domínio da função f é ℜ0+ .
Seja g : x → y = x
O domínio da função g é ℜ
7.4.3 Generalização dos gráficos das funções f (x ) e f (x )
a) Valor absoluto de variável dependente

O gráfico da função y = f (x ) obtém-se do gráfico da função
y = f (x ) mantendo os pontos de ordenada positiva ou nula e

transformando os pontos de ordenada negativa por uma simetria
em relação ao eixo dos xx.
O gráfico de f (x ) está “acima” ou “sobre” o eixo dos xx.
f (x ) ≥ 0
b) Valor absoluto de variável independente
O gráfico da função y = f (x ) obtém-se do gráfico de f (x )
mantendo os pontos de abcissa positiva e transformando os

pontos de abcissa negativa de modo a que pontos de abcissas
simétricas sejam simétricas em relação ao eixo dos yy.

7.4.4 Resolução de equações com módulos
+4 =4
Note que
−4 =4
a > 0, x = a ⇔ x = a ∨ x = −a
x = 4 ⇔ x = 4 ∨ x = −4
P →4
A distância de P a Q é de 6 unidades
Q→2
Utilizando a definição de módulo, vem:
Representa a distância do ponto de abscissa x

x = x −0
ao ponto de abscissa 0 (de origem)
x−y Representa a distância do ponto de

abscissa x ao ponto de abscissa y.
Assim, a distância entre P e Q é:
− 3 − 2 = 5 2 − (− 3 ) = 5
De um modo geral, se a > 0
x − y = a ⇔ x − y = a ∨ x − y = −a

Exemplo:
Resolver a equação com módulos 2 x + 2 = 12
2 x + 2 = 12 ⇔ x + 2 = 6
⇔ x + 2 = 6 ∨ x + 2 = −6
⇔ x = 4 ∨ x = −8
Graficamente:
Considerem-se as funções y = x + 2 e y = 6 .
As soluções da equação
são as abcissas dos
pontos de intersecção: -
8e4.
Exemplo:
Resolva a equação x − 3 = 2x + 3
x − 3 = 2 x + 3 ⇔ x − 3 = 2 x + 3 ∨ x − 3 = −2 x − 3
⇔ − x = 6 ∨ 3 x = 0 ⇔ x = −6 ∨ x = 0

Graficamente:
7.4.5 Inequações com módulos
x − y < a ∧ a > 0 ⇔ x − y < a ∧ x − y > −a
x − y > a ∧ a > 0 ⇔ x − y > a ∧ x − y < −a
Exemplo:
x − 3 < 2 ⇔ x − 3 < 2 ∧ x − 3 > −2

⇔ x < 5∧ x >1
A condição é uma conjunção de inequações.
S = ]1,5[

7.5 Função Quadrática
Uma função real de variável real f definida para cada x ∈ IR por
f(x) = ax2 + bx + c
com a ∈ IR \ {0} e b, c ∈ IR , designa-se função quadrática. Recorde que esta

função tem as seguintes propriedades, onde ∆ = b2 - 4ac (binómio
discriminante):
• Domínio: IR
• Zeros e Sinal:
o se ∆ < 0:
não tem zeros
se a > 0 é sempre positiva
se a < 0 é sempre negativa
o se ∆ = 0:

−b
tem um zero em z =
2a
se a > 0 é positiva em IR \{z}
se a < 0 é negativa em IR \{z}
o se ∆ > 0:
− b − b 2 − 4ac − b + b 2 − 4ac
tem dois zeros em z1 = e z2 =
2a 2a
se a> 0 é positiva em ] - , z1[ ]z2, + [ e negativa em ]z1, z2[
se a< 0 é positiva em ]z1,z2[ e negativa em ] - , z1[ ]z2, + [

• Extremos e Monotonia:
o se a < 0:
não tem mínimos
∆ b
tem um máximo absoluto de valor − em m = −
4a 2a
crescente em ] - ,m] e decrescente em [m, + [
o se a> 0:
não tem máximos
∆ b
tem um mínimo absoluto de valor − em m = −
4a 2a
crescente em [m, + [ e decrescente em ] - ,m]
• Contradomínio:
 ∆
o se a< 0:  − ∞,− 
 4a 
 ∆ 
o se a> 0: − ,+∞ 
 4a 
• A função é contínua no seu domínio
• A função é par se b=0
• A função não é injectiva e não é sobrejectiva
• Gráfico é uma parábola com:
 b ∆ 
o vértice no ponto do plano de coordenadas  − ,− 
 2a 4a 

o concavidade voltada para cima se a > 0 e voltada para baixo se a
<0
Nas figuras Fig. 1, Fig. 2 e Fig. 3 encontram-se representados os gráficos de

três funções quadráticas.
Fig. 1. Gráfico da função quadrática f(x)=x2-2x-3
Fig. 2. Gráfico da função quadrática g(x)=-x2+2x-3

Fig. 3. Gráfico da função quadrática h(x)=x2+4x+4
1. Faça um estudo completo da função definida por f (x ) = 4 x − 7 .
2. Represente graficamente, num mesmo referencial, as funções definidas em

IR por x: y = x; y = 2 x; y = 3 x; y = − x; y = - 2 x; y = −3 X
2.1 Indique as coordenadas do ponto comum aos gráficos de todas elas.
2.2 As funções representadas são todas do tipo y = mx . Relacione o valor

de m com a inclinação da cada recta.
2.3 Relacione m com a monotonia da função.
2.4 Indique para cada função os intervalos onde ela é positiva e onde é
negativa.
3.Considere a função definida por f (x ) = 4 x − 5
3.1 Calcule f (0 ); f (2,5 ); f (− 1)
3.2 Represente graficamente a função
3.3 Resolva as seguintes condições: f (x ) = 11; f (x ) ≤ −3; f (x ) > 4,5
4. Numa caçada assiste-se a certa altura a uma perseguição de um gato a um

rato que surge de repente e se lança em fuga. Quando o gato se apercebe da

persença do rato já este tem 11 metros de avanço. Sabe-se que a velocidade
média de fuga de um rato é aproximadamente de 10m/s e a do gato 12m/s.
4.1 Das expressões que se seguem identifique a que traduz a fuga do rato
e a que traduz a perseguição do gato:
e = 12t
e = 11 + 10t
4.2 Em que momento da perseguição o gato apanha o rato? Resolva

analiticamente e graficamente esta questão.
5. Represente no mesmo referencial os gráficos das seguintes funções:
f (x ) = x g (x ) = x + 2 h (x ) = x − 3
Que conclusões se podem tirar destes gráficos?
6. Represente no mesmo referencial os gráficos das seguintes funções:
f (x ) = x g (x ) = x − 5 h (x ) = x + 4
Que conclusões se podem tirar destes gráficos?
7. Represente graficamente a função m(x ) = 2x − 4 − 3 .
8. Resolve as seguintes condições:
8.1 9 x + 8 = 10
8.2 3 x − 4 < 5
8.3 5 − 4 x − 7 > 0
1
8.4 5 − x =
2
8.5 2 x + 1 ≥ −13

9. Representa graficamente a função y = 3 x − 6 − 1 a partir da função
y = 3x − 6 .
10. Esboça os gráficos das funções y = f (x ) e y = g (x ) e escreve as
respectivas expressões.
11. Defina por ramos as seguintes funções:
11.1 m(x ) = x − 3 + 1
11.2 p(x ) = 2 x − 10
11.3 t (x ) = 4 − 2 x − 5
12. Considere a função: f : x → y = x 2 − 3 x . Obtenha as representações

gráficas das funções:
12.1 f (x )
12.2 f ( x )
13. Diga qual o sentido e concavidade do gráfico das seguintes funções:
13.1 y = − x 2 + 3
2
13.2 y = −2(x − 1) + 3
13.3 y = 1 − x − x 2
14. Determine o eixo de simetria e o vértice da parábola que representa

graficamente a função:

14.1 y 1 = x 2 − 4 x + 3
14.2 y 2 = −2 x 2 − 4 x + 16
15. Determine os zeros das seguintes funções:
15.1 f1 (x ) = x 2 + 3 x − 10
15.2 f2 (x ) = − x 2 + 8 x + 30
15.3 f3 (x ) = − x 2 + 4 x − 4
16. A partir do gráfico da função y = x 2 , esboça o gráfico das seguintes

funções:
16.1 y = x 2 − 2
16.2 y = − x 2 + 2
16.3 y = 2 x 2 − 4
2
16.4 y = (x + 3 )
2
16.5 y = (x − 5 ) − 1
2
16.6 y = 2(x + 1) − 2
17. Observe os gráficos e faz corresponder a cada um deles a respectiva

expressão analítica:
17.1 y = x 2
17.2 y = x 2 − 3
17.3 y = x 2 + 3 x
2
17.4 y = (x + 3 )

18. Considere a seguinte função y = − x 2 − 3 x + 4 :
18.1 Quais são os zeros da função?
18.2 Quais são as coordenadas do vértice da parábola correspondente à

função?
18.3 Esboçe o gráfico da função
18.4 Indique o conjunto solução da condição y ≥ 0 .
18.5 Indique o extremo da função e os intervalos de monotonia.
19. Considere a função real de variável real definida por:
f (x ) = x 2 − 2 x − 3
2
19.1 Escreva f (x ) na forma (x − h ) + k , com h , k ∈ IR .
19.2 Indique as coordenadas do vértice e escreva a equação do eixo de

simetria da parábola que representa o gráfico da função.
19.3 Determine os zeros da função.
19.4 Para que valores de x a imagem da função é negativa?
20. No instante t=0, uma bola é lançada na vertical de um ponto situado a 1,5
metros do solo. Após t segundos, a distância da bola ao solo, em metros, é
dada por: h = −2t 2 + 6t + 1,5
20.1 Determine a altura máxima que a bola consegue alcançar.
20.2 Determine, a menos de uma décima de segundo, o instante em que a

bola atingiu o solo.
20.3 Determine, a menos de uma décima de segundo, quanto tempo a bola

permanece acima dos 3 metros de altura.

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2008

Marisa Oliveira, Susana Nicola Araújo

Estes apontamentos destinam-se ao acompanhamento das aulas de matemática do curso

Pretendemos que os alunos consigam:

• Desenvolver a capacidade de comunicar conceitos com clareza e rigor lógico;

• Descobrir relações entre conceitos de Matemática;

2 Marisa Oliveira, Susana Araújo

3 Marisa Oliveira, Susana Araújo

Utilizar as propriedades das operações para simplificar os

Conhecimento do conjunto dos números racionais, das diferentes

Aptidão para trabalhar com valores aproximados de números

Aptidão para operar com potências.

Operações com números relativos.

4 Marisa Oliveira, Susana Araújo

1.1 Números inteiros positivos

Neste conjunto a adição é sempre possível pois, se considerarmos dois

Quer a adição quer a multiplicação são:

- comutativas: quaisquer que sejam os números naturais a e b

- associativas: quaisquer que sejam os números naturais a, b e c

- sendo ainda a multiplicação distributiva em relação à adição

(a + b).c = a.c + b.c

a.(b + c) = a.b + a.c

5 Marisa Oliveira, Susana Araújo

dizemos que x representa o quociente exacto de a por b.

Mas a divisão exacta nem sempre é possível no conjunto dos números

No exemplo anterior, o quociente de 2 por 3, que não era possível em IN,

1.2 Números inteiros positivos, negativos e o zero

É claro que as propriedades já enunciadas, para a adição e multiplicação,

1.3 Números inteiros e números fraccionários relativos

Q – conjunto dos números racionais

6 Marisa Oliveira, Susana Araújo

por dízimas finitas ou infinitas periódicas.

Repare que duas fracções podem representar o mesmo número, dizendo-se

dividirmos ambos os membros da segunda fracção por 4 obtemos

Dadas duas fracções com o mesmo denominador elas serão

7 Marisa Oliveira, Susana Araújo

que reduzi-las a um denominador comum. m.m.c. (5,3) = 15

Para multiplicar fracções, multiplicamos numerador com numerador,

8 Marisa Oliveira, Susana Araújo

IR – conjunto dos números reais

Nos inteiros positivos (IN)

Nos reais (IR) N os fraccionários– dízimas infinitas periódicas

Nos irracionais – dízimas infinitas não periódicas

1.5 Operações com números reais

1) Adicionar um número real com 0, dá o próprio número, pois 0 é o

2) Adicionar os números simétricos a e – a:

3) Se as parcelas têm o mesmo sinal:

4) Se as parcelas têm sinais contrários:

9 Marisa Oliveira, Susana Araújo

Porque |- 4| > |2|

Porque |5| > |-3|

Subtrair ao número a o número b é adicionar ao número a o simétrico

1) Qualquer que seja o número a, a.0 = 0.a = 0, o que traduz que 0 é

2) O produto tem sinal + se os factores tiverem o mesmo sinal e tem

10 Marisa Oliveira, Susana Araújo

Dividir a por b, não é mais que multiplicar por a o inverso de b.

11 Marisa Oliveira, Susana Araújo

1.6 Valores aproximados

As dízimas podem ser finitas, infinitas periódicas e infinitas não

Exemplo: 0,111…. Ou 0,(1) é uma dízima infinita periódica de período 1