CONTEÚDO - Números Racionais

Números racionais
Os números racionais são os números que podem ser escritos na forma de fração. Esses
números podem também ter representação decimal finita ou decimal infinita e periódica. A letra que
representa o conjunto dos números racionais, ou seja, o "Q" é derivado da palavra inglesa "quotient", que
significa quociente.
A partir da definição de frações, o conjunto dos números racionais pode ser representado da
seguinte maneira:
Nessa definição, dizemos que o conjunto dos números racionais é composto por todas as frações de “a”
por “b”, em que “a” é um número inteiro e “b” é um número inteiro diferente de zero. Assim, como todos os
decimais exatos e todas as dízimas periódicas podem ser escritas em forma de fração, então eles também
são números racionais.
Subconjuntos do conjunto
• Racionais não-nulos. Esse subconjunto é formado pelos números racionais sem o zero (0)
• Racionais não-negativos. Subconjunto composto pelos números racionais positivos e o zero.
• Racionais não-positivos. Números racionais negativos e o zero formam esse subconjunto.
• Racionais positivos. Esse subconjunto é composto pelos números racionais positivos.
• Racionais negativos. Subconjunto formado pelos números racionais negativos.
Números racionais na reta numérica

Como os números racionais são usados para representar frações de unidade, sua localização na reta
numérica ficará entre as marcas dos inteiros que representam precisamente unidades inteiras.
O denominador indica que devemos dividir cada unidade por esse número de partes, enquanto
que o numerador nos diz quantas dessas pequenas partes devemos ter no começo.
Por exemplo, considere a expressão 3/2: o número dois no denominador mostra que devemos
dividir as unidades em duas partes iguais, enquanto que o numerador três mostra que devemos pegar
três dessas divisões a partir do começo, veja:
Quando você posicionar um número negativo na reta numérica, a única diferença é que contamos
as unidades para a esquerda e não para à direita.
Como exemplo representamos o -5/4. Primeiro vamos dividir as unidades em quatro partes
iguais, conforme indicado pelo denominador, então contamos cinco unidades a partir do começo. Como
é um número negativo, contamos as partes para o lado esquerda:
Obs: quando formos localizar os números decimais na reta numérica, devemos lembrar que eles estarão
entre os números inteiros que representa a sua parte inteira e, caso seja positivo eles estará entre sua parte
inteira e o sucessor inteiro dele; e caso seja negativo, estará entre a parte inteira e seu antecessor inteiro.
Ex:
- 0,25 → entre 0 e -1.
5,25 → entre 5 e 6.
Comparações entre números racionais

Entre números racionais na forma de fração :
1º caso: Frações com o mesmo denominador
A maior é a que tem maior numerador.
Exemplos:
2º caso: Frações com o mesmo numerador

A maior é a que tem menor denominador
3º caso: Frações com numeradores e denominadores diferentes

Basta reduzi-las ao mesmo denominador comum, por meio do mínimo múltiplo comum.
Exemplos:
Entre números racionais na forma de decimal :
Comparar dois números decimais significa estabelecer uma relação de igualdade ou de desigualdade entre
eles. Consideremos dois casos:
1º caso: as partes inteiras
O maior é aquele que tem a maior parte inteira.
Exemplos:
3,4 > 2,943, pois 3 >2. 10,6 > 9,2342, pois 10 > 9.
2º caso: as partes inteiras são iguais

O maior é aquele que tem a maior parte decimal. É necessário igualar
inicialmente o número de casas decimais acrescentando zeros.
Exemplos:
• 0,75 > 0,7 ou 0,75 > 0,70 (igualando as casas decimais), pois 75 > 70.
• 8,3 > 8,03 ou 8,30 > 8,03 (igualando as casas decimais), pois 30 > 3.
Entre números racionais na forma decimal e na forma de frações:

Precisamos transformá-los na forma de fração ou ambos na forma decimal e depois compará-los.
Exemplo:
1
< 0,75 → 0,5 < 0,75 → 0,50 < 0,75
2
Comparação entre números racionais na reta numérica

A reta numérica é uma ferramenta muito útil para comparar números, aprenda como usá-la.
Você se lembra do conceito de ordem e o símbolo utilizado para representá-lo. Quando colocamos
os números corretamente na reta, eles são organizados da esquerda para a direita, posicionando os
menores à esquerda e os maiores à direita. Vejamos por exemplo, como o menos um está à direita do
menos três, representando graficamente que -3 < -1; o zero esta à direita de menos um, o que representa
que 0 > -1; ou um sobre dois está à direita de zero, porque 0 < ½ :
Geralmente podemos dizer que, se b é maior que a, b > a , então quando nós representamos na
reta, a deve estar à direita de b .
Quando estudamos a ordem dos racionais, vimos que 5/9 > 4/7, agora podemos confirmar este
resultado graficamente:
Na cor vermelha mostramos as divisões necessárias para representar 4/7, ou seja, dividimos a
cinco unidade em sete partes iguais. Em azul dividimos cinco em nove partes iguais. Se você olhar com
cuidado perceberá que 4/7 está um pouco mais para a direita que 5/9 .
Transformação de números decimais em fração decimal
Conte quantas casas para a direita a vírgula deverá andar para que o número deixe de ser decimal.
Por exemplo, no número 0,047 a vírgula deverá andar 3 casas para a direita para deixar de ser decimal e
virar inteiro. O denominador da fração será uma potência de 10, ou seja, 10, 100, 1000 etc. Escrevemos
então a fração onde o numerador é o número original sem a vírgula e o denominador é a potência de 10..
Para o exemplo dado, teríamos como resultado
Transformação de frações decimais em números decimais

Assim como anteriormente, para transformar frações decimais em números
decimais, basta contar a quantidades de zero e andar com a vírgula para esquerda, até que
a quantidade de casas decimais seja igual à quantidade de zeros.
Módulo de números racionais

Do ponto de vista geométrico, o módulo de um número racional q é a distância comum do ponto q até a
origem (zero) que é a mesma distância do ponto −q à origem, na reta numérica racional.
Exemplos: |0|=0, |2/7|=2/7 e |−6/7|=6/7.
Dica: Sempre será positivo.
Oposto de números racionais

Todo número racional q, possui um elemento denominado simétrico ou oposto −q e ele é caracterizado
pelo fato geométrico que tanto q como −q estão à mesma distância da origem do conjunto Q que é 0. Como
exemplo, temos que:
O oposto de 3/4 é −3/4.
O oposto de 5 é −5.
Dica: Basta mudarmos o seu sinal, se é positivo vira negativo e vice-versa.
Inverso de números racionais

O inverso de um número é a troca do numerador pelo denominador e vice-versa, desde que essa
fração ou número seja diferente de zero.
2 3
→ 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜 =
3 2

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Números racionais na reta numérica

Comparações entre números racionais

2º caso: Frações com o mesmo numerador

3º caso: Frações com numeradores e denominadores diferentes

2º caso: as partes inteiras são iguais

Entre números racionais na forma decimal e na forma de frações:

Comparação entre números racionais na reta numérica

Transformação de frações decimais em números decimais

Módulo de números racionais

Dica: Sempre será positivo.

Oposto de números racionais

Dica: Basta mudarmos o seu sinal, se é positivo vira negativo e vice-versa.

Inverso de números racionais

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