Educação

a Distância
EJA
Ensino Médio
Matemática
Aula 6

OBJETIVO

Desenvolver no aluno a visão tridimensional em sólidos geométricos, dar

um maior entendimento em relação à esfera e outros sólidos classificados
como objetos que redondos e que não rolam e desenvolvendo também um
maior conhecimento em álgebra e geometria analítica.

Conteúdos

•• Objetos que Não Rolam

•• Objetos Redondos

•• Esfera

•• Observando Figuras Tridimensionais

•• Álgebra e Geometria Analítica

1 RACIOCÍNIO LÓGICO - AULA 1

 INICIANDO O DIÁLOGO

Na aula de hoje iremos nos aprofundar no estudo de figuras geométricas tridimensionais, ou seja,
sólidos geométricos. Veremos como suas formas mudam de acordo com o modo que as observamos,
veremos também como a álgebra é importante para nos auxiliar nos cálculos de área, volume entre
outras situações que envolvem estes elementos geométricos.

LEITURA DE MUNDO

Objetos que Não Rolam

Poliedros regulares

Os poliedros regulares são muito

admirados por sua beleza, elegância e,
sobretudo, por suas formas tão perfeitas.
Podemos encontrá-los em grandes
obras de arquitetura, objetos esotéricos
e até mesmo em objetos construídos
pela própria natureza. Você já observou
que quanto mais faces tem um poliedro
regular mais arredondado ele fica?

Veja a figura do dodecaedro regular: ele

tem 12 faces.

Imagine este poliedro com 20 ou 50 faces!

O poliedro regular considerado mais perfeito é a esfera. Talvez por isso a pérola seja uma joia tão
valorizada. As figuras ao lado representam poliedros regulares.

2 FACULDADES DA INDÚSTRIA MATEMÁTICA - AULA 6

 Uma relação interessante que deve ser pesquisada na biblioteca física ou virtual é: A Relação de Euler,
para que tenha um maior aprofundamento nos estudos sobre Poliedros Regulares.

Prismas

Podemos entender um prisma como um poliedro convexo cujas faces laterais são paralelas.

Daqui em diante, frequentemente estaremos nos referindo a vários tipos de prismas. Por esse motivo,
vamos aproveitar para aprender os nomes dos seus elementos.

3 FACULDADES DA INDÚSTRIA MATEMÁTICA - AULA 6

 Os prismas recebem nomes diferentes de acordo com suas bases. Veja:

Observe que suas bases podem ser formadas por vários tipos de polígonos, porém suas faces laterais
são sempre retângulos (prismas retos) ou paralelogramos (prismas oblíquos).

Os prismas são os sólidos geométricos preferidos para a confecção de embalagem de produtos

industrializados, tais como: caixa de leite, lata de biscoito, barra de chocolate etc. Ao lançar um
produto no mercado consumidor, as indústrias estudam qual o formato mais viável economicamente
e o mais atraente ao público-alvo.

Veja alguns exemplos:

• prismas retos quadrangulares: geladeiras, fogões, televisores etc.

• prismas retos triangulares: chocolates, perfumes etc.

• prismas retos hexagonais: queijos finos, biscoitos etc.

Na próxima vez que você fizer compras, observe os produtos e suas embalagens.

4 FACULDADES DA INDÚSTRIA MATEMÁTICA - AULA 6

 Planificação de um prisma – áreas

Observe o prisma reto quadrangular: ele possui quatro faces laterais e duas bases. Veja como ele fica
depois de planificado:

Para calcular a sua área lateral, basta somarmos as áreas das figuras 1, 2, 3 e 4, que são retângulos.

Para calcularmos a área da base, basta considerarmos a área da figura 5 ou da figura 6, pois as duas
bases são iguais.

Para calcularmos a área total, é preciso somarmos todas as áreas:

ST área total.

ST = SF + 2 × SB onde: SF área das faces laterais ou área lateral.

SB área de cada base.

Pirâmides

Seja, por exemplo, o triângulo ABC pertencente ao plano α e um ponto P que não pertence ao plano
α. Traçando os segmentos AP, BP e CP, vamos obter uma pirâmide.

5 FACULDADES DA INDÚSTRIA MATEMÁTICA - AULA 6

 • Os triângulos ABP, BPC e APC são as faces laterais da pirâmide.

• O polígono ABC é a base da pirâmide (que, nesse caso, também é um triângulo).

• Os segmentos AP, BP e CP são as arestas laterais da pirâmide.

• Os segmentos AB, BC e AC são as arestas da base.

• O ponto P é o vértice da pirâmide.

• A distância entre o vértice e a base da pirâmide corresponde à altura da pirâmide.

As pirâmides podem ser nomeadas de acordo com o polígono de sua base.

Obs.: As pirâmides triangulares também são chamadas de tetraedros (quatro faces).

6 FACULDADES DA INDÚSTRIA MATEMÁTICA - AULA 6

 Pirâmide regular

Uma pirâmide é regular quando a base é um polígono regular e a projeção ortogonal do vértice sobre
a base coincide com o centro da base.

Nas pirâmides regulares, as faces são triângulos isósceles congruentes.

Planificação de uma pirâmide – áreas

Do mesmo modo que fizemos com os prismas, também podemos planificar uma pirâmide. Através
desse processo, fica mais fácil visualizarmos suas faces laterais e a sua base.

Observando a pirâmide planificada, podemos perceber que ela é formada por quatro faces laterais e
uma só base. Daí, a sua área total será:

ST área total.

ST = SF + SB onde: SF área das faces laterais ou área lateral.

SB área da base.

7 FACULDADES DA INDÚSTRIA MATEMÁTICA - AULA 6

 Objetos Redondos

Volume

Se considerarmos um prisma e uma pirâmide com a mesma base e a mesma altura, podemos afirmar
que o volume da pirâmide é a terça parte do volume do prisma.

Como esta figura não é muito fácil de visualizar, sugerimos que faça uma experiência concreta: com
folha de cartolina, construa um prisma e uma pirâmide com a mesma base e a mesma altura. Veja as
figuras:

Feche-os com fita adesiva. Agora, com cuidado, encha a pirâmide com areia e derrame no prisma.
Repita esta operação três vezes. Você irá conseguir encher o prisma após a terceira tentativa. Isso
significa que o volume da pirâmide é a terça parte do volume do prisma.

8 FACULDADES DA INDÚSTRIA MATEMÁTICA - AULA 6

 Assim, podemos escrever:

Exemplo: Calcule o volume de uma pirâmide em que a base é um hexágono cuja aresta mede 5 cm e
sua altura mede 10 cm.

Lembre-se de que o hexágono regular é formado por seis triângulos equiláteros. Portanto, a sua área é:

Solução:

Objetos Redondos

Cilindros

Podemos pensar numa lata de refrigerante como um bom exemplo de cilindro. Porém,
matematicamente, para gerarmos um cilindro, partiremos de duas retas paralelas: o eixo e a geratriz
do cilindro. Imaginando a geratriz girando em volta do eixo num movimento circular, estaremos
construindo a imagem de um cilindro. Veja a figura:

9 FACULDADES DA INDÚSTRIA MATEMÁTICA - AULA 6

 Para aprofundamento sobre o tema Cilindro, assista a vídeo aula : http://www.youtube.com/
watch?v=z7zwcsiEhdQ

Cones

O Cone é um sólido geométrico tão popular que

em quase todos os bares e restaurantes podemos
encontrá-lo sobre as mesas. Isso mesmo!

Experimente pedir um Suco numa roda de amigos:

certamente o garçom irá trazer um copo com
o formato de um cone. Vejas as figuras ao lado.

Para aprofundamento sobre o tema Cones, assista as vídeo aulas: http://www.youtube.com/

watch?v=E1BeQkH3ff0

http://www.youtube.com/watch?v=7VcGv0Drwv4

Esfera

Área da Superfície Esférica

Sabemos que a esfera não pode ser planificada como outros sólidos, como, por exemplo, prismas,
pirâmides, cilindros e cones. Arquimedes utilizou então alguns artifícios. Ele decompôs a superfície
esférica em superfícies aproximadamente planas, com formas de polígonos regulares (hexágonos,
por exemplo). Ligando os vértices dessas regiões ao centro da esfera, teremos uma infinidade de
pirâmides de altura igual ao raio.

Quando estes sólidos se unem, eles

formam a esfera.

Vamos chamar de An, A1, A2, ..., as áreas

destas regiões, bases das pirâmides de
altura r. Podemos, deduzir as relações
de área e volume deste sólido,
chegando em tais relações:

10 FACULDADES DA INDÚSTRIA MATEMÁTICA - AULA 6

 Para obter um maior aprofundamento sobre o assunto assista a vídeo aula: http://www.youtube.com/
watch?v=4ybe-kljzmk

Observando Figuras tridimensionais

Você já percebeu que um mesmo objeto pode ser visto de diferentes modos, dependendo de onde
você se coloca para observá-lo?

Veja como representar diferentes posições de alguns sólidos no papel quadriculado.

Essa malha quadriculada pode ser organizada e transformar-se numa rede pontilhada, o que facilita
a representação dos sólidos.

Observe a regularidade na distribuição dos pontos na malha quadriculada e a sequência

que um aluno fez para representar um cubo.

Você reparou que ele desenhou todas as arestas do cubo congruentes, isto é, todas com a mesma
medida?

Olhe atentamente para as peças abaixo. Você é capaz de afirmar quantas peças diferentes há?

Dependendo do ponto de vista, pode-se ver uma mesma peça de forma diferente.

11 FACULDADES DA INDÚSTRIA MATEMÁTICA - AULA 6

 Primeiro você tem que observar quantos cubos há em cada peça. Confira a tabela abaixo:

B D E
A
C Conseguiu? Ótimo, agora é só comparar os
H grupos que têm a mesma forma para chegar
F G I
J à conclusão de que existem seis peças
diferentes: A e E; B e K; C e N; D, G e M; F, H e
L N J; I, L e O . Difícil? É questão de praticar.
M
K O

Álgebra e Geometria Analítica

Coordenadas no plano

Considere um plano α e um ponto pertencente a esse plano. Para determinarmos a exata localização
desse ponto, recorremos ao que chamamos de sistema de coordenadas cartesianas.

O sistema de coordenadas cartesianas

é formado por dois eixos concorrentes,
pertencentes a um mesmo plano. Esses eixos
podem ser oblíquos ou perpendiculares, os
quais estudaremos. Quando os eixos são
perpendiculares, temos um sistema ortogonal.

Os eixos se cortam num ponto que chamaremos de

O (origem), determinando os eixos Ox e Oy.

Os eixos Ox e Oy definem quatro regiões no plano, que são chamadas de quadrantes.

Representação de ponto no sistema ortogonal de coordenadas Cartesianas

Em um sistema ortogonal, cada ponto está associado a um par ordenado de números reais (x, y).

12 FACULDADES DA INDÚSTRIA MATEMÁTICA - AULA 6

 Seja um ponto A, pertencente a um plano cartesiano.
A posição de A será determinada pelas coordenadas
(xa, ya), em que xa pertence ao eixo Ox e é chamado
abscissa de A, e ya pertence ao eixo Oy e é chamado
ordenada de A.

Todo ponto situado sobre o eixo das abscissas terá ordenada zero.

Todo ponto situado sobre o eixo das ordenadas terá abscissa zero.

O ponto de coordenadas (0, 0) é a origem do sistema de coordenadas.

Os sinais das coordenadas de um ponto indicam a que quadrante ele pertence. Veja os exemplos a seguir:

O ponto A(4, 3) está situado no 1º quadrante -

xa > 0 e ya > 0.

O ponto B(-5, 4) está situado no 2º quadrante -

xb < 0 e yb > 0.

O ponto C(-4, -3) está situado no 3º quadrante -

xc < 0 e yc < 0.

O ponto D(5, -4) está situado no 4º quadrante -

xd > 0 e yd < 0.

13 FACULDADES DA INDÚSTRIA MATEMÁTICA - AULA 6

 Distância entre dois planos

Se dois pontos pertencem a uma mesma direção paralela a um dos eixos, a distância entre eles será
determinada pelo módulo da diferença entre as coordenadas.

Se dois pontos pertencem a uma direção oblíqua a um dos eixos coordenados, a distância entre eles
será determinada com o auxílio do teorema de Pitágoras.

Sejam os pontos A(4, 3), B(-3, 3), C(-3, -4) e D(1, -3).

Os pontos A e B pertencem a uma direção paralela ao eixo Ox. Logo, a distância entre A e B será:

1. Observe o triângulo retângulo isósceles ABC cujos ângulos agudos medem 45º. Nesse triângulo temos:

d(A, B) = |xa – xb| ou AB = |xa – xb|

AB = |4 - (-3)| AB = 7

Os pontos B e C pertencem a uma direção paralela

ao eixo Oy.

Logo, a distância entre B e C será:

d(B, C) = |yb – yc| ou BC = |yb – yc|

BC = |3 - (-4)| BC = 7

Os pontos A e D pertencem a uma direção oblíqua

aos eixos.

Logo, a distância entre eles será:

De modo geral, a distância entre dois pontos A e B pode sempre ser determinada pela relação:

14 FACULDADES DA INDÚSTRIA MATEMÁTICA - AULA 6

 Para finalizar o estudo de Álgebra e Geometria Analítica, pesquise na biblioteca física ou virtual sobre:
Ponto Médio e Condição de Alinhamento entre três pontos ou Pontos Colineares.

SAIBA MAIS

Para um aprofundamento em seus estudos sobre Geometria Analítica, resolva alguns exercícios do livro:

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: Contexto & Aplicações. Vol.3. Editora Ática.

AMPLIANDO HORIZONTES

Ler sobre Poliedro no livro: Os Poliedros de Platão e os dedos das mãos, de Nilson José Machado.
Coleção Vivendo a Matemática – Editora Scipione. Formas num mundo de formas, de Suzano L.
Cândido. Editora Moderna.

TROQUE IDEIAS

Use o conceito de distância entre dois pontos e analise um mapa geográfico e discuta com seus colegas.

VAMOS PRATICAR

1. Um prisma triangular regular tem faces quadradas. As arestas medem 4 cm. Qual a medida da área
total da superfície desse prisma?

15 FACULDADES DA INDÚSTRIA MATEMÁTICA - AULA 6

 2. Um prisma regular, reto hexagonal, tem altura medindo 10 cm. O perímetro da base mede 48 cm.
Qual o volume desse prisma?

3. Observe uma pirâmide que tenha quatro faces, incluindo a base.

a) Quantas arestas ela possui?

b) Quantos vértices ela possui?

c) Faça um desenho que represente uma planificação dessa pirâmide.

4. Dentre as figuras abaixo:

Aquelas que podem ser planificações de um paralelepípedo são:

a) Figuras a, b e c. d) Figuras a e e.

b) Figuras b, c e e. e) Figuras b e c.

c) Figuras b, c e d.
16 FACULDADES DA INDÚSTRIA MATEMÁTICA - AULA 6
 5. Construa um polígono cujos vértices são A(1, 1), B(4, 1), C(5, 4), D(3, 5) e E(1, 4). Os lados desse
polígono são os segmentos AB, BC, CD, DE e EA.

Após a construção polígono, determine a medida de cada lado e encontre sua área.

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