ESTADO DE MATO GROSSO

SECRETARIA DE ESTADO DE EDUCAÇÃO

EDUCAÇÃO, ESPORTE E LAZER – SEDUC - MT
ESCOLA ESTADUAL PAULO FREIRE

Semana de estudos:

Componente curricular: Matemática C/horaria semanal: 10h Período: Mat/Vesp/Not

Professor (a): Turma/Ano: 2º ano _____

O que vamos estudar?

(EF05MA16) - Associar figuras espaciais a suas planificações (prismas, pirâmides, cilindros e cones) e
analisar, nomear e comparar seus atributos.
(EF06MA17) - Quantificar e estabelecer relações entre o número de vértices, faces e arestas de prismas
e pirâmides, em função do seu polígono da base, para resolver problemas e desenvolver a percepção
espacial.
(EF09MA09) - Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas
relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados
por equações polinomiais do 2º grau.

Objetos de conhecimento:
 Prismas e pirâmides: planificações e relações entre seus elementos (vértices, faces e arestas).
 Figuras geométricas espaciais: reconhecimento, representações, planificações e características
 Expressões algébricas: fatoração e produtos notáveis; Resolução de equações polinomiais do 2º
grau por meio de fatorações.

Dicas para complementar seus estudos:

Auto – Avaliação
Quais foram suas dúvidas e/ou dificuldades?
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1. Prismas regulares
Prisma: Figura espacial que possui duas faces poligonais opostas, paralelas e congruentes, denominadas
bases, separadas por uma distância chamada altura. As demais faces possuem forma de paralelogramos,
sendo os lados os segmentos que unem os vértices correspondentes das duas bases. O prisma é regular
quando suas bases forem polígonos regulares.
1.1 Prisma reto: O prisma é dito reto quando as arestas laterais forem perpendiculares às bases. Neste
caso as faces laterais serão retângulos.
Definições complementares
Al → total da área lateral, que é a soma das áreas dos paralelogramos
Ab → área do polígono da base (vide fórmulas no artigo Quadrilátero - Cálculo de áreas)
h → altura do prisma (distância entre as duas bases e perpendicular a elas)
Área total:
AT = Al + 2. Ab
Volume do prisma:
V = Ab . h
1.2 Prisma oblíquo: quando as arestas laterais não são perpendiculares às bases.

As fórmulas para cálculo das áreas e do volume continuam as mesmas, pois a altura é sempre a distância
entre as duas bases e perpendicular a elas ou ao plano que as contém.

2. Pirâmides regulares
Pirâmide: Uma figura espacial que possui uma face poligonal denominada base, e faces laterais em
forma de triângulos com um vértice em comum. A distância deste vértice até a base da pirâmide é sua
altura. A pirâmide é regular quando sua base for um polígono regular.

2.1 Pirâmide reta: A pirâmide é reta quando todos as faces laterais forem todas triângulos iguais.
Neste caso a projeção do vértice da pirâmide sobre a base coincide com o centro geométrico da
base.

Definições complementares
Al → total da área lateral que é a soma das áreas dos triângulos laterais
Ab → área do polígono da base (vide fórmulas no artigo Quadrilátero - Cálculo de áreas)
h → altura da pirâmide (distância entre a base, perpendicular a ela, e o vértice)
Área total: AT = Al + Ab
1
Volume da pirâmide: V= . Ab . h
3
Pirâmide oblíqua: É aquela em que os triângulos que formam as faces laterais são diferentes ente si. Neste caso,
a projeção do vértice da pirâmide sobre a base não coincide com o centro geométrico da mesma.
 3. Pirâmides e prismas especiais
Um prisma especial, por exemplo, é o cubo:
Trata-se de um prisma de bases quadradas e iguais às faces laterais, ou seja, a figura possui seis faces
iguais formadas por quadrados.
Uma pirâmide especial, por exemplo, é o tetraedro:
Trata-se de uma pirâmide com base triangular regular e igual às faces laterais, ou seja, possui quatro
faces iguais formadas por triângulos equiláteros.

EXERCÍCIOS:

1) Calcule a área lateral, a área total e o volume de cada um dos sólidos cujas medidas estão indicadas nas
figuras.
a) Prisma reto (triangular).

b) Prisma regular (hexagonal).

c) Cubo.

d) Paralelepípedo reto-retângulo.
e) Pirâmide regular (hexagonal)

f) Pirâmide regular (quadrada)

g) Cilindro eqüilátero

h) cilindro reto

2) Uma peça de madeira tem as dimensões e forma da figura abaixo. Qual é o volume de madeira empregado para
fabricar esta peça?
3) Considere um prisma cuja base é um hexágono regular de 10 cm de lado e altura de 3 cm. No centro da peça, existe
um furo cilíndrico de 2 cm de raio. Qual é a quantidade de ferro, em volume, utilizada na confecção da peça?

4) Considere um cilindro circular reto de altura x cm e raio da base igual a y cm. Usando  = 3, determine x e y nos
seguintes casos:

a)O volume do cilindro é 243 cm3 e a altura é igual ao triplo do raio;

b)A área da superfície lateral do cilindro é 450 cm2 e a altura tem 10 cm a mais que o raio.

5) A figura abaixo representa um prisma reto, de altura 10cm, e cuja base é o pentágono ABCDE. Sabendo-se que AB =
3cm e BC = CD = DE = EA = 2cm, calcule o volume e a área total do prisma.

6) Um prisma de altura H e uma pirâmide têm bases com a mesma área. Se o volume do prisma é a metade do volume
da pirâmide, a altura da pirâmide é:

a) H/6 b) H/3 c) 2H d) 3H e) 6H

7) De uma viga de madeira de seção quadrada de lado Ø=10cm extrai-se uma cunha de altura h = 15cm, conforme a
figura. Calcule o volume e a área total da cunha.

8) As figuras abaixo representam duas caixas-d’água de mesma altura: 4m.

a) Qual das duas caixas tem volume maior?

b) Qual a razão entre o volume da caixa da esquerda e o da direita?

9) Um tanque de uso industrial tem a forma de um prisma cuja base é um trapézio isósceles. Na figura a seguir, são
dadas as dimensões, em metros, do prisma:

O volume desse tanque, em metros cúbicos, é

a) 50 b) 60 c) 80 d) 100 e) 120

10) Dois prismas regulares retos P 1 e P2, o primeiro de base triangular e o outro de base hexagonal, têm a mesma área
da base e a altura de P1 é o triplo da altura de P2. Qual a razão entre o volume de P1 e o de P2?

Exercícios sobre a relação de Euler

Estes exercícios testarão seus conhecimentos sobre a relação de Euler, fórmula matemática que relaciona o
número de faces, arestas e vértices de poliedros convexos: ( V – A + F = 2).

01) Um poliedro possui 16 faces e 18 vértices. Qual é o número de arestas desse poliedro?

a) 16

b) 18

c) 32

d) 34

02) (FAAP – SP/ adaptada) Em um poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 6
unidades. Qual o número de faces?

a) 6

b) 8

c) 10

d) 12

03) Um poliedro convexo com 16 arestas possui o número de faces igual ao número de vértices. Quantas faces
têm esse poliedro?

a) 16

b) 14

c) 11

d) 9
04) O número de faces de um poliedro convexo que possui 34 arestas é igual ao número de vértices. Quantas
faces possui esse poliedro?

a) 18

b) 20

c) 36

d) 34

05) Sabendo que um poliedro possui 20 vértices e que em cada vértice se encontram 5 arestas, determine o
número de faces dessa figura. 

06) Sabendo que em um poliedro o número de vértices corresponde a 2/3 do número de arestas, e o número de
faces é três unidades menos que o de vértices. Calcule o número de faces, de vértices e arestas desse poliedro. 

07) Quantas faces, arestas e vértices possuem o poliedro chamado de Hexaedro?

08) Num poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Calcule o número
de faces. 

09) Um poliedro convexo tem 3 faces pentagonais e algumas faces triangulares. Qual o número de faces desse
poliedro, sabendo que o número de arestas é o quádruplo do número de faces triangulares. 

10) O número de faces de um poliedro convexo de 22 arestas é igual ao número de vértices. Então, qual o
número de faces do poliedro? 

Fatoração de expressão algébrica

A fatoração de expressão algébrica consiste em escrever uma expressão algébrica em forma de produto. Em
casos práticos, isto é, na solução de alguns problemas que envolvem expressões algébricas, a fatoração é
extremamente útil, pois, na maioria das situações, ela simplifica a expressão trabalhada.

Para realizar a fatoração de expressões algébricas, utilizaremos um resultado muito importante na matemática
chamado teorema fundamental da aritmética, que afirma que qualquer número inteiro maior que 1 pode ser
escrito na forma de produto de números primos, veja:

121 = 11 · 11

60 = 5 · 4 · 3

Acabamos de fatorar os números 121 e 60.

Métodos para fatorar expressões algébricas

Agora veremos os principais métodos de fatoração, nos mais utilizados faremos uma breve justificativa
geométrica. Veja:

 Fatoração por evidência

Considere o retângulo:

Observe que a área do retângulo azul mais a área do retângulo verde resultam no retângulo maior. Vamos
analisar cada uma dessas áreas:

AAZUL = b · x

AVERDE = b · y

AMAIOR = b · (x + y)

Assim, temos que:

AMAIOR = AAZUL + AVERDE

b (x + y) = bx + by

 Exemplos

a) Para fatorar a expressão: 12x + 24y.

Nota-se que 12 é o fator em evidência, uma vez que ele aparece em ambas as parcelas, assim, para determinar
os números que vão no interior dos parênteses, basta dividir cada parcela pelo fator em evidência.

12x : 12 = x

24y : 12 = 2y

12x + 24y = 12 · (x + 2y)

b) Para fatorar a expressão 21ab2 – 70a2b.

Do mesmo modo, inicialmente, determina-se o fator em evidência, isto é, o fator que se repete nas parcelas.
Veja que da parte numérica temos o 7 como fator comum, uma vez que ele é o único que divide ambos os
números. Agora, em relação à parte literal, veja que se repete somente o fator ab, logo, o fator em evidência é:
7ab.
 21ab2 – 70a2b = 7ab (3b – 10a)

 Fatoração por agrupamento

A fatoração por agrupamento é decorrente da fatoração por evidência, a única diferença é que, em vez de
termos um monômio como fator comum ou fator em evidência, teremos um polinômio, veja o exemplo:

Considere a expressão (a + b) · xy + (a + b) · wz2

Observe que o fator comum é o binômio (a + b), logo, a forma fatorada da expressão anterior é:

(a + b) · (xy + wz2)

 Diferença entre dois quadrados

Considere dois números a e b, quando temos a diferença do quadrado desses números, isto é, a 2 – b2, então
podemos escrevê-los como sendo o produto da soma pela diferença, ou seja:

a2 – b2 = (a + b) · (a – b)

 Exemplos

a) Para fatorar a expressão x2 – y2.

Podemos utilizar a diferença entre dois quadrados, logo:

x2 – y2 = (x + y) · (x – y)

b) Para fatorar 2.0202 – 2.0192.

Podemos utilizar a diferença entre dois quadrados, logo:

2.0202 – 2.0192 = (2.020 + 2.019) · (2.020 – 2.019)

2.0202 – 2.0192 = 4.039 · 1

2.0202 – 2.0192 = 4.039

 Trinômio do quadrado perfeito

Considere o quadrado seguinte de lado (a + b) e observe as áreas dos quadrados e retângulos formados em seu
interior.
Veja que a área do quadrado maior é dada por (a + b) 2, mas, por outro lado, a área do quadrado maior pode ser
obtida pela soma dos quadrados e retângulos do seu interior, assim:

(a + b)2 = a2 + ab + ab + b2

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

De maneira análoga, temos que:

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

 Exemplo

Considere a expressão x2 + 12x + 36.

Para fatorar uma expressão desse tipo, basta identificar o coeficiente da variável x e o coeficiente independente,
e comparar com a fórmula dada, veja:

x2 + 12x + 36

a2 + 2ab + b2

Fazendo as comparações, veja que x = a, 2b = 12 e b 2 = 36; das igualdades, temos que b = 6, assim a expressão
fatorada é:

x2 + 12x + 36 = (x + 6)2

 Trinômio do segundo grau

Considere o trinômio ax2 + bx + c. A sua forma fatorada pode ser encontrada utilizando suas raízes, ou seja, os
valores de x que zeram tal expressão. Para determinar os valores que zeram tal expressão, basta resolver a
equação ax2 + bx + c = 0 utilizando o método que achar conveniente. Aqui ressaltamos o método mais
conhecido: método de Bhaskara.

A forma fatorada do trinômio ax2 + bx + c é:

ax2 + bx + c = a · (x – x1) · (x – x2)

 Exemplo

Considere a expressão x2 + x – 20.

O primeiro passo é determinar as raízes da equação x2 + x – 20 = 0.

Assim a forma fatorada da expressão x2 + x – 20 é:

(x – 4) · (x + 5)

Exercícios.

1) Colocando o fator comum em evidência, fatore os seguintes polinômios:

a) 10a + 10b

b) 4a – 3ax

c) a2 + 5ab

d) xy + y2 – y

2) Fatorando ao máximo o trinômio 12x2 – 36x + 27 obtemos?

a) 3(2x – 3)2
b) 3(2x + 3)2
c) 3(4x2 – 12x + 8)
d) 3(2x + 3) (2x + 3)
e) NDA

3) Calcule o valor de:

a) (2a + 3b)2 – (2a - 3b)2 b) (3x – 4)(3x + 4)

b
4) Determine o valor numérico da expressão 3 x+3 y−a , para x = - 3, y = 16, a = 2 e b =5.

5) Calcule o valor numérico das expressões:

a 2 +ax
a) √ m , para a = 8, x = 10 e m = 9.

6 4 3
b) x −m + y , para x = - 1, m = - 2 e y = 2.
 a2 −2 a
c) √a , para a = 4

6) Calcule o valor numérico das expressões:

a) 52a + 3ab, para a = - 3 e b = 4. b) √ a2+b2 , para a = 3 e b =4.

c) x6 – m4, para x = - 1 e m = - 2. d) √ a2−b2 , para a = 10 e b = 6.

7) Efetue as multiplicações e agrupe os termos semelhantes quando possível:

a) 3ab2(2 a5b3 – 5b2) b) (2x + 3).(3x + 5)

c) – 2xy . 3x5y . 5x3y4 d) (x2 + 8) . (x2 + 2)
8) Fatorando a expressão 12x2 – 36x + 27 obtemos:

a) 3.(2x – 3)2 b) 3.(2x + 3)2 c) 3.(4x2 – 12x + 8) d) 3.(2x + 3) (2x + 3) e) N.D.A.