GEOMETRIA ESPACIAL

CONTEÚDOS

 Capacidade e volume
 Poliedros
 Pirâmides
 Cilindros
 Cone
 Esfera

AMPLIANDO SEUS CONHECIMENTOS

Capacidade e volume

Na receita de bolo estava indicado 500 mL de leite ou 500 cm³?

É muito comum que as receitas apresentem, para as

quantidades referentes aos líquidos, unidades de
medida que representam múltiplos ou submúltiplos
do litro (L, mL, dL,...). Porém, se na receita a
quantidade estivesse informada utilizando os
centímetros cúbicos, seria possível compreendê-la,
ao identificar que as duas unidades de medida ( cm³
e mL) podem ser relacionadas. Figura 1 – leite
Fonte: Microsoft Office

Quando falamos em litros (ou seus múltiplos e submúltiplos) estamos nos referindo a
capacidade de um determinado recipiente. No caso da receita, se fosse utilizado, para
medir a quantidade de leite, um recipiente de volume igual 500 cm³, a quantidade em
mL seria de 500 mL.

Por exemplo, uma caixa de leite, que apresenta o formato de um paralelepípedo, e tem
volume igual a 1.000 cm³ pode conter a quantidade máxima de 1.000 mL ou 1 litro de
leite. Isso porque essas unidades estão relacionadas da seguinte forma:
 Medida em litros Medida em metros cúbicos
1L 1.000 cm³

Ou seja, 1L corresponde a exatamente a 1.000 cm³.

Veja outras relações entre essas unidades de medida.

1 cm³ 1 mL
1 m³ 1.000 L
1 dm³ 1L

Relembrar essas unidades e a relação entre elas trará contribuições para os estudos a
seguir. Isso porque vamos falar das formas geométricas espaciais. E, elas estão
relacionadas as medidas de capacidade e volume.

FORMAS GEOMÉTRICAS

A geometria espacial trata do estudo de formas: como o cubo, a pirâmide, a esfera, ou

seja, formas geométricas que possuem mais de duas dimensões. Essas formas são
chamadas de sólidos geométricos, e estes são divididos em dois grupos, os corpos
redondos e os poliedros.
Acompanhe alguns exemplos:

Prisma

Cone Esfera Pirâmide

Cilindro Cubo

Corpos redondos: são sólidos Poliedros: são sólidos que apresentam

delimitados por alguma superfície suas superfícies delimitadas por figuras
arredondada. geométricas planas.
Conhecendo os poliedros

As superfícies planas de um poliedro são chamadas de

faces.

Os lados dos polígonos que delimitam as

superfícies de um poliedro são chamados de
aresta.

O encontro de três ou mais arestas é chamado

de vértice.

Alguns exemplos de poliedros:

Tetraedro Cubo ou hexaedro Octaedro

Esse poliedros são conhecidos como poliedros regulares. Eles, recebem tal
classificação por apresentarem as seguintes características:

 Suas faces são polígonos regulares congruentes

 De cada regulares
Polígonos vértice do poliedro sai o mesmo
são polígonos número detodos
que apresentam arestas.
os lados e todos os
ângulos congruentes, ou seja, todos os lados e todos os ângulos com medidas
iguais.
Além do tetraedro, hexaedro e octaedro, há outros dois sólidos que também são
conhecidos como poliedros regulares, são eles:

Icosaedro Dodecaedro

Esses cinco poliedros também são convexos. E, por serem convexos e regulares,
também são conhecidos como poliedros de Platão.

Os poliedros de Plantão possuem as seguintes caracteristicas:

 As faces apresentam o mesmo número de lados.

 De cada vértice do poliedro sai o mesmo número de arestas.

Um poliedro é identificado como convexo quando fixada uma face, as demais

encontram-se no mesmo semiespaço (em relação à fixada). Pode-se ainda afirmar
que, considerando que todo poliedro limita uma região do espaço chamada de
interior desse poliedro, este é classificado como convexo se o seu interior for
convexo. Ou seja, se qualquer segmento que liga dois pontos desse interior estiver
totalmente contido neste interior.

Veja exemplos de poliedros convexos e não convexos:

Figura 1- Poliedros convexos e não convexos

Fonte: Mec, Objetos Educadionais
DICA:

Para saber mais sobre os poliedros de Platão, você pode consultar o seguinte material:

Os Sólidos de Platão

Disponível em:
http://www.dominiopublico.gov.br/pesquisa/DetalheObraForm.do?select_action=&co_o
bra=20831.

Identificando o número de vértices, arestas e faces de um poliedro

Antes de iniciarmos as discussões sobre faces, arestas e vértices, vamos analisar

alguns polígonos e identificar o número de vértices e de lados de cada um.

Quadrado Pentágono Triângulo

4 lados 5 lados 3 lados
4 vértices 5 vértices 3 vértices

É possvel que você tenha observado que em cada um desses polígonos o números de
vértices é igual ao número de lados. Essa relação entre vértices e lados é observada
em qualquer polígono convexo. Agora, cabe a seguinte pergunta:

Será que também podemos observar essa relação nos poliedros?

´
Para responder essa pergunta, observe na tabela, a relação entre o número de arestas,
vértices e faces para cada um dos sólidos apresentados.

Poliedro convexo Número Número Número Poliedro

de de de
vértices arestas faces
Tetradedro 4 6 4
regular

Octaedro regular 6 12 8

Hexaedro regular 8 12 6

Pirâmide 5 8 5
quadrangular

Prisma hexagonal 12 18 8

Em análise a tabela, talvez você tenha observado que existe um relação entre vértices
(V), arestas (A) e faces (F).
V- A+F=2
( Vértices – Arestas + Face = 2)

Essa relação é identificada como Relação de Euler, e é válida para todo poliedro convexo.
Prisma
São chamados de prismas os poliedros que apresentam bases congruentes e paralelas,
essas bases são poligonais. Além dessas características, os prismas também são
identificados por apresentarem arestas laterais que ligam as bases

Base do prisma
Aresta da base

Aresta lateral

Base do prisma

O prisma apresentado é identificado como prisma triangular. Essa classificação ocorre

a partir do número de arestas de sua base.

Veja outros exemplos de prismas:

Prisma Quadrangular Prisma Pentagonal Prisma Hexagonal

Prisma reto, oblíquo e seus elementos

Altura do prisma

Altura do prisma

Prisma reto Prisma oblíquo

A altura de um prisma representa a distância entre os planos que suas bases estão
contidas.

Observe que os dois prismas apresentados foram identificados de diferentes maneiras.

Um deles foi denominado prisma reto e o outro prisma oblíquo. Veja as características
que permitem esse tipo de identificação.

Prisma reto: um prisma é identificado como reto, quando suas arestas laterais são
perpendiculares aos planos que contém suas bases.

Prisma oblíquo: em um prisma oblíquo, as retas laterais não são perpendiculares aos
planos que contêm suas bases.

Além de reto, um prisma também pode ser identificado como regular, veja as
características de um prisma regular.

Um prisma é identificado como regular se este for reto e suas bases polígonos
regulares.
 Diagonal de um prisma: observe que o segmento BD tem suas extremidades não
pertencentes a mesma face. Esse segmento é identificado como diagonal do prisma.
Outro exemplo de diagonal do prisma, poderia ser o segmento traçado do vértice A
até o vértice E.

Já o segmento BF não é identificado como diagonal do prisma, pois suas

extremidades pertencem a uma mesma face.

Comprimento da diagonal de um paralelepípedo

Observe que a diagonal desse paralelepípedo reto retângulo tem medida igual D.

As medidas de comprimento, largura e altura desse sólido são a, b e c.

Para calcular sua diagonal utiliza-se a seguinte expressão:

D= a²  b²  c²

Considerando que as dimensões desse sólido são representadas pelos seguintes

valores:
a = 10 b=4 c=4
Temos a seguinte medida de diagonal:

D= 10²  4²  4²

D= 100  16  16

D= 132
D = 2 33

Denomina-se paralelepípedo, o prisma que têm suas bases representadas por

paralelogramos.

Um paralelepípedo reto retângulo é o prisma que tem suas bases representadas por
retângulos.

Área das superfícies de um prisma

Para calcular a área de um prisma, vamos retomar o cálculo da área de alguns

polígonos.

Polígono Cálculo da área

Quadrado lado x lado
Retângulo Base x altura
Triângulo qualquer Base x altura
2
Triângulo equilátero lado 2 3
4
Hexágono regular 3lado
2
3
2

A área total de prisma é representada pela soma das áreas laterais com as áreas das
superfícies das bases.

Vamos considerar por exemplo, que um prisma de base quadrangular tem 8 cm de

aresta da base e 12 cm de aresta lateral, qual será a área total desse prisma?

A base do prisma é um quadrado

de lado igual a 8 cm. Temos
então o cálculo da base da
12 cm
seguinte forma:

Abase = 8²
Abase = 64 cm² 8 cm

As laterais são retângulos, e 8 cm

portanto temos:

A lateral= 8.12

A lateral = 96 cm²
 Neste prisma, temos:
4 faces laterais, e portanto, a área lateral total é: 96.4 = 384 cm²
2 bases, e portanto, a área total das bases é: 64.2 = 128 cm²
A área total do prisma é: 384 cm² + 128 cm² = 512 cm²

Volume de um prisma

O volume de um prisma é obtido ao multiplicar a área de sua base por sua altura.

Acompanhe o cálculo do volume de um prisma quadrangular.

Para que seja calculado o volume desse prisma, deve-se observar

quais são suas dimensões.
Altura = 8 cm Largura = 2 cm Comprimento = 4 cm
8 cm Observe que o prisma é quadrangular, e para calcular a área de
sua base realiza-se o seguinte cálculo:
Área da base: comprimento x largura
Área da base = 4 x 2 Área da base = 8 cm²
2 cm Conforme já comentado, o volume do prisma é igual ao produto
4 cm
da área da base por sua altura.
Tem-se então:
Volume = 8 x 8 Volume = 64 cm³

O hexaedro, mais conhecido como cubo, é um prisma que apresenta arestas com
medidas iguais. Para calcular o volume desse prisma, utiliza-se a seguinte expressão:
Volume = a³ (a variável a representa a medida da aresta)
Observe um exemplo:

Volume do cubo:
Volume = área da base . altura
Volume = a².a a².a = a³
Volume = a³
Volume = 5³
Volume = 125 cm³

Pirâmide
Observe que diferente dos prismas, a figura a seguir, apresenta apenas uma base. Além
disso, suas faces laterais são triangulares e possuem um vértice em comum. Essa figura
é chamada de pirâmide.

Vértice comum

Face lateral

Base

A pirâmide apresentada é identificada como pirâmide quadrangular. Essa classificação

é realizada a partir do número de arestas de sua base.
Veja outros exemplos de pirâmides:

Pirâmide triangular Pirâmide pentagonal

Pirâmide regular

A pirâmide ao lado é identificada como pirâmide regular,

por ter em sua base um polígono regular e altura
representada pela distância entre o centro desse
polígono e o vértice V, é perpendicular a base.

Apótema e as relações entre os elementos

Identificamos como apótema da base de uma

pirâmide regular, o segmento que tem uma de
suas extremidades no centro da pirâmide e a
outra no ponto médio de qualquer um dos lados
da base dessa pirâmide. No caso apresentado,
o apótema da base está representado pelo

segmento OM .

Identificamos como apótema de uma pirâmide regular, o segmento que tem uma de
suas extremidades no vértice da pirâmide e a outra no ponto médio de qualquer uma
das arestas da base. No caso apresentado, o apótema da pirâmide está representado

pelo segmento VM .
Observe que os pontos V, M e O, formam um triângulo retângulo. Sendo assim, para
calcular as medidas dos apótemas da pirâmide, pode-se aplicar o teorema de Pitágoras.

Temos então: VM    VO   OM

2 2 2

Além dos apótemas, na pirâmide quadrangular regular apresentada, visualiza-se uma

medida R. Esta representa o raio da circunferência circunscrita à base. E, entre o raio
R, a altura da pirâmide e a aresta lateral, também pode-se observar a existência de um
triângulo retângulo, sendo portanto estabelecida a relação:

L² = H² + R² ( sendo L a medida da aresta lateral da pirâmide)

Área de uma pirâmide

Para determinar a área total de uma pirâmide, basta somar a área de suas faces com
a área de sua base.

Vejamos por exemplo o cálculo da área de uma pirâmide de base quadrangular regular


3
3
6

Área da base = 6²
Área da base = 36
Para calcular a área lateral, vamos lembrar que cada face lateral da pirâmide regular é
um triângulo isósceles. E, a altura desse triângulo coincide com o apótema da pirâmide,
sendo assim, vamos calcular a medida do apótema, e em seguida calcular a área das
faces laterais.

(apótema)² = 3² + 4²
( apótema)² = 9 + 16
Apótema
4 ( apótema)² = 25

apótema = 25
3
apótema = 5
 Temos então:

6 .5
Área da face lateral =
2
Área da face lateral = 15
A área de todas as faces laterais é 4. 15 = 60 unidades ao quadrado
Área total = Área da base + Área lateral
Área total = 36 + 60
Área total = 96 unidades ao quadrado

Volume de uma pirâmide

O volume de uma pirâmide é calculado por meio da seguinte expressão:

1
Volume = A b .h ( Ab é a área da base e h, representa a altura do sólido)
3
Vamos acompanhar um exemplo:

Para calcular o volume desse sólido, vamos identificar

suas medidas:
9 cm Altura = 9 cm
Área da base = 5 x 5 ( cálculo da área de uma quadrado,

já que é informado que essa pirâmide tem base quadrada)
5 cm
Área da base = 25 cm²
5 cm 1
Volume = A b .h
3
1
Volume = .25.9 Volume = 75 cm³
3
Cilindro
São chamados de cilindros os sólidos que apresentam bases congruentes e paralelas.
Além dessa característica, os cilindros também são identificados por apresentarem
linhas laterais que ligam os pontos correspondentes dessas bases.

Raio da base

Altura do cilindro

Área do cilindro
A área de um cilindro é calculada ao somar a área de suas bases com a área lateral. A
área da base de um cilindro é obtida ao calcular a área de um círculo. Já a área lateral
é obtida ao observar que essa pode ser identificada por meio da área de um retângulo
de dimensões h ( altura do cilindro) e 2. .r ( comprimento do círculo da base)

2. .r

Portanto, a área lateral é igual a 2r. h

Utilizando as expressões apresentadas, vamos determinar a área de um cilindro de raio

igual a 6 cm e altura igual a 10

Área da base = r ²

Área da base = 3,14.6²

Área da base = 113,04 cm²

Se cada base tem área igual a 113,04 cm², a área total da base é igual a 226,08 cm².

Ou seja, área total da base é igual 2. r ² .

Área lateral = 2r. h

Área lateral = 2.3,14.6.10

Área lateral = 376,8 cm²

Área total = área das bases + área lateral

Área total = 226,08 cm² + 376,8 cm²

Área total = 602,88 cm²

Volume do cilindro

O volume de um cilindro é calculado por meio da seguinte expressão:

Volume = Ab.h (área da base x altura)
Neste caso, temos: Área da base =  R² Altura = h Volume = πR².h

Vejamos um exemplo do cálculo do volume de um cilindro:

Volume = Ab.h
3 cm Neste caso, temos:
Raio = 3 cm

10 cm Altura = 10 cm
Vamos considerar  = 3,14

Área da base =  r²

Área da base = 3,14.3²

Área da base = 28,26
Volume =  r².h

Volume = 28,26.10 Volume = 282,6 cm³

Cones

Imagine sobre um plano uma circunferência

Imagine um ponto A que não

está sobre essa região circular.

A
Ao traçar linhas retas que liguem os pontos que se
encontram no perímetro dessa circunferência ao
ponto A, forma-se um Cone.

Cone

Área do cone
Assim como os prismas e as pirâmides, a área total do cone é representada pela soma
da área da base com a área lateral. A base é um círculo, sendo sua área obtida por
meio da expressão r ² . Já a área lateral é obtida ao calcular a área de um setor circular.
O raio do setor é identificado pela geratriz do cone. O arco desse setor tem comprimento
igual a 2r .
Altura do cone

Vamos trabalhar um exemplo do cálculo da área de um cone. Para tanto, observe as

medidas desse cone.

Para saber a medida da geratriz, vamos aplicar o teorema de Pitágoras. Onde g é a

hipotenusa.
g² = (2,5)² + 6²
g² = 6,25 + 36
g² = 42,25

g= 42,25
g = 6,5 cm

Para calcular a área desse setor, podemos lembrar que para calcular a área de um setor
r.l
circular, fazemos uso da seguinte relação: Asetor =
2
Para não confundir as medidas, neste caso, r é substituído por g (medida da geratriz),
isso porque já teremos o r que está relacionado ao comprimento do arco, l é o
comprimento do arco representado por 2r .
No caso da área lateral do cone, tem-se:
g.2r
Asetor = Asetor = g.r.
2
Conhecendo a medida da geratriz e do raio, tem-se:

Área total = r ² + g.r.

Área total = 3,14.(2,5)² + 6,5.2,5.3,14

Área total = 19,625 + 51,025
Área total = 70, 65 cm²

Volume do Cone
O volume de um cone é calculado por meio da seguinte expressão:

1
Volume = A b .H (área da base x altura)
3
Área da base =  r² e Altura = H

Vejamos um exemplo do cálculo do volume de um cone:

1
Volume = A b .H
3
Neste caso, temos: raio = 2 cm Altura = 6 cm
Vamos considerar  = 3,14
6 cm
Área da base = r ² Área da base = 3,14.2²

Área da base = 12,56

2 cm
1
Volume = 12,56.6
3
Volume = 25,15 cm³
Esfera
Denomina-se esfera de centro A e raio R, o conjunto de pontos do espaço que
apresentam uma distância, até o ponto A, menor ou igual ao raio R.

Volume da esfera
Volume de uma esfera é calculado por meio da seguinte expressão:

4R³
Volume =
3
Vejamos um exemplo do cálculo do volume de uma esfera:

4R³
Volume =
3
Neste caso, temos: Raio = 3 cm e vamos considerar
3 cm
 = 3,14
4.3,14.3³ 4.3,14.27
Volume = Volume =
3 3
Volume = 4.3,17.9 Volume = 113,04 cm³