Resolução do Exame de

Matemática da 10ª Classe 1ª

Época do ano de 2019
1. Com os símbolos ∈, ∉, =, ⊂, ⊃ ou ⊄ complete na sua folha de
respostas de modo a obter afirmações verdadeiras:

a) {0; 1} …. [0; 1[

b) -3 …. Q

c) 1, 435 …. N

c) R0+ ∩ R0– ….. {0}

Resolução

Antes de preencher os espaços em brancos, é importante perceber, o que cada

símbolo significa e o onde aplicar esses símbolos.

∈ e ∉: Significa pertence e não pertence respectivamente, são usados na

relação entre elemento-conjunto.

=: Significa igual, e são usados na relação entre objectos iguais ou equivalente,

ou seja, relação entre número-número, conjunto-conjunto ou intervalo-intervalo.

⊂ e⊄: Significa contém e não contém respectivamente, e representa a relação

Entre dois conjuntos.

⊃: Significa esta contido e representa a relação entre dois conjuntos.

a) {0; 1} ⊄ [0; 1[

Comentário da resolução
Olha que {0;1} representa um conjunto de apenas dois elementos, enquanto
[0,1[, representa um intervalo com todos os números possíveis menores que 1.
Logo o conjunto {0;1} não contem [0;1[.

b) -3 ∈ Q

Comentário da resolução

O conjunto dos números racionais Q, corresponde geralmente a valores na

forma fraccionária, mas também esta incluso os números inteiros, seja eles,
positivo ou nugativo. Então, sendo -3 um elemento e Q um conjunto, então
estamos na relação elemento-conjunto, dai que usamos os símbolo de
pertence ∈.

c) 1, 435 ∉ N

Comentário da resolução

O conjunto dos números naturais N, apenas alberga todos números inteiros e

positivos. Mas repare que 1,435 é um número decimal, logo não pertence.

d) R0+ ∩ R0– = {0}

Comentário da resolução

O conjunto dos números reais negativos incluindo o zero R0–, corresponde a

todos os números desde menos infinito (-∞) até zero (0), enquanto o conjunto
dos números reais positivos incluindo o zero R0+, corresponde a todos os
números, desde zero (0) até ao mais infinito (+∞). Olha que a única relação entre
esses dois conjuntos é o zero, então a reunião ou união entre esses dois
conjuntos é o zero.

2. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):

a) Dois planos distintos, paralelos, têm um ponto comum.

b) Se uma recta é paralela a dois planos, então esses planos são paralelos.

c) Se duas rectas são ortogonais, então elas formam um ângulo recto.

d) Se duas rectas são perpendiculares, então elas formam um ângulo recto.

Resolução

a) Dois planos distintos, paralelos, têm um ponto comum. F

Comentário da resolução

Se dois planos são paralelos, então não existe interseção entre eles. Uma
forma simples de analisar basta apenas observar as duas linhas feerias, elas
são paralelas e nunca se cruzam. Portanto, a afirmativa é FALSA.

b) Se uma recta é paralela a dois planos, então esses planos são paralelos.
F

Comentário da resolução

Se uma rectaéparalela a dois planos, então não

necessariamente esses planos são paralelos. Os planos podem
ser concorrentes. A afirmativa é FALSA.

c) Se duas rectas são ortogonais, então elas formam um ângulo recto. V

Comentário da resolução

Rectas ortogonais são rectas reversas, ou seja, não são complanares. Além
disso, elas formam um ângulo recto. A afirmativa é VERDADEIRA.

d) Se duas rectas são perpendiculares, então elas formam um ângulo

recto.

Comentário da resolução

Se as duas rectas são perpendiculares entre si, então o ângulo formado entre
elas é 90º. A afirmativa é VERDADEIRA.

2. Resolva:

a) 2senx = √2, para x ∈ [0o; 90º]

b) log1/3 (2x + 1) – log1/3 x = 0

Resolução

a) 2senx = √2, para x ∈ [0o; 90º]

Para a resolução de equações trigonométricas, é quase similar que a resolução

de equações lineares, a diferença é que o resultado dá-se em graus ou
radianos. Ademais, é importante verificar o intervalo que o angulo x deve
pertencer, para o caso desse exercício o ângulo x, deve estar entre 0o à 90º,
dessa forma a resolução fica:

Olha que 45º, está dentro do intervalo de 0o à 90º.

b) log1/3 (2x + 1) – log1/3 x = 0

Quando os logaritmos têm as mesmas bases, então pode-se simplesmente,

ignorar as bases e apenas manter os logaritmandos. Mas antes disso, deve-se
calcular o domínio de existência do logaritmo, onde o logaritmando deve ser
sempre positivo, ou seja, maior que 0, dessa forma temos:
Vamos representar essas a solução encontrada (x = -1) e as condições de
existência (x > -1/2 e x > 0) num intervalo numérico, dessa forma fica:

Repare que o valor da solução x = -1, esta fora do ponto de intersecção do

domínio de existência, logo esse valor não faz parte da solução,
consequentemente esse logaritmo não tem solução, ou seja, a solução é
conjunto vazio.

Sol: { }.
3. Dada a equação x2 – 4x + (5 – m) = 0. Determine m de modo que
a equação admita duas reais de sinais contrários.

Resolução

O delta, apresenta diferentes condições, e para que uma equação quadrática

apresente duas raízes reais (x1 e x2), o valor de delta deve ser positivo, ou seja,
maior que zero, matematicamente escreve-se ∆ > 0. Mas essa não é a única
condição, para além de ter raízes reais, também deve ter raízes com sinais
contrários, ou seja, uma raiz deve ser positiva (+), e outra negativa (-),
consequentemente o produto (multiplicação) dessas raízes, será negativa, ou
seja, P < 0. Então juntando essas duas condições, para os valores de a = 1, b =
-4 e c = 5 – m, temos:

Representando essas duas soluções no intervalo gráfico, podemos determinar a

solução, de referir que a solução encontra-se onde os dois eixos se cruzam, isto
é, onde se interceptam, dessa forma temos:

Note que se intercetam, no a partir do ponto 5 a mais infinito, então essa é a

solução, ficando desse modo:

Sol: m ∈ R ]5; +∞[

5. Resolva em R: x4 – 4x2 = 0

Resolução

O expoente máximo dessa equação é o 4, então é uma equação biquadrática,

ou seja, uma equação do 4º grau. Mas nota-se que essa equação é incompleta,
dai que podemos optar por diversos métodos de resolução.

6. Considere a função f, representada pelo gráfico da figura ao

lado. Pela leitura do gráfico, determine:

a) O domínio da função.

b) A variação do sinal da função, no intervalo ]1;3[.

c) A expressão analítica de f.

d) Os valores os quais f(x) ≤ 0.

e) Os intervalos de monotonia da função.

Resolução

a) O domínio da função.

O gráfico representa uma função quadrática, e uma função quadrática, por

definição tem o domínio R, ou seja, Df = ∈ R.

b) A variação do sinal da função, no intervalo ]1;3[.

O intervalo de ]1;3[, deve-se verificar no eixo dos x, mas observa que do

intervalo ]1;2[, a função está na parte de baixo, logo é negativa. Contrariamente
do intervalo ]2;3[ a função está na parte de cima, logo é positiva.

c) A expressão analítica de f.

O gráfico tem como raízes, isto é, zeros da função x1 = 0 e x2 = 2, assim como

um ponto onde x = 3 e y =3, a partir desses dados pode-se determinar a
expressão analítica desse jeito:
d) Os valores os quais f(x) ≤ 0.

As vezes parece complicando quando aparece dessa forma f(x) ≤ 0. Mas em

outra linguagem isso quer dizer que, quais são os valores de f(x) em que são
menores ou iguais a 0. Para isso é só olharmos no gráfico dado, ou também
através da expressão analítica.

Mas vamos pelo gráfico, olha que quando x = 0, y = f(0) = 0; e quando x = 1, y =

f(1) = -1; se x = 2, y = f(2) = 0, mas quando x = 3, y = f(3) = 3. Olha que os
valores de x em que a função é menor ou igual a zero esta entre 0 e 2, porque já
no ponto x =3, f(3) = 3 e esse valor é maior que zero, dai a solução será
simplesmente x = [0; 2].

Outra forma alternativa de analisar, f(x) ≤ 0. Implica a parte negativa do gráfico,

olhando atentamente o gráfico, a parte negativa vai do ponto x = 0 até x = 2.
Então essa é a solução, x = [0; 2].

d) Os intervalos de monotonia da função.

A monotonia, corresponde as regiões em que um gráfico é crescente ou

decrescente, para isso com auxílio de uma tabela podemos analisar os
intervalos da monotonia.
7. Para a eleição do chefe de uma turma, candidataram-se cinco
alunos. O gráfico a seguir mostra os resultados do processo de
votação.

a) Quantos alunos participaram da votação?

b) Quantos alunos votaram no(a) vencedor(a)?

c) Qual é o nome do(a) vencedor(a)?

d) Determine a percentagem de votos do(a) segundo(a) classificado(a).

Resolução

a) Quantos alunos participaram da votação?

Participaram da votação 5 alunos nomeadamente: Dinis, Nely, Marta, Zeca e

Abel.

b) Quantos alunos votaram no(a) vencedor(a)?

Votaram no vencedor 20 alunos.

c) Qual é o nome do(a) vencedor(a)?

O nome do vencedor é Nely, pois teve maior número de votos.

d) Determine a percentagem de votos do(a) segundo(a) classificado(a).

Primeiramente vamos calcular o número total de votos que teve o processo de

eleição do chefe de turma.

No Votos = 5 + 10 + 10 + 15 + 20

No Votos = 60 votos

O segundo classificado que o Abel, teve 15 votos, então a sua percentagem é:

Exercícios resolvidos sobre

teoria de conjuntos
1. Defina em extensão os seguintes conjuntos.

a) A = {Vogais do alfabeto}

b) B = {Números pares entre 7 e 13}

c) C = {Divisores de 18}

d) D = {x ∈ R: x2 = 1}
e) E = {x ∈ N: 4 < x ≤ 10}

f) F = {x: x é algarismo do número 240 160}

Resolução

A definição de conjuntos em extensão ou tabular consiste em escrever os

elementos do conjunto separado por vírgulas e entre chavetas.

a) A = {Vogais do alfabeto}

Em aulas de português, estudamos que os vogais do nosso alfabeto são: a, e, i,

o, u, então organizando esses elementos num conjunto temos:

A = {a, e, i, o, u}

b) B = {Números pares entre 7 e 13}

Os números pares são aqueles que divido por 2, ou ainda divididos

sucessivamente por 2 e o seu resto da divisão for 2, então os números entre 7 e
13 são 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, desses números, os pares são 8, 10, 12,
organizando esses elementos pares num conjunto termos:

B = {8, 10, 12}

c) C = {Divisores de 18}

Divisor de um número X, são todos números que dividido pelo número X, o

quociente (resultado) é sempre inteiro, de notar que 1 é o divisor de qualquer
número, bem como o próprio número X é divisor do número X, dessa forma, os
números divisíveis por 18 são: 1, 2, 3, 6, 9, 18, organizando esses elementos
pares num conjunto termos:

C = {1, 2, 3, 6, 9, 18}

d) D = {x ∈ R: x2 = 1}

Para determinar os elementos desse conjunto, deve-se antes porém resolver a

equação desse conjunto, entretanto, resolvendo essa equação fica:

x2 = 1 ⇒ x = ± √1 ⇒ x = ± 1 ⇒ x = 1ou ⇒ x= – 1
Pela definição do conjunto, os elementos devem pertencer a números reais R,
então tanto 1 e – 1 pertencem ao conjunto dos números reais, colocando isso no
conjunto fica:

D = {- 1, 1}

Leia sobre: Conjuntos Números

e) E = {x ∈ N: 4 < x ≤ 10}

Bem, aqui é importante que preste atenção aos sinais da símbolos, olhe que o
valor de x, deve ser maior que 4, isto é a começa a partir de 5 e por aí vai, mas
calma aí, existe uma limitação, isto é, o mesmo x deve ser menor ou igual a 10,
então isso quer dizer que x pertence a de 5 a 10, sem incluir os números
decimais, pois o conjunto pertence aos números naturais N, dessa forma fica:

E = {5, 6, 7, 8, 9, 10}

f) F = {x: x é algarismo do número 240 160}

O número 240 160 é composto por 6 algarismo, mais parte desse algarismo o
zero (0) está repetir, então apenas vamos escrever um único 0, dessa forma de
forma crescente fica:

F = {0, 1, 2, 4, 6}

2. Defina em compreensão os seguintes conjuntos.

a) A = {2, 3, 5, 7, 11, 13}

b) B = {4, 6, 8, 10, 12, 14}

c) C = {2, 4, 8, 16}

Resolução

a) A = {2, 3, 5, 7, 11, 13}

Repare atentamente que todos esses elementos do conjunto, só se divididos por

1 ou pelos próprios números o resultado será um número inteiro, essas
características são de números primos, uma vez que o próximo número primo
depois do 13 é 17, então fica:

A = {Números primos menores que 17}

b) B = {4, 6, 8, 10, 12, 14}

Aqui está muito mais fácil de notar que todos esses elementos do conjunto B
são pares, e olha que o inicia em 4 e termina em 14, então esse conjunto fica:

B = {Números pares entre 4 e 14}

c) C = {2, 4, 8, 16}

Primeiramente vamos obervar com uma certa atenção, esses elementos:

Partindo do primeiro elemento do conjunto, nesse caso 2, ou ainda 21.

O segundo elemento do conjunto é 4, ou seja 22.

Continuando com o terceiro elemento, que é 8, ou seja, 23.

O último elemento é 16, ou seja, 24.

Organizando fica: 21, 22, 23, 24

Olhando atentamente verifica-se que todos esses números têm em comum

a base 2, e o expoente cresce de uma forma consecutiva (1, 2, 3, 4) e são eles
inteiros e positivos, ou seja, são números naturais N, então podemos denominar
os expoentes como k ∈ N, dessa forma temos 2k, mas note o último elemento do
conjunto é 16, em forma de conjunto fica:

C = {2k ≤ 16, k ∈ N}

Parte 2
Exercícios resolvidos sobre
teoria de conjuntos
1. Seja:

 A o conjunto dos números naturais entre 8 e 12, inclusive;

 B o conjunto dos números pares entre 1 e 15;
 C o conjunto dos números primos até 20.
a) Defina, em extensão, cada um dos conjuntos.

b) Defina, em compreensão, cada um dos conjuntos.

c) Complete os espaços com os símbolos ∈ ou ∉ de forma a obter afirmações

verdadeiras.

Resolução

a) Defina, em extensão, cada um dos conjuntos.

A definição de conjuntos em extensão ou tabular consiste em escrever os

elementos do conjunto separado por vírgulas e entre chavetas.

 A o conjunto dos números naturais entre 8 e 12, inclusive;

O conjunto dos números naturais são todos os números inteiros e positivos,
então representando os números naturais entre 8 e 12 inclusive, temos:

A = {8, 9, 10, 11, 12}

 B o conjunto dos números pares entre 1 e 15;

Números pares são aqueles que quando divididos por 2, o resto dessa divisão é
zero, então nesse intervalo entre 1 a 15, temos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,
13, 14, 15.
Os números a negritos são os números pares, então organizando num conjunto
fica:

B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}

 C o conjunto dos números primos até 20.

Números primos são todos aqueles números maiores que 1 (n >1), que apenas
são divisíveis por eles próprios ou por 1, fazendo uma contagem até 20, dessa
forma teremos: 1, 2,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20.

Olha que os números a negrito, são os números primos, pois apenas são
diviseis por 1 ou por ele próprio, reescrevendo num conjunto temos:

C = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}

Leia sobre: Teorias de Conjuntos

b) Defina, em compreensão, cada um dos conjuntos.

 A o conjunto dos números naturais entre 8 e 12, inclusive;

A = {x ∈ N: 8 ≤ x ≤ 12}

 B o conjunto dos números pares entre 1 e 15;

B = {Números pares entre 1 e 15}

 C o conjunto dos números primos até 20.

C = {Números primos até 20}

c) Complete os espaços com os símbolos ∈ ou ∉ de forma a obter

afirmações verdadeiras.

Fizemos uso dos símbolos ∈ ou ∉, apenas quando se trata de elementos que

pertencem ou não a um determinado conjunto.

Entretanto para melhor percepção, vamos reescrever os conjuntos A, B e C

abaixo:

A = {8, 9, 10, 11, 12}

B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}

C = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}

Leia sobre: Operações com conjuntos

2. Seja A = {3, 5, 7, 9, 11, 15}

a) Defina, em extensão, cada um dos conjuntos:

B = {x ∈ A: x é impar} C = {x ∈ A: x é múltiplo de 15}

D = {x ∈ A: x é múltiplo de 5} E = {x ∈ A: x é divisível por 2}

b) Indica o cardinal de cada um dos conjuntos obtidos na alínea anterior.

c) Classifique, quanto ao número de elementos, os conjuntos C e E.

Resolução

Seja A = {3, 5, 7, 9, 11, 15}

a) Defina, em extensão, cada um dos conjuntos:

B = {x ∈ A: x é impar}

Prestando bem atenção aos elementos do conjunto A, nota-se que é formado

apenas por números ímpares, então uma vez que o conjunto é também é
formado por números ímpares, então o conjunto B é igual a A, ou seja, B = A.

C = {x ∈ A: x é múltiplo de 15}

Único múltiplo de 15 no conjunto A é o próprio 15, então o conjunto C será:

C = {15}

D = {x ∈ A: x é múltiplo de 5}
Ainda no conjunto A, os múltiplos de 5 são: 5 e 15, então o conjunto D será
dessa forma:

D = {5, 15}

E = {x ∈ A: x é divisível por 2}

Nenhum elemento do conjunto A é divisível por 2, dessa forma é o conjunto

vazio.

E = { } ou E = Ø

Leia sobre: conjuntos Númericos

b) Indica o cardinal de cada um dos conjuntos obtidos na alínea anterior.

Cardinal indica o número de elementos de um conjunto.

B = A = {3, 5, 7, 9, 11, 15}

n(B) = 6

C = {15}

n(C) = 1

D = {5, 15}

n(D) = 2

E = { } ou E = Ø

n(E) = 0

c) Classifique, quanto ao número de elementos, os conjuntos C e E.

O conjunto C tem apenas um elemento, dessa forma chama-se conjunto

singular.
O conjunto D não tem nenhum elemento, dessa forma chama-se conjunto vazio.

Exercícios Resolvidos Sobre

Equação Quadrática
Parte 1
1. Resolve as seguintes equações:

a) x2 – 3x + 2 = 0

b) 2x2 – 12 = 2x

c) – 3x2 + 5x + 2 = 0

d) 5x2 – 9x – 2 = 0

Resolução

As equações acimas, são equações quadráticas, e para a solução, recorre-se a

fórmula de Bhaskara, o famoso cálculo de delta, fazendo o uso dessas
ferramentas matemáticas temos:

a) x2 – 3x + 2 = 0

Primeiro deve-se identificar os valores dos coeficientes, dessa forma os valores

são: a = 1; b = – 3 e c = 2.

Depois de identificar-se os coeficientes, vamos calcular o valor de delta bela

equação abaixo:
Uma vez que o valor de delta é maior que zero (∆ > 0), ou seja, o valor de delta
é positivo, dessa forma, a equação terá duas equações reias diferentes.

Sol: x ϵ IR = {1, 2}.

b) 2x2 – 12 = 2x

A equação acima, não esta na sua forma canónica, e antes de resolver qualquer
equação quadrática, deve-se verificar se esta ou não na forma canónica, uma
vez não estando, deve-se colocar na forma canónica, dessa forma fica:

2x2 – 12 = 2x ⇒ ax2 + bx + c = 0 ⇒ 2x2 – 2x – 12 = 0

Uma vez colocada na forma canónica, vamos antes identificar os valores dos
seus coeficientes, dessa forma temos, a = 2; b = – 2 e c = – 12.

Depois de identificar-se os coeficientes, vamos calcular o valor de delta bela

equação abaixo:
Uma vez que o valor de delta é maior que zero (∆ > 0), ou seja, o valor de delta
é positivo, dessa forma, a equação terá duas equações reias diferentes.

Sol: x ϵ IR = { – 2, 3}.

c) – 3x2 + 5x + 2 = 0

Primeiro deve-se identificar os valores dos coeficientes, dessa forma os valores

são: a = – 3; b = 5 e c = 2.

Depois de identificar-se os coeficientes, vamos calcular o valor de delta bela

equação abaixo:
Uma vez que o valor de delta é maior que zero (∆ > 0), ou seja, o valor de delta
é positivo, dessa forma, a equação terá duas equações reias diferentes.

Sol: x ϵ IR = { – 1/3, 2}.

d) 5x2 – 9x – 2 = 0

Primeiro deve-se identificar os valores dos coeficientes, dessa forma os valores

são: a = 5; b = – 9 e c = – 2.

Depois de identificar-se os coeficientes, vamos calcular o valor de delta bela

equação abaixo:

Uma vez que o valor de delta é maior que zero (∆ > 0), ou seja, o valor de delta
é positivo, dessa forma, a equação terá duas equações reias diferentes.
Exercícios Resolvidos Sobre
Equação Quadrática
Paramétrica
Parte 2
1. Considere a equação do segundo grau em x, x2 – 2(m + 2)x +
(m2 + 2m – 3) = 0.

Determine o valor de m de modo que a equação admita:

a) Duas raízes reais e diferentes.

b) Duas raízes reais e iguais.

c) Duas raízes reais.

d) Uma só raiz nula.

e) Uma raiz nula e outra positiva.

f) Uma raiz nula e outra negativa.

g) Duas raízes nula.

A equação quadrática paramétrica dada acima, está em função da variável x, e
não de m, a letra m é o tal parâmetro a determinar, então não confundamos as
coisas!

Umas vezes, já esclarecidas, vamos então identificar os valores dos seus

coeficientes a, b e c, dessa equação x2 – 2(m + 2)x + (m2 + 2m – 3) = 0,
destaforma temos:

a = 1; b = – 2(m + 2); c = m2 + 2m – 3

Resolução

a) Duas raízes reais e diferentes.

Para que a equação admita duas raízes reais e diferentes, delta não deve se
negativo, ou seja, deve ser positivo, ou simplesmente maior que zero,
matematicamente temos (∆ > 0), nota que ∆ = b2 – 4ac
Resolução

b) Duas raízes reais e iguais.

Duas raízes e iguais, é o mesmo dizer que tenham as mesmas raízes, ou seja,
x1 = x2, para que isso se verifique, o valor de delta deve ser igual a 0,
matematicamente fica (∆ = 0).

Resolução

c) Duas raízes reais.

Olha que apenas pede-se que tenha raízes reais, não especificou se devem ser
distintas (∆ > 0) ou iguais (∆ = 0), dessa forma, vamos unificar essas duas
condições ficando (∆ ≥ 0).
Resolução

d) Uma só raiz nula.

Aqui é preciso atender algo, diz apenas que uma raiz seja nula, não especificou-
se, se deve ser x1 ou x2. Assim sendo, simplesmente uma raíz deve ser nula.
Dessa forma podemos idealizar que x1 = 0, e x2 um outro valor diferente de 0,
que pode ser k pode exemplo, dessa forma fica, a condição é P = 0.
Tendo resultado numa equação quadrática em ordem m, m2 + 2m – 3 =0.Deve-
se então, primeiro deve-se identificar os valores dos coeficientes. Dessa forma
os valores são: a = 1; b = 2 e c = – 3.

Depois de identificar-se os coeficientes, vamos calcular o valor de delta bela

equação abaixo:

Uma vez que o valor de delta é maior que zero (∆ > 0), ou seja, o valor de delta
é positivo, dessa forma, a equação terá duas equações reias diferentes.

Resolução

e) Uma raiz nula e outra positiva.

A condição matemática que traduz essa questão é: P = 0 e S > 0

Olha que para a condição P = 0, nós já calculamos na alínea d), onde deve
como solução {-3; 1}. Dessa forma apenas vamos calcular a parte de S > 0,
dessa forma temos:
Repare que a solução para P = 0 é -3 e 1, então repare que para S > 0, temos
como solução m > -2, e o intervalo acima representa esse intervalo, mas olha -3
está fora desse intervalo, mas em contrapartida 1 esta dentro do intervalo, então
1 é a solução, conforme descrito na solução acima.

Resolução

f) Uma raiz nula e outra negativa.

A condição matemática que traduz essa questão é: P = 0 e S < 0

Olha que para a condição P = 0, nos já calculamos na alínea d), onde deve
como solução {-3; 1}, dessa forma apenas vamos calcular a parte de S < 0,
dessa forma temos:
Repare que a solução para P = 0 é -3 e 1, então repare que para S < 0, temos
como solução m < -2, e o intervalo acima representa esse intervalo, mas olha -3
está dentro desse intervalo, mas em contrapartida 1 está fora do intervalo, então
-3 é a solução, conforme descrito na solução acima.

g) Duas raízes nula.

A condição matemática que traduz essa questão é: P = 0 e S = 0

Olha que para a condição P = 0, nos já calculamos na alínea d), onde deve
como solução {-3; 1}, dessa forma apenas vamos calcular a parte de S = 0,
dessa forma temos:
Repare que a solução para P = 0 é -3 e 1, então repare que para S = 0, temos
como solução m = -2, e o não existe nenhuma intersecção entre eles, dessa
forma a solução é um conjunto vazio como ilustra a solução acima.

4. Dos 120 funcionários de uma repartição pública, 60 lêem a

revista A, 80 lêem a revista B e todos os funcionários lêem pelo
menos uma delas.

a) Represente os dados num diagrama de Venn.

b) Determine o número de funcionários que lêem as duas revistas.

c) Quantos funcionários lêem somente a revista B?

d) Quantos funcionários lêem apenas a revista A?

Resolução
a) Represente os dados num diagrama de Venn.

b) Determine o número de funcionários que lêem as duas revistas.

Lêem as duas revistas A e B, 20 funcionários.

c) Quantos funcionários lêem somente a revista B?

R: Lêem a revista B, somente 60 funcionários.

c) Quantos funcionários lêem apenas a revista A?

R: Lêem a revista A, apenas 40 funcionários.

b) 9x4 – 81 = 0

A equação acima, é uma equação biquadrática incompleta, e para a sua

resolução, devemos antes estabelecer a seguinte condição, seja: x2 = t
(1) e (2): Realizou-se a decomposição do expoente 4, fazendo uso das
propriedades de potenciação, entretanto, a partir da condição pré
estabelecida, x2 = t, fez a devida substituição, tendo transformado de ordem a x,
para uma equação uma nova em ordem a t, tendo resultado numa equação
quadrática do tipo ax2 – c = 0.

(3) a (7): Aplicando as propriedades de resolução desse tipo de equação, teve-

se como raízes t1 = -3 e t2 = 3. Portanto, aqui ter em conta que a equação
principal foi dada em função a x, e as raízes que calculamos, foi dada em função
a t, dessa forma, temos de voltar a condição inicial, sob forma de termos o valor
de x, dessa forma, apenas iremos trabalhar com a raiz positiva, dessa forma
fica:
Feito isso, já temos a solução da equação dada em função a x, como é pedido.

Resolução de Exame de
Matemática da 10ª Classe de
2020 – 1ª Chamada
1. Considere o gráfico representado na figura abaixo. Determine:

a) O domínio da função.

b) O contradomínio da função.

c) Os zeros da função.

d) O vértice da parábola.

e) A variação do sinal da função.

f) A variação da função (monotonia).

g) A equação do eixo de simetria.

g) O sentido da concavidade do gráfico da função.

i) A expressão analítica da função que define o gráfico.

Resolução

a) O domínio da função.

Domínio corresponde aos valores de x, no entanto, uma função quadrática, o

domínio sempre será números reais, ou seja, Df: x ϵ IR.

b) O contradomínio da função.

Verifica-se no eixo dos y, portanto, equação quadrática o contradomínio vem-se,

sempre na região crescente da função, ou sejam CD: y ϵ [-4; +∞[.

c) Os zeros da função.

É o ponto onde o gráfico corta ou passa pelo eixo dos x, nesse caso o gráfico
corta o eixo dos x em dois pontos, -2 e 2, então esses são os zeros da função,
assim fica, zeros da função: x = {-2; 2}.

d) O vértice da parábola.
Os vértices da parola, é ponto onde a função muda de sentido, ou seja, é o
ponto onde forma uma “bacia”, olhando para o gráfico, temos os seguintes
vértices, V(0; -4).

e) A variação do sinal da função.

A parte do gráfico que estiver acima do eixo de x, é positiva e a parte que estiver
abaixo negativo, dessa forma tabelando temos:

f) A variação da função (monotonia).

São regiões onde o gráfico cresce e decresce, tendo como limite os vértices da
função, dessa forma tabelando temos:

g) A equação do eixo de simetria.

A simetria, é valor de x, que divide o gráfico em duas partes iguais, a simetria

numa função quadrática é igual ao valor de x vértice, dessa forma temos: x = 0.

h) O sentido da concavidade do gráfico da função.

O gráfico tem concavidade voltada para cima, ou seja, CVC.

i) A expressão analítica da função que define o gráfico.

Para determinarmos a expressão analítica, devemos saber ter os seguintes

dados, os zeros da funca que são x1 = -2 e x2 = 2, assim como o ponto dado no
gráfico, para y = 5, x = 3.
Resolução

Estamos perante a uma equação biquadrática, e para podermos resolver, vamos

antes transformar essa equação numa equação quadrática, pelo método de
substituição.

Pela propriedade de potenciação é aceitável o seguinte: x4 = x2 • x2 = (x2)2

Agora vamos fazer a seguinte substituição, seja x2 = k, desse modo, para todo
valor de x2, vamos substituir por k, assim ficando:

Resultou numa equação em ordem a k, então vamos calcular os valores de k, ou

seja, as suas raízes.

Vamos então, antes identificar os valores dos coeficientes:

E sabendo que Δ = b2 – 4ac, tem-se:

Uma vez que delta é igual a zero, então temos duas raízes reais e iguais, ou
seja, k1 = k2, ou simplesmente k, visto que k1 e k2 terão os mesmos valores.

Até agora, nós apenas calculamos o valor de k, mas a equação principal, foi
dada em função de x, então devemos calcular o valor x, pois os valores de x que
serão a solução da equação. Para termos os valores de x, vamos recorrer a
substituição feita anteriormente, para x2 = k, assim sendo, vamos substituir o
valor de k por 4 (k = 4), desse modo teremos:

5. Seja U = {a, b, c, d, e, f, g} o universo dos conjuntos A = {a, b,

c, d} e B = {c, d, e, f}. Determine:

a) A∩ B
b) B \ A

Resolução

a) A ∩ B

Conhecidos os conjuntos A e B, vamos determinar a intersecção entre esses

dois conjuntos, ou seja, elementos que A tem que são iguais aos elementos de
B.

Então, podemos escrever de seguinte modo:

A ∩ B = {c, d}

b) B \ A

Temos de encontrar todos elementos que B tem e A não tem.

B \ A = {e, f}

6. Considere o gráfico abaixo:

a) Qual é o domínio e o contradomínio da função?

b) Quais são as coordenadas do vértice?

c) Escreva a equação do eixo de simetria.

d) Faça o estudo da variação do sinal da função.

Resolução

a) Qual é o domínio e o contradomínio da função?

Domínio: Todo conjunto dos números reais R.

Contradomínio: Verifica-se na parte crescente do gráfico,] – ∞; 4]

b) Quais são as coordenadas do vértice?

c) Escreva a equação do eixo de simetria.

É o ponto onde o gráfico divide-se em duas partes iguais, x = 2.

d) Faça o estudo da variação do sinal da função.

x ] – ∞; 0[ 0 ] 0; 4[ 4 ] 4; +∞ [

y __ 0 + 0 __