B e q: C -> D são aplicações quocientes e B e C são espaços separáveis localmente compactos, então p x q: A x C -> B x ... by rony2pastor2hurtado in Orphan Interests > Mathematics"> B e q: C -> D são aplicações quocientes e B e C são espaços separáveis localmente compactos, então p x q: A x C -> B x D é uma aplicação quociente. 2. Se F em X é fechado e F n A = 0, então π(F) é fechado em X/A. Se X/A é um espaço de Hausdorff, então o conjunto A é fechado em X.">
Dezembro 2011
Dezembro 2011
Dezembro 2011
Observação: Mn (k) representa o espaço das matrizes n × n com coeficientes no corpo k. Para cada matriz
A ∈ Mn (k), representamos por tr (A) o traço da matriz A e por det(A) o determinante.
3. (3 pt) Sejam V um espaço vetorial sobre um corpo k e T : V → V um operador linear. Seja B uma base
de V e A a matriz de T em relação a B.
4. (1 pt)
Boa prova!
Departamento de Matemática, IMECC-UNICAMP
EXAME DE QUALIFICAÇÃO DE MESTRADO
ANÁLISE NO Rn
14 de dezembro de 2011.
1. (a) Se a0 e b0 são constantes tais que a20 + b20 = 1, mostre que as curvas
x2 y 2
+ 2 =1 e x+y =1
a20 b0
são tangentes.
(b) Suponha que as curvas acima não são tangentes, mas se interseccionam em
(x0 , y0 ). Podemos afirmar que o sistema
x2 y 2
2
+ 2 =1
x + y b= 1
a
cuja i-esima coluna é formada pelas coordenadas de vi na base dada, mostre que
BOA PROVA!
EEffD
ATENÇÃO: Não é permitido destacar as folhas
iv- Seja (X, d) um espaço métrico compacto e Y métrico. Seja f : X -+ Y uma isometria (i.e. dy(J(x),J(y)) =
dx(x,y)) então f é um lÍomeomorfismo.
v- Seja X um espaço de Hausdorff compacto. Então X é metrizável se, e somente se, X tem uma base
enumerável.
vi- Seja p : X -+ Y uma aplicação quociente. Assuma que Y é conexo. Se cada conjunto p-l ({y}) é
conexo então X é conexo.
vii- Seja 8n a esfera unitaria n dimensional. Então 7fl(8n) é trivial quando n ?::2
2a Questão. (1.0 pt.) Seja A C X um subconjunto arbitrário de um espaço topológico X. Denote X/A :=
(X - A) U {A} (Note que {A} é um conjunto com exatamente um elemento: o próprio conjunto A. Defina
.
a aplicação 7f: X -+ X/A por
X se xílA
7f(x)= { {A} se xEA
Considere então X/A equipado com a topologia quociente.
3a Questão. (1.0 pt.) Determine se cada um dos espaços de matrizes abaixo é compacto ou não e determine
o número de seus componentes conexos por caminhos: Gl(3, C), U(3, C), 0(3, JR).
Incluir na prova todas as contas feitas nas resoluções. Respostas não acompanhadas de argumentos que
as justifiquem não serão consideradas.
Bom Trabalho!