Fenomenos de Transporte - Ebook - Un04
Fenomenos de Transporte - Ebook - Un04
Fenomenos de Transporte - Ebook - Un04
br
FENÔMENOS DE TRANSPORTE
ANÁLISE DIMENSIONAL E
TRANSFERÊNCIA DE CALOR
Autor: Me. Rafaela Guimarães
Revisor: Mario Callefi
INICIAR
introdução
Introdução
Nesta unidade, vamos estudar a teoria da semelhança e os critérios de aplicação desta teoria
através da análise de grandezas adimensionais. Faremos também um estudo sobre os coeficientes
que podemos empregar no protótipo e no modelo, além de estudarmos o uso da análise
dimensional com equações diferenciais e a teoria da camada limite.
No tópico dois aprofundaremos nosso estudo sobre análise dimensional e teoria da semelhança,
analisando diversos tipos de escoamento e o balanço de energia com a inclusão das perdas por
calor, também conhecidas por perdas por atrito.
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=hnAbY9hV8pES7FGvJEhCzQ%3d%3d&l=iBa%2bqPG4tdDtSTu1c%2fXqaQ%3d%3d&cd=U… 1/31
09/09/2023, 11:02 Ead.br
Depois, iniciaremos nosso estudo sobre as formas de transferência de calor e as equações utilizadas
na análise de problemas envolvendo esses tópicos. Por fim, terminaremos analisando a radiação, a
equação dos gases perfeitos e o conceito de resistividade térmica. Assim, teremos percorrido um
amplo caminho no estudo de fenômenos de transporte.
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=hnAbY9hV8pES7FGvJEhCzQ%3d%3d&l=iBa%2bqPG4tdDtSTu1c%2fXqaQ%3d%3d&cd=U… 2/31
09/09/2023, 11:02 Ead.br
Análise Dimensional e
Teoria da Semelhança
Muitos dos problemas envolvendo fenômenos de transporte são resolvidos por meio de
experimentos e análise de dados experimentais. Um dos objetivos de qualquer experimento é obter
resultados que podem ser usados em uma enorme gama de aplicações. O conceito de semelhança
pode ser utilizado para garantir este objetivo.
Teoria da Semelhança
De acordo com Munson, Young e Okiishi (2004, p. 344):
Modelos e Semelhanças
Utilizamos modelos para simular grandes estruturas ou projetos como aviões, navios, portos,
barragens. Um modelo em Engenharia pode ser definido como uma representação de um sistema
físico que pode ser utilizado para predizer o comportamento de alguma característica de um
sistema. O sistema físico para o qual as predições são feitas é chamado de protótipo. Existem
modelos maiores que os originais, como modelos que utilizam células de glóbulos vermelhos do
nosso sangue.
A formulação desta relação necessita do conhecimento da natureza geral do fenômeno físico e das
variáveis importantes do fenômeno. Não precisamos dos valores específicos. Podemos aplicar a
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=hnAbY9hV8pES7FGvJEhCzQ%3d%3d&l=iBa%2bqPG4tdDtSTu1c%2fXqaQ%3d%3d&cd=U… 3/31
09/09/2023, 11:02 Ead.br
equação 4.1 em qualquer sistema que seja descrito pelas mesmas variáveis. Se a equação 4.1
descreve o comportamento de um protótipo, uma relação similar pode ser escrita para o modelo
deste protótipo, dada por:
Onde a forma da função será a mesma desde que os fenômenos envolvidos no protótipo e no
modelo sejam os mesmos. As variáveis com o termo m serão utilizadas para o protótipo.
Π2 m = Π2
Πn m = Πn
A equação 4.4 nos mostra que o valor medido no modelo Π será igual ao valor Π do protótipo,
1 m 1
desde que os outros termos π sejam iguais. As condições especificadas na equação 4.3 fornecem as
condições de projeto do modelo e são chamadas de condições de semelhança ou leis do modelo.
Um ou mais termos π precisam ter semelhança geométrica entre eles, ou seja, o protótipo precisa
ser uma versão em escala do modelo. Também precisamos que um ou mais parâmetros sejam
semelhantes, como a rugosidade superficial ou o número de Reynolds. A igualdade entre os termos
π requer que a relação entre estas forças no modelo e no protótipo sejam as mesmas.
De modo que:
l 1m l 2m
= (Equa ção 4.6)
l1 l2
A razão l 1m
l1
é chamada de escala de comprimento. Só existirá uma escala de comprimento e todos
os comprimentos estarão fixados com esta escala. O mesmo é válido para os outros parâmetros,
como velocidade, viscosidade etc.
A escala de comprimento é representada por λ e as outras escalas por λ , λ etc., onde o subscrito
l v μ
Se um ou mais critérios π não forem satisfeitos, como, por exemplo, se Π ≠ Π , o modelo será 2 m 2
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=hnAbY9hV8pES7FGvJEhCzQ%3d%3d&l=iBa%2bqPG4tdDtSTu1c%2fXqaQ%3d%3d&cd=U… 4/31
09/09/2023, 11:02 Ead.br
Balanços Diferenciais
Algumas vezes precisamos acrescentar equações à análise dimensional. Neste caso, podemos
utilizar as leis de semelhança conjuntamente com as equações diferenciais que descrevem o
fenômeno.
E as equações de Navier - Strokes (MUNSON; YOUNG; OKIISHI, 2004) para esse escoamento são
dadas por:
2 2
du du du dp d u d u
ρ ( + u + v ) = − + μ ( + ) ( Equa ção 4.8)
2 2
dt dx dy dx dx dy
2 2
dv dv dv dp d v d v
ρ ( + u + v ) = − − ρg + μ ( + ) (Equa ção 4.9)
dt dx dy dy dx2 dy 2
Como podemos notar, o eixo y é vertical e a força gravitacional ρ g está presente apenas no eixo y.
Agora temos que estabelecer as condições de contorno. Vamos especificar as velocidades em todas
as fronteiras da região que está sendo analisada. Adotaremos u = u e v = v em todos os pontos B B
ou, se nossa análise for de um escoamento transitório, temos que estabelecer as condições iniciais,
usualmente adotamos t = 0.
x y t
x∗ = y∗ = t∗ = (Equa ção 4.11)
l l τ
As equações que descrevem o fenômeno podem, então, ser reescritas em função destas novas
variáveis. Logo:
∗ ∗ ∗
du dV u dx V du
= = (Equa ção 4.12)
∗ ∗
dx dx dx l dx
2 ∗ ∗ 2 ∗
d u V d du dx V d u
= ( ) =
2
(Equa ção 4.13)
2 ∗ ∗ 2 ∗
dx l dx dx dx l dx
Todos os outros termos das equações podem ser expressos da mesma forma. Logo, as equações
que descrevem o fenômeno em função das novas variáveis serão:
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=hnAbY9hV8pES7FGvJEhCzQ%3d%3d&l=iBa%2bqPG4tdDtSTu1c%2fXqaQ%3d%3d&cd=U… 5/31
09/09/2023, 11:02 Ead.br
∗ ∗
du du
∗
+
∗
= 0 (Equa ção 4.14)
dx dy
∗ 2 ∗ ∗ ∗ 2 ∗ 2 ∗
ρ V du ρ V du du p0 dp μ V d u d u
∗ ∗
[ ]
∗
+ [ ] (u
∗
+ v
∗
) = −[ ]
∗
+ [ ](
2
+
2
) (Equa çã
2
τ dt l dx dy l dx l dx∗ dy ∗
∗ 2 ∗ ∗ ∗ 2 ∗ 2 ∗
ρ V dv ρ V dv dv p0 dp μ V d v d v
∗ ∗
[ ] + [ ] (u + v ) = −[ ] − [ρ g] + [ ]( + ) (E
∗ 2 2
τ dt τ dx∗ dy ∗ l dy ∗ l
2
dx∗ dy ∗
Os termos que aparecem entre colchetes são quantidades de referência que podem ser
interpretadas como indicativos das várias forças (por unidade de volume). Agora, vamos dividir as
2
∗ ∗ ∗ ∗ 2 ∗ 2 ∗
l du du du p0 dp μ d u d u
[ ]
∗
+ u
∗
+ v
∗
= −[ ] + [ ](
2
+
2
) (Equa ção 4.17)
∗ ∗ 2 ∗ ∗ ∗
τ V dt dx dy ρ V dx ρ V l dx dy
∗ ∗ ∗ ∗ 2 ∗ 2 ∗
l dv dv dv p0 dp g l μ d v d v
∗ ∗
[ ] + u + v = −[ ] − [ ] + [ ]( + ) (Equa
∗ ∗ ∗ 2 ∗ 2
2 2
∗ ∗
τ V dt dx dy ρ V dy V ρ V l dx dy
Os termos entre colchetes são os grupos adimensionais (ou seus recíprocos) que foram
desenvolvidos na análise dimensional, sendo que é o número de Strouhal; é o
p
l 0
[ ] [ ]
τ V 2
ρ V
Reynolds.
Podemos concluir que cada um dos grupos adimensionais pode ser interpretado como uma razão
entre duas forças e que estes grupos adimensionais aparecem de maneira natural das equações que
descrevem os escoamentos.
Como a obtenção das integrais das tensões normais e de cisalhamento são complexas, utilizamos
coeficientes adimensionais de arrasto e de sustentação, conhecidos por CL (coeficiente de
sustentação) e CD (coeficiente de arrasto). Estes coeficientes são dados por:
L D
CL = e CD = (Equa ção 4.19)
1 2 1 2
ρ U A ρ U A
2 2
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=hnAbY9hV8pES7FGvJEhCzQ%3d%3d&l=iBa%2bqPG4tdDtSTu1c%2fXqaQ%3d%3d&cd=U… 6/31
09/09/2023, 11:02 Ead.br
número de Froude, o número de Mach etc. Neste momento, vamos focar nossa atenção no número
de Reynolds e considerar um escoamento variando de acordo com este parâmetro.
A maior parte dos escoamentos (água e ar) estão associados a objetos de tamanho moderado, com
comprimento entre 0,01 < l < 10 m e com velocidade variando entre 0,01 m/s < U < 100 m/s. Assim,
teremos números de Reynolds variando entre 10 < Re <10 . Utilizamos como regra geral que
9
escoamentos com número de Reynolds Re > 100 são controlados pelos efeitos da inércia, enquanto
que Re < 1 são controlados pelos efeitos viscosos.
Agora vamos nos concentrar nos escoamentos com número de Reynolds bem menores do que 1,
como óleos, lagos, estações de tratamento de esgoto etc. A Figura 4.1 mostra três escoamentos
sobre uma placa plana com comprimento l.
Figura 4.1 - Características do escoamento em regime permanente sobre uma placa plana paralela
ao escoamento ao longe. Escoamento com número de Reynolds a) baixo = 0,1, b) moderado = 10 e c)
alto = 107
Fonte: Munson, Young e Okiishi (2004, p. 487).
Quando o número de Reynolds é pequeno, os efeitos da viscosidade são fortes e a placa afetará
bastante o escoamento uniforme. Por isso deveremos medir U em uma região muito longe da placa.
Quando o número de Reynolds se torna moderado, a região onde se pode sentir o efeito da
viscosidade se limita à jusante da placa. Já para números de Reynolds grandes, o escoamento será
controlado pelos efeitos da inércia.
O físico alemão Ludwing Prandtl estudou os efeitos do escoamento na camada limite, que pode ser
definida por uma região muito fina e adjacente à superfície do corpo onde os efeitos viscosos são
muito importantes.
Fora da camada limite esses efeitos podem ser desprezados. Portanto, temos que estudar algumas
grandezas, como a velocidade em dois momentos:
Vamos estudar a estrutura da camada limite considerando o movimento de uma partícula fluida no
campo de escoamento, conforme a Figura 4.2.
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=hnAbY9hV8pES7FGvJEhCzQ%3d%3d&l=iBa%2bqPG4tdDtSTu1c%2fXqaQ%3d%3d&cd=U… 7/31
09/09/2023, 11:02 Ead.br
Figura 4.2 - Distorção de uma partícula fluida enquanto escoa em uma camada limite
Fonte: Munson, Young e Okiishi (2004, p. 491).
Quando a partícula entra na camada limite, o gradiente de velocidade faz com que ela comece a
distorcer, ou seja, o escoamento será rotacional dentro da camada limite. A partir de uma distância,
o escoamento se torna turbulento devido a esta distorção. O valor crítico para que esta turbulência
ocorra varia entre 2 x 10 a 3 x 10 , essa variação é função da rugosidade e da intensidade da
3 6
A função da camada limite na placa é permitir que o fluido mude sua velocidade do valor U para
zero na placa, ou seja, teremos um perfil de velocidade dado pela Figura 4.3.
∗
u
δ = ∫ (1 − ) dy (Equa ção 4.20)
U
0
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=hnAbY9hV8pES7FGvJEhCzQ%3d%3d&l=iBa%2bqPG4tdDtSTu1c%2fXqaQ%3d%3d&cd=U… 8/31
09/09/2023, 11:02 Ead.br
praticar
Vamos Praticar
Na figura a seguir temos a seção transversal de um componente estrutural longo de uma ponte. Munson,
Young e Okiishi (2004, p. 369) afirmam que:
ocorre o desenvolvimento de vórtices na parte posterior do corpo e que estes são desprendidos
em uma forma regular e com frequência definida quando o vento escoa em torno deste corpo.
Estes vórtices podem criar forças periódicas que atuam na estrutura e é importante sabermos
a frequência de emissão destes componentes.
Para a estrutura mostrada na Figura 4.4, temos que D = 0,2 m, H = 0,6 m e a velocidade do vento é igual a 25
km/h.
Admitindo que as condições do ar são as normais, a frequência de emissão dos vórtices deve ser
determinada utilizando um modelo (D = 40 mm) que deve ser testado em um túnel de água. A
m
temperatura da água no túnel é de 20ºC. Considerando que as propriedades do ar na condição padrão são μ
= 1,79 x 10 kg/ms e ρ = 1,23 kg/m e as da água a 20ºC são μ = 1,00 x 10 kg/ms e ρ = 998 kg/m , após a
-5 3 -5 3
a) 0 e 10 Hz.
b) 11 e 20 Hz.
c) 21 e 30 Hz.
d) 31 e 40 Hz.
Feedback: alternativa incorreta, pois a frequência de emissão dos vórtices ω é função dos
comprimentos D e H, da velocidade ao longe U, da massa específica ρ e da velocidade μ. Logo,
temos que ω = f (D, H, U, ρ, μ). São necessários três termos de π porque existem seis variáveis e três
dimensões de referência (MLT). A aplicação do teorema π fornece =𝝓( (equação
ω D D ρ V D
, )
V H μ
1). O lado esquerdo da equação (1) indica que o número de Strouhal é uma função do parâmetro
geométrico, D/H, e do número de Reynolds. Assim, para mantermos a semelhança entre o modelo e
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=hnAbY9hV8pES7FGvJEhCzQ%3d%3d&l=iBa%2bqPG4tdDtSTu1c%2fXqaQ%3d%3d&cd=U… 9/31
09/09/2023, 11:02 Ead.br
Hm H μm μ
−3
D 0,2
semelhança requer que o número de Reynolds no modelo e no protótipo sejam iguais. Deste modo,
a velocidade no modelo deve ser igual a Vm = V . A velocidade do escoamento no
μm ρ D
μ ρm Dm
3
3.600
= 6,95 m/s. s. A velocidade no modelo pode ser calculada pela
−3
−5
1,79 x 10 x 998 x 0,040
V Vm
e) Acima de 41 Hz.
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=hnAbY9hV8pES7FGvJEhCzQ%3d%3d&l=iBa%2bqPG4tdDtSTu1c%2fXqaQ%3d%3d&cd=… 10/31
09/09/2023, 11:02 Ead.br
Perda de Carga
Os escoamentos reais apresentam dissipação de energia mecânica por causa do atrito viscoso e
possuem a propriedade de aderência do fluido às superfícies sólidas. A seguir, vamos estudar como
obter um balanço de massa, quantidade de movimento e calor para esses escoamentos.
Temos dois tipos diferentes de perda de carga, ainda de acordo com Livi (2017, p. 112), dados por:
• Perda de carga distribuída, hp,d, que ocorre devido ao atrito viscoso ao longo da
tubulação entre duas seções;
• Perda de carga localizada ou acidental, hp,l, que ocorre devido aos acessórios ou
acidentes localizados em determinadas posições nas tubulações como, por exemplo, as
válvulas, as variações de diâmetro nas seções da tubulação, as curvas etc.
A perda de carga total dada por hp será a soma de todas as perdas de cargas distribuídas e
localizadas entre 2 seções, dada por:
Tomemos como exemplo um duto horizontal de diâmetro D constante, conforme está mostrado na
Figura 4.5, onde temos um escoamento permanente de um fluido incompressível de massa
específica ρ, não havendo perda de carga localizada.
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=hnAbY9hV8pES7FGvJEhCzQ%3d%3d&l=iBa%2bqPG4tdDtSTu1c%2fXqaQ%3d%3d&cd=… 11/31
09/09/2023, 11:02 Ead.br
Figura 4.5 - Representação gráfica da equação de Bernoulli para um escoamento com atrito viscoso
em um duto horizontal de diâmetro pequeno e constante
Fonte: Livi (2017, p. 110).
Na seção (1) temos uma pressão estática p1 e na seção temos uma pressão p2. A perda de carga
distribuída, devido ao atrito viscoso entre as seções (1) e (2) que são separadas por um comprimento
L, pode ser dada pela equação de Bernoulli somada a perda de carga, dada por:
2 2
V p1 V p2
1 2
y1 + + = y2 + + + hp, d (Equa ção 4.22)
2 g ρ g 2 g ρ g
Ou seja, segundo Livi (2017, p. 112), “a perda de carga distribuída, em um escoamento dentro de um
duto horizontal com diâmetro constante, é dada pela queda de carga da pressão entre as duas
seções consideradas”.
Através de simulações, verificamos que, para escoamentos dentro de seções tubulares constantes, a
queda de pressão estática, devido ao atrito viscoso entre duas seções, depende do diâmetro do
duto, da rugosidade da parede do tubo, da velocidade média do escoamento, da massa específica e
da viscosidade do fluido. A equação de Darcy-Weisbach relaciona estas variáveis e é dada por:
2
L V
hp,d = f −−
− (Equa ção 4.24)
D 2 g
Livi (2017, p. 113) ressalta que se pode obter “o fator de atrito f experimentalmente, ele é função de
dois parâmetros adimensionais dados por:
e
f = f (Re, ) (Equa ção 4.25)
D
D
é a rugosidade relativa do duto”.
Ainda recorrendo a Livi (2017, p. 113), temos que esta rugosidade pode ser definida “como a altura
média das saliências da superfície interna do duto e a rugosidade relativa é o quociente entre a
rugosidade e o diâmetro interno do duto, sendo que ambos são expressos nas mesmas unidades”.
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=hnAbY9hV8pES7FGvJEhCzQ%3d%3d&l=iBa%2bqPG4tdDtSTu1c%2fXqaQ%3d%3d&cd=… 12/31
09/09/2023, 11:02 Ead.br
O fator de atrito f pode ser obtido pelo diagrama de Moody dado na figura 4.6, este fator é
adimensional.
Figura 4.6 - Diagrama de Moody para os fatores de atrito para escoamentos em dutos de seção
circular
Fonte: Livi (2017, p. 113).
Figura 4.7 - Diagrama de Moody para a rugosidade relativa de dutos de seção circular
Fonte: Livi (2017, p. 114).
A perda de carga localizada (também chamada de acidental) h p,l é obtida por meio da equação:
2
V
hp,l = K −−
− (Equa ção 4.26)
2 g
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=hnAbY9hV8pES7FGvJEhCzQ%3d%3d&l=iBa%2bqPG4tdDtSTu1c%2fXqaQ%3d%3d&cd=… 13/31
09/09/2023, 11:02 Ead.br
Se o número de Ma for menor do que 0,3, os efeitos da compressibilidade podem ser desprezados.
Geralmente estes escoamentos são descritos por uma série de termos de comprimento dados por l
1, l , ...l , onde l é alguma dimensão de comprimento. Esta série nos leva a uma série de termos π
2 i
Sendo i = 1, 2, … Dois fatores são importantes nesse tipo de escoamento: a rugosidade das
superfícies internas e a geometria básica do sistema. Se definirmos a altura média da rugosidade da
superfície como ε, o termo π que representa a rugosidade será definido por . A rugosidade da ε
superfície tem que estar em escala para podermos obter a semelhança geométrica completa. Para
isto, a superfície do modelo tem que ser mais lisa do que aquela do protótipo se a escala de
comprimento for menor do que 1.
Um termo do nosso interesse, por exemplo, a queda de pressão, pode ser obtido por:
Esta é a fórmula geral para qualquer tipo de problema. Os dois primeiros termos π no lado direito
da equação (4.28) dizem respeito ao critério da semelhança geométrica, dado por:
l im li εm ε
= e = (Equa ção 4.29)
lm l lm l
ou
l im εm lm
= = = λi (Equa ção 4.30)
li ε l
Ou seja, podemos escolher a escala, mas uma vez escolhida temos que utilizá-la em todos os
comprimentos.
Vm μ ρ l
m
= (Equa ção 4.32)
V μ ρ lm
m
Ou seja, o valor real da escala de velocidade será função das escalas de viscosidade dinâmica, de
massa específica e de comprimento. Se utilizarmos o mesmo fluido no modelo e no protótipo,
podemos simplificar a equação (4.32), porque μ = μ e ρ = ρ. O resultado desta simplificação
m m
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=hnAbY9hV8pES7FGvJEhCzQ%3d%3d&l=iBa%2bqPG4tdDtSTu1c%2fXqaQ%3d%3d&cd=… 14/31
09/09/2023, 11:02 Ead.br
Ou seja, a velocidade do fluido no modelo será maior do que aquela no protótipo se a escala for
menor do que 1, porque V = V /λ .
m i
Δp
Π1 = (Equa ção 4.34)
2
ρ V
Portanto, a queda de pressão no protótipo pode ser então calculada com a relação:
2
ρ V
Δp = ( ) Δpm (E'qua ção 4.35)
ρ Vm
m
Ou seja, a queda de pressão varia de acordo com a densidade do fluido, dividida pela densidade do
modelo, o quadrado da velocidade do fluido dividida pela velocidade do modelo e a variação da
pressão no modelo. Deste modo, é possível se calcular a pressão no protótipo a partir da pressão no
modelo.
Para escoamentos incompressíveis (onde o número de Mach é desprezado), a fórmula geral aplicada
a este problema será a mesma equação 4.28.
Geralmente, a variável que queremos neste tipo de problema é o arrasto desenvolvido no corpo,
representado pela letra D, ou melhor, o coeficiente de arrasto dado por:
D
CD = (Equa ção 4.36)
1 2 2
ρ V l
2
Onde l é usado para representar a área do objeto. Se igualarmos a equação 4.36 à equação geral
2
D li ε ρ V l
= CD = ϕ ( , , ) (Equa ção 4.37)
1 2 2
ρ V l l l μ
2
O critério de semelhança geométrica também será dado pelas equações 4.29 a 4.31. Logo, teremos:
D Dm
= (Equa ção 4.38)
1 2 2 1 2 2 2
ρ V l ρm Vm l m
2 2
ou
2 2
ρ V l
D = ( ) ( ) Dm (Equa ção 4.39)
ρ Vm lm
m
Esta equação fornece um modo para calcular o arrasto no protótipo D a partir da medição do
arrasto no modelo D .m
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=hnAbY9hV8pES7FGvJEhCzQ%3d%3d&l=iBa%2bqPG4tdDtSTu1c%2fXqaQ%3d%3d&cd=… 15/31
09/09/2023, 11:02 Ead.br
Portanto, a escala da velocidade será determinada pela raiz quadrada da escala de comprimento.
Do mesmo modo, podemos obter a relação entre o número de Reynolds e a velocidade que será
dado por:
Vm 3/2
= (λ i ) (Equa ção 4.43)
V
ρ 2
ção
m
= (λ i ) (Equa 4.44)
σ
É claro que muitas vezes temos que utilizar algumas simplificações devido a dificuldade de igualar
todos os critérios de semelhança.
praticar
Vamos Praticar
“Dados a vazão do escoamento, a massa específica ρ, o diâmetro e o comprimento do tubo, podemos
calcular o número de Reynolds” (LIVI, 2017, p. 152).
A água está escoando em uma tubulação onde a parede é de aço comercial. Esse fluido possui viscosidade
de 0,001 Pa.s e massa específica igual 1.000 kg/m3. Nestas condições, a vazão da água é igual a 0,04 m3/s. A
seção circular da tubulação apresenta diâmetro de 20 e comprimento de 600 m. A perda de carga
distribuída ao longo da tubulação será um número entre:
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=hnAbY9hV8pES7FGvJEhCzQ%3d%3d&l=iBa%2bqPG4tdDtSTu1c%2fXqaQ%3d%3d&cd=… 16/31
09/09/2023, 11:02 Ead.br
a) 0 a 10 m.
b) 11 a 20 m.
c) 21 a 30 m.
d) 31 a 40 m.
Feedback: alternativa incorreta, pois como foram dados a vazão e o diâmetro da tubulação,
podemos calcular a velocidade média do escoamento que será dada por V = = = 1,27
4 Q
2
4 x 0,04
2
−
π D π 0,2
ρ V D
m/s. Agora, vamos calcular o número de Reynolds do escoamento, que será dado por Re = −
μ
=
1.000 x 1,27
0,001
x .0,2
= 2,54 x 105. O duto foi fabricado com aço comercial e tem diâmetro interno D = 20
cm que equivale a aproximadamente 8 polegadas, de maneira que a rugosidade relativa será obtida
pelo diagrama da figura 4.7 e será dada por = 0,0002 . Do diagrama de Moody apresentado na
e
figura 4.6, para Re = 2,54 x 105 e = 0,0002 obtemos o fator de atrito f = 0,03. Logo, a perda de
e
carga distribuída hp,d será determinada pela equação de Darcy-Weisbach que é dada por hp,d =
2
V 2
f
L
D
−
2 g
= 0,03 x 600
0,2
x 1,27
2 x 9,81
=7,39 m.
e) Acima de 40 m.
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=hnAbY9hV8pES7FGvJEhCzQ%3d%3d&l=iBa%2bqPG4tdDtSTu1c%2fXqaQ%3d%3d&cd=… 17/31
09/09/2023, 11:02 Ead.br
Introdução a
Transferência de Calor
De acordo com Livi (2017, p. 157), podemos definir “o calor como a energia que é transferida em
função de uma diferença de temperatura”.
Além disso, o autor afirma que “a transferência de calor é a área da ciência que estuda os
mecanismos de transporte de calor e a determinação das distribuições de temperatura e dos fluxos
ou taxas de transferência de calor” (LIVI, 2017, p. 157).
Condução: ocorre devido ao aquecimento do metal que está interno ao cabo da panela;
Convecção: ocorre devido ao aquecimento da água;
Radiação: ocorre nas chamas do fogão.
Estas três formas de calor podem ocorrer simultaneamente ou separadas. Muitas vezes uma
aplicação começa utilizando a transferência de calor por condução, depois utiliza a convecção e, por
fim, termina também usando a radiação, como é o caso de quando fervemos água em uma panela
de ferro, que aquece através das chamas do fogão. A água ferverá mais rapidamente devido às
várias formas de transferência de calor.
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=hnAbY9hV8pES7FGvJEhCzQ%3d%3d&l=iBa%2bqPG4tdDtSTu1c%2fXqaQ%3d%3d&cd=… 18/31
09/09/2023, 11:02 Ead.br
Condução
De acordo com Livi (2017, p. 157), “a condução é caracterizada pela transferência de energia térmica
em um meio material sólido ou fluido, causada pela existência de um gradiente de temperatura”.
Livi (2017, p. 157) adicionalmente estabelece que “a densidade de fluxo de calor por condução é
diretamente proporcional ao gradiente de temperatura, ou seja, em um processo na direção do eixo
x”, sendo assim, temos:
dT
qx = −k (Equa ção 4.45)
dx
Sendo que Livi (2017, p. 157) denomina “q como sendo a densidade de fluxo de calor por condução
x
na direção x; dT
dx
como o gradiente de temperatura na direção x e k como o coeficiente de
proporcionalidade conhecido como condutividade térmica do material”. Esta equação também é
conhecida como equação unidimensional de Fourier para a condução de calor.
Finalmente, Livi (2017, p. 158) estabelece que “a densidade de fluxo de calor é a taxa de
transferência de calor por unidade de área” e é dada por:
Qx dT
= −k (Equa ção 4.46)
A dx
Sendo “Qx como o fluxo de calor por condução na direção x e A como a área da seção normal ao
fluxo de calor” (LIVI, 2017, p. 158).
A equação geral de Fourier para a condução de calor escrita na forma vetorial é dada por:
O sinal negativo na equação é devido ao fato de que o fluxo de calor por condução se dá no sentido
contrário ao gradiente (ᐁ) de temperatura.
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=hnAbY9hV8pES7FGvJEhCzQ%3d%3d&l=iBa%2bqPG4tdDtSTu1c%2fXqaQ%3d%3d&cd=… 19/31
09/09/2023, 11:02 Ead.br
Recorrendo novamente a Livi (2017, p. 158), temos que “a condução de calor é uma transferência de
energia térmica através de um meio material sólido ou fluido em função de um gradiente (diferença)
de temperatura”. Este fluxo ocorre da região de maior temperatura para a região de menor
temperatura.
Os materiais que são bons condutores de calor são, em geral, bons condutores de eletricidade como
os metais (cobre, ouro, alumínio), ou seja, a condutividade térmica é a propriedade do material de
conduzir calor e, na maioria das vezes, essa propriedade é dependente da temperatura.
reflita
Reflita
As moradias em países norte-americanos e
europeus possuem um sistema de aquecimento
central devido ao intenso frio. Países tropicais como
o Brasil nunca precisaram deste aquecimento, mas
recentes mudanças climáticas têm trazido mais frio
para várias regiões de nosso país. Será que no
futuro nossas casas também não serão projetadas
com sistemas de aquecimento central utilizando
tubulações de gás natural para controlarmos a
temperatura ambiente?
Convecção
Esta transferência de calor ocorre pelo deslocamento de uma massa fluida. Quando um fluido está
em movimento, existe uma distribuição não uniforme de temperatura que produz um gradiente de
temperatura (condução) e o transporte dessa massa fluida também produz calor.
Convecção forçada que é causada por agentes externos como ventiladores e bombas;
Convecção natural ou livre que é causada por forças devida ao gradiente de massa
específica que produz diferenças de temperatura no fluido.
Como já aprendemos, quando um fluido se movimenta sobre uma superfície sólida podemos dividir
o campo da velocidade em duas regiões principais: uma junto à superfície sólida e outra mais
distante (fora da camada limite) que apresenta uma distribuição uniforme de velocidade chamada
de escoamento livre.
Do mesmo modo, quando existir uma diferença de temperatura entre a superfície sólida e o fluido
adjacente a ela, podemos dividir o campo da temperatura do fluido em dois: um junto à superfície
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=hnAbY9hV8pES7FGvJEhCzQ%3d%3d&l=iBa%2bqPG4tdDtSTu1c%2fXqaQ%3d%3d&cd=… 20/31
09/09/2023, 11:02 Ead.br
sólida chamado de camada limite térmica e um outro mais distante onde o fluido apresenta
distribuição uniforme de temperatura.
Considerando uma situação de transferência de calor, por convecção forçada, de uma placa sólida
aquecida, vamos manter a superfície da placa a uma temperatura constante T, sendo que o fluido
adjacente possui Temperatura T conforme é mostrado na Figura 4.9.
∞
Figura 4.9 - Gradiente de transferência de calor por convecção forçada em uma placa aquecida por
um fluido
Fonte: Livi (2017, p 159).
Temos a formação de uma película fluida em repouso aderida à placa devido à propriedade da
aderência dos fluidos viscosos às superfícies sólidas. A velocidade de escoamento nesta película é
zero, sendo que o calor é transferido somente por condução.
À medida que o fluido escoa sobre a superfície sólida, temos um efeito retardado exercido pela
placa sobre o movimento das partículas do fluido, de maneira que a espessura $\delta $ da camada
limite hidrodinâmica aumenta em função do eixo x, que tem origem no bordo de ataque da placa.
Alguns valores típicos do coeficiente de transferência de calor por convecção são dados na Tabela
4.1.
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=hnAbY9hV8pES7FGvJEhCzQ%3d%3d&l=iBa%2bqPG4tdDtSTu1c%2fXqaQ%3d%3d&cd=… 21/31
09/09/2023, 11:02 Ead.br
Processo H (W/m2.K)
Convecção natural
Gases 2 – 25
Líquidos 50 – 1.000
Convecção forçada
Gases 25 – 250
O número de Prandtl é dado pela relação entre as espessuras das camadas limites hidrodinâmica e
térmica, e é um parâmetro adimensional que representamos por Pr, que é definido como o
quociente entre a viscosidade cinemática e a difusividade térmica do fluido, dado por:
ν
Pr = (Equa ção 4.48)
α
Para os gases, o número de Prandtl é próximo da unidade. Já para os metais líquidos, temos Pr <<1 e
para os óleos viscosos, Pr >> 1.
Para a mesma situação representada pela figura 4.8, a densidade de fluxo de calor por convecção é
diretamente proporcional à diferença entre as temperaturas da superfície sólida e do fluido e é dada
por:
praticar
Vamos Praticar
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=hnAbY9hV8pES7FGvJEhCzQ%3d%3d&l=iBa%2bqPG4tdDtSTu1c%2fXqaQ%3d%3d&cd=… 22/31
09/09/2023, 11:02 Ead.br
“Um forno industrial foi construído com tijolo refratário de 0,25 cm de espessura, conforme mostra a Figura
4.10. A condutividade térmica do tijolo usado na construção é de 1,7 W/m.K. Os medidores de temperatura
instalados na parede externa e interna deste registraram medidas de 1.200 e 1.500ºC, respectivamente. Este
forno foi construído com 1,4 m de comprimento por 0,75 m de altura. A taxa de calor perdida neste sistema
será um número entre:
a) Entre 0 e 500 W.
b) Entre 501 e 1.000 W.
c) Entre 1.001 e 1.500 W.
d) Entre 1.501 e 2.000 W.
e) Acima de 2.001 W.
Feedback: alternativa correta, pois como a transferência de calor ao longo da parede é por
condução, o fluxo térmico pode ser determinado pela Lei de Fourier, dada por =k = 1,7 x
dqx ΔT
dt L
= 2.040 W/m2. O fluxo térmico representa a taxa de transferência de calor por meio de
1.500 − 1.200
0,25
uma seção de área unitária (invariável) por intermédio da superfície da parede. A taxa da perda de
calor ao longo da parede de área A = H x W é dada por qx = (A x L) = (0,75 x 1,4) 2.040 = 2.142 W.
dq
x
dt
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=hnAbY9hV8pES7FGvJEhCzQ%3d%3d&l=iBa%2bqPG4tdDtSTu1c%2fXqaQ%3d%3d&cd=… 23/31
09/09/2023, 11:02 Ead.br
Transferência de Calor
Continuando nosso estudo de transferência de calor, agora vamos estudar a radiação, a Lei dos
Gases Perfeitos e o conceito de resistividade térmica, ou seja, a maior ou menor facilidade que um
material possui de absorver calor e a relação deste conceito com a Termodinâmica.
Radiação
Livi (2017, p. 161) afirma que “a radiação é quando ocorre uma transferência de calor sem a
necessidade de um meio material, o transporte de energia tem eficiência máxima através do vácuo
absoluto”.
Qualquer superfície com temperatura acima de 0 K emite radiação térmica. Um corpo negro pode
ser definido como uma superfície que absorve totalmente a radiação incidente sobre ele. Este corpo
negro (radiador ideal) emite radiação térmica com uma densidade de fluxo dada pela Lei de Stefan-
Boltzmann (quando o nome de uma lei aparece separado por hífen, o hífen indica que a lei foi
descoberta por dois cientistas), dada por:
q = σ Ts
4
(Equa ção 4.50)
Onde q é a densidade de fluxo de energia radiante emitida pela superfície, $\sigma $é a constante
de Stefan-Boltzmann e Ts é a temperatura absoluta da superfície.
As superfícies reais emitem menos energia que um corpo negro, então a densidade de fluxo destas
superfícies será dada por:
q = εσTs
4
(Equa ção 4.51)
Segundo Livi (2017, p. 161), “a emissividade ε é uma propriedade da superfície e indica a eficiência
com que a radiação térmica é emitida pela superfície em comparação com um corpo negro”, como é
o caso das substâncias não metálicas que possuem emissividade alta, enquanto que os metais
polidos apresentam emissividade baixa.
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=hnAbY9hV8pES7FGvJEhCzQ%3d%3d&l=iBa%2bqPG4tdDtSTu1c%2fXqaQ%3d%3d&cd=… 24/31
09/09/2023, 11:02 Ead.br
Gases são mais compressíveis que líquidos. De acordo com Munson (2004, p. 11-12), “a massa
específica de um gás está relacionada com a pressão e a temperatura através da equação:
Sendo que p é a pressão absoluta, ρ é a massa específica, T é a temperatura absoluta (em Kelvin) e
R é a constante do gás. A equação (4.52) é chamada de Lei dos gases perfeitos ou de equação de
estado para os gases perfeitos, porque aproxima o comportamento dos gases reais nas condições
normais. A pressão é dada em N/m2 ou Pa e a pressão absoluta pode ser obtida somando-se a
pressão relativa com a pressão atmosférica local (MUNSON; YOUNG; OKIISHI, 2004, p. 11-12).
Resistência Térmica
Bergman (2019, p. 08) afirma que “os três modos de transferência de calor, condução, convecção e
radiação, apresentam uma taxa de transferência de calor” que pode ser representada na forma:
dx ΔT
q = A = (Equa ção 4.53)
dt Ri
A energia térmica é constituída por uma componente sensível, chamada de Usens, que leva em
consideração os movimentos de translação, rotação e vibração dos átomos que compõem a matéria
e um componente latente Ulat, que é relacionado com as forças intermoleculares ligadas a
mudanças de fase entre os estados sólido, líquido e gasoso.
O lado direito da equação 4.54 representa a taxa líquida de saída da entalpia (a energia térmica mais
trabalho do escoamento) para um gás ideal ou de saída de energia térmica de um líquido
incompressível.
praticar
Vamos Praticar
A Figura 4.11 mostra uma tubulação de vapor d’água, esta não tem isolamento térmico e atravessa uma sala
que está a uma temperatura ambiente de 25 ºC. Medimos a temperatura externa de tubo de diâmetro
externo de 50 mm e a leitura foi de 300 ºC, sendo que esta superfície possui emissividade igual a 0,9.
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=hnAbY9hV8pES7FGvJEhCzQ%3d%3d&l=iBa%2bqPG4tdDtSTu1c%2fXqaQ%3d%3d&cd=… 25/31
09/09/2023, 11:02 Ead.br
Adotar que σ = constante de Stefan-Boltzmann que vale 5,67 x 10-8 W/(m2. K4).
Dado que o coeficiente associado à transferência de calor por convecção natural da superfície para o ar é
igual a 15 W/m2K, a taxa de calor perdida pela superfície por unidade de comprimento do tubo será um
número entre:
a) 0 a 500 W/m.
b) 501 a 1.000 W/m.
c) 1.001 a 1.500 W/m.
Feedback: alternativa correta, pois a taxa de perda de calor por unidade de comprimento do tubo
será: = = 15 x (π x 0,05) x (300 - 25) + 0,9 x (π x 0,05) x 5,67 x 10-8 x (573 − 298 ) = 647 +
dq q 4 4
dt L
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=hnAbY9hV8pES7FGvJEhCzQ%3d%3d&l=iBa%2bqPG4tdDtSTu1c%2fXqaQ%3d%3d&cd=… 26/31
09/09/2023, 11:02 Ead.br
indicações
Material
Complementar
FILME
Volcano
Ano: 1997
Comentário: O filme conta o caos que seria se um terremoto
provocasse uma erupção vulcânica na cidade de Los Angeles. A lava
utiliza as diversas tubulações de água e do metrô para queimar e
destruir a cidade. Bombeiros, engenheiros e geólogos se juntam para
criar um plano e tentar desviar a lava para o mar. No vídeo, é possível
acionar as legendas.
TRAILER
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=hnAbY9hV8pES7FGvJEhCzQ%3d%3d&l=iBa%2bqPG4tdDtSTu1c%2fXqaQ%3d%3d&cd=… 27/31
09/09/2023, 11:02 Ead.br
LIVRO
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=hnAbY9hV8pES7FGvJEhCzQ%3d%3d&l=iBa%2bqPG4tdDtSTu1c%2fXqaQ%3d%3d&cd=… 28/31
09/09/2023, 11:02 Ead.br
conclusão
Conclusão
Chegamos ao final de nosso estudo e nesta unidade foi possível entender as vantagens da análise
dimensional aliadas com a aplicação de equações diferenciais para podermos simular situações
reais em laboratório.
Também aprendemos sobre as perdas nas tubulações por calor ou atrito e como incluí-las no estudo
do balanço de energia, massa e movimento.
Além disso, estudamos a transferência de calor por convecção e condução, assim como suas
aplicações técnicas.
Encerramos nosso estudo com a radiação e a resistividade térmica dos materiais. Assim, pudemos
ter um amplo panorama dos fenômenos de transporte, sua utilização e aplicações na Engenharia.
referências
Referências
Bibliográficas
BERGMAN, T. L.; LAVINE, A. S. Incropera Fundamentos de Transferência de Calor e de Massa.
Tradução e revisão técnica de Fernando Luiz Pellegrini Pessoa, Eduardo Mach Queiroz & André Luiz
Hemerly Costa. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2019.
LIVI, C. P. Fundamentos de Fenômenos de Transporte: um texto para Cursos Básicos. 2. ed. Rio de
Janeiro: LTC, 2017.
MORAN, M. J.; SHAPIRO, H. N.; MUNSON B. R.; DEWITT, D. P. Introdução à Engenharia de Sistemas
Térmicos: Termodinâmica, Mecânica dos Fluidos e Transferência de Calor. Tradução de Carlos
Alberto Biolchini da Silva. Rio de Janeiro: LTC, 2005.
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=hnAbY9hV8pES7FGvJEhCzQ%3d%3d&l=iBa%2bqPG4tdDtSTu1c%2fXqaQ%3d%3d&cd=… 29/31
09/09/2023, 11:02 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=hnAbY9hV8pES7FGvJEhCzQ%3d%3d&l=iBa%2bqPG4tdDtSTu1c%2fXqaQ%3d%3d&cd=… 30/31
09/09/2023, 11:02 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=hnAbY9hV8pES7FGvJEhCzQ%3d%3d&l=iBa%2bqPG4tdDtSTu1c%2fXqaQ%3d%3d&cd=… 31/31