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MAPA - EM - 1 Ano - Matematica - MAPA
MAPA - EM - 1 Ano - Matematica - MAPA
MAPA - EM - 1 Ano - Matematica - MAPA
SUMÁRIO
MATEMÁTICA
2
MATERIAL DE APOIO PEDAGÓGICO PARA APRENDIZAGENS – MAPA
REFERÊNCIA
2023
Matemática
COMPETÊNCIA ESPECÍFICA:
Competência Específica 1: Utilizar estratégias, conceitos e procedimentos matemáticos para interpretar
situações em diversos contextos, sejam atividades cotidianas, sejam fatos das Ciências da Natureza e
Humanas, das questões socioeconômicas ou tecnológicas, divulgados por diferentes meios, de modo a
contribuir para uma formação geral.
OBJETO(S) DE HABILIDADE(S):
CONHECIMENTO:
PLANEJAMENTO
TEMA DE ESTUDO: Tabelas, gráficos e amostras.
DURAÇÃO: 7 aulas.
PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
A) CONTEXTUALIZAÇÃO/ABERTURA:
Olá, professor(a), sugere-se que para começar o desenvolvimento da habilidade motive os estudantes com
as seguintes reflexões: “dados” estão por toda parte! Nas mídias, nas tecnologias, nos dispositivos, nas
redes sociais etc. temos informação até em excesso, e frequentemente muita desinformação também. Daí a
importância de entendê-los e avaliá-los.
Apresente como exemplo o seguinte esquema:
1
Se possível, todos os temas deste Caderno podem e devem explorar o uso de tecnologia. O docente
deve se lembrar que, mesmo não dispondo de um laboratório na escola, a maioria dos aplicativos
existe gratuitamente para celular – e os discentes até preferem desta forma. Se entre os estudantes
não houver muitos aparelhos, uma sugestão é dividir a turma em grupos de forma que em cada grupo
haja pelo menos um aparelho.
B) DESENVOLVIMENTO:
AULA 1 - FUNÇÕES: INTERPRETAÇÃO DE GRÁFICOS E DE EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
Em seguida, apresente, também, situações que recaem em expressões algébricas. Por exemplo:
− Valor final de uma lista de compras.
− Tendo duas apresentações de um mesmo medicamento (p.ex. com 45 e com 60 comprimidos)
e respectivos preços, discussão de como determinar a compra mais econômica.
− Cálculo da média de duas notas de um estudante.
− Dado um salário e um fator de atualização anual, cálculo do salário daqui a cinco anos.
Logo após, mostre gráficos diversos e comente a diferença entre um gráfico matemático, um gráfico
estatístico e um infográfico.
2
Imagem 02 - Alguns tipos de gráficos.
Para finalizar esta parte, colete junto com a turma diversos gráficos de diversas fontes – especialmente
internet – e faça uma discussão. Divida a turma em grupos. Cada grupo deve escolher um dos gráficos
(sem repetição entre grupos), apresentá-lo e explicá-lo. Em cada apresentação, faça as intervenções
que julgar necessárias, porém de maneira breve e leve.
3
Imagem 04. Prefixos.
4
AULA 4 - ESTATÍSTICA: GRÁFICOS E INFOGRÁFICOS
Apresente um “panorama” de diversos tipos de gráficos e infográficos de Estatística. Peça aos
estudantes que apresentem mais alguns.
Depois, apresente a importante diferença entre dados agrupados e dados não agrupados.
5
Imagem 06 - Dados não agrupados versus dados agrupados.
𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛
Média aritmética 𝑥=
𝑛
𝑛
𝑀𝐻 =
Média harmônica 1 1 1
( ) +( )+⋯+( )
𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛
𝑥1 𝑝1 + 𝑥2 𝑝2 + ⋯ + 𝑥𝑛 𝑝𝑛
Média ponderada 𝑀𝑃 =
𝑝1 + 𝑝2 + ⋯ + 𝑝𝑛
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Imagem 08 - Fórmulas de algumas medidas de dispersão (amostrais).
|𝑥1 − 𝑥| + ⋯ + |𝑥𝑛 − 𝑥|
Desvio médio 𝐷𝑀 =
𝑛
2 2
Desvio padrão (𝑥1 − 𝑥) + ⋯ + (𝑥𝑛 − 𝑥)
𝑠=√
𝑛−1
Variância 𝑠2
Coeficiente de 𝑠
𝐶𝑉 =
variação 𝑥
𝑥𝑖 − 𝑥
Escore padronizado 𝑧𝑖 =
𝑠
RECURSOS:
Quadro ou lousa, caderno, calculadora, atividades impressas.
Aplicativos para celular ou computador, tais como GeoGebra®, Wolfram Alpha® etc.
PROCEDIMENTOS DE AVALIAÇÃO:
Ao final desta parte, o estudante deverá ser capaz de realizar os tópicos a seguir:
− Distinguir entre si: dado, informação, conhecimento e inteligência.
− Interpretar e saber manipular expressões algébricas.
− Interpretar gráficos matemáticos, gráficos estatísticos e infográficos.
− Conhecer, saber usar e converter sistemas e unidades de medida.
− Compreender variação de grandezas.
− Em Estatística, conhecer e saber usar as medidas de tendência central.
− Em Estatística, conhecer e saber usar as medidas de dispersão.
− Utilizar tecnologia para explorar os temas anteriores e outros.
7
ATIVIDADES
1 – Complete a tabela a seguir.
2 – (ENEM-2013) A figura apresenta dois mapas, em que o estado do Rio de Janeiro é visto em
diferentes escalas.
Há interesse em estimar o número de vezes que foi ampliada a área correspondente a esse estado no
mapa do Brasil. Esse número é
a) menor que 10.
b) maior que 10 e menor que 20.
c) maior que 20 e menor que 30.
d) maior que 30 e menor que 40.
e) maior que 40.
3 – Interprete as informações a seguir. Faça um resumo explicando o que entendeu. Depois, escreva
uma pergunta a respeito das mesmas informações.
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Imagem 09 - Inflação por faixa de renda.
4 – Analise os dados a seguir. Eles são quarenta números inteiros aleatórios entre 0 e 100 (inclusive),
gerados automaticamente em uma planilha. Depois, faça o que se pede.
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REFERÊNCIAS
ANDRADE, Thaís Marcelle de. Matemática Interligada. 1.ed. São Paulo: Scipione, 2020.
FREEPIK. Ilustração do conceito de Matemática. [s. l.], 23 de outubro de 2020. Disponível em:
https://br.freepik.com/vetores-gratis/ilustracao-do-conceito-de-matematica_10733824.htm. Acesso
em: 23 jun. 2023.
FREEPIK. Infográfico de etapas profissionais. [s. l.], 14 de outubro de 2019. Disponível em:
https://br.freepik.com/vetores-gratis/infografico-de-etapas-profissionais_5758246.htm. Acesso em: 23
jun. 2023.
IEZZI, Gelson, et.al. Fundamentos de Matemática Elementar. 7.ed. São Paulo: Atual, 1993.
IEZZI, Gelson, et. al. Matemática – Volume único: Ensino Médio. 6.ed. São Paulo: Atual, 2015.
INEP - Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira. ENEM – Provas e
Gabaritos. [s. l.], 23 nov. 2022. Disponível em: https://www.gov.br/inep/pt-br/areas-de-
atuacao/avaliacao-e-exames-educacionais/enem/provas-e-gabaritos. Acesso em: 23 jun. 2023.
IPEA - Fundação Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada. Inflação por faixa de renda –
maio/2023. [s. l.], 13 de junho de 2023. Disponível em:
https://www.ipea.gov.br/cartadeconjuntura/index.php/category/inflacao/. Acesso em: 23 jun. 2023.
MINAS GERAIS. Secretaria do Estado de Educação. Currículo Referência de Minas Gerais: Ensino
Médio. Escola de Formação e Desenvolvimento Profissional de Educadores de Minas Gerais, [s. l.],
2022. Disponível em: https://curriculoreferencia.educacao.mg.gov.br/index.php/ens-medio/curriculo-
referencia-ensino-medio. Acesso em: 23 jun. 2023.
MINAS GERAIS. Secretaria do Estado de Educação. Plano de Curso: ensino médio. Escola de
Formação e Desenvolvimento Profissional de Educadores de Minas Gerais, [s. l.], 2022. Disponível em:
https://curriculoreferencia.educacao.mg.gov.br/index.php/plano-de-cursos-crmg. Acesso em: 23 jun.
2023.
TRIOLA, Mário F. Elementary Statistics. 12.ed. Boston (EUA): Pearson, 2014.
WASHINGTON, Alexandre Duarte, Fórmulas de algumas medidas de dispersão (amostrais),
Belo Horizonte, 2023.
WASHINGTON, Alexandre Duarte, Fórmulas de algumas médias. Belo Horizonte, 2023.
WASHINGTON, Alexandre Duarte, Dados não agrupados versus dados agrupados. Belo
Horizonte, 2023.
WIKIPÉDIA. Gráfico de setores. [s. l.], 12 jun. 2021. Disponível em:
https://pt.wikipedia.org/wiki/Gráfico_de_setores. Acesso em: 23 jun. 2023.
WIKIPÉDIA. Sistema Internacional de Unidades. [s. l.], 20 jun. 2023. Disponível em:
https://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_Internacional_de_Unidades. Acesso em: 23 jun. 2023.
WOLFRAM, Stephen. The Mathematica Book. 5.ed. [s. l.], Wolfram Media, 2003.
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COMPETÊNCIA ESPECÍFICA:
OBJETO(S) DE
HABILIDADE(S):
CONHECIMENTO:
PLANEJAMENTO
TEMA DE ESTUDO: Matemática financeira.
DURAÇÃO: 7 aulas.
PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
A) CONTEXTUALIZAÇÃO/ABERTURA:
Assim como o tema anterior, Matemática financeira também está por toda parte. Praticamente todos
os dias nos deparamos com alguma situação envolvendo finanças: um Pix, um boleto, um
investimento, uma compra ou venda etc. É melhor decidir com conhecimento de causa.
Para motivar a turma, apresente a seguinte situação. Uma pessoa deseja comprar um televisor, mas
não possui o valor total. Ela tem duas opções: financiar a compra ou fazer um investimento. No
primeiro caso, ela disporá do bem imediatamente, mas provavelmente pagará um valor significativo de
juros. No segundo caso, terá que esperar um pouco mais, mas não pagará juros e talvez até reste
algum valor. E o tempo do investimento pode ser menor do que o tempo do financiamento. O que
fazer? Esta situação será explorada nas atividades.
B) DESENVOLVIMENTO:
AULA 1 - CÁLCULOS ENVOLVENDO PORCENTAGENS
Comece definindo porcentagem e dando exemplos. Faça a observação de que, na Matemática, um
mesmo valor pode ser representado de diferentes formas, conforme o contexto. Por exemplo:
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Explique e exemplifique bem os conceitos e os dois problemas básicos envolvendo porcentagem:
− Fator de aumento.
− Fator de diminuição.
− Fator de atualização (generalização dos anteriores).
− Dado um valor, determinar certa porcentagem dele.
− Dados dois valores, determinar qual porcentagem um valor representa do outro.
Finalize buscando (ou pedindo aos estudantes) situações-problema envolvendo porcentagens.
Juntamente com todos, discuta e resolva essas situações-problema.
Em seguida, explique que o prazo deve ser compatível com a taxa de juros. Caso não sejam, o que
deve ser ajustado não é a taxa e sim o prazo. Por exemplo:
− Taxa de 1,5% ao mês por 5 anos: ajuste o prazo para 60 meses.
5
− Taxa de 10% ao ano por 5 meses: ajuste o prazo para ≈ 0,4167 ano.
12
Defina capital e montante. Apresente e dê vários exemplos de uso da fórmula dos juros simples. É
necessário explicar a nomenclatura dessa fórmula: M = montante; C = capital; i = taxa em decimal; t
= tempo ou prazo, compatível com a taxa.
Comente que juros simples quase nunca são usados na prática. Eles têm mais importância teórica do
que prática. Para finalizar, é interessante começar a associar as seguintes ideias: juros simples –
função linear afim – progressão aritmética.
12
por isso, por exemplo, que se devem evitar pagar juros do cartão de crédito ou financiamentos muito
longos (além do risco destes últimos). Especialmente a médio e longo prazo, o valor de uma dívida
pode fugir do controle, a menos que sejam usados sistemas de amortização específicos, como o SAC –
sistema de amortização constante.
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Imagem 14. Propriedades da potenciação.
Defina função exponencial: 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 (dê as condições para a base e para o expoente). Defina função
exponencial “generalizada”: 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑎 𝑥 (dê as condições adicionais para o parâmetro 𝑘). O gráfico
dessas funções só será abordado mais tarde.
14
Imagem 16 –Mudança de base no logaritmo.
Por fim, comente sobre as (muitíssimas) aplicações de logaritmos: escala logarítmica, espiral
logarítmica, Química (pH e pOH), Psicologia (tempo de reação), Arqueologia (datação por carbono-14),
Matemática avançada (teoria do caos; equações diferenciais; números complexos; fractais), Ciência da
Computação (análise de algoritmos; computação gráfica), Estatística, Música etc. etc.
RECURSOS:
Quadro ou lousa, caderno, calculadora, atividades impressas.
Aplicativos para celular ou computador, tais como GeoGebra®, Wolfram Alpha® etc.
Calculadora financeira e/ou planilha eletrônica.
PROCEDIMENTOS DE AVALIAÇÃO:
Ao final desta parte, o estudante deverá ser capaz de realizar os tópicos a seguir:
− Realizar diversos tipos de cálculos com porcentagens.
− Na Matemática financeira, operar com taxas de juros e fator de atualização.
− Na Matemática financeira, operar com juros simples e juros compostos.
− Ter noção de sistemas de amortização e fluxo de caixa.
− Conhecer e saber operar com funções exponenciais e logarítmicas.
− Utilizar tecnologia para explorar os temas anteriores e outros.
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ATIVIDADES
1 – Em determinado supermercado, um produto entrou em promoção, sendo dado um desconto de
10% sobre o valor original, passando a custar R$77,40. Faça o que se pede:
a) Mostre que para se obter o valor original não se pode aumentar o novo valor em 10%.
b) Qual era o valor original?
3 – Em cada equação, determine o valor de 𝑥 com quatro casas decimais. Use uma calculadora
científica:
a) 𝑥 + 10 = 15
b) 8 − 𝑥 = 15
c) 21𝑥 = 693
𝑥
d)
4=800
4
e)
𝑥=800
f) 𝑥 2 = 16
g) 𝑥 3 = 64
h) 3𝑥 = 6561
i) 3𝑥 = 5000
j) (Desafio) 4𝑥 + 6𝑥 = 9𝑥
4 – Joselito decidiu comprar um televisor que custa R$3.000,00, mas no momento ele só dispõe de
R$1.800,00. Ele sabe que o valor não vai mudar pelo prazo de um ano. Ele tem duas opções:
− Comprar financiado, com taxa de juros de 3,5% a.m. Nesse caso, a prestação máxima que ele
pode pagar é de R$400,00.
− Investir os R$1.800,00 num banco que paga uma taxa de 2,5% ao mês. Neste caso, como ele
não ficou com o dinheiro, ele pode fazer aportes mensais de no máximo R$200,00 (exceto no
mês do resgate). O prazo será o mínimo necessário para resgatar o valor do televisor ou mais.
Analise as simulações a seguir e responda ao que se pede:
16
a) Explique as tabelas acima.
b) Vale mais a pena financiar o televisor ou investir no banco?
c) Para que sua resposta ao item anterior permaneça a mesma, qual deverá ser a taxa mínima
oferecida pelo banco?
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REFERÊNCIAS
ANDRADE, Thaís Marcelle de. Matemática Interligada. 1.ed. São Paulo: Scipione, 2020.
BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática Financeira Aplicada – Método Algébrico, HP-12C,
Microsoft Excel®. 3.ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010.
IEZZI, Gelson, et.al. Fundamentos de Matemática Elementar. 7.ed. São Paulo: Atual, 1993.
IEZZI, Gelson, et. al. Matemática – Volume único: Ensino Médio. 6.ed. São Paulo: Atual, 2015.
MINAS GERAIS. Secretaria do Estado de Educação. Currículo Referência de Minas Gerais: Ensino
Médio. Escola de Formação e Desenvolvimento Profissional de Educadores de Minas Gerais, [s. l.],
2022. Disponível em: https://curriculoreferencia.educacao.mg.gov.br/index.php/ens-medio/curriculo-
referencia-ensino-medio. Acesso em: 23 jun. 2023.
MINAS GERAIS. Secretaria do Estado de Educação. Plano de Curso: ensino médio. Escola de
Formação e Desenvolvimento Profissional de Educadores de Minas Gerais, [s. l.], 2022. Disponível em:
https://curriculoreferencia.educacao.mg.gov.br/index.php/plano-de-cursos-crmg. Acesso em: 23 jun.
2023.
WASHINGTON, Alexandre Duarte, Diferentes representações do mesmo valor. Belo Horizonte,
2023.
WASHINGTON, Alexandre Duarte, Fórmula dos juros simples. Belo Horizonte, 2023.
WASHINGTON, Alexandre Duarte, Fórmula dos juros compostos. Belo Horizonte, 2023.
WASHINGTON, Alexandre Duarte, Juros simples versus juros compostos. Belo Horizonte, 2023.
WASHINGTON, Alexandre Duarte, Propriedades da potenciação. Belo Horizonte, 2023.
WASHINGTON, Alexandre Duarte, Definição e propriedades do logaritmo. Belo Horizonte, 2023.
WASHINGTON, Alexandre Duarte, Mudança de base no logaritmo. Belo Horizonte, 2023.
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COMPETÊNCIA ESPECÍFICA:
OBJETO(S) DE
HABILIDADE(S):
CONHECIMENTO:
PLANEJAMENTO
TEMA DE ESTUDO: Grandezas e introdução à modelagem matemática.
DURAÇÃO: 6 aulas.
PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
A) CONTEXTUALIZAÇÃO/ABERTURA:
Para dar abertura a este planejamento, converse com a turma, apresentando algumas situações
corriqueiras:
− Uma pessoa fazendo caminhada a passos bem regulares.
− A água que sai no bebedouro ou que cai de uma cachoeira.
− O preço de uma dúzia de ovos.
− A rapidez com que os dados são ordenados numa coluna de uma planilha.
− Quanto mais uma motorista pisa no acelerador, mais combustível gasta, porém menos tempo
para chegar ao destino.
− Se um menino de quatro anos tem 1 m de altura, então aos oito anos terá 2 metros?
Primeiro, comente que todas essas ideias envolvem “grandezas”, isto é, elementos que podem ser
medidos de alguma maneira. Em seguida, conduza os estudantes a perceberem que, seja na natureza,
seja na tecnologia, padrões e modelos matemáticos estão presentes no cotidiano. Pois bem, o tema
desta parte são as grandezas e os modelos na Matemática.
B) DESENVOLVIMENTO:
AULA 1 - FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1° GRAU
Sequência sugerida:
− Defina (sem muito formalismo) função polinomial. Defina grau.
− Defina função polinomial do primeiro grau:
o Função linear afim: 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 com 𝑎 ≠ 0 e 𝑏 ≠ 0.
o Função linear: 𝑦 = 𝑎𝑥 com 𝑎 ≠ 0.
o Função constante: 𝑦 = 𝑏.
− Desenhe o formato geral dos gráficos desses três subcasos.
− Defina: 𝑎 = inclinação ou coeficiente angular.
− Defina: 𝑏 = intercepto 𝑦 ou coeficiente linear.
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Em seguida, mostre à turma o gráfico a seguir.
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Imagem 21 – O vértice da parábola.
Aproveite para diferenciar oposto de inverso. O oposto de 7 é igual a −7, enquanto o inverso de 7 é
1
igual a . Em particular, o inverso de um valor positivo é positivo.
7
Na sequência, comente que, se duas grandezas são diretamente proporcionais, então quando uma
aumenta, a outra também aumenta. Quando uma diminui, a outra também diminui, mas não vale a
recíproca! Exemplo: 𝑦 = 𝑥 + 10. Quando uma aumenta, a outra aumenta; quando uma diminui, a outra
diminui; mas elas não são diretamente proporcionais: se uma duplica, a outra não necessariamente
duplica.
Analogamente, se duas grandezas são inversamente proporcionais, então quando uma aumenta, a
outra diminui e quando uma diminui, a outra aumenta. Também não vale a recíproca! Exemplo: 𝑥 +
𝑦 = 10. Quando uma aumenta, a outra diminui; quando uma diminui, a outra aumenta; mas elas não
são inversamente proporcionais: se uma duplica, a outra não necessariamente se reduz à metade.
Exemplos:
− G.D.P.: movimento retilíneo uniforme – velocidade e distância.
− G.I.P.: gases perfeitos – pressão e volume.
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Imagem 22 – Diagrama esquemático da regra de três simples (R3S).
A regra de três composta (R3C) nada mais é do que aplicações sucessivas da regra de três simples.
Apresente também diversos exemplos da sua aplicação.
RECURSOS:
Quadro ou lousa, caderno, calculadora, atividades impressas.
Aplicativos para celular ou computador, tais como GeoGebra®, Wolfram Alpha® etc.
PROCEDIMENTOS DE AVALIAÇÃO:
Ao final desta parte, o estudante deverá ser capaz de realizar os tópicos a seguir:
− Definir e saber utilizar função polinomial do 1° grau.
− Definir e saber utilizar função polinomial do 2° grau.
− Definir e reconhecer grandezas direta ou inversamente proporcionais.
− Saber trabalhar com regra de três simples ou composta.
− Utilizar tecnologia para explorar os temas anteriores e outros.
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ATIVIDADES
1
1 – Seja 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 10. Responda o que se pede.
2
a) Calcule 𝑓(6).
b) Determine o intercepto 𝑦.
c) Determine o intercepto 𝑥, isto é, a raiz ou zero dessa função.
d) Faça o estudo de sinal da função.
e) Determine todos os valores de 𝑥 para os quais se tenha 𝑓(𝑥) = 3,5.
f) Determine todos os valores de 𝑥 para os quais se tenha 𝑓(𝑥) = −30.
g) Esboce o gráfico da função.
h) Qual o valor máximo ou mínimo da função?
3 – Se 25 operários trabalhando 10 horas por dia, abriram um canal de 238 metros de comprimento
em 17 dias, quantos operários serão necessários para abrir 686 metros do mesmo canal em 25 dias de
7 horas de trabalho?
Tendo isso em mente, explique o seguinte esquema para resolução da questão anterior:
24
REFERÊNCIAS
ANDRADE, Thaís Marcelle de. Matemática Interligada. 1.ed. São Paulo: Scipione, 2020.
COORDENADAS do Vértice de uma Parábola. Mundo Educação. [s. l.], 02 jan. 2009. Disponível em:
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/coordenadas-vertice-uma-parabola.htm. Acesso em:
23 jun. 2023.
DESMOS. Gráficos Online. [s. l.], 08 mai. 2018. Disponível em: https://www.geogebra.org/?lang=pt.
Acesso em: 09 mar. 2023.
GEOGEBRA. Aplicativos Matemáticos. [s. l.], [s. d.]. Disponível em:
https://www.desmos.com/calculator?lang=pt-BR. Acesso em: 22 jun. 2023.
IEZZI, Gelson, et.al. Fundamentos de Matemática Elementar. 7.ed. São Paulo: Atual, 1993.
IEZZI, Gelson, et. al. Matemática – Volume único: Ensino Médio. 6.ed. São Paulo: Atual, 2015.
MINAS GERAIS. Secretaria do Estado de Educação. Currículo Referência de Minas Gerais: Ensino
Médio. Escola de Formação e Desenvolvimento Profissional de Educadores de Minas Gerais, [s. l.],
2022. Disponível em: https://curriculoreferencia.educacao.mg.gov.br/index.php/ens-medio/curriculo-
referencia-ensino-medio. Acesso em: 23 jun. 2023.
MINAS GERAIS. Secretaria do Estado de Educação. Plano de Curso: ensino médio. Escola de
Formação e Desenvolvimento Profissional de Educadores de Minas Gerais, [s. l.], 2022. Disponível em:
https://curriculoreferencia.educacao.mg.gov.br/index.php/plano-de-cursos-crmg. Acesso em: 23 jun.
2023..
WASHINGTON, Alexandre Duarte, Gráfico de uma reta. Belo Horizonte, 2023.
WASHINGTON, Alexandre Duarte, Significados geométricos de 𝒂 e 𝒃. Belo Horizonte, 2023.
WASHINGTON, Alexandre Duarte, Raiz ou zero da função 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 + 𝒃. Belo Horizonte, 2023.
WASHINGTON, Alexandre Duarte, A parábola de 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 (𝒂 ≠ 𝟎). Belo Horizonte, 2023.
WASHINGTON, Alexandre Duarte, Significados geométricos de 𝒂, 𝒃 e 𝒄. Belo Horizonte, 2023.
WASHINGTON, Alexandre Duarte, Diagrama esquemático da regra de três simples (R3S). Belo
Horizonte, 2023.
WASHINGTON, Alexandre Duarte, Diagrama esquemático da regra de três composta (R3C).
Belo Horizonte, 2023.
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COMPETÊNCIA ESPECÍFICA:
OBJETO(S) DE
CONHECIMENTO: HABILIDADE(S):
PLANEJAMENTO
TEMA DE ESTUDO: Modelagem matemática e aplicações I.
DURAÇÃO: 4 aulas.
PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
A) CONTEXTUALIZAÇÃO/ABERTURA:
Inicialmente, pergunte aos estudantes se eles já receberam no celular um desafio do tipo “descubra o
próximo número da sequência”. Se alguns deles tiverem desafios desse tipo, brinque com a turma para
ver quem acerta o valor esperado – e porquê.
Em seguida, remeta à aula de Biologia, por exemplo. No processo de divisão celular conhecido como
mitose, uma célula gera duas, que geram quatro, que geram oito e assim por diante. Conduza os
estudantes a perceberem que, nesse processo repetitivo de duplicação, a quantidade de células
aumenta muito, muito rapidamente. Mostre esta tabela:
B) DESENVOLVIMENTO:
AULA 1 - FUNÇÃO EXPONENCIAL
Nesta aula, proceda ao fechamento da parte teórica da função exponencial. Defina seu domínio e sua
imagem. Apresente e explique seu gráfico.
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Imagem 24 – Domínio, imagem e gráfico da função exponencial.
Peça aos estudantes que deem exemplos adicionais. Em seguida, divida a turma em grupos e faça o
seguinte jogo. Cada grupo deve criar uma sequência segundo uma certa lógica. (A lógica não pode ser
muito difícil! Convém que o docente valide as sequências escolhidas antes de continuar.) Depois, cada
grupo apresenta para a turma os nove primeiros valores da sequência criada e os outros grupos devem
tentar determinar o décimo valor, justificando, isto é, não vale simplesmente “chutar”.
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AULA 3 - PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS (P.G.)
Faça a revisão da definição, notação e terminologia de progressão geométrica. Escreva alguns
exemplos na lousa.
Imagem 25 – Fórmulas da progressão Geométrica (P.G.).
É bem importante destacar que a progressão geométrica não possui crescimento quadrático, mas sim
crescimento exponencial. O crescimento da função exponencial é muito maior do que o crescimento
da função quadrática. Segue uma imagem esclarecedora:
Ainda nesta aula, treine as habilidades de manipular informação em uma progressão geométrica.
− Dado o primeiro termo e a razão, encontrar um outro termo.
− Dados dois termos e suas posições distintas, encontrar a razão.
− Dados dois termos e suas posições distintas, encontrar mais um termo diferente.
− Dado o primeiro termo, a razão e uma quantidade finita, encontrar a soma de todos.
− Dado o primeiro termo e uma razão no intervalo (−1, 1), encontrar a soma de todos os infinitos
termos da progressão.
− Dada a soma de uma P.G. infinita e o primeiro termo, encontrar a razão.
− Dada a soma de uma P.G. infinita e a razão, encontrar o primeiro termo.
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AULA 4 - DISCUSSÃO DAS ATIVIDADES
Nesta aula, tire eventuais dúvidas das atividades propostas.
RECURSOS:
Quadro ou lousa, caderno, calculadora, atividades impressas.
Aplicativos para celular ou computador, tais como GeoGebra®, Wolfram Alpha® etc.
PROCEDIMENTOS DE AVALIAÇÃO:
Ao final desta parte, o estudante deverá ser capaz de realizar os tópicos a seguir:
− Conhecer domínio, imagem e gráfico da função exponencial.
− Ter noção de algumas aplicações da função exponencial.
− Definir e conhecer sequências numéricas (também chamadas de sucessões ou progressões).
− Saber trabalhar com progressões aritméticas ou geométricas.
− Utilizar tecnologia para explorar os temas anteriores e outros.
29
ATIVIDADES
1 – Considerando as funções a seguir, faça o que se pede.
b) Em um mesmo sistema de eixos, esboce os gráficos dessas três funções. Todos os pontos da
tabela anterior devem aparecer em todos os três gráficos.
2 – A fórmula dos juros compostos é: 𝑀 = 𝐶 ⋅ (1 + 𝑖)𝑡 . Isso é uma função exponencial, que por sua vez
tem a ver com uma progressão geométrica.
a) Qual o primeiro termo da P.G.? Qual sua interpretação financeira?
b) Qual a razão da P.G.? Qual sua interpretação financeira?
3 – Uma P.G. tem oito termos, sendo o primeiro termo igual a 4,5. A soma dos oito termos vale
exatamente 4574,63671875. Determine a razão desta P.G.
4 – Uma sequência que não contém zeros é ao mesmo tempo uma progressão aritmética e uma
progressão geométrica. Mostre que essa sequência tem todos os termos iguais.
Sugestão: seja 𝑟 a razão da sequência vista como uma P.A. e seja 𝑎 um dos seus termos. Então três
termos consecutivos serão (𝑎 − 𝑟, 𝑎, 𝑎 + 𝑟), nenhum deles nulo, de acordo com o enunciado. Como
𝑎 (𝑎+𝑟 )
a sequência também é uma P.G., deve-se ter
(𝑎−𝑟 )
= .
𝑎
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REFERÊNCIAS
ANDRADE, Thaís Marcelle de. Matemática Interligada. 1.ed. São Paulo: Scipione, 2020.
IEZZI, Gelson, et.al. Fundamentos de Matemática Elementar. 7.ed. São Paulo: Atual, 1993.
IEZZI, Gelson, et. al. Matemática – Volume único: Ensino Médio. 6.ed. São Paulo: Atual, 2015.
MINAS GERAIS. Secretaria do Estado de Educação. Currículo Referência de Minas Gerais: Ensino
Médio. Escola de Formação e Desenvolvimento Profissional de Educadores de Minas Gerais, [s. l.],
2022. Disponível em: https://curriculoreferencia.educacao.mg.gov.br/index.php/ens-medio/curriculo-
referencia-ensino-medio. Acesso em: 23 jun. 2023.
MINAS GERAIS. Secretaria do Estado de Educação. Plano de Curso: ensino médio. Escola de
Formação e Desenvolvimento Profissional de Educadores de Minas Gerais, [s. l.], 2022. Disponível em:
https://curriculoreferencia.educacao.mg.gov.br/index.php/plano-de-cursos-crmg. Acesso em: 23 jun.
2023.
WASHINGTON, Alexandre Duarte, Domínio, imagem e gráfico da função exponencial. Belo
Horizonte, 2023.
WASHINGTON, Alexandre Duarte, Fórmulas da progressão Geométrica (P.G.). Belo Horizonte,
2023.
WASHINGTON, Alexandre Duarte, O crescimento de uma P.G. Belo Horizonte, 2023.
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COMPETÊNCIA ESPECÍFICA:
OBJETO(S) DE
CONHECIMENTO: HABILIDADE(S):
PLANEJAMENTO
TEMA DE ESTUDO: Modelagem matemática e aplicações II.
DURAÇÃO: 4 aulas.
PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
A) CONTEXTUALIZAÇÃO/ABERTURA:
Continuando com a ideia de padrões e modelos, inicie perguntando aos estudantes o que eles
entendem pelas frases a seguir (todos os temas serão discutidos mais tarde):
− “Ela teve que pagar juros sobre juros para o agiota”.
− “A população neste bairro cresceu exponencialmente e o trânsito ficou péssimo”.
− “Antena parabólica”.
− “O malthusianismo (teoria do final dos anos 1800) afirmava que, enquanto os meios de
subsistência crescem em progressão aritmética, a população cresce em progressão geométrica,
e a melhoria da humanidade seria impossível sem limites rígidos para a reprodução”.
Na sequência, pergunte:
• Os bancos cobrarem “juros sobre juros” é legal ou ilegal?
• Uma população crescer exponencialmente é literal ou é uma figura de linguagem?
• Não seria mais simples e barato construir antenas semi esféricas?
• Por que a teoria malthusiana não se concretizou?
Todos os temas desta parte já foram vistos anteriormente. Assim, o foco desta vez são as aplicações
desses temas. Pela ordem: Matemática financeira, função de segundo grau e função exponencial. Para
cada um desses temas, será adotado um modelo de projeto como sugestão padrão.
B) DESENVOLVIMENTO:
AULA 1 - APLICAÇÕES: MATEMÁTICA FINANCEIRA
Projeto: comparar aplicações financeiras – investimentos, por exemplo. Uma sugestão é a seguinte.
Uma pessoa precisa decidir entre investimentos de instituições diferentes, como:
− Banco Alfa: taxa de 1,1% ao mês com taxação de 2% sobre o valor final, no resgate.
− Banco Beta: taxa de 1,2% ao mês com taxação de 2,5% sobre o valor final, no resgate.
− Banco Gama: taxa de 1,3% ao mês com taxação de 3% sobre o valor final, no resgate.
− Banco Delta: taxa de 1,4% ao mês com taxação de 3,5% sobre o valor final, no resgate.
Divida a turma em grupos, associando a cada grupo um banco fictício diferente, com condições
diferentes. Repasse o mesmo capital para todos os grupos, mas cada um com prazo diferente.
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• Momento 1 – cada grupo: apresentação do resultado.
• Momento 2 – todos os grupos: comparação das situações.
• Fechamento – professor com todos os grupos.
− 𝑠0 = posição inicial;
− 𝑣0 = velocidade inicial;
− 𝑎 = aceleração constante (que caracteriza o M.R.U.V).
Divida a turma em seis grupos. Cada grupo deverá explicar um dos tópicos a seguir:
− Interpretação do sinal da posição (𝑠 < 0; 𝑠 = 0; 𝑠 > 0).
− Interpretação do sinal da velocidade (𝑣 < 0; 𝑣 = 0; 𝑣 > 0).
− Interpretação do sinal da aceleração (𝑎 < 0; 𝑎 = 0; 𝑎 > 0).
− Explicação da diferença entre os conceitos: distância e variação da posição (𝛥𝑠).
− Dedução da equação auxiliar (⋆) a partir das outras equações.
− História das ciências exatas: Evangelista Torricelli (1608–1647).
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No modelo da dinâmica populacional, a população cresce sem limites. É o caso, por exemplo de
uma cultura de microrganismos. Já no caso do crescimento logístico, existe um limiar para o
crescimento, imposto por condições limitantes, tais como: espaço, disponibilidade de água,
disponibilidade de alimentos, presença de predadores, condições climáticas, restrições de reprodução,
doenças, mecanismos externos de controle etc.
O modelo do crescimento logístico é bem mais complicado. Comente com a turma, mas evite entrar
em nuances sobre a fórmula – ou omita-a. O gráfico do crescimento logístico pode ser feito via
aplicativo. Por outro lado, o modelo da dinâmica populacional é simpático. Escolha as constantes da
fórmula, faça uma tabela e construa o gráfico na lousa. Dessa forma, os estudantes ficarão
convencidos dos formatos de ambos os gráficos.
Divida a turma em quatro grupos. Cada grupo deverá fazer uma apresentação (na mesma aula). As
apresentações sugeridas são as seguintes:
− Grupo 1 – dinâmica populacional. Para um mesmo valor de 𝑦0 , escolha diversos valores para
𝑘 > 0 e verifique como o gráfico se altera. Em particular, compare a situação 0 < 𝑘 < 1 com a
situação 𝑘 > 1.
− Grupo 2 – crescimento logístico. Fixe o valor de 𝑡0 e o valor de 𝑦0 . Fixe o valor de 𝑀 > 𝑦0 e
observe o que acontece para diferentes valores de 𝑘 > 0.
− Grupo 3 – crescimento logístico. Fixe o valor de 𝑡0 e o valor de 𝑦0 . Fixe o valor de 𝑘 > 0 e
observe o que acontece para diferentes valores de 𝑀 > 𝑦0 .
− Grupo 4 – crescimento logístico. Escolha os valores de: 𝑡0 ; 𝑦0 ; 𝑘; 𝑀. Seja uma porcentagem 𝑝%
satisfazendo 0% < 𝑝% ≤ 100%. Calcule em qual instante 𝑡 a população será 𝑦 = 𝑝% 𝑑𝑒 𝑦0 .
Mostre que na teoria nunca se tem 𝑝 = 100%, mas na prática sim.
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RECURSOS:
Quadro ou lousa, caderno, calculadora, atividades impressas.
Aplicativos para celular ou computador, tais como GeoGebra®, Wolfram Alpha® etc.
PROCEDIMENTOS DE AVALIAÇÃO:
Ao final desta parte, o estudante deverá ser capaz de realizar os tópicos a seguir:
− Trabalhar com aplicações de Matemática financeira.
− Trabalhar com aplicações de função polinomial do segundo grau.
− Trabalhar com aplicações de função exponencial.
− Utilizar tecnologia para explorar os temas anteriores e outros.
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ATIVIDADES
1 – Uma empresária deseja aplicar 1 milhão de reais no Banco Pindorama (nome fictício). Ela somente
efetuará o resgate após conseguir o valor de 4 milhões de reais ou mais. A taxa oferecida pelo banco é
de 1,4% a.m. O fundo de investimentos em questão só permite saques após um número inteiro de
meses. Quantos meses, no mínimo, ele terá que deixar o dinheiro nesse banco?
2 – Um carro está à velocidade de 90 km/h. Subitamente, um cachorro entra pela rua e para bem em
sua trajetória, a uma distância de 40 metros do carro. O motorista demora meio segundo para reagir e
pisar no freio. Após ele ter pisado no freio, em quanto tempo, no máximo, o veículo deve parar a fim
de não atingir o cão? Considere o movimento em linha reta o tempo todo.
3 – Uma cultura contém 3 microrganismos no instante inicial. Após 10 dias, existem 240 indivíduos
nessa população. Determine a população 20 dias após o início da formação da cultura. Admita que a
população cresce sem fatores limitantes.
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REFERÊNCIAS
ANDRADE, Thaís Marcelle de. Matemática Interligada. 1.ed. São Paulo: Scipione, 2020.
IEZZI, Gelson, et.al. Fundamentos de Matemática Elementar. 7.ed. São Paulo: Atual, 1993.
IEZZI, Gelson, et. al. Matemática – Volume único: Ensino Médio. 6.ed. São Paulo: Atual, 2015.
MINAS GERAIS. Secretaria do Estado de Educação. Currículo Referência de Minas Gerais: Ensino
Médio. Escola de Formação e Desenvolvimento Profissional de Educadores de Minas Gerais, [s. l.],
2022. Disponível em: https://curriculoreferencia.educacao.mg.gov.br/index.php/ens-medio/curriculo-
referencia-ensino-medio. Acesso em: 23 jun. 2023.
MINAS GERAIS. Secretaria do Estado de Educação. Plano de Curso: ensino médio. Escola de
Formação e Desenvolvimento Profissional de Educadores de Minas Gerais, [s. l.], 2022. Disponível em:
https://curriculoreferencia.educacao.mg.gov.br/index.php/plano-de-cursos-crmg. Acesso em: 23 jun.
2023.
SANTOS, Reginaldo J. Introdução às Equações Diferenciais Ordinárias. Belo Horizonte: Imprensa
Universitária da UFMG, 2013.
WIKIPÉDIA. Evangelista Torricelli. [s. l.], 09 out. 2021. Disponível em:
https://pt.wikipedia.org/wiki/Evangelista_Torricelli. Acesso em: 23 jun. 2023.
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