MAPA EM 2 Ano Matematica PF

MATERIAL DE
APOIO PEDAGÓGICO
PARA APRENDIZAGENS
2º Ano Ensino Médio
Matemática e
suas Tecnologias
VOLUME 1
GOVERNO DO ESTADO DE MINAS GERAIS
SECRETARIA DE ESTADO DE EDUCAÇÃO DE MINAS GERAIS
ESCOLA DE FORMAÇÃO E DESENVOLVIMENTO PROFISSIONAL DE EDUCADORES
SUMÁRIO
Matemática
Planejamento 1: Introdução a Progressão Aritmética ......................... pág 01
Planejamento 2: Soma dos termos de uma P.A .................................. pág 06
Planejamento 3: Termo geral de uma progressão geométrica ............ pág 10
Planejamento 4: Soma de uma P.G finita e infinita ............................. pág 14
Planejamento 5: Sistemas lineares - parte 1 ....................................... pág 17
Planejamento 6: Sistemas lineares - parte 2 ..................................... pág 20
MATERIAL DE APOIO PEDAGÓGICO PARA APRENDIZAGENS SIGNIFICATIVAS
ANO DE ESCOLARIDADE REFERÊNCIA ANO LETIVO
2 o ano Ensino Médio 2022
COMPONENTE CURRICULAR ÁREA DE CONHECIMENTO
Matemática Matemática e suas Tecnologias
COMPETÊNCIA
TÓPICO
Números e Álgebra.
OBJETO(S) DE
HABILIDADE(S):
CONHECIMENTO:
OBJETO(S) DE CONHECIMENTO HABILIDADE(S)
Funções afins. Sequên- 9.1. Reconhecer uma progressão aritmética em um conjunto de dados apre-
cias numéricas: progres- sentados em uma tabela, sequência numérica ou em situações-problema.
sões aritméticas (P.A.). 9.2. Identificar o termo geral de uma progressão aritmética.
PLANEJAMENTO
TEMA DE ESTUDO: Introdução a Progressão Aritmética.
DURAÇÃO: 4 aulas.
PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS:
A) CONTEXTUALIZAÇÃO/ABERTURA:
1) Apresentar aos alunos três situações nas quais podemos observar a presença de fatos que obe-
decem à determinada ordem e estabelecem um padrão, a partir disso, explicar o conceito de
sequências e de termos de uma sequência.
2) Classificar as sequências numéricas em finitas e infinitas; e apresentar um exemplo de sequên-
cia finita e um exemplo de sequência infinita.
3) Mostrar que uma sequência onde o padrão é constante e que encontrar o termo seguinte consti-
tui em adicionar esse padrão ao termo anterior, é uma progressão aritmética.
4) Apresentar um exemplo de PA infinita e indagar aos alunos como seria determinar qualquer termo.
Depois construir a fórmula do termo geral de uma PA, e explorar o exemplo inicialmente proposto.
Ciências Humanas
e Sociais Aplicadas
VOLUME 1
1
B) DESENVOLVIMENTO:
Itens 1 e 2 - Sugestão de conteúdo a ser passado no quadro:
A sequência numérica nada mais é do que uma sequência de números.
Alguns exemplos de sequência numérica:
a) Sequência de números pares (0,2,4,6,8…);

b) Sequência dos naturais menores que 6 (1, 2, 3, 4, 5);
c) Sequência de números primos (2,3,5,7,11,…).
A lei de formação de uma progressão é a regra que rege essa sequência. Uma sequência pode ser
finita ou infinita.
Finita: quando possui uma quantidade limitada de termos.
Exemplo: Escreva uma sequência de números naturais menores que 10.
Infinita: quando possui uma quantidade ilimitada de termos.

Exemplo: Sequência dos números múltiplos de 5.
Uma sequência pode ser crescente, decrescente, constante ou oscilante.

Crescente: quando o termo é sempre menor que seu sucessor.
Decrescente: quando o termo é sempre maior que seu sucessor.
Constante: quando o termo é sempre igual ao seu sucessor.
Oscilante: quando há termos maiores e menores que o seu sucessor.
Existem casos especiais de sequência conhecidos como progressão aritmética ou progressão

geométrica.
Item 3 - Sugestão de conteúdo a ser passado no quadro:

Uma sequência representa uma Progressão Aritmética quando a diferença entre um termo e o seu
anterior é sempre constante.
Exemplo:
Vamos escrever os seis primeiros termos de uma Progressão Aritmética sabendo que seu primeiro
termo é 4 e sua razão é igual a 2. Conhecendo a1 =4 e r = 2, concluímos que essa progressão começa
em 4 e vai aumentando de 2 em 2. Sendo assim, podemos descrever os seus termos.
a1 = 4
a2 = 4+ 2 = 6
a3 = 6 + 2 = 8
Ciências Humanas
a4 = 8 + 2 = 10
e Sociais Aplicadas
a5= 10 + 2 = 12
a6 = 12 + 2 =14
Essa PA é igual a (4,6,8,10,12,14 …).
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Item 4 - Sugestão de conteúdo a ser passado no quadro:
Descrever a PA a partir de uma fórmula facilita que encontremos qualquer um dos seus termos.
Para encontrar um termo qualquer de uma PA, utilizamos a seguinte fórmula:
an=a1 + (n-1).r
n→ é a posição do termo;
a1→ é o primeiro termo;
r → razão.
Exemplo:
Dada a P.A (1, 5, 9, 13, …), encontre o décimo quinto e o vigésimo termo dessa sequência.
RECURSOS:
• Quadro, caderno, atividades impressas.
PROCEDIMENTOS DE AVALIAÇÃO:
Deverá ser feita ao longo de toda aula baseada no desempenho individual.
ATIVIDADES
1 – Qual o próximo número da sequência (240, 120, 60, 30, …)?
2 – Determine o valor de x na sequência (5, 8, 7, 10, 9, 12, 11, x).
3 – O preço de uma máquina nova é R$ 150 000,00. Com o uso, seu valor sofre uma redução de
R$ 2 500,00 por ano. Sendo assim, por qual valor o proprietário da máquina poderá vendê-la daqui
a 5 anos?
Ciências Humanas
e Sociais Aplicadas
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3
4 – O número mensal de passagens de uma determinada empresa aérea aumentou no ano passado
nas seguintes condições: em janeiro foram vendidas 33.000 passagens; em fevereiro, 34.500; em
março, 36.000. Esse padrão de crescimento manteve-se para os meses subsequentes. Quantas
passagens foram vendidas por essa empresa em julho do ano passado?
a) 38.000
b) 40.500
c) 41.000
d) 42.000
e) 48.000
5 – (Enem PPL 2021) Uma confeiteira pretende divulgar em um sítio da internet os doces que pro-
duz, mas só fará isso se acreditar que o número de acessos por semana compensará seu gasto
com a divulgação. Por isso, pediu que lhe enviassem dados sobre o número de acessos ao sítio nas
últimas 5 semanas e recebeu o gráfico a seguir.
A confeiteira acredita que, se o número de acessos mantiver o mesmo crescimento semanal para
as próximas 5 semanas, ao final desse período valerá a pena investir na divulgação.
O número de acessos que a confeiteira acredita ser suficiente para que a divulgação no sítio valha
a pena é
a) 162.
b) 170.
c) 172.
d) 312.
e) 320.
6 – A quantidade de números naturais múltiplos de 7 que existem entre 20 e 1200 é:

a) 171
b) 170
c) 169
d) 85
e) 70
7 – O perímetro de um triângulo retângulo é igual a 6m e as medidas dos lados estão em progressão
Ciências Humanas
aritmética. A área desse triângulo é igual a:
a) 3
e Sociais Aplicadas
b) 2
c) 1,5
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d) 3,5
4
REFERÊNCIAS
Escola de Formação e Desenvolvimento Profissional de Educadores de Minas Gerais. Plano de Cur-
so – Ensino Médio – 2022. Belo Horizonte: Secretaria de Educação do estado de Minas Gerais.
IEZZI, Gelson, et.al. Fundamentos de Matemática Elementar. 7.ed. São Paulo: Atual, 1993. 1-10 v.
IEZZI, Gelson, et. al. Matemática – Volume único. Ensino Médio. 6.ed. São Paulo: Atual, 2015.
Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira – INEP. ENEM – Provas e Ga-
baritos. Disponível em: < https://www.gov.br/inep/pt-br/areas-de-atuacao/avaliacao-e-exames-
-educacionais/enem/provas-e-gabaritos>. Acesso em: 10 mar. 2022.
PAIVA, M. R. Matemática. Volume 2. 2ª ed. São Paulo: Moderna, 2010.
SOUZA, J. R. Novo olhar: matemática. Volume 1. 2ª ed. São Paulo: FTD, 2013.
Ciências Humanas
e Sociais Aplicadas
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5
TÓPICO
OBJETO(S) DE
HABILIDADE(S):
CONHECIMENTO:
Funções afins.
Sequências numéricas: 23.1 Resolver problemas que envolvam a soma dos n primeiros ter-
progressões aritméticas mos de uma progressão aritmética.
(P.A.).
PLANEJAMENTO
TEMA DE ESTUDO: Soma dos termos de uma P.A.
DURAÇÃO: 4 aulas
Apresentar um problema para que os alunos encontrem a soma de uma quantidade pequena de
termos de uma P.A. Depois ampliar para uma quantidade maior de termos. Mostrar aos alunos que
a fórmula facilita a resolução dos exercícios.
B) DESENVOLVIMENTO:
Sugestão de texto:
Gauss e a soma dos termos de uma PA
Conta-se que o matemático alemão Gauss foi o primeiro a usar um método alternativo para so-
mar termos de uma PA, sem precisar somar termo por termo. Posteriormente, sua ideia de simpli-
ficação de passos acabou tornando-se a fórmula usada para encontrar a soma.
Conta a história que, quando criança, Gauss teve um professor que aplicou um castigo para toda
a turma: somar todos os números de 1 até 100. Gauss percebeu que as somas do primeiro número
com o último, do segundo com o penúltimo e assim por diante davam o mesmo resultado:
1 + 100 = 101
2 + 99 = 101
3 + 98 = 101…
Seu maior trabalho foi observar que, como estava somando dois números, encontraria 50 resulta-
dos iguais a 101, ou seja, a soma de todos os números de 1 até 100 poderia ser encontrada fazendo
50 .101 = 5050.
O resultado obtido por Gauss, pode ser conferido por meio da fórmula da soma dos termos de uma
PA. Observe:
Ciências Humanas
e Sociais Aplicadas
VOLUME 1
6
RECURSOS:
Quadro, caderno, calculadora, atividades impressas.
Deverá ser feita ao longo de toda aula baseada no desempenho individual.
ATIVIDADES
1 – Um ciclista percorre 40 km na primeira hora; 34 km na segunda hora, e assim por diante, forman-
do uma progressão aritmética. Quantos quilômetros percorrerá em 6 horas?
2 – Uma fábrica de tratores agrícolas, que começou a produzir em 2010, estabeleceu como meta
produzir 20 000 tratores até o final do ano de 2025. O gráfico abaixo mostra as quantidades de tra-
tores produzidos no período 2010-2017.
Admitindo que a quantidade de tratores produzidos evolua nos anos seguintes segundo a mesma
razão de crescimento do período 2010-2017, é possível concluir que a meta prevista
a) deverá ser atingida, sendo superada em 80 tratores.
Ciências Humanas
b)
c)
deverá ser atingida, sendo superada em 150 tratores.
não deverá ser atingida, pois serão produzidos 1850 tratores a menos.
e Sociais Aplicadas
d)
e)
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3 – (Ueg 2019) Uma concessionária vende um carro financiado em dois anos, e as parcelas men-
sais serão da seguinte maneira: a primeira parcela será de R$ 1 000,00 e as demais decresceram
R$20,00 ao mês. Ao final do financiamento, esse carro terá custado ao comprador
a) R$ 18 480,00
b) R$ 18 240,00
c) R$ 18 000,00
d) R$ 17 760,00
e) R$ 17 520,00
4 – A soma dos 30 termos iniciais da P.A (2, 9, 16, …) é:
a) 205
b) 3 105
c) 6 210
d) 207
e) 203
5 – Qual é a soma dos números ímpares entre 10 e 1000?
a) 249 980
b) 1 010
c) 249 975
d) 499 950
e) 999
6 – Em uma PA de razão 5, cuja soma dos 50 primeiros termos é 6625, qual é o 50º elemento?
a) 245
b) 12 250
c) 13 250
d) 255
e) 10
7 – Qual é a soma de todos os naturais que vão de 1 até 100?
a) 5 050
Ciências Humanas
b) 10 100
e Sociais Aplicadas
c)
d)
e)
1 010
50 500
8 080
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8
8 – Com o intuito de construir um jogo novo, foram colocados sobre um tabuleiro de xadrez grãos de
arroz da seguinte maneira: na primeira casa, foram colocados 5 grãos; na segunda, 10; na terceira,
15; e assim por diante. Quantos grãos de arroz foram usados nesse tabuleiro?
a) 5 050
b) 6 060
c) 20 400
d) 10 400
e) 20 800
Disponível em: <https://img.freepik.com/vetores-gratis/figuras-na-ilustracao-isometrica-do-tabuleiro-de-xadrez_575670-185.
jpg?w=2000>. Acesso em: 03 abr. 2022.
REFERÊNCIAS
CAMPOS, filho, F. F. Algoritmos Numéricos. 2.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.
Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira – INEP. ENEM – Provas e
Gabaritos. Disponível em: <https://www.gov.br/inep/pt-br/areas-de-atuacao/avaliacao-e-exa-
mes-educacionais/enem/provas-e-gabaritos>. Acesso em: 10 mar. 2022.
Ciências Humanas
e Sociais Aplicadas
VOLUME 1
9
TÓPICO
OBJETO(S) DE
HABILIDADE(S):
CONHECIMENTO:
Função exponencial.
Sequências numéricas: 11.1 Identificar o termo geral de uma progressão geométrica.
progressões geométricas
(P.G.).
PLANEJAMENTO
TEMA DE ESTUDO: Termo geral de uma progressão geométrica
DURAÇÃO: 4 aulas
Reconhecer uma progressão geométrica e calcular seu termo geral.
B) DESENVOLVIMENTO:
Problemas que envolvem grandezas que crescem ou decrescem através do produto por uma cons-
tante podem ser resolvidos com o auxílio de Progressão geométrica P. G., ou seja, P. G. é toda se-
quência numérica em que cada termo a partir do segundo é igual ao produto do anterior por uma
constante q.
Classificação da PG em:
• PG crescente são aquelas que os valores dos termos vão crescendo. a1>0 e q > 1, por exem-
plo: (1,2,4,8,16,32,64, ...) a1<0 e 0<q<1, por exemplo (-1 , -1/2, -1/4, ....)
• PG decrescente são aquelas que os termos vão diminuindo. a1 > 0 e 0 < q < 1, por exemplo:
(64, 32, 16,8, ...) a1 < 0 e q > 1, por exemplo: (-2,-4,-8, ...)
• PG constante são aquelas que os termos são iguais, ou seja, a razão é igual a q = 1. Por exem-
plo: (5,5,5,5, …, 5)
• PG oscilante é uma PG que os seus termos intercalam em negativos e positivos, ou seja, que
a1 ≠ 0 e q < 0.
EXEMPLO: Uma doença partiu do contágio de 50 pessoas. Ao fim da primeira semana constatou-se
que haviam 100 pessoas contaminadas, ao fim da segunda semana o número de contaminados al-
cançou 200 pessoas. Quantas pessoas estarão contaminadas ao final da sexta semana?
Bom para termos uma sequência, qual a condição para que ela seja uma PG? A partir do segundo é
igual ao produto do anterior por uma constante q a partir do segundo é igual ao produto do anterior
Ciências Humanas
por uma constante q para encontrar a razão q podemos seguir fazer o seguinte procedimento divi-
dindo o termo atual pelo anterior.
e Sociais Aplicadas
q = a2/a1
q = 100/50
VOLUME 1
q=2
10
Agora faremos as relações das componentes e partindo dessa relação podemos deduzir a fórmula
geral da P.G.
Para assim acharmos o a7 que é o número de contaminados no fim da 6° semana.

Onde: a1 = 50, a2 = 100, a3 = 200 e q = 2 temos:
an = a1 . q(n-1)
a7 = 50 . 2(7-1)
a7 = 50 . 26
a7 = 50 . 64
a7 = 3200
RECURSOS:
Quadro, caderno, calculadora, atividades impressas e folhas brancas.
A avaliação será feita através da participação do aluno na exposição de ideias e soluções dos pro-
blemas.
ATIVIDADES
1 – Determine as razões das seguintes progressões geométricas e depois classifique em crescente,
decrescente, constante e oscilante ou alternada:
(1, 3, 9, 27, …)
(-1, -4, -16, -64, …)
(2, 2, 2, 2, 2, …)
(2, -4, 8, -16, 32, -64, …)
2 – Determine o décimo termo de uma progressão geométrica cujo primeiro termo é 2 e a razão é 3.
a) 10
Ciências Humanas
b) 29
c) 30
e Sociais Aplicadas
d) 39 366
e) 130 000
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11
3 - Um carro, cujo preço à vista é R$ 24 000,00, pode ser adquirido dando-se uma entrada e o res-
tante em 5 parcelas que se encontram em progressão geométrica. Um cliente que optou por esse
plano, ao pagar a entrada, foi informado que a segunda parcela seria de R$ 4 000,00 e a quarta par-
cela de R$ 1 000,00. Quanto esse cliente pagou de entrada na aquisição desse carro?
4 - Em um experimento com uma colônia de bactérias, verificou-se que uma bactéria se divide em
duas a cada hora. Nessas condições, o número de bactérias originadas de uma só bactéria dessa
colônia, depois de 12 horas, será:
a) 4 096
b) 8 192
c) 1 048
d) 3 096
e) 2 048
5 – Determine o primeiro elemento de uma P.G. com 8 elementos onde o último termo é 512 e a razão é 2.
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
6 – O oitavo termo de uma PG é 256 e o quarto termo dessa mesma PG é 16. Calcule seu primeiro
termo.
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
7 – Considerando a PA de razão 2 e primeiro termo igual a 2, e a PG que possui mesma razão e mes-
mo primeiro termo, qual a diferença entre o décimo termo da PG e o décimo termo da PA?
a) 20
Ciências Humanas
b)
c)
1 028
1 208
e Sociais Aplicadas
d)
e)
1 228
1 004
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8 – (Famema 2020) A progressão geométrica (a1, a2,a3, …) tem primeiro termo a1 = e razão 5. A pro-
gressão geométrica (b1, b2, b3, …) tem razão . Se a5 = b4, então b1 é igual a
a)
b) 5
c)
d) 15
e)
REFERÊNCIAS
Ciências Humanas
e Sociais Aplicadas
VOLUME 1
13
TÓPICO
OBJETO(S) DE
HABILIDADE(S):
CONHECIMENTO:
Função exponencial.
Sequências numéricas: 25.1 Resolver problemas que envolvam a soma dos n primeiros ter-
progressões geométricas mos de uma progressão geométrica.
(P.G.).
PLANEJAMENTO
TEMA DE ESTUDO: Soma de uma P.G finita e infinita
DURAÇÃO: 4 aulas
Apresentar um problema para que os alunos encontrem a soma de uma quantidade finita de termos
de uma P.G. Mostrar também para uma quantidade infinita de termos, alertando que o módulo da
razão tem que ser menor do que 1.
B) DESENVOLVIMENTO:
Dada a P.G (3, 6, 12, 24, 48), a soma dos temos dessa PG será 3 + 6 + 12 + 24 + 48 = 93. Fazer essa
soma é fácil, pois ela possui apenas cinco elementos, mas caso seja necessário somar os termos
de uma PG com muitos elementos, o que é mais complicado, existe uma fórmula que facilita esses
cálculos. Veja:
A fórmula para obter a soma dos n elementos de uma PG finita é:
Disponível em: <https://helpdesk.fapam.edu.br/escoladeeducacao/wp-content/uploads/2020/11/Formula-termo-geral-PG-

1024x335.jpg>. Acesso em 31 mar. 2022.
Quando a PG dada for infinita, a soma dos termos de seus elementos não será determinada pela ex-
pressão citada. A expressão matemática responsável pela soma dos termos de uma PG infinita será:
Ciências Humanas
e Sociais Aplicadas
VOLUME 1
14
Nessa fórmula, S é a soma dos termos da PG infinita, a1 é o primeiro termo dessa progressão e q é
sua razão. Essa fórmula só é válida para progressões geométricas cujo |q| < 1.
Exemplo:
Determine a soma dos termos da PG infinita na qual o primeiro termo é 10 e a razão é ½ .
Na fórmula da soma dos termos da PG infinita, teremos:
RECURSOS:
Quadro, caderno, calculadora, atividades impressas e folhas brancas.
A avaliação será feita através da participação do aluno na exposição de ideias e soluções dos pro-
blemas.
REFERÊNCIAS
1 – Determine a soma dos oito primeiros termos da PG: (1, 2, 4...)
2 – Determine a soma dos elementos da seguinte PG:
3 – Uma fábrica de chocolates inaugurada em 2010 produziu 1 000 ovos de páscoa nesse mesmo
ano. Considerando que sua produção aumentou em 50% a cada ano, em 2015, o dono da fábrica
poderá dizer que em toda a história da fábrica foram produzidos quantos ovos?
Ciências Humanas
4 – Qual é a quantidade de elementos da PG finita (1, 2, 4, …), sabendo que a soma dos termos dessa
e Sociais Aplicadas
PG é 1 023?
VOLUME 1
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5 – (Enem PPL 2019) Alguns modelos de rádios automotivos estão protegidos por um código de
segurança. Para ativar o sistema de áudio, deve-se digitar o código secreto composto por quatro
algarismos. No primeiro caso de erro na digitação, a pessoa deve esperar 60 segundos para digitar
o código novamente. O tempo de espera duplica, em relação ao tempo de espera anterior, a cada
digitação errada. Uma pessoa conseguiu ativar o rádio somente na quarta tentativa, sendo de 30
segundos o tempo gasto para digitação do código secreto a cada tentativa. Nos casos da digitação
incorreta, ela iniciou a nova tentativa imediatamente após a liberação do sistema de espera.
6 – O tempo total, em segundo, gasto por essa pessoa para ativar o rádio foi igual a
a) 300.
b) 420.
c) 540.
d) 660.
e) 1 020.
7 – A soma de todos os números que estão nas suas dez primeiras linhas é igual a
a) 826.
b) 682.
c) 862.
d) 628.
REFERÊNCIAS
Ciências Humanas
e Sociais Aplicadas
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TÓPICO
Funções Elementares e Modelagem.
OBJETO(S) DE
HABILIDADE(S):
CONHECIMENTO:
Sistema linear. Incógni- 27.1. Reconhecer se uma tripla ordenada é a solução de um sistema
tas. Solução. Interpre- de equações lineares.
tação geométrica. Clas-
sificações. Métodos de 27.2. Resolver um sistema de equações lineares com duas variáveis e
resolução. Discussão. interpretar o resultado geometricamente.
PLANEJAMENTO
TEMA DE ESTUDO: Sistemas lineares - parte 1
DURAÇÃO: 8 aulas
Pode-se começar apresentando alguma situação cuja solução envolva a resolução de um sistema
linear (duas equações e duas incógnitas). Por exemplo: uma pessoa vai a uma lanchonete e com-
pra alguns salgados e um refrigerante, informando-se a quantia gasta. Outra pessoa vai à mesma
lanchonete e compra alguns salgados e dois refrigerantes, informando-se a quantia gasta. De uma
terceira pessoa apresentam-se informações semelhantes, desejando-se saber qual foi seu gasto.
As informações das duas primeiras pessoas possibilitam montar um sistema linear, cuja solução é
o preço do salgado e o preço do refrigerante; com essas informações, pode-se calcular o gasto da
terceira pessoa.
B) DESENVOLVIMENTO:
Apresente uma situação-problema para motivação, envolvendo duas equações e duas incógnitas,
com solução única. Resolva-a (com participação da turma). Use essa situação-problema para apre-
sentar a nomenclatura do assunto: sistema linear, incógnita, solução, grau de liberdade etc.
Apresente a interpretação geométrica desse sistema – duas retas concorrentes no plano carte-
siano, sendo a solução do sistema representada por seu ponto de interseção. Se possível, use um
aplicativo para mostrar a conexão Álgebra-Geometria.
Apresente uma segunda situação-problema com infinitas soluções e respectiva interpretação
geométrica – duas retas paralelas coincidentes no plano cartesiano.
Apresente uma terceira situação-problema sem solução e respectiva interpretação geométrica –
duas retas paralelas distintas no plano cartesiano.
Introduza a nomenclatura: sistema possível (ou compatível) e determinado; sistema possível (ou
Ciências Humanas
compatível) e indeterminado; sistema impossível (ou incompatível). Se possível, use novamente um
aplicativo para mostrar os três casos. É importante deixar bem claro o que significa uma dupla (x, y)
e Sociais Aplicadas
ser ou não uma solução de um sistema linear, tanto algebricamente como geometricamente.
Passe para os três métodos básicos de solução de um sistema linear 2x2: substituição, compara-
VOLUME 1
ção e adição. Se possível, use um aplicativo para resolver sistemas – de preferência do tipo que não
somente apresenta a solução, mas também mostra o gráfico e os passos da resolução.
17
(Opcional) Apresente o quarto método: regra de Cramer. Se optar por incluir este tópico, deixar
claro a condição de aplicação do método: determinante não nulo da matriz incompleta.
Apresente um sistema linear de terceira ordem, cuja solução seja simples o suficiente para ser
resolvido sem necessidade de técnicas elaboradas. Resolva-o, com participação da turma. Deverá
ser percebido que nem todos os métodos que se aplicam a um sistema 2x2 serão viáveis para um
sistema 3x3.
Apresente um sistema linear 3x3 (S.P.D.) e resolva-o por escalonamento.
Apresente oficialmente as operações elementares por linha, para escalonamento.
(Opcional) Resolva esse mesmo sistema pela regra de Cramer.
(Opcional) Apresente a interpretação geométrica de sistemas de terceira ordem.
Apresente um sistema 3x3 parametrizado (exemplo: parâmetro (a)) e efetue a discussão desse sis-
tema (para quais valores de (a) o sistema é S.P.D.? S.P.I.? S.I.?).
Se possível, use tecnologia para ilustrar sistemas 3x3 (inclusive parametrizados).
Discuta a solução de sistemas lineares de quarta ordem ou superiores.
RECURSOS:
Quadro-negro, caderno, calculadora, atividades impressas.
Aplicativo para celular.
Ao final desta parte, o(a) estudante deverá ser capaz de realizar os tópicos a seguir.
Diferenciar um sistema linear de um sistema não linear.
Definir conceitos como incógnita, solução etc.
Para sistemas lineares, estabelecer a conexão entre a representação algébrica e a correspondên-
cia geométrica, especialmente no caso 2x2.
Para sistemas 2x2, saber aplicar os métodos: substituição, comparação e adição.
Para sistemas gerais, saber a classificação: S.P.D. – S.P.I. – S.I.
Discutir um sistema linear.
Se possível, usar tecnologia para trabalhar com sistemas lineares.
ATIVIDADES
1 – Joana foi a uma farmácia, comprou dois esparadrapos e um frasco de “dipirona” em gotas por
R$18,00. Daniel foi à mesma farmácia, comprou um esparadrapo e dois frascos de “dipirona” em
gotas por (todos nas mesmas apresentações de Joana) por R$21,00. Eduarda foi também à essa
Ciências Humanas
farmácia e comprou quatro esparadrapos e três frascos de “dipirona” em gotas (respectivamente
e Sociais Aplicadas
das mesmas marcas e quantidades de Joana e Daniel). Quantos reais foram pagos por Eduarda?
VOLUME 1
18
2 – Para cada sistema linear, verifique quais nuplas são soluções.
x+y=4
a) (1, 3) (3, 1)
x – y = –2
x+y=4
b) (2, 2) (1/2, 7/2)
2x + 2y = 8
x + 3y = 10
c) (a, (10–a)/3) (10–3b, b)
–3x – 9y = –30
x+y=4
d) (3, 1) (c, 4–c)
4x + 4y = 15
x+y+z=5
e) 2x + y – 3z = –10 (1, 0, 4) (–15, 20, 0)
4x + 4y + 5z = 24
3 – Na questão anterior, classifique cada um dos sistemas lineares como S.P.D. (sistema possível e
determinado), S.P.I. (sistema possível e indeterminado) ou S.I. (sistema impossível).
4 – Considere o sistema linear: 11x + 3y = 10; 5x + 7y = 13.
a) Resolva-o pelo método da substituição.

b) Resolva-o pelo método da comparação.
c) Resolva-o pelo método da adição.
d) (Opcional) Resolva-o pelo método da regra de Cramer.
5 – Resolva este sistema linear: x + 2y + 3z = 6; 4y + 7z = 17; 9z = 27.
6 – Seja (a) um número real. Discuta este sistema linear: 2x + y = a; a²x + 2y = 4.
REFERÊNCIAS
Ciências Humanas
Lopes, Ronaldo André et. al. Temas de Matemática no ENEM: praticar e aprender. Alfenas - MG:
Editora Universidade Federal de Alfenas, 2020.
e Sociais Aplicadas
VOLUME 1
19
COMPETÊNCIA
Funções Elementares e Modelagem
OBJETO(S) DE
HABILIDADE(S):
CONHECIMENTO:
Aplicações de sistemas 27.3. Resolver problemas que envolvam um sistema de equações
lineares. lineares.
PLANEJAMENTO
TEMA DE ESTUDO: Sistemas lineares - parte 2
DURAÇÃO: 4 aulas
Pode-se começar apresentando um panorama de áreas da Matemática, áreas afins da Matemática
e mesmo outras áreas que a utilizam como ferramenta. Para cada uma delas, citar onde se encai-
xam sistemas lineares. Por exemplo: Matemática, Ciência da Computação, Estatística, Engenha-
rias, Física, Química, Economia, Medicina etc.
B) DESENVOLVIMENTO:
Eleja algumas dentre as escolhas abaixo para apresentar e resolver situações-problema cujas so-
luções utilizem sistemas lineares:
• [Matemática] No plano cartesiano, construção de curvas por pontos dados.
• [Física/Engenharias] Solução de circuitos simples com leis de Kirchhoff.
• [Ciência da Computação] Pesquisa operacional: algoritmo simplex em casos simples.
• [Matemática/ Ciência da Computação] interpolação de “spline” cúbica.
• [Ciência da Computação/Estatística] cadeias de Markov em casos simples.
• [Economia] Modelo econômico de Leontief em casos simples.
• [Engenharias] Distribuições de temperatura de equilíbrio (incluindo método de Monte Carlo).
• [Medicina] Tomografia computadorizada.
• [Química] Balanceamento de equação química.
RECURSOS:
Quadro-negro, caderno, calculadora, atividades impressas.
Aplicativo para celular.
Ao final desta parte, o(a) estudante deverá ser capaz de realizar os tópicos a seguir.
Ciências Humanas
Dar exemplos de situações-problemas solúveis através de sistemas lineares.
e Sociais Aplicadas
Resolver algumas dessas situações.
Se possível, usar tecnologia para trabalhar com aplicações de sistemas lineares.
VOLUME 1
20
ATIVIDADES
1 – (ENEM-2018) Uma loja vende automóveis em N parcelas iguais sem juros. No momento de con-
tratar o financiamento, caso o cliente queira aumentar o prazo, acrescentando mais 5 parcelas,
o valor de cada uma das parcelas diminui R$200,00, ou se ele quiser diminuir o prazo, com 4 par-
celas a menos, o valor de cada uma das parcelas sobe R$ 232,00. Considere ainda que, nas três
possibilidades de pagamento, o valor do automóvel é o mesmo, todas são sem juros e não é dado
desconto em nenhuma das situações.
Nessas condições, qual é a quantidade N de parcelas a serem pagas de acordo com a proposta
inicial da loja?
a) 20
b) 24
c) 29
d) 40
e) 58
2 – (ENEM-2018) Durante uma festa de colégio, um grupo de alunos organizou uma rifa. Oitenta
alunos faltaram à festa e não participaram da rifa. Entre os que compareceram, alguns compra-
ram três bilhetes, 45 compraram 2 bilhetes, e muitos compraram apenas um. O total de alunos que
compraram um único bilhete era 20% do número total de bilhetes vendidos, e o total de bilhetes
vendidos excedeu em 33 o número total de alunos do colégio.
Quantos alunos compraram somente um bilhete?
a) 34
b) 42
c) 47
d) 48
e) 79
3 – Descubra a equação y = ax² + bx + c da parábola que passa pelos pontos A(1, 3), B(2, 7) e C(4, 21).
4 - Descubra os valores das correntes I1, I2 e I3 no circuito a seguir:
Ciências Humanas
e Sociais Aplicadas
VOLUME 1
21
5 – Encontre valores de (x1) e (x2) que maximizam z = (x1)+3(x2) sujeito às condições: 2(x1)+3(x2) <=
24; (x1)–(x2) <= 7; (x2) <= 6; (x1) >= 0; (x2) >= 0.
6 – Encontre uma “spline” cúbica passando pelos pontos A(0, 1), B(1, 7), C(2, 27), D(3, 79) e E(4, 181).
7 – O João está alegre ou está triste. Se ele está alegre num dia, a chance de ele estar alegre também
no dia seguinte é de 80%. Se ele está triste num dia, a chance de ele estar triste também no dia
seguinte é de 1/3. A longo prazo, quais são as chances de João estar alegre ou triste em um dado
dia qualquer?
8 – Três vizinhos têm hortas nos fundos de suas casas. O vizinho A cria tomates, o vizinho B cria
milho e o vizinho C cria alface. Eles concordam em dividir a colheita entre eles como segue:
Tomates Milho Alface

Vizinho A 1/2 1/3 1/4
Vizinho B 1/3 1/3 1/4
Vizinho C 1/6 1/3 1/2
Total 1 1 1
Considere um sistema de economia fechada e que a colheita de menor preço deve ter um preço de
R$100,00. Nessas condições, que preços os vizinhos devem dar às suas respectivas colheitas para
satisfazer a condição de equilíbrio do sistema?
9 – Qual é a matriz 2x2 que possui o autovalor –2 associado ao autovetor (3y, y) e o autovalor 3 asso-
ciado ao autovetor (–2y, y)?
Ciências Humanas
e Sociais Aplicadas
VOLUME 1
22
10 – Equilibre a equação química a seguir:
KMnO4 + H2SO4 + NaNO2 K2SO4 + MnSO4 + NaNO3 + H2O
REFERÊNCIAS
BOLDRINI, José Luiz et. el. Álgebra Linear. 3.ed. São Paulo: Harbra, 1980.
ANTON, Howard. RORRES, Chris. Álgebra Linear com Aplicações. 8.ed. Porto Alegre: Bookman, 2001.
Lopes, Ronaldo André et. al. Temas de Matemática no ENEM: praticar e aprender. Alfenas - MG:
Editora Universidade Federal de Alfenas, 2020.
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e Sociais Aplicadas
VOLUME 1
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MATERIAL DE

2º Ano Ensino Médio

a) Sequência de números pares (0,2,4,6,8…);

Infinita: quando possui uma quantidade ilimitada de termos.

Uma sequência pode ser crescente, decrescente, constante ou oscilante.

Existem casos especiais de sequência conhecidos como progressão aritmética ou progressão

Item 3 - Sugestão de conteúdo a ser passado no quadro:

2 – Determine o valor de x na sequência (5, 8, 7, 10, 9, 12, 11, x).

6 – A quantidade de números naturais múltiplos de 7 que existem entre 20 e 1200 é:

7 – O perímetro de um triângulo retângulo é igual a 6m e as medidas dos lados estão em progressão

a) deverá ser atingida, sendo superada em 80 tratores.

4 – A soma dos 30 termos iniciais da P.A (2, 9, 16, …) é:

5 – Qual é a soma dos números ímpares entre 10 e 1000?

7 – Qual é a soma de todos os naturais que vão de 1 até 100?

Para assim acharmos o a7 que é o número de contaminados no fim da 6° semana.

Disponível em: <https://helpdesk.fapam.edu.br/escoladeeducacao/wp-content/uploads/2020/11/Formula-termo-geral-PG-

2 – Determine a soma dos elementos da seguinte PG:

Funções Elementares e Modelagem.

4 – Considere o sistema linear: 11x + 3y = 10; 5x + 7y = 13.

a) Resolva-o pelo método da substituição.

5 – Resolva este sistema linear: x + 2y + 3z = 6; 4y + 7z = 17; 9z = 27.

6 – Seja (a) um número real. Discuta este sistema linear: 2x + y = a; a²x + 2y = 4.

4 - Descubra os valores das correntes I1, I2 e I3 no circuito a seguir:

Tomates Milho Alface

KMnO4 + H2SO4 + NaNO2 K2SO4 + MnSO4 + NaNO3 + H2O

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