M05-GEO.

ESP-L8: POLIEDROS

Prof. Marcos Miola

01. Demonstre que :Soma dos ângulos de todas as faces 10. (ITA 1969) Numa superfície poliédrica convexa aberta, o número
S  (V  2).360 de faces é 6 e o número de vértices é 8. Então o número de arestas
é:
02. (Ita 2011) Considere as afirmações: A. ( ) 8 B. ( ) 11 C. ( ) 12
I. Existe um triedro cujas 3 faces tem a mesma medida  = 120°. D. ( ) 13 E. ( ) 14
II. Existe um ângulo poliédrico convexo cujas faces medem,
respectivamente, 30°, 45°, 50°, 50° e 170°. 11. (U.F.S. Carlos) Um poliedro convexo tem 8 faces.O número de
III. Um poliedro convexo que tem 3 faces triangulares,1 face arestas de uma certa face ( denotada por K ) é igual a 1 6
quadrangular, 1 face pentagonal e 2 faces hexagonais tem 9 do número de arestas do poliedro, enquanto a soma dos ângulos
vértices. das faces restantes é 30 radianos. A face K é um
IV. A soma das medidas de todas as faces de um poliedro convexo A. ( ) triângulo B. ( ) quadrilátero C. ( ) pentágono
com 10 vértices e 2880°. D. ( ) hexágono E. ( ) heptágono
Destas, é(são) correta(s) apenas
A. ( ) II. B. ( ) IV. C. ( ) II e IV. 12. (OBM 2005) Uma das faces de um poliedro é um hexágono regular.
D. ( ) I, II e IV. E. ( ) II, III e IV. Qual é a quantidade mínima de arestas que esse poliedro pode
ter?
03. (Ita 2018) Um poliedro convexo tem faces triangulares e A. ( ) 7 B. ( ) 9 C. ( ) 12
quadrangulares. Sabe-se que o número de arestas, o número de D. ( ) 15 E. ( ) 18
faces triangulares e o número de faces quadrangulares formam,
nessa ordem, uma progressão aritmética de razão  5. Determine 13. (Escola Naval 2001) Um poliedro convexo de 25 arestas tem faces
o número de vértices do poliedro. triangulares, quadrangulares e pentagonais. O número de faces
quadrangulares vale o dobro do número de faces pentagonais e o
04. (Escola Naval) Os átomos de uma molécula de determinada número faces triangulares excede o de faces quadrangulares em 4
substância química se dispõem sobre os vértices de um poliedro unidades. Pode-se afirmar que o número de vértices deste poliedro
convexo, cuja soma dos ângulos de todas as faces vale 2,088.104 é:
graus. Sabendo que o poliedro tem 90 arestas, o menor inteiro que A. ( ) 14 B. ( ) 13 C. ( ) 11 D. ( ) 10
se deve somar ao número de faces para obter um quadrado
perfeito é 14. (Cesgranrio 1995) Um poliedro convexo tem 14 vértices. Em 6
A. ( ) 1 B. ( ) 4 C. ( ) 7 D. ( ) 8 E. ( ) 17 desses vértices concorrem 4 arestas, em 4 desses vértices
concorrem 3 arestas e, nos demais vértices, concorrem 5 arestas.
05. (ITA) Considere um prisma regular em que a soma dos ângulos O número de faces desse poliedro é igual a:
internos de todas as faces é 7200°. O número de vértices deste A. ( ) 16 B. ( ) 18 C. ( ) 24
prisma: D. ( ) 30 E. ( ) 44
A. ( ) 11 B. ( ) 32 C. ( ) 10 D. ( ) 20 E. ( ) 22
15. (O.B.M 1999) Uma bola de futebol é feita com 32 peças de couro.
06. (ITA) Um poliedro convexo de 10 vértices apresenta faces 12 delas são pentágonos regulares e as outras 20 são hexágonos
triangulares e quadrangulares. O número de faces quadrangulares, também regulares. Os lados dos pentágonos são iguais aos dos
o número de faces triangulares e o número total de faces formam, hexágonos de forma que possam ser costurados.Cada costura une
nesta ordem, uma progressão aritmética. O número de arestas é: dois lados de duas dessas peças. Quantas são as costuras feitas
A. ( ) 10 B. ( ) 17 C. ( ) 20 D. ( ) 22 E. ( ) 23 na fabricação de uma bola de futebol?
A. ( ) 60 B. ( ) 64 C. ( ) 90
07. (FEI 1961) Um poliedro convexo com faces quadrangulares e D. ( ) 120 E. ( ) 180
pentagonais tem 15 arestas. Calcular o número de faces
quadrangulares e o número de faces pentagonais, sabendo-se que 16. (Fuvest) O ponto P é vértice de um poliedro e pertence a K faces.
a soma de todos os ângulos dos polígonos das faces é 32 retos. Cada face tem n lados. Determinar o número de segmentos
contidos nas faces e que unem P a um outro vértice qualquer do
08. (ITA 1964) Num poliedro convexo, o número de faces é igual a 6; poliedro.
o de vértices é 8. Qual o número de arestas dessa figura?
17. (ITA 1998) Um poliedro convexo de 16 arestas é formado por faces
09. (FFCLUSP 1969) São dados dois poliedros convexos e fechados triangulares e quadrangulares. Seccionando-o por um plano
P1 e P2, cujos números de faces, vértices e arestas serão convenientemente escolhido, dele se destaca um novo poliedro
representados respectivamente por F1, V1, A1 e F2, V2, A2. Sabe-se convexo, que possui apenas faces quadrangulares. Este novo
que os números 4, V1, V2, A1, A2 ,14 estão em progressão poliedro possui um vértice a menos que o original e uma face a
aritmética. Quais serão os valores corretos de F1 e F2? mais que o número de faces quadrangulares do original. Sendo m
A. ( ) F1 =6 , F2 = 6 B. ( ) F1 = 6 , F2 = 8 e n, respectivamente, o número de faces e o número de vértices
C. ( ) F1 = 8 , F2 = 6 D. ( ) F1 = 6 , F2 =10 do poliedro original, então:
E. ( ) F1 = 8 , F2 = 8 A. ( ) m = 9, n = 7 B. ( ) m = n = 9
C. ( ) m = 8, n = 10 D. ( ) m = 10, n = 8
E. ( ) m = 7, n = 9

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18. Era uma vez na Grécia... 27. (ITA 2009) Os pontos A=(3;4) e B=(4;3) são vértices de um cubo em
Platão, filósofo grego que viveu no quarto século a.c., utilizava que AB é uma de suas arestas. A área lateral do octaedro cujos
poliedros regulares na explicação de fenômenos científicos. vértices são os pontos médios das faces do cubo é:
Relacionava a terra ao hexaedro, o ar ao octaedro, a água ao
icosaedro e o universo simbolizava pelo dodecaedro. Na porta de 28. (Pucrj 2010) Um octaedro é um poliedro regular cujas faces são
sua academia, em Atenas, lia-se: " Que ninguém que ignore a oito triângulos equiláteros, conforme indicado na figura.
geometria entre aqui ”.
A matemática moderna, no entanto, define um poliedro como
sendo de Platão se, e somente se:
I. Todas as faces têm o mesmo número n de arestas.
II.Todos os ângulos poliédricos têm o mesmo número m de
arestas.
III. Satisfaz a relação de Euler: V - A + F = 2
Como conseqüência dessa definição, tem-se a seguinte
propriedade: Existem cinco, e somente cinco, classes de
poliedros de Platão.Demonstre esse teorema.

19. Prove que : Para um octaedro de aresta a:

a) 3F  2A a) Qual é a sua área total?
b) Qual é o seu volume?
b) 3V  2A c) Qual é a distância entre duas faces opostas?
c) A  6  3F
d) A  6  3V 29. (FEIUC1964) Determinar o volume do octaedro cujos vértices são
os pontos médios das faces do paralelepípedo reto-retângulo de
20. (OCM2000 ) Se um poliedro convexo tem 6 vértices e 12 arestas, dimensões a, b, c .
prove que toda face dele é um triângulo.
30. Determine o volume do sólido que se obtém ligando os centros das
21. (OCM2004) A cada aresta de um poliedro convexo P associamos faces de um octaedro regular.
o inteiro -1. A cada vértice associamos o produto dos números
associados às arestas nele incidentes e a cada face associamos 31. Indique que tipo de região é a secção determinada no octaedro
o produto dos números associados a seus lados . Se SP é a soma regular PABCDL, por um plano que contem os pontos médios das
de todos esses números , prove que : arestas PC, AD e LC.
a) SP  2  4k tal que k  4
32. Em um hexaedro regular ABCD-EFGH, tomam-se os centros O1 e
b) Para cada k  4 , existe um poliedro convexo P tal que
O2 das faces DCGH e EFGH respectivamente, tal que a distância
SP  2  4k
de O1 a BO2 é √33 . Calcule a área da superfície do poliedro
conjugado inscrito no hexaedro.
22. Seja V3 o número de vértices triédricos e F3 o número de faces
triangulares. Prove que F3  V3  8 33. Em um octaedro regular L-ABCD-S , tomam-se os pontos K e E em
BL e SD respectivamente, tal que KE contem o centro O do
23. (Irlanda 1998) Uma face de uma pirâmide com base quadrada e octaedro, SE=2KB e a área da região triangular EOD é 3. Calcule o
todas as arestas iguais a 2 é colada a uma face de um tetraedro volume do octaedro.
com todas as arestas iguais a 2 para formar um poliedro. Qual é o
perímetro do novo poliedro (soma de todas as arestas ) ? 34. Em um octaedro regular P-ABCD-Q, tomam-se os pontos médios
M,N, T e H de AQ, DQ, CQ e QB respectivamente. Calcule a razão
24. (OBM 1990) Dado um poliedro convexo com um número ímpar de dos volumes entre o octaedro e a pirâmide P-MHTN.
faces, mostre que existe pelo menos uma face com um número par
de lados . 35. (EESCUSP1955) Dado um tetraedro regular, estudar o poliedro P
que tem como vértice os pontos médios das arestas do tetraedro.
25. (OBM 1987) São dados um poliedro convexo e um ponto interior ao Se é o lado do tetraedro, calcular a área total e o volume de P.
poliedro. Prove que existe uma face do poliedro tal que a projeção
ortogonal do ponto no plano suporte desta face é interior à face. 36. (Ime 2015) Seja um tetraedro regular ABCD de aresta a e um
octaedro inscrito no tetraedro, com seus vértices posicionados nos
OCTAEDROS pontos médios das arestas do tetraedro. Obtenha a área da seção
do octaedro formada pelo plano horizontal paralelo à base do
26. (ITA1996) A aresta de um cubo mede x cm . A razão entre o volume tetraedro BCD, distando desta base de um quarto da altura do
e a área total do poliedro cujos vértices são os centros das faces do tetraedro.
cubo será: 3 2 3 2 3 3 2
A. ( ) a B. ( ) a C. ( ) a
3 3 3 192 96 32
A.  x cm B.  x cm C.  x cm
9 18 6 3 3 2 9 3 2
3 3 D. ( ) a E. ( ) a
D.  x cm E.  x cm 64 64
3 2

2
37. (Pucrj 2015) O octaedro regular de aresta 4 é cortado em 4 fatias 41. (IME 2007) O volume do octaedro cujos vértices são os pontos
da mesma espessura por planos paralelos a um par de faces médios das arestas de um tetraedro regular do volume V é:
opostas, conforme a figura: V V V
A. ( ) B. ( ) C. ( )
2 4 8
2 3
D. ( ) V E. ( ) V
2 2

42. Seja PABCDQ um octaedro regular cuja aresta mede 6√2 . Se o

plano determinado pelos pontos médios de ̅̅̅̅ 𝐴𝑃 , ̅̅̅̅̅
𝑃𝐶 𝑒 ̅̅̅̅
𝐷𝑄
̅̅̅̅
intercepta a 𝑃𝐵 em T, calcule quanto dista T do plano do
quadrilátero ABCD.

43. Em um octaedro regular ABCDEF de centro O se traçam

a) Esboce as interseções entre o sólido e cada um dos planos. ̅̅̅̅
𝐵𝑄 𝑒 ̅̅̅̅̅
𝑂𝑀 perpendiculares a ̅̅̅̅
𝐴𝐸 𝑒 ̅̅̅̅
𝐵𝐸 respectivamente.
Calcule suas áreas. (Não utilize valores aproximados) Se 𝐴𝐵 = 𝑎, calcule a distancia entre as retas OM e BQ.
b) Calcule a distância entre dois planos de corte consecutivos.
c) Calcule os volumes dos quatro sólidos em que o octaedro foi DODECAEDRO E ICOSAEDRO
dividido.
44. (Uerj 1999) Um icosaedro regular tem 20 faces e 12 vértices, a
38. (IME 1983) Uma pirâmide de vértice V e base ABCD constitui a partir dos quais retiram-se 12 pirâmides congruentes. As medidas
metade de um octaedro regular de aresta a . das arestas dessas pirâmides são iguais a 1/3 da aresta do
a) Determine em função de a , os raios das esferas mediais( esferas icosaedro. O que resta é um tipo de poliedro usado na fabricação
que passam pelos pontos médios das arestas do poliedro) , de bolas. Observe as figuras.
circunscrita e inscrita.
b) marcam-se sobre VA e VB os segmentos VA’=VB’=x ; marcam-
se sobre VC e VD os segmentos VC’=VD’ =y .Supõe-se que x e y
variam sob a condição de x+y=a. Determine x e y , em função de a,
a2
de forma que a área do quadrilátero A’B’C’D’ seja igual a .
4

39. (UNICAMP2003) Considere um cubo cuja aresta mede 10 cm. O

sólido cujos vértices são os centros das faces do cubo é um Para confeccionar uma bola de futebol, um artesão usa esse novo
octaedro regular, cujas faces são triângulos eqüiláteros poliedro, no qual cada gomo é uma face. Ao costurar dois gomos
congruentes. para unir duas faces do poliedro, ele gasta 7 cm de linha.
a) Calcule o comprimento da aresta desse octaedro regular Depois de pronta a bola, o artesão gastou, no mínimo, um
b) Calcule o volume de mesmo octaedro. comprimento de linha igual a:
A. ( ) 7,0 m B. ( ) 6,3 m
40. (IME 2008) Um plano corta um cubo com aresta de comprimento 1 C. ( ) 4,9 m D. ( ) 2,1 m
passando pelo ponto médio de três arestas concorrentes no vértice
A e formando uma pirâmide, conforme a figura a seguir. Este 45. (OBM 84) Seja um dodecaedro regular de aresta a. Sejam F, F’ e
processo é repetido para todos os vértices. As pirâmides obtidas E, E’ dois pares de faces opostas. A partir dos centros destas quatro
são agrupadas formando um octaedro cuja área da superfície faces traçam-se perpendiculares de comprimento m, para fora do
externa é igual a: sólido. Sejam A,B,C,D os extremos das perpendiculares traçadas a
partir de F, E, F’ , E’ respectivamente. Mostre que ABCD é um
retângulo e ache a razão entre seus lados.

46. Mostre que o volume de um dodecaedro regular de aresta a é

5𝑎3
igual a √47+21√5.
2 10

47. Mostre que o volume de um icosaedro regular de aresta a é igual a

5𝑎3
√7+3√5 = 5
(3 + √5)𝑎3 .
6 2 12

2
A. ( ) B. ( ) 3 C. ( ) 1
3
D. ( ) 2 E. ( ) 2 2