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Lista1 VC
Lista1 VC
Lista1 VC
(a) z 5 = i
(b) z 8 = −1
(c) (z + 1)4 = 1 − i
1
9. Classifique cada um dos conjuntos abaixo em aberto, fechado ou nem
uma coisa nem outra. Para cada um deles, descreva o interior e a
fronteira. O interior é conexo?
(a) A = {z = x + iy; x ≥ 2 e y ≤ 4}
(b) B = z ∈ C; z < 1 ou z − 3 ≤ 1
(c) F = {z ∈ C; z 3 − 2z 2 + 5z − 4 = 0}
(d) G = z = x + iy; z + 1 ≥ 1 e x < 0
(e) H = {z = x + iy; −π ≤ y < π}
10. Calcule
(a) Log(−1)
(b) log(i)
√
3
(c) i
(d) (1 + i)i
(e) eLog(3+2i)
11. Verifique que cos(z̄) = cos z e sen(z̄) = senz
12. Resolva a equação senz + cos z = 0
π
13. Mostre que cos z = 0 se, e somente se, z = + nπ, n ∈ Z, e que
2
senz = 0 se, e somente se, z = nπ, n ∈ Z. Portanto, as extensões a
C das funções trigonométricas seno e cosseno reais não introduz novos
zeros.
14. Definimos o cosseno hiperbólico complexo, denotado por cosh z, e o seno
hiperbólico complexo, denotado por senhz, como
ez + e−z ez − e−z
cosh z = e senhz = .
2 2
Verifique as seguintes identidades:
(a) cosh2 z − senh2 z = 1
(b) cosh z = cos(iz)
(c) senh(z) = −isen(iz)
2
(d) cosh z = senh2 (x) + cos2 y
2
(e) senh z = senh2 (x) + sen2 y