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Lista - 3 - Metodos Matematicos
Lista - 3 - Metodos Matematicos
Lista - 3 - Metodos Matematicos
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1- Expandir as seguintes funções, segundo o que corresponder, em series de Taylor ou Laurent, em torno dos pontos
especificados. Determine em cada caso o raio de convergência da região na qual as expansões são válidas.
1
(a) f (z) = cosh(z), z0 = 0. (b) f (z) = senh(z), z0 = 0. c) f (z) = , z0 = 0.
z(z 3 + 1)
z 1
(d) f (z) = 2 , z0 = 1. (e) f (z) = , z0 = 2.
z −1 z(z − 2)
2- Determinar as singularidades de cada uma das seguintes funções e indicar se essas singularidades são iso-
ladas ou não. Caso as singularidades sejam isoladas, verificar se estas são removı́veis, pólos ou essenciais. (a > 0).
1 1 sen(1/z)
(a) , (b) , (c) ,
z2
+ a2 (z 2 − a2 )2 z 2 − a2
zeiz z −k
(d) 2 , (e) , 0 < k < 1.
z − a2 z+2
Em (e) usar o fato de que a função z −k com k não inteiro possui una linha de corte.
3- Das expansões em séries obtidas nos items (c), (d) e (e) do exercı́cio 1, por simples inspeção, determinar
os resı́duos nos polos em torno dos quais se fez a expansão.
4- Após determinar a ordem dos pólos das funções do exercı́cio 2 calcular os resı́duos nesses pólos. Dica:
Singularidades que não são isoladas não são pólos.
1 z 2 ez z
(a) , (b) , (c) , n = 1, 2, ...
z(ez − 1) 1 + ez 1 + zn
8- Demonstrar que
Z ∞
1 π/n
dx = , n = 2, 3, 4, ...
0 1 + xn sen(π/n)
Sugestão: Use o contorno da Fig. 1
FIG. 1:
9- (a) Demosntrar que f (z) = z 4 − 2 cos(2θ)z 2 + 1 tem zeros em eiθ , e−iθ , − eiθ e −e−iθ . (b) demonstrar que
Z ∞
dx π
4 2
=
−∞ x − 2 cos(2θ)x + 1 2senθ
10- Demonstrar que:
Z 2π
dθ 2π
2
= , para |t| < 1.
0 1 − 2t cos θ + t 1 − t2
Que acontece se |t| > 1?. Que acontece se |t| = 1?
11- Determinar:
Z 2π Z π
cos(2θ) dθ
(a) dθ, (b) .
0 5 − 4 cos(θ) 0 1 + sen2 θ
15- Avaliar:
∞
cos(bx) − cos(ax)
Z
dx, a > b > 0. Resposta : π(a − b).
−∞ x2
Sugestão:
R∞ Considere f (z) = (eibz − eiaz )/z 2 e idêntifique a integral com a parte real do valor principar de Cauchy
P −∞ f (x)dx.
FIG. 2:
onde −1 < a < 1. Note que z = 0 é um ponto de ramificação e o eixo real positivo é uma linha de corte.
4
FIG. 3: