Matemática

Matemática básica

Teoria

Operações com frações

As frações são uma forma de representar algumas quantias não inteiras. De maneira geral, dizemos
a
que uma fração, que representa um número racional, é um número escrito da forma , com a e b
b
3
sendo números inteiros, b ≠ 0. Um exemplo é a fração . Chamamos o número 3 de numerador e 4
4
de denominador dessa fração.

Aqui, focaremos em como realizar as quatro operações básicas entre frações.

1. Soma e Subtração
a) Entre frações de mesmo denominador: mantemos o denominador e somamos/subtraímos os
numeradores.
Exemplos:

2 5 2+5 8
+ = =
13 13 13 13

19 16 19 − 16 3
− = =
21 21 21 21

b) Entre frações de denominadores distintos:

Não conseguimos somar/subtração frações de denominadores distintos de imediato, uma vez
que os números estão divididos em partes de tamanhos distintos. Assim, devemos reescrever
as frações de modo a deixá-las com um denominador comum. Tal denominador comum será
o mmc dos denominadores originais.
Exemplos:

5 7
+ =?
12 18

Essas frações possuem denominadores distintos. Uma vez que mmc(12,18) =

36, realizaremos o seguinte procedimento:
● o denominador do resultado dessa conta será 36.

5 7
+ =
12 18 36
Matemática

● iremos dividir o novo denominador pelos antigos. Aqui, 36 ÷ 12 = 3 e 36 ÷ 18 = 2.

Usualmente, escrevemos os resultados dessas divisões abaixo dos respectivos
denominadores antigos.

5 7
+ =
12/3 18/2 36

● multiplicamos os resultados dessas divisões pelos respectivos numeradores e

efetuamos a soma desses produtos.

5 7 5 ⋅ 3 + 7 ⋅ 2 15 + 14 29
+ = = =
12 18 36 36 36
11 2
Exemplo: − =?
45 15

Essas frações possuem denominadores distintos. Uma vez que 𝑚𝑚𝑐 (15,45) = 45, temos que:

● o denominador do resultado dessa conta será 45.

11 2
− =
45 15 45

● iremos dividir o novo denominador pelos antigos. Aqui, 45 ÷ 45 = 1 e 45 ÷ 15 = 3.

Usualmente, escrevemos os resultados dessas divisões abaixo dos respectivos
denominadores antigos.

11 2
− =
45/1 15/3 45

● multiplicamos os resultados dessas divisões pelos respectivos numeradores e

efetuamos a soma desses produtos.

11 2 11 ⋅ 1 − 2 ⋅ 3 11 − 6 5
− = = =
45 15 45 45 45

Perceba que, neste exemplo, a fração resultante pode ser simplificada. Isso é possível quando
5
o numerador e o denominador da fração são divisíveis por um número em comum. Em , ambos
45
os termos são divisíveis por 5. Dessa forma, podemos dividir eles simultaneamente por 5.

5 5÷5 1
= =
45 45 ÷ 5 9

Esse método funciona pois ele se baseia em transformar as frações originais em frações
5
equivalentes de mesmo denominador. Voltando ao primeiro exemplo, a fração é equivalente
12
5⋅3 15
à = (multiplicar o numerador e o denominador por um mesmo número não altera o valor
12 ⋅ 3 36
7 7⋅2 14 5 7 15 14 29
da fração). Enquanto isso, equivale à = . Assim, + = + = .
18 18 ⋅ 2 36 12 18 36 36 36
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2. Multiplicação
Para multiplicarmos duas frações, realizamos o produto entre os numeradores e entre os
denominadores.
Exemplo:

6 7 6 ⋅ 7 42
⋅ = =
5 11 5 ⋅ 11 55

Exemplo:

8 12 8 ⋅ 12 96
⋅ = =
21 4 21 ⋅ 4 84

Mais uma vez, nesse exemplo, a fração resultante pode ser simplificada. Isso é possível pois o
numerador e o denominador da fração são ambos divisíveis por números em comum:

96 96 ÷ 4 24
= = . Porém, 24 e 21 também são divisíveis por 3. Eventualmente, vamos
84 84 ÷ 4 21
encontrando divisores em comum à medida que vamos simplificando a fração. Assim,
24 24 ÷ 3 8
podemos simplificar mais: = = .
21 21 ÷ 3 7

3. Divisão
Para dividirmos duas frações, realizamos o produto entre a primeira delas e o inverso da
segunda.

Exemplo:

2
3 2 7 14
5 = ⋅ =
3 5 15
7
Exemplo:

12
12 45 12 ⋅ 45 12 ⋅ 45 12 ⋅ 45 12
25
9 = ⋅ = = = = .
25 9 25 ⋅ 9 5⋅ 5 ⋅ 9 5 ⋅ 45 5
45

Nesse exemplo, fizemos uma manipulação para reduzirmos a fração antes de realizar de fato
o produto visto, “cancelando” alguns termos.
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Equações do primeiro grau

Definições

• Equação: igualdade entre duas expressões matemáticas que se verifica para determinados
valores das incógnitas.

• Incógnita: constante numérica, a qual, à priori, não sabemos seu valor preciso.

• Grau de uma equação: é dado pelo valor do maior expoente associado à incógnita da equação.
Exemplos: x + 4 = 16 (1º grau), x² + 6x = 0 (2º grau), etc. Neste módulo estudaremos equações
somente do primeiro grau.

• Solução de uma equação: é o valor da incógnita que torna a equação verdadeira. As soluções
de uma equação também são chamadas de raízes.

Resolução de equações do primeiro grau

O objetivo em uma equação é isolar a incógnita, ou seja, deixá-la “sozinha” em um lado da equação.
Para isso, devemos aplicar operações idênticas dos dois lados da equação, a fim de deixarmos a
incógnita isolada de um lado da equação. As operações realizadas dos dois lados da equação
estarão em vermelho e serão opostas aos valores que “impedem” a incógnita de estar isolada.

Exemplo:

x+2=4
x+2−2=4−2
x=2

Exemplo:

x − 3 = −5
x − 3 + 3 = −5 + 3
x = −2

Exemplo:

2x = 6
2x 6
=
2 2
x=3

Exemplo:

x
= 26
4
4x
= 26 ∙ 4
4
x = 104
Matemática

OBS.: usalmente, para evitar o uso de tantos números na equação, utilizamos a ideia de “passar
para o outro lado” com a operação inversa a fim de isolar a incógnita. Essa ideia decorre das
operações aplicadas dos dois lados da equação.

Verificando a solução de uma equação: Para verificar se um número é solução de uma equação,
substituímos a incógnita pelo número em questão. Assim, para verificar se 6 é solução de 2𝑥 = 18 −
𝑥, temos: 2 ⋅ 6 = 18 – 6 → 12 = 12. Como obtivemos uma verdade, 6 é de fato solução da
equação.
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Exercícios de vestibulares

1. (Enem PPL, 2013) Uma dona de casa pretende comprar uma escrivaninha para colocar entre
as duas camas do quarto de seus filhos. Ela sabe que o quarto é retangular, de dimensões
4m × 5m, e que as cabeceiras das camas estão encostadas na parede de maior dimensão,
onde ela pretende colocar a escrivaninha, garantindo uma distância de 0,4 m entre a
escrivaninha e cada uma das camas, para circulação. Após fazer um esboço com algumas
medidas, decidirá se comprará ou não a escrivaninha.

Após analisar o esboço e realizar alguns cálculos, a dona de casa decidiu que poderia comprar
uma escrivaninha, de largura máxima igual a
(A) 0,8 m.
(B) 1,0 m.
(C) 1,4 m.
(D) 1,6 m.
(E) 1,8 m.

2. (Enem, 2016) Nas construções prediais são utilizados tubos de diferentes medidas para a
instalação da rede de água. Essas medidas são conhecidas pelo seu diâmetro, muitas vezes
medido em polegada. Alguns desses tubos, com medidas em polegada, são os tubos de 1/2,
3/8 e 5/4.
Colocando os valores dessas medidas em ordem crescente, encontramos:
(A) 1/2, 3/8, 5/4
(B) 1/2, 5/4, 3/8
(C) 3/8, 1/2, 5/4
(D) 3/8, 5/4, 1/2
(E) 5/4, 1/2, 3/8
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3. (Enem, 2018) O artigo 33 da lei brasileira sobre drogas prevê a pena de reclusão de 5 a 15
anos para qualquer pessoa que seja condenada por tráfico ilícito ou produção não autorizada
de drogas. Entretanto, caso o condenado seja réu primário, com bons antecedentes criminais,
essa pena pode sofrer uma redução de um sexto a dois terços. Suponha que um réu primaria,
com bons antecedentes criminais, foi condenado pelo artigo 33 da lei brasileira sobre drogas.
Após o benefício da redução de pena, sua pena poderá variar de
(A) 1 ano e 8 meses a 12 anos e 6 meses.
(B) 1 ano e 8 meses a 5 anos.
(C) 3 anos e 4 meses a 10 anos.
(D) 4 anos e 2 meses a 5 anos.
(E) 4 anos e 2 meses a 12 anos e 6 meses.

4. (Enem digital, 2020) Um jogo pedagógico é formado por cartas as quais está impressa uma
fração em uma de suas faces. Cada jogador recebe quatro cartas e vence aquele que primeiro
consegue ordenar crescentemente suas cartas pelas respectivas frações impressas. O
3 1 2 5
vencedor foi o aluno que recebeu as cartas com as frações: , , e .
5 4 3 9

A ordem que esse aluno apresentou foi

1 5 3 2
(A) , , ,
4 9 5 3

1 2 3 5
(B) , , ,
4 3 5 9

2 1 3 2
(C) , , ,
3 4 5 3

5 1 3 2
(D) , , ,
9 4 5 3

2 3 1 5
(E) , , ,
3 5 4 9

5. (UFMG) Paula comprou dois potes de sorvete, ambos com a mesma quantidade do produto.
Um dos potes continha quantidades iguais dos sabores chocolate, creme e morango; e o
outro, quantidades iguais dos sabores chocolate e baunilha. Então, é correto afirmar que,
nessa compra, a fração correspondente à quantidade de sorvete do sabor chocolate foi:
2
(A)
5
3
(B)
5
5
(C)
12
5
(D)
6
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6. (Enem digital, 2020) Segundo indicação de um veterinário, um cão de pequeno porte, nos dois
primeiros meses de vida, deverá ser alimentado diariamente com 50 g de suplemento e tomar
banho quatro vezes por mês. O dono de um cão de pequeno porte, seguindo orientações
desse veterinário, utilizou no primeiro mês os produtos/serviços de um determinado pet shop,
em que os preços estão apresentados no quadro.

Produtos/Serviços Valor
Suplemento R$ 8,00 (pacote de 500 g)
Banho R$ 30,00 (preço unitário)

No mês subsequente, o fabricante reajustou o preço do suplemento, que, nesse pet shop,
passou a custar R$ 9,00 cada pacote de 500 g. Visando manter o mesmo gasto mensal para
o dono do cão, o gerente do pet shop decidiu reduzir o preço unitário do banho. Para efeito de
cálculos, considere o mês comercial de 30 dias.
Disponível em: http://carodinheiro.blogfolha.uol.com.br. Acesso em: 20 jan. 2015 (adaptado).

Nessas condições, o valor unitário do banho, em real, passou a ser

(A) 27,00.
(B) 29,00.
(C) 29,25.
(D) 29,50.
(E) 29,75.

7. (Enem PPL, 2020) A fim de reforçar o orçamento familiar, uma dona de casa começou a
4 1
produzir doces para revender. Cada receita é composta de de quilograma de amendoim e
5 5
de quilograma de açúcar. O quilograma de amendoim custa R$ 10,00 e o do açúcar, R$ 2,00.
Porém, o açúcar teve um aumento e o quilograma passou a custar R$ 2,20. Para manter o
mesmo custo com a produção de uma receita, essa dona de casa terá que negociar um
desconto com o fornecedor de amendoim.

Nas condições estabelecidas, o novo valor do quilograma de amendoim deverá ser igual a
(A) R$ 9,20.
(B) R$ 9,75.
(C) R$ 9,80.
(D) R$ 9,84.
(E) R$ 9,95.
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8. (Enem, 2010) O Salto Triplo é uma modalidade do atletismo em que o atleta dá um salto em
um só pé, uma passada e um salto, nessa ordem. Sendo que o salto com impulsão em um só
pé será feito de modo que o atleta caia primeiro sobre o mesmo pé que deu a impulsão; na
passada ele cairá com o outro pé, do qual o salto é realizado.
Disponível em: www.cbat.org.br (adaptado).

Um atleta da modalidade Salto Triplo, depois de estudar seus movimentos, percebeu que, do
segundo para o primeiro salto, o alcance diminuía em 1,2 m, e, do terceiro para o segundo
salto, o alcance diminuía 1,5 m. Querendo atingir a meta de 17,4 m nessa prova e considerando
os seus estudos, a distância alcançada no primeiro salto teria de estar entre
(A) 4,0 m e 5,0 m.
(B) 5,0 m e 6,0 m.
(C) 6,0 m e 7,0 m.
(D) 7,0 m e 8,0 m.
(E) 8,0 m e 9,0 m.
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Gabarito

1. B
Considerando x a largura da escrivaninha, temos:
0,4 + 1,2 + 0,4 + x + 0,4 + 1,2 + 0,4 = 5m
Portanto, x = 1m.

2. C
1 4 3 5 10 3 1 5
Igualando os denominadores: = , e = . Como 3 > 4 > 10, temos que > > .
2 8 8 4 8 8 2 4

3. A
A pena do réu varia de 60 a 180 meses. No melhor cenário, temos uma pena de 60 com uma
2 2
redução de de 60. Como ⋅ 60 = 40 meses, seria uma pena de 60 − 40 = 20 meses. No pior
3 3
1 1
cenário, temos uma pena de 180 com uma redução de de 180. Como ⋅ 180 = 30 meses, seria
6 6
uma pena de 180 − 30 = 150 meses.

4. A
Para comparar frações elas devem possuir os denominadores iguais. Para isso, calculamos o
MMC entre 5, 4, 3 e 9, que são os denominadores das frações sorteadas.
5 4 3 9 2
5 2 3 9 2
5 1 3 9 3
5 1 1 3 3
5 1 1 1 5
1 1 1 1 MMC(5, 4, 3, 9) =
180
Para encontrar as frações equivalentes, dividimos 180 pelos denominadores das frações
sorteadas e, multiplicamos o resultado pelos numeradores.
Para 3/5
180 / 5 = 36, como 36 x 3 = 108, a fração equivalente será 108 / 180.
Para 1/4
180/4 = 45, como 45 x 1 = 45, a fração equivalente será 45/180
Para 2/3
180/3 = 60, como 60 x 2 = 120, a fração equivalente será 120/180
Para 5/9
180/9 = 20, como 20 x 5 = 100. a fração equivalente será 100/180
Com as frações equivalentes, basta ordenar pelos numeradores em ordem crescente e associar
com as frações sorteadas.
1 5 3 2
Sorteadas:
4 9 5 3
45 100 108 120
Equivalentes:
180 180 180 180

5. C
Seja x a capacidade de cada pote.
A quantidade de chocolate no primeiro pote é x/3 e no segundo x/2. Logo, a fração pedida é:
x x 5x
+
3 2= 6 = 5
2x 2x 12
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6. C
Em 30 dias serão necessários 30 ⋅ 50 = 1500 g de suplemento, ou seja, 3 pacotes de 500 g.
Logo, se p é o preço unitário do banho no segundo mês, então
3 ⋅ 8 + 4 ⋅ 30 = 3 ⋅ 9 + 4 ⋅ p ⇔ 4p = 144 − 27
⇔ p = 29,25.

7. E
Se x é o novo valor do quilograma de amendoim, então
4 1 4 1
10 ⋅ + 2 ⋅ = x ⋅ + 2,2 ⋅ ⇔ 2x = 21 − 1,1
5 5 5 5
  ⇔ x = R$ 9,95.

8. D
x + (x – 1,2) + (x – 1,2 – 1,5) = 17,4
3x – 3,9 = 17,4
3x = 21,3
x = 7,1m