FUNÇo Do 2 Grau
FUNÇo Do 2 Grau
FUNÇo Do 2 Grau
1
AULA 03
FUNO POLINOMIAL DE SEGUNDO GRAU
DEFINIO
Define-se funo polinomial de segundo grau a funo f: IR IR tal que f(x) = ax
2
+ bx + c, com a e IR
*
, b e IR e c e IR.
REPRESENTAO GRFICA: ELEMENTOS DA PARBOLA
- Razes da Funo: So os valores de x, que tornam nula a funo. Demonstra-se que ( ) ( )
2
1 2
ax bx c a x x . x x + + =
onde x
1
e x
2
so os zeros da funo.
- Vrtice da Parbola: Ponto V |
.
|
\
| A
a 4
;
a 2
b
- Eixo de Simetria: a reta de equao x =
a 2
b
- Conjunto Imagem: Para a funo f(x) = ax
2
+ bx + c (a = 0) :
Im( f ) = y IR, tal que: y se a > 0
4a
Im( f ) = y IR, tal que: y se a < 0
4a
A
e >
`
e s
`
)
- Grfico:
O grfico de uma funo de segundo grau representado por uma parbola, com eixo de simetria paralelo ao eixo y.
Conforme os sinais de a e A , podemos ter as seguintes possibilidades de grficos:
a 0 >
a 0 <
0 > A
0 = A
0 < A
Intensivo Matemtica - A
2
EXERCCIOS DE SALA
1) Com relao ao grfico da funo ( )
2
f x x 2x 3 =
correto afirmar que:
a) f(x) estritamente crescente.
b) f(x) estritamente decrescente.
c) A funo no possui zeros reais.
d) As coordenadas do vrtice so (1; - 4)
e) Tem concavidade voltada para baixo.
2) (UDESC) Fez-se um projeto para cercar com tela
uma quadra de esportes retangular, aproveitando
um muro paralelo a essa quadra, conforme
representa a figura C.
A quantidade de tela disponvel 220m. Sabendo
que a rea a ser cercada dada por A = xy, o valor
numrico da rea mxima cercada :
a) 6100m
2
b) 6000m
2
c) 6050m
2
d) 12100m
2
e) 10050m
2
Resoluo:
Determinando a funo da rea:
( )
2x y 220
y 220 2x
f x funo rea
+ =
=
Ento:
( )
( ) ( )
( )
2
f x x.y
f x x 220 2x
f x 2x 220x
=
=
= +
Veja que f assumir seu valor mximo quando
v
x x = . Logo:
( )
v
b 220
x 55
2a 2. 2
= = =
E assim: y 110 =
2
A x.y 55.110 6050 m = = =
R: Alternativa C.
3) (UFSC) Tem-se uma folha de cartolina com forma
retangular, cujos lados medem 56cm e 32cm e
deseja-se cortar as quinas, conforme ilustrao a
seguir. Quanto deve medir x, em centmetros, para
que a rea da regio hachurada seja a maior
possvel?
Resoluo:
Estabelecendo a funo da rea destacada em funo de x:
( ) ( ) ( )
( )
( )
2 2
2
f x 2.x 56 2x 2.x. 32 2x
f x 112x 4x 64x 4x
f x 8x 176x
= +
= +
= +
A funo f(x) assumir um valor mximo quando x =
v
x .
Logo:
( )
v
b 176 176
x 11
2a 2. 8 16
= = = =
R: Para que se tenha a maior rea destacada possvel
temos que x = 11.
EXERCCIOS TAREFA
AULA 03
1) Sobre a funo quadrtica f(x) = -2x
2
+ 7x - 3 ,
correto afirmar:
a) no intercepta o eixo das abscissas.
b) no intercepta o eixo das ordenadas.
c) possui um valor mnimo
d) tem concavidade voltada para baixo.
e) tem concavidade voltada para cima.
Resoluo:
Se a< 0, ento a concavidade da parbola esta voltada para
baixo.
R: Alternativa d.
2) Sobre a funo quadrtica f(x) = 2x
2
- 5x + 2 ,
correto afirmar:
a) tem concavidade voltada para baixo.
b) no intercepta o eixo das ordenadas.
c) Intercepta o eixo das abscissas em dois pontos
distintos.
d) possui um valor mnimo igual a 2.
e) intercepta o eixo das ordenadas num ponto cuja
ordenada igual a -5.
f(x) = 2x
2
5x+2.
A = b
2
4ac
A = (-5)
2
4.2.2
A = 25 16
A = 9
Como A > 0 a funo apresenta duas razes distintas.
Intensivo Matemtica - A
3
R: Alternativa C
3) A imagem da funo f : IR IR dada por
f(x) = - x
2
+ x 2 :
a) ( -; -2)
b) [2; + )
c)
(
\
|
4
7
- ;
d)
|
.
|
+ ;
4
7
e)
|
.
|
+ ;
4
7
Resoluo:
Como a= - 1 a concavidade ser voltada para baixo
ento a imagem dada por
v
y y s .
v
y
4a
=
A
(
=
2
v
( 1) 4( 1).( 2)
y
4( 1)
v
1 8
y
4
=
v
7
y
4
=
Im(f) =
7
x IR/ y
4
e s
`
)
ou
7
;
4
| (
(
\
R: Alternativa C
4) A funo f de IR em IR, dada por
f(x) = ax
2
4x + a tem um valor mximo e admite
duas razes reais e iguais. Nessas condies, f (-2)
igual a:
a) 4
b) 2
c) 0
d)
2
1
e) 2
4) O grfico da funo f:[1;6] IR, definida por
f(x) = x
2
6x + k, contm o ponto (2; -3). O conjunto
imagem de f :
a) [ 4 ,
+
)
b) (
-
, 4]
c) [ 4 ,
+
)
d) (
-
, 4]
e) [ 4 , 5]
5) (UFSC-2008) Os praguicidas, tambm denominados
pesticidas, defensivos agrcolas ou agrotxicos,
so substncias que, aplicadas lavoura, permitem
matar seres que podem prejudic-la. No entanto,
esses produtos apresentam desvantagens pois,
devido a sua grande estabilidade no meio
ambiente, sua velocidade de decomposio natural
muito lenta. Muitos insetos se tornaram
resistentes a esses produtos e grandes
quantidades foram utilizadas para combater um
nmero cada vez maior de espcies. Suponha que
em um laboratrio foi pesquisada a eficincia do
DDT (dicloro-difenil-tricloroetano) no combate a
uma determinada populao de insetos.
O grfico abaixo representa a populao de insetos
em funo do tempo t, em dias, durante o perodo
da experincia.
Com base nos dados fornecidos pelo grfico,
assinale a(s) proposio(es) CORRETA(S).
01. A funo que descreve a relao entre a populao de
insetos e o tempo ( )
2
f t t 30t 1000 = + + .
02. O nmero inicial da populao de insetos de 1200
insetos.
04. A populao de insetos cresce somente at o dcimo
dia.
08. No vigsimo dia de experincia a populao de insetos
igual populao inicial.
16. A populao de insetos foi exterminada em 50 dias.
Resoluo:
01. Verdadeira
( )
( )
( )
( )
= + +
=
= + + =
+ =
+ =
= + + =
+ =
+ =
+ =
+ =
=
=
=
= + +
2
2
f t at bt c
c 1000
f 10 1200 a.100 b10 1000 1200
100a 10b 200
10a b 20
f 20 1200 a.400 b.20 1000 1200
400a 20b 200
20a b 10
10a b 20
20a b 10
10a 10
a 1
b 30
f t t 30t 1000
02. Falsa f(0) = 1000
04. Falsa
08. Falsa
16. Verdadeira
R: Soma = 18
Intensivo Matemtica - A
4
6) (UDESC-2008) A soma das abscissas dos pontos
de interseo dos grficos das funes:
( ) ( )
2
0, se x 0
x
, se 0 x 2
x
2
f x 2x 4 e g x
x 4
2, se 2 x 4
2
0, se x 4
s
< s
= +
+ < s
>
:
a) -1.
b) 4.
c) 6.
d) 2.
e) -2.
Resoluo:
Graficamente:
2
2
x
f(x) 2x 4
4
razes : x 8x 16 0
x' x" 4
= +
+ =
= =
7) (ACAFE) De um quadrado de papel de 40cm de
lado, devemos tirar 2 tringulos congruentes de
lados x e 2x. A figura resultante ser utilizada para
fazer pipas. A funo que associa x rea do papel
para pipas representada por:
a) y = 40 2x
2
b) y = 1600 x
2
c) y = 1600 x
2
/2
d) y = 40 x
2
e) y = 1600 2x
2
Resoluo:
Expressando a rea do tringulo em funo de x:
Tringulo
b.h
A
2
=
Tri
x.2x
A
2
=
2
Tri
A x =
( )
2
2
2
y 40 2x
y 1600 2x
=
=
R: Alternativa E.
10) Para se cercar um terreno retangular em cujo fundo
existe um muro retilneo. Dispe-se de uma tela de
arame de 400m de comprimento. A mxima rea
(em m
2
) que pode ser cercada nessas condies :
a) 12000
b) 16000
c) 20000
d) 24000
e) 28000
Resoluo:
De acordo com o problema:
Para a tela temos a funo:
2x y 400
y 400 2x
+ =
=
Determinando a rea:
( )
2
A x.y
A x 400 2x
A 400x 2x
=
=
=
A rea ser mxima quando y = y
v
:
y
V
=
4a
A
y
V
=
(
2
400 4.( 2).0
4( 2)
y
V
=
160.000
8
y
V
= 20.000
R: Alternativa C
8) O lucro L de uma determinada empresa dado pela
relao L = R C, onde R e C representam,
respectivamente, receita e custo. Sabendo que R e
C dependem da produo p, segundo as leis
R(p) = 1000p p
2
e C(p) = p
2
+ 40p + 300, ento o
lucro mximo e o lucro para 300 unidades so
respectivamente:
a) R$ 114900,00 e R$ 107700,00
b) R$ 115600,00 e R$ 112700,00
c) R$ 107900,00 e R$ 102900,00
d) R$ 124100,00 e R$ 112500,00
e) R$ 124300,00 e R$ 107500,00
Resoluo:
Determinando a expresso do lucro:
L
(p)
= R
(p)
C
(p)
L
(p)
= 1000p p
2
(p
2
+ 40p + 300)
L
(p)
= 1000p p
2
p
2
40p 300
L
(p)
= -2p
2
+ 960p 300
O lucro mximo y = y
v
:
y
v
=
4a
A
y
v
=
2
((960) 4( 2).( 300))
4.( 2)
y
v
=
921.600-2400
8
y
v
= 114.900
O lucro para 300 peas de:
L(300) = -2(300)
2
+ 960.300 300
L(300) = 107.700
R: Alternativa A
9) (UFPR) O lucro dirio L a receita gerada R menos
o custo de produo C, suponha que, em certa
fbrica, a receita gerada e o custo de produo
sejam dados, em reais, pelas funes
R(x) = 60x - x
2
e C(x) = 10(x+40), sendo x o nmero
de itens produzidos no dia. Sabendo que a fbrica
tem capacidade de produzir at 50 itens por dia,
considere as seguintes afirmativas:
I. O nmero mnimo de itens x que devem ser
produzidos por dia, para que a fbrica no tenha
prejuzo, 10.
II. A funo lucro L(x) crescente no intervalo [0,25].
III. Para que a fbrica tenha o maior lucro possvel,
deve produzir 30 itens por dia.
IV. Se a fbrica produzir 50 itens num nico dia, ter
prejuzo.
Intensivo Matemtica - A
5
Assinale a alternativa correta:
a) Somente as afirmativas I, II e IV so verdadeiras.
b) Somente as afirmativas I e II so verdadeiras.
c) Somente as afirmativas II e III so verdadeiras.
d) Somente as afirmativas II e IV so verdadeiras.
e) Somente as afirmativas I, III e IV so verdadeiras.
Resoluo:
2
2
L R C
L 60x x 10(x 40)
L x 50x 400
=
= +
= +
Analisando as proposies:
01 Verdadeira:
2
2
L 0
x 50x 400 0
x 50x 400 0
x' 10
x" 40
=
+ =
+ =
=
=
02 Verdadeira:
( 50)
xv 25
2
= =
03 Falsa:
Xv = 25 25 peas para ter lucro mximo.
04 Verdadeira:
Observe o grfico f(50) = -400
y
10 25 40 x
-400
R: Alternativa A.
10) (IFSC/2009) O grfico abaixo representa uma parte
de uma funo real de segundo grau. Com base
nessa afirmativa, assinale a(s) proposio(es)
CORRETA(S).
01. Seu ponto mximo tem coordenadas
1
; 6,25
2
| |
|
\ .
.
02. A sua equao y = 2x
2
-2x -12.
04. Suas razes so -2 e 3.
08. O ponto de coordenadas (-4,6) pertence funo
representada no grfico.
16. Pode-se dizer que esta parbola crescente no
intervalo [-1,+ [.
32. A reta da equao y x 5 = esta parbola nos pontos
de coordenadas (-1,-4) e (1,-6).
Resoluo:
01 Falsa: O ponto de mnimo.
02 Falsa:
2
y a(x 2).x 3)
y a(x x 6)
= +
=
Se corta o eixo y em 6, ento a = 1, assim:
Y = x
2
-x 6.
04 Verdadeira: Veja o grfico.
08 Falsa:
2
x 4 y ( 4) ( 4) 6 14 = = =
16 Falsa: Veja o grfico.
32 Verdadeira:
2
2
x x 6 x 5
x 1 0
x 1
Se x 1 y 6
Se x 1 y 4
=
=
=
= =
= =
R: Soma = 36.