Cálculo Iii
Cálculo Iii
Cálculo Iii
1a Edição - 2.007
SOMESB
S OCIEDADE M ANTENEDORA DE E DUCAÇÃO S UPERIOR DA B AHIA S/C LTDA .
FTC-E A D
FACULDADE DE T ECNOLOGIA E C IÊNCIAS – E NSINO A D ISTÂNCIA
M ATERIAL D IDÁTICO
P RODUÇÃO ACADÊMICA P RODUÇÃO T ÉCNICA
J ANE F REIRE J OÃO J ACOMEL
G ERENTE DE E NSINO C OORDENAÇÃO
A NA PAULA A MORIM C ARLOS M AGNO B RITO A LMEIDA S ANTOS
S UPERVISÃO R EVISÃO DE T EXTO
M AURÍCIO P ORTO S ILVA
G ECIARA DA S ILVA C ARVALHO J ONES G ARCIA DA M ATA
C OORDENADOR DE C URSO R EVISÃO DE C ONTEÚDO
FÁBIO S ANTOS R ODRIGUES A DRIANO P EDREIRA C ATTAI
PAULO H ENRIQUE R IBEIRO DO N ASCIMENTO PAULO H ENRIQUE R IBEIRO DO N ASCIMENTO
AUTOR ( A ) E DIÇÃO EM LATEX 2ε
E QUIPE
A LEXANDRE R IBEIRO, A NGÉLICA J ORGE , C EFAS G OMES , C LAUDER F ILHO, D ELMARA B RITO, D IEGO D ORIA
A RAGÃO, FÁBIO G ONÇALVES , F RANCISCO F RANÇA J ÚNIOR , H ERMÍNIO F ILHO, I SRAEL DANTAS , L UCAS DO
VALE , M ARCIO S ERAFIM , M ARIUCHA P ONTE , RUBERVAL F ONSECA E TATIANA C OUTINHO.
c 2.007 FTC-E A D
Copyright
www.ead.ftc.br
Sumário
CÁLCULO III 3
Bloco 2: EDO e Aplicações 47
Referências Bibliográficas 79
Atividade Orientada 1
5.1 Etapa 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
5.2 Etapa 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
5.3 Etapa 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Caro aluno,
Dois grandes aspectos serão tratados aqui. O estudo das séries e o das equações diferenciais
ordinárias.
Depois de termos já estudado uma boa parte das disciplinas vistas no seu curso de licenciatura,
em especial a de Cálculo I e a de Cálculo II, temos condições, mais do que suficientes, de en-
veredarmos nesses tópicos. A ciência e o mundo moderno nada seriam sem os avanços teóricos
no estudo das séries e das equações diferenciais os quais esta se fundamentou. Como exemplo,
cito: as engenharias, a biologia, a química e a física. Tais aplicações serão aqui abordas.
O estudo a distância é feito com base no estudante. Aqui o material apresenta a teoria de modo
didático. Faça uma leitura de efeito, ou seja, com atenção e muita paciência, de modo que, todo
conceito aqui escrito possa ser compreendido e assimilado.
Apresentação
Definiremos seqüências de números reais, e uma analogia entre o limite de uma função e a convergência
de uma seqüência será feita. Além disso, alguns dos resultados obtidos para limites serão, também, tratados
no estudo das seqüências. Por exemplo, a regra de L’Hospital.
Introdução
Pensemos no seguinte problema: De posse de uma fórmula que calcula a área An , n ≥ 3 de um polígono
regular de n lados, inscrito numa circunferência de raio r , o que acontece com sua área, à medida que o número
de lados crescem indefinidamente?
A3 A4 A5 A6 A12
Observa-se que, à medida que aumentamos o valor de n, fica evidente que a área An do polígono inscrito
ficará cada vez mais próxima da área do círculo, ou seja, como n representa o número de lados do polígono,
A3 , A4 , A5 , A6 , . . . , representam uma sucessão de valores que tendem ao valor da área do círculo A0 .
Duas idéias, aqui, foram apresentadas: a de sucessão de infinitos valores e a de aproximação destes
valores de um outro. Vamos entender algebricamente, como o processo de aproximação funciona. Porém,
antes, formalizemos o nosso objeto de estudo.
Uma seqüência numérica é, informalmente, uma sucessão infinita de números chamados termos. Entende-
se que os termos têm uma ordem definida. Portanto, o primeiro termo pode ser representado por a1 ; o segundo
por a2 , e assim por diante. As reticências (. . . ) serão usadas para indicar que a seqüência possui quantidade
indefinida de termos. Veja, a seguir, esta definição escrita de maneira formal.
1.1 Definição. Uma seqüência numérica real é uma função que associa um número natural n ≥ 1 a um
número real an . Em símbolos:
a:N → R
n 7→ an
3. primos: (an ) = (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, . . .);
1. Dada uma seqüência, nem sempre podemos determiná-la por uma lei de formação (veja o exemplo
da seqüência dos números primos), ou seja, nem sempre podemos determinar o termo geral;
Lembra-se da idéia de que os valores das áreas dos polígonos inscritos numa circunferência
se aproximam
1
da área do círculo, à medida que os valores de n crescem? E da seqüência (an ) = , cujos valores de an se
n
aproximam do valor 0? Vemos, nestes exemplos, que as seqüências possuem termos que se aproximam de um
determinado valor. Como verificar se uma outra seqüência (an ) qualquer possuem termos que se aproximam
de um valor a0 ?
1.2 Definição. Seja (an ) uma seqüência numérica. Dizemos que (an ) converge para um número real L quando,
dado ǫ > 0, existe n0 ∈ N tal que ∀ n ≥ n0 =⇒ |an − L| < ǫ.
Notação: an → L ou lim an = L.
n→∞
Nota 2. A proximidade entre dois números reais, no conceito de convergência aqui inserido, é dado pelo
módulo da diferença entre eles, isto é: a, b ∈ R; d (a, b ) = |b − a|.
CÁLCULO III 7
A idéia, portanto, de uma seqüência convergente é que, partindo-se de um certo índice n0 , os termos an
estão bem próximos de uma determinada constante a.
Nota 3. É importante observar que, dado ǫ > 0, o índice n0 será determinado a partir dele, ou seja, o
índice será interpretado como uma função de ǫ.
n
ER 1.1. Prove que → 1.
n+1
1
Assim, dado ǫ > 0, existe n0 > − 1 tal que n ≥ n0 ⇒ |an − 1| < ǫ.
ǫ
Para, realmente, vermos que n0 depende de ǫ, vamos tomar valores para este último e observar como
1 1
ficará o índice. Por exemplo, tome ǫ = e teremos que n0 = 9, enquanto que para ǫ = teremos que
10 100
n0 = 99.
Um dos principais resultados da teoria de seqüências será abordado nesta seção. Porém, necessitaremos,
antes, da definição de seqüência limitada.
1.3 Definição. Uma seqüência (an ) é limitada quando existe um número real M > 0 tal que |an | ≤ M , para
todo n inteiro positivo.
Em outras palavras, o conjunto dos termos da seqüência é um conjunto limitado se existe um valor M tal
que todos os seus elementos estão no intervalo [−M , M ].
Podemos, ainda, dizer que uma seqüência é limitada quando existem números reais A e B , tais que A ≤
an ≤ B , para n inteiro positivo. O número A é chamado de limite inferior, caso ele seja o maior número tal que
A < an , para todo n; e B é chamado de limite superior, caso ele seja o menor número tal que an < B , ∀ n.
1 1 1 1 1
Exemplo 1.2. A seqüência (an ) = = 1, , , , , . . . é limitada. De fato, se fizermos M = 1,
n 2 3 4 5
observa-se, claramente, que os seus termos estarão sempre no intervalo [−1, 1].
| bc bc bc bc bc |
−1 0 11 1 1 1
54 3 2
Podemos observar, neste exemplo, através da figura, que os seus limites inferior e superior são, respectiva-
mente, os números 0 e 1.
O resultado a seguir é um dos grandes para o estudo da convergência de seqüências. Ele é bastante
utilizado nas demonstrações de outros teoremas consagrados.
Prova: Seja (an ) uma seqüência tal que an → L. Assim, pela própria definição, dado ǫ > 0, ∃ n0 ∈ N tal
que ∀ n ≥ n0 ⇒ |an − L| < ǫ ⇐⇒ L − ǫ < an < L + ǫ.
Uma das aplicações da proposição 1.4 é o fato de que seqüências ilimitadas não podem ser convergentes.
Por exemplo, a seqüência (an ) = (n), n ∈ N.
Nota 4. A recíproca do lema 1.4 não é verdadeira. Para verificar este fato, basta considerarmos a
seqüência alternada (0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, . . .), a qual é divergente e limitada. Porém, temos um resultado
que garante a convergência de um determinado tipo de seqüência limitada. Para isto, definiremos que é
uma seqüência monótona.
Propriedades
1. an + bn → L1 + L2 ;
2. can → cL1 , c ∈ R;
3. an · bn → L1 · L2 ;
an L1
4. Se L2 6= 0 teremos que → ;
bn L2
5. |an | → |L1 |;
Prova:
(1) Como an → L1 e bn → L2 , temos que ∀ ǫ > 0, ∃n1 , n2 ∈ N, tais que:
ǫ ǫ
∀ n ≥ n1 , n ≥ n2 ⇒ |an − L1 | < e |bn − L2 | < .
2 2
ǫ ǫ
n ≥ n1 , n ≥ n2 ⇒ |an − L1 | < e |bn − L2 | < .
(M + |L1 |) (M + |L1 |)
Tome n0 = max{n1 , n2 }. Daí, |an · bn − L1 · L2 | = |an · bn − bn · L1 + bn · L1 − L1 · L2 | = |(an − L1 )bn + (bn − L2 )L1 | <
ǫ ǫ
|an − L1 ||bn | + |bn − L2 ||L1 | < M+ |L1 | = ǫ.
(M + |L1 |) (M + |L1 |)
(4) Deixamos a cargo do leitor.
CÁLCULO III 9
(5) Basta observar que ||x | − |y || ≤ |x − y |.
(6) Seja ǫ > 0. Como f é contínua, segue, por definição, que para cada a ∈ R, existe δ > 0 tal que
|x − a| < δ ⇒ |f (x ) − f (a)| < ǫ.
Por outro lado, como an → L1 , temos que existe n0 tal que n ≥ n0 ⇒ |an − L1 | < δ.
Dos fatos supracitados, concluímos que n0 tal que n ≥ n0 ⇒ |an − L1 | < δ ⇒ |f (an ) − f (L1 )| < ǫ. 2
Façamos uma pequena observação antes de falarmos sobre a monotonicidade das seqüências numéricas.
Na primeira destas, dizemos que a seqüência é crescente ou estritamente crescente, pois podemos obser-
var que os seus termos estão cada vez maiores:
1 2 1 3 2 4 3
> 0, > , > , > . . . .
2 3 2 4 3 5 4
Confira, isto, utilizando uma máquina, caso necessário!
Em outras palavras, uma seqüência é crescente quando qualquer termo selecionado é menor que o seu
sucessor. Simbolicamente, temos an < an+1 .
Na segunda, dizemos que a seqüência é decrescente ou estritamente decrescente, pois observamos que
os seus termos estão cada vez menores, à medida que os termos avançam. De fato, os denominadores das
respectivas frações aumentam. Sendo assim,
1 1 1 1 1
< 1, < , < ,....
4 9 4 16 9
Se necessário, utilize uma máquina para verificar essas desigualdades!
Em outras palavras, uma seqüência é decrescente quando qualquer termo selecionado é maior que o seu
sucessor. Simbolicamente, temos an > an+1 .
Outros comportamentos são constatados para os termos de uma seqüência. Dizemos que uma seqüência
é:
⋄ constantes está contido tanto no conjunto das não-decrescentes quanto das não-crescentes.
1.5 Definição. Dizemos que uma seqüência é monótona quando ela é não-crescente ou não-decrescente.
Simbolicamente, (an ) é monótona quando an ≤ an+1 ou an ≥ an+1 .
1 1 1
Exemplo 1.3. As seqüências (an ) = (n), n ∈ N e (an ) = = 1, , , . . . são exemplos de monótonas.
n 2 3
Nota 7. As seqüências não monótonas são chamadas oscilantes. Em outras palavras, são aquelas que
não apresentam comportamento somente não-crescente, não-decrescente ou constante.
Nota 8. Numa seqüência crescente, o primeiro termo é o seu limite inferior, enquanto que, numa se-
qüência decrescente, ele será o limite superior.
Outro importante resultado é visto a seguir, onde, a condição da seqüência ser monótona e limitada é
suficiente, mas não necessária, para ser convergente.
Prova: Seja (an ) uma seqüência crescente e limitada. Assim, a seqüência (an ) possui um supremo S e,
conseqüentemente, teremos que:
Nota 9.
Uma seqüência
convergente pode não ser monótona. Um exemplo interessante é a seqüência
(−1)n+1
(an ) = .
n
Nota 10. Uma seqüência monótona pode ser divergente, por exemplo (an ) = (n!).
Nota 11. Uma seqüência limitada pode ser divergente. Por exemplo, (an ) = (−1)n , pois, claramente, os
pontos dela estão alternando, o que impede que a seqüência tenha um limite.
1.5 Subseqüências
Depois de definirmos o que é uma subseqüência, faremos analogias a dois teoremas vistos para o limite de
funções e fecharemos com mais alguns critérios de convergência.
CÁLCULO III 11
1.7 Definição. Seja S = {n0 , n1 , . . . , nk , . . .}, k ∈ N e (an ) uma seqüência. Uma subseqüência de (an ) é uma
seqüência dada por (ank ).
Notação: (ank ).
Uma subseqüência é, portanto, uma nova seqüência que provem de outra pela eliminação, de maneira
ordenada, de alguns termos desta.
Exemplo 1.5. As seqüências (an ) = (2n − 2) = (0, 2, 4, . . . , 2n, . . .) e (an ) = (2n − 1) = (1, 3, 5, . . . , 2n − 1, . . .)
são exemplos de subseqüências da seqüência (an ) = (n).
Prova: Como an → L temos que ∀ ǫ > 0, existe n0 tal que n ≥ n0 ⇒ |an − L| < ǫ. Observemos que nk ≥ k
e, portanto, k ≥ n0 ⇒ |ank − L| < ǫ.
Nota 12. Uma importante conseqüência deste lema é que o limite de uma seqüência é único. Além disso,
quando uma seqüência admite duas subseqüências convergindo para pontos distintos teremos que essa
seqüência é divergente.
8
n+1 <
, n ∈ {2, 4, 6, . . .}
Exemplo 1.6. Considere a seqüência (an ) tal que an = n . Observe que as
: n − 1
, n ∈ {1, 3, 5, . . .}
n
n−1 n+1
subseqüências e convergem para 1 e, além disso, (an ) converge, também, para 1.
n n
1.9 Proposição. Sejam (an ) e (bn ) seqüências tais que an → 0 e (bn ) é limitada. Então, an bn → 0.
1 1
Exemplo 1.7. A seqüência · cos(n2 + 1) converge para 0, pois | cos(n2 + 1)| ≤ 1 e → 0.
n n
Como uma seqüência é um tipo especial de função, é natural questionar a sua diferenciabilidade. Dessa
forma, vamos considerar que existe uma função f tal que f (n) = an e segue, imediatamente, que
lim f (x ) = L ⇒ an → L.
x →∞
1.10 Proposição. Sejam (an ) e (bn ) seqüências tais que an = f (n) e bn = g (n), com f e g funções deriváveis,
(an )′ an
tais que an → ∞ ou 0, bn → ∞ ou 0, e → L. Então, → L.
(bn )′ bn
Nota 13. O lema anterior é uma versão da regra de L’Hospital para seqüências.
n 1 1
Exemplo 1.8. Considere a seqüência . Como n′ = 1, [ln(n)]′ = e = n → ∞, temos que
ln(n) n 1
n
n
→ ∞.
ln(n)
Uma versão para seqüências do Teorema do Confronto é feita pelo teorema a seguir:
1.11 Teorema. Sejam (an ), (bn ) e (cn ) seqüências tais que an ≤ cn ≤ bn . Se an , bn → L, então cn → L.
O próximo resultado pode ser interpretado como sendo a média aritmética de uma seqüência que converge
para o mesmo limite da seqüência analisada.
a1 + a2 + . . . + an
1.12 Teorema. Se a seqüência (an ) converge para L, então → L.
n
Prova: Como lim an = L temos, pela definição, que para qualquer ǫ > 0, existe n0 tal que n ≥ n0 ⇒
n→∞
ǫ
|an − L| < . Logo,
2
ǫ ǫ
an +1 + . . . + an + ...+
0 < 2 2 = n − n0 ǫ < ǫ .
n n n 2 2
Por outro lado, a1 , . . . , an0 é uma quantidade finita de números reais
e, segue, imediatamente, que
a1 + . . . + an 0 a1 + . . . + an ǫ
lim = 0. Assim, existe n1 tal que n ≥ n1 ⇒ 0 <
.
n→∞ n
n
2
a1 + . . . + an a1 + . . . + an an0 +1 + . . . + an
Tomemos n2 = max{n0 , n1 }. Segue que = 0
+ <
n n n
a1 + . . . + an an +1 + . . . + an ǫ ǫ a1 + a2 + . . . + an
0
+ 0 < + = ǫ. Portanto, bn = → L.
n n 2 2 n
√
ER 1.2. Prove que n n → 1.
1
Solução: Observemos que lim an = lim n n = 1∞ que se trata de uma indeterminação. Então, vamos
n→∞ n→∞
1
procurar uma função contínua e aplicar a propriedade 6, com o objetivo de “abaixar” o expoente . Sendo
n
assim, o leitor perceberá que a função que se encaixa melhor é a logarítmica natural.
Seja f (x ) = ln(x ) e segue que lim ln(an ) = ln lim an . Logo,
n→∞ n→∞
1
ln(n)
= lim n = 0.
1
lim ln n n = lim
n→∞ n→∞ n n→∞ 1
Contudo, a função logarítmica natural é bijetora, ou seja, lim ln(an ) = 0 = ln lim an ⇔ lim an = 1.
n→∞ n→∞ n→∞
Solução: (a) A seqüência admite uma subseqüência convergindo para zero, porém, existe uma outra
subseqüência divergente. Portanto,
(an
) é divergente.
3 1 1
3 n 3+ 3 lim 3 +
3n + 1 n n→∞ n3 3
(b) lim = lim = = .
n→∞ 2n3 + 1 n→∞ 3 1 1 2
n 2+ 3 lim 2 +
n n→∞ n3
CÁLCULO III 13
q È √
ER 1.4. Mostre que 6+ 6+ 6 + · · · = 3.
Solução: A idéia, aqui, é a de construir uma seqüência para depois verificar a sua convergência.
√ √
Tomemos a0 = 6 e an = 6 + an−1 . Vamos supor que an → L e, logo, an−1 → L por se tratar de uma
subseqüência. Assim,
È q √
L = lim an = lim 6 + an−1 = lim (6 + an−1 ) = 6 + L.
n→∞ n→∞ n→∞
Segue que, L2 = 6 + L ⇒ L = 3 ou L = −2. Como an é uma seqüência de termos positivos teremos que L = 3.
Exercícios Propostos
√
cn = n
a 1 · a 2 · . . . · a n → L.
Consideremos a seqüência (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, . . .). Observamos que, a partir do segundo termo, a diferença
entre qualquer termo e seu antecessor é sempre a mesma:
4 − 2 = 6 − 4 = 10 − 8 = 14 − 12 = 16 − 14 = 2.
Seqüências como esta são denominadas progressões aritméticas (PA). A diferença constante é chamada de
razão da progressão e costuma ser representada por r . Na P.A. dada, temos r = 2.
Uma progressão aritmética crescente é toda progressão aritmética em que cada termo, a partir do segundo,
é maior que o termo que o antecede, sendo que, para isso, a razão “r ” tem que ser sempre positiva e diferente
de zero.
Uma progressão aritmética decrescente é toda progressão aritmética em que cada termo, a partir do se-
gundo, é menor que o termo que o antecede, sendo que para isso a razão “r ” tem que ser sempre negativa e
diferente de zero.
Uma progressão aritmética constante é toda progressão aritmética em que todos os termos são iguais,
sendo que, para isso, a razão “r ” tem que ser sempre igual a zero.
⋄ (1, 1, 1, 1, 1, 1, . . .) - razão r = 0;
⋄ (0, 0, 0, 0, 0, 0, . . .) - razão r = 0;
CÁLCULO III 15
⋄ crescente, se r > 0;
⋄ decrescente, se r < 0;
⋄ constante, se r = 0.
1.14 Proposição. Numa PA, qualquer termo, a partir do segundo, é a média aritmética do seu antecessor e
do seu sucessor.
Exemplo 1.13. Consideremos a PA (4, 8, 12, 16, 20, 24, 28) e escolhamos três termos consecutivos quaisquer.
Por exemplo: 8, 12 e 16 ou 20, 24 e 28. Observe que o termo médio é sempre a média aritmética dos outros
dois termos. De fato,
8 + 16 20 + 28
= 12 e = 24.
2 2
1.15 Proposição. Ao selecionarmos uma quantidade ímpar e sucessiva de termos de uma PA, o termo do
meio (médio) é a média aritmética do primeiro termo e do último termo.
Exemplo 1.14. Consideremos os termos (3, 6, 9, 12, 15, 18, 21) de uma PA, observamos que o termo médio é
3 + 21
12 e que 12 = .
2
1.16 Proposição. Ao selecionarmos uma determinada quantidade sucessiva de termos de uma PA, a soma
de dois termos eqüidistantes dos extremos desta seleção é igual à soma dos extremos.
Exemplo 1.15. Consideremos os termos (3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31) de uma PA e observe que:
9
7 e 3 >
>
=
11 e 23 são os termos eqüidistantes dos extremos 3 e 31
>
>
;
15 e 19
e, ainda, que
7 + 27 = 34
11 + 23 = 34
15 + 19 = 34
1.17 Proposição. A fórmula do termo geral de uma progressão aritmética é expressa por:
an = a1 + (n − 1) · r .
Prova: Sabemos que o valor de qualquer termo é igual ao anterior mais a constante, ou seja,
an = an−1 + r , n ≥ 2.
a34 = a1 + 33 · r = 3 + 33 · 6 = 201.
Interpolação Aritmética
É a ação de inserir ou interpolar uma quantidade de meios aritméticos entre extremos de uma progressão
aritmética. A fórmula utilizada é:
an = ak + (n − k ) · r .
Solução: Devemos formar (2, , , , 18), em que: a1 = 2, a5 = 18. Para interpolarmos os três
termos, devemos determinar primeiramente a razão da PA.
Como an = ak + (n − k ) · r , podemos escrever:
an − ak
r=
n−k
18 − 2
Assim, temos que r = = 4. Logo, temos (2, 6, 10, 14, 18)
5−1
1.18 Proposição. A soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é calculada pela seguinte
fórmula:
n
Sn = (a1 + an )
2
e a soma dos termos entre ap e aq é:
(q − p + 1) · (ap + aq )
S(p,q) =
2
CÁLCULO III 17
Prova: Temos que
2Sn = n(a1 + an )
n p+q−1
(a1 + an ) = (ap + aq ) = S(p,q) .
2 2
Observe, aqui, que é utilizada uma propriedade das progressões aritméticas: a soma dos termos dos ex-
tremos é igual à soma dos termos eqüidistantes deles.
Solução: Em primeiro lugar, devemos sempre identificar qual é o primeiro termo da PA, que no exemplo
em questão é a1 = 2 a razão é obtida pela diferença r = a2 − a1 = 6 − 2 = 4. Para encontrar a soma devemos
determinar o a50 ). Assim,
a50 = a1 + 49 · r = 2 + 49 · 4 = 2 + 196 = 198.
50 50
S50 = (a1 + a50 ) · = (2 + 198) · = 200 · 25 = 5.000
2 2
ER 1.13. Um ciclista percorre 20km na primeira hora; 17km na segunda hora, e, assim por diante, em
progressão aritmética. Quantos quilômetros percorrerá em 5 horas?
Solução: Neste exemplo, a progressão aritmética é (20, 17, 14, . . .) e, desta forma, o primeiro elemento
é a1 = 20. Subtraindo elementos consecutivos, encontramos a razão da PA, que, neste caso, é:
r = a2 − a1 = 17 − 20 = −3
Para podemos achar quantos quilômetros ele percorrerá em 5 horas, devemos somar os 5 primeiros termos
da PA e, para isto, precisamos do elemento a5 . Dessa forma:
a5 = a1 + 4r = 20 + 4 · (−3) = 20 − 12 = 8
n 5
Aplicando a fórmula Sn = (a1 + an ) ·= (20 + 8) · = 14 · 5 = 70, concluímos que o valor procurado é 70km.
2 2
Logo, ele percorreu em 5 horas 70km.
Observe que cada número é o dobro do número que vem antes. Veja:
10 é o dobro de 5
20 é o dobro de 10
40 é o dobro de 20
80 é o dobro de 40
160 é o dobro de 80
..
.
Se pegarmos qualquer um dos números desta sucessão e dividi-lo pelo número que o antecede, obteremos
sempre o mesmo quociente.
(c) É falsa.
(d) É verdadeira.
Uma progressão geométrica (PG) é uma seqüência numérica (an ) em que cada termo, a partir do segundo,
é igual ao produto do termo anterior por uma constante q . O número q é chamado de razão da progressão
geométrica.
Portanto, a razão de uma PG é obtida pelo quociente entre um de seus termos por seu antecessor, ou seja,
a2 a3 a4 an
= = = ... = = . . . = q.
a1 a2 a3 an−1
Quanto ao aspecto de monotonia, uma PG pode ser: oscilante, crescente, decrescente, constante e quase
nula.
Uma progressão geométrica crescente é toda progressão geométrica em que cada termo, a partir do se-
gundo, é maior que o termo que o antecede, sendo que, para isso, a razão “q” tem que ser sempre positiva e
diferente de zero.
⋄ (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, . . .) - razão q = 2;
CÁLCULO III 19
Progressão Geométrica Decrescente
Uma progressão geométrica decrescente é toda progressão geométrica em que cada termo, a partir do
segundo, é menor que o termo que o antecede, sendo que, para isso, a razão ”q” tem que ser sempre positiva
e diferente de zero.
⋄ (−1, −2, −4, −8, −16, −32, −64, −128, −256, −512, −1024, −2048, −4096, . . .) - razão q = −2;
1
⋄ (8, 4, 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, 1/128, . . .) - razão q = ;
2
Uma progressão geométrica constante é toda progressão geométrica em que todos os termos são iguais,
sendo que para isso a razão q tem que, caso a1 diferente de 0 (zero), ser sempre 1 ou 0.
⋄ (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, . . .) - razão q = 1;
⋄ (3, 3, 3, 3, . . .) - razão q = 1.
Uma progressão geométrica oscilante (ou alternante) é toda progressão geométrica em que todos os termos
são diferentes de zero e dois termos consecutivos têm sempre sinais opostos, sendo que, para isso, a razão
”q” tem que ser sempre negativa e diferente de zero.
⋄ (3, −6, 12, −24, 48, −96, 192, −384, 768, . . .) - razão q = −2;
E se quiséssemos obter o oitavo termo da PG (5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, . . .)?
Certamente, faríamos 320 · 2 = 640. Mas como faríamos se tivéssemos que calcular o termo a21 ? Teríamos
que multiplicar por 2 o termo 640 e o resultado deste produto, multiplicaríamos, novamente, por dois, num
processo recursivo que só cessaria quando chegássemos a a2 0 · 2? Certamente não, isso é muito trabalhoso e
deve existir algo mais simples. Vejamos:
a2 = a1 · q
a3 = a2 · q = a1 · q · q = a1 · q 2
a4 = a3 · q = a1 · q 2 · q = a1 · q 3
..
.
an = an−1 · q = a1 · q n−2 · q = a1 · q n−1
Sendo assim, a fórmula do termo geral de uma progressão geométrica (an ) é expressa por:
an = a1 · q n−1 ,
De modo geral, o n-ésimo termo pode ser calculado a partir do m-ésimo termo, simplesmente, por:
an = am q n − m .
Voltando ao problema de calcular o termo a21 da PG (5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, . . .). Veja que ele reduziu-se
à utilização de uma simples fórmula. De fato,
a21 = a1 · q 20 = 5 · 220 .
Interpolar n − 2 meios geométricos entre dois números dados a1 e an , significa obter uma PG com n termos
de uma PG, cujos extremos são a1 e an , sendo que a1 é o primeiro termo da PG e an é o n-ésimo termo da PG.
Para realizar a interpolação geométrica, basta determinar a razão da PG.
Solução: Basta fazermos a1 = 3, an = 48. Como são 5 meios geométricos, temos que n = 7 e, para
obter a razão da PG, temos que a7 = a1 · q 6 . Logo, 192 = 3q 4 . Segue que q 6 = 64. Assim, q = 2. Temos,
então, que os 7 termos da PG são:
(3, 6, 12, 24, 48, 96, 192).
CÁLCULO III 21
1.7.8 Soma dos Finitos Termos de uma PG
1.19 Proposição. A soma dos n primeiros termos de uma PG (an ) é dada por:
a1 · (q n − 1)
Sn = .
q−1
Sn = a1 + a2 + a3 + . . . + an = a1 + a1 · q + a1 · q 2 + . . . + a1 · q n−1
q · Sn = a1 · q + a1 · q 2 + a1 · q 3 + . . . + a1 · q n
Segue que,
2
Solução: Observe que neste caso que a1 = 1 e a razão é q = = 2. Portanto,
1
(q 12 − 1) (212 − 1)
S12 = a1 · =1· = 4.096 − 1 = 4.095
(q − 1) 2−1
1.20 Proposição. Se uma PG possui razão −1 < q < 1, a soma de seus infinitos termos é dada por:
a1
S∞ = .
1−q
x x x x
ER 1.16. Resolva a equação: x + + + + + . . . = 100.
2 4 8 16
1
Solução: Observe que o primeiro membro da equação é uma PG, onde a1 = x e q = . Logo,
2
x
= 100
1
1−
2
Dessa equação, encontramos x = 50.
Exercícios Propostos
x x2 x3 1
EP 1.17. A soma dos infinitos termos da PG , , ,... é igual a . Qual o valor de x ?
2 4 8 10
EP 1.19. As medidas dos lados de um triângulo retângulo estão em PA de razão 3. Calcule essas medidas.
EP 1.20. Determine a condição para que três números a, b e c estejam, simultaneamente, em progressão
aritmética e em progressão geométrica.
EP 1.21. Determine a soma dos elementos da seqüência numérica infinita (3; 0, 9; 0, 09; 0, 009; . . .).
EP 1.22. Uma progressão aritmética e uma progressão geométrica têm, ambas, o primeiro termo igual a
4, sendo que os seus terceiros termos são estritamente positivos e coincidem. Sabe-se ainda que o segundo
termo da progressão aritmética excede o segundo termo da progressão geométrica em 2. Então, determine o
terceiro termo das progressões.
EP 1.23. A soma dos vinte primeiros termos de uma progressão aritmética é −15. Determine a soma do
sexto termo dessa PA, com o décimo quinto termo.
EP 1.24. Um operador de máquina chegou 30 minutos atrasado no seu posto de trabalho, mas como a
máquina que ele monitora é automática, começou a trabalhar na hora programada.
(a) Sabendo-se que a máquina produz 10n peças por minuto, em que n é o números de minutos, quantas
peças a máquina produziu até a chegada do operador?
(b) Sabendo-se que depois de uma hora, a máquina produz a mesma quantidade de peças, quantas peças
terá feito a máquina ao final do expediente de quatro horas?
EP 1.25. Determine o sexto termo de uma PG, na qual dois meios geométricos estão inseridos entre 3 e
−24, tomados nessa ordem.
EP 1.26. Os termos da seqüência (10, 8, 11, 9, 12, 10, 13, . . .) obedecem a uma lei de formação. Se an , em que
n pertence a N, é o termo de ordem n dessa seqüência. Determine a30 + a55 .
EP 1.27. Sendo Sn a soma dos termos de uma PA de razão 4, em que a1 = 6, determine n tal que Sn é igual
a 1.456.
EP 1.28. Seja S a soma dos números inteiros positivos menores que 100 e que não são divisíveis por 9.
1
Determine o valor de × S.
396
Gabarito
1
1.5 (a) Diverge; (b); (c) 5; (d) 1; (e) 0; (f) Diverge; (g) Diverge; (h) Diverge. 1.6 (a) Decrescente; (b) Decrescente; (c) Crescente. 1.7 1.8
3
2 −1 10 − 1031 4(10 − 1061)
3. 1.17 . 1.18 . 1.19 9, 12 e 15. 1.20 a = b = c . 1.21 4. 1.22 16. 1.23 −1, 5. 1.24 (a) , (b) . 1.25
11 3 9 9
−96. 1.26 59. 1.27 26. 1.28 11.
CÁLCULO III 23
TEMA 02 Séries Numéricas e de Funções
Séries Numéricas
Apresentação
Construiremos, somando-se os termos de uma seqüência numérica, uma outra seqüência, e a sua soma in-
finita daremos o nome de série numérica. Abordaremos, neste capítulo, mais alguns critérios de convergência,
mas agora será para séries. Assim sendo, o estudante deverá tomar cuidado e não usar esses critérios para
seqüências.
Breve Histórico
O problema de se somar infinitos números surgiu há séculos. Arquimedes (250 a.C.), a fim de obter a área de
um segmento parabólico, necessitou calcular a soma dos inversos dos quadrados dos naturais, a progressão:
1 1 1 1 4
1+ + + + + ... = .
4 16 64 256 3
Embora seu cálculo não tenha sido feito por processos infinitos, que eram mal vistos em seu tempo, este foi
um dos primeiros cálculos de somas infinitas.
Por volta de 1.350, utilizando “processos infinitos”, R. Suiseth (mais conhecido como Calculator) resolveu
um problema sobre latitude de formas utilizando uma longa prova verbal (desconhecia representação gráfica)
equivalente, matematicamente, ao cálculo da soma
1 2 3 n
+ + + . . . + n + . . . = 2.
2 4 8 2
Nesta mesma época, N. Oresme deu a primeira prova que a já conhecida “série harmônica”, soma dos inversos
dos infinitos números naturais não-nulos, era divergente, ou seja,
1 1 1 1
+ + + . . . + = +∞.
2 3 4 n
Agrupando os seus termos do seguinte modo
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
= + + + + + + + + + ...+ + ...
2 3 4 5 6 7 8 9 10 16
1
e observando que cada parcela entre parênteses é maior ou igual do que , a soma de todas as parcelas
2
1
poderia ser majorada por uma infinidade de parcelas iguais a , ou seja,
2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
+ + + + + + + + + ...+ + ... ≥ + + + + . . . = +∞.
2 3 4 5 6 7 8 9 10 16 2 2 2 2
Outros avanços relacionados à séries foram obtidos, em 1.668, por J. Gregory e N. Mercator. Eles trabal-
haram nas chamadas “séries de potências de x ”. Estas, foram usadas para exprimir funções conhecidas, tais
como sen(x ), cos(x ) e tg(x ), dentre outras.
Em 1.748, L. Euler publicou o texto Introductio in analysin infinitorum, em dois volumes. O primeiro deles
versava sobre processos infinitos, entre os quais séries infinitas. Euler era pouco cuidadoso no uso de tais
z3 z5
séries, e as manipulava arriscadamente. Usando a série da função sen(z ) = z − + − . . . e de artifícios
3! 5!
engenhosos, Euler conseguiu resolver uma difícil questão que J. Bernoulli não tivera sucesso: obteve a soma
dos recíprocos dos quadrados perfeitos. Após alguns cálculos, Euler obteve que
1 1 1 1 1
+ + + + ... = ,
π2 (2π)2 (3π)2 (4π)2 6
e daí concluiu que
1 1 1 1 π2
2
+ 2+ 2+ 2 = .
1 2 3 4 6
Outros nomes ilustres, no Século X I X , compõem o cenário que trata da convergência das séries numéricas
e das séries de funções, como Lagrange, Laplace, Dirichlet, Fourier, Cauchy, Bolzano e Weierstrass.
Introdução
Nos deparamos, diversas vezes, em que um determinado número é obtido da adição de infinitas parcelas.
Por exemplo, quando encontramos a fração geratriz de uma dizima periódica ou, ainda, a soma dos infinitos
termos de uma progressão geométrica. A questão é: quando saberemos que, partindo-se da adição de infinitos
termos, obteremos uma soma?
2.1 Definição. [Série Numérica] A adição dos infinitos termos de uma seqüência numérica (an ) chamaremos
de série numérica ou, simplesmente, série. Em símbolos, temos:
∞
X X X
a1 + a2 + . . . + an + . . . = an = an = an ,
n=1 n≥1
Portanto, uma série é uma adição de infinitos termos de uma seqüência previamente estipulada.
Nota 15. Em certos casos podemos tratar de séries em que a primeira parcela parte do a0 . Assim,
X∞ X X 1
denotaremos essa série por an = an . Por exemplo, a série numérica .
n=0 n≥0 n≥0
n+1
CÁLCULO III 25
Exemplo 2.1.
X
2.2 Definição. [Seqüência das Somas Parciais] Dado uma série numérica an , formaremos uma seqüência
n≥1
(sn ), da seguinte forma:
s1 = a1
s2 = a1 + a2 = s 1 + a2
s3 = a1 + a2 + a3 = s 2 + a3
..
.
n
X
sn = a1 + a2 . . . + an = Sn−1 + an = aj
j =1
X
(sn ) é, portanto, a seqüência das somas parciais das parcelas da série an .
n≥1
n
X
Observe que o n-ésimo termo aj da seqüência das somas parciais (sn ), representa a soma parcial nos n
j =1
primeiros termos da seqüência numérica (an ).
X 1
Exemplo 2.2. Considere a série . Assim,
n(n + 1)
n≥1
1
s1 =
2
1 1 2
s2 = + =
2 6 3
1 1 1 3
s3 = + + =
2 6 12 4
1 1 1 1 4
s3 = + + + =
2 6 12 20 5
.. ..
. .
1 1 1 1
Sn = + + + ... +
2 6 12 n(n + 1)
1 2 3 X 1
A seqüência , , , . . . é a das somas parciais da série .
2 3 4 n(n + 1)
n≥1
X 1
ER 2.1. Encontre a soma da série numérica .
n≥1
(2n − 1) · (2n + 1)
1 2 3 n
Sn = + + + ... +
3 5 7 2n + 1
1 2 3 X n
Dessa forma, a seqüência de somas parciais de , , , . . . será representada por .
3 5 7 n≥1
2n + 1
X
ER 2.2. Dada a série numérica (1 + (−1)n ), encontre sua série de somas parciais.
n≥1
s1 = 0
s2 = 0+2 = 2
s3 = 0+2+0 = 2
.. ..
. .
8
<
n − 1, se n é ímpar
Sn =
:
n, se n é par
X 1 n
2.3 Proposição. A soma parcial dos n primeiros termos da série é .
n(n + 1) n + 1
n≥1
Prova: Faremos, por indução finita. Como a seqüência das somas parciais é
1 2 3 4
, , , ... ,
2 3 4 5
n
vamos supor que seu n-ésimo termo é . Assim, o próximo termo desta é:
n+1
n 1 n+1
+ = .
n + 1 (n + 1)(n + 2) n+2
CÁLCULO III 27
ER 2.3. Através da seqüência das somas parciais analise a convergência da série:
X 1
.
(n + 1)(n + 2)
n≥1
e, para n = 0, temos:
X 1 1 X 1
= + .
(n + 1)(n + 2) 2 (n + 1)(n + 2)
n≥0 n≥1
Segue que:
1 X 1 n
+ = ,
2 n≥1 (n + 1)(n + 2) n+1
ou seja,
X 1 n 1
= − .
n≥1
(n + 1)(n + 2) n+1 2
Assim,
X 1 n−1
= .
(n + 1)(n + 2) 2(n + 1)
n≥1
n−1
Portanto, a série converge para .
2(n + 1)
Esse problema é de fácil solução: igualamos 0, 4444444 . . . a uma letra x e ao subtrairmos os números 10x
e x , nesta ordem, obteremos o que desejamos. De fato,
4
10x − x = 4, 444444 . . . − 0, 44444 . . . ⇒ 9x = 4 ⇒ x = .
9
Mas, veja só: 0, 444444 . . . pode ser visto como a soma de infinitos termos; a saber:
0, 4444444 . . . = 0, 4 + 0, 04 + 0, 004 + . . .
4
e a adição destes infinitos termos nos dá o valor ! Este fato não o impressiona?
9
X
2.4 Definição. Considere a seqüência (sn ) das somas parciais de (an ). Diremos que a série an converge
n≥1
X
para a sua soma S ∈ R, se lim sn = S . Neste caso, escreveremos an = S .
n→∞
n≥1
X
Uma série an é, portanto, convergente, quando os termos da seqüência das somas parciais se aproxi-
n≥1
mam de um determinado valor S ∈ R, à medida que os valores de n crescem indefinidamente.
4
Assim, a seqüência (0, 4; 0, 4 + 0, 04; 0, 4 + 0, 04 + 0, 004; . . .) é convergente e 0, 4 + 0, 04 + 0, 004 + . . . = .
9
Exemplo 2.3. A série do exemplo 2.1 é convergente. De fato,
n
lim = 1.
n→∞ n+1
Observemos que, para as séries divergentes, nada podemos afirmar. Em outras palavras, podemos somar
duas séries divergentes e obter como resultado uma série convergente. Veja o seguinte exemplo:
X X
Exemplo 2.4. Por exemplo, as séries ne −n são ambas divergentes; contudo a soma das duas será
n≥1 n≥1
converge.
X
Solução: A série n realmente é divergente, pois: lim n = ∞. Lembrando que isto é uma condição
n→∞
n≥1
necessária mas não suficiente, ou seja, caso o limite do termo geral da série fosse igual a zero não
poderíamos afirmar nada sobre a convergência da série. Observe, agora, que:
lim −n = − lim n = −∞
n→∞ n→∞
X
significando, portanto, que a série −n diverge. Somando as duas séries temos:
n≥1
X X X X
n+ −n = (n − n) = 0
n≥1 n≥1 n≥1 n≥1
X X
dessa forma, concluímos que (n − n) = 0 é convergente, porque é uma série constante. Assim a soma
n≥1 n≥1
de séries divergentes poderá proporcionar como resultado, uma série convergente.
Exercícios Propostos
CÁLCULO III 29
X 1
e, assim, q n−1 = .
n≥1
1−q
Solução:
n−1
X 3 n X 3 3 3 X 3 n−1 3 X 3 n
(a) = · = . Portanto, < 1. Assim, converge e:
5 5 5 5 5 5 5
n≥1 n≥1 n≥1 n≥1
n
X 3 3 1 3 5 3
= · = · = .
5 5 3 5 2 2
n≥1 1−
5
n n−1 n−1 n
X 5 X 5 5 5X 5 5 X 5
(b) = · = . Portanto, ≥ 1. Logo, diverge.
n≥1
3 n≥1
3 3 3 n≥1 3 3 n≥1
3
n−1
X (−2)n−2 X (−2)−1 (−2)n−1 (−2)−1 X −2 −2 X (−2)n−2
(c) = · = . Portanto, < 1. Assim,
3n 3 3n−1 3 3 3 3n
n≥1 n≥1 n≥1 n≥1
converge e:
X (−2)n−2 (−2)−1 1 (−2)−1 3 1
= · = · =− .
3n 3 (−2) 3 5 10
n≥1 1−
3
Exercícios Propostos
Nem sempre será possível analisar a convergência de uma série com os resultados até agora citados. Por
isso, veremos outros critérios.
n+1 1
Solução: (a) lim = . Logo, pelo teste da divergência, temos que a série diverge.
3n + 4
n→∞ 3
n 1
(b) lim = lim = +∞. Novamente, pelo teste da divergência, podemos concluir que a
n→∞ ln(n + 1) n→∞ 1
n+1
série acima diverge.
Exercícios Propostos
X X
(i) Se bn converge, então an também converge.
n≥1 n≥1
X X
(ii) Se an diverge, então bn também diverge.
n≥1 n≥1
X
Prova: (i) Vamos supor que bn converge. Considerando que Sn e Tn são as somas parciais das
n≥1
X X
séries an e bn , respectivamente, temos que existe um número real T tal que lim Tn = T . Como
n≥1 n≥1
an ≤ bn , segue, imediatamente, que Sn ≤ Tn < T , pois, T é um limite superior para a seqüência (Tn ). Além
disso, observa-se que S1 = a1 ≤ a1 + a2 = S2 , . . . , Sn ≤ Sn + 1, ou seja, Sn é limitada e crescente. Portanto,
X
an converge.
n≥1
X
(ii) Basta supor que bn é convergente e aplicar o item anterior.
n≥1
X 3
ER 2.9. Analise o comportamento da série
5n + 1
n≥1
CÁLCULO III 31
X 1
ER 2.10. Analise o comportamento da série .
n≥1
3n − 2
Além do teste da comparação, teremos, também, um outro teste chamado de teste da comparação por
limite. Sendo este mais adequado para algumas séries as quais não podemos, facilmente, comparar.
X X
2.7 Teorema. [Teste da Comparação por Limite] Sejam as séries an e bn ambas de termos positivos.
n≥1 n≥1
an
(i) Se lim = k > 0, então ambas as séries tem o mesmo comportamento.
bn
an X X
(ii) Se lim =0e bn converge, então a série an converge.
bn
an X X
(iii) Se lim =∞e bn diverge, então a série an diverge.
bn
an k k an 3k
Prova: (i) Como lim = k > 0 e dado ǫ = temos que existe n0 tal que n ≥ n0 ⇒ < < ⇒
bn 2 2 bn 2
k 3k
bn < an < bn .
2 2
Agora, vamos analisar todos os possíveis casos:
X 3k X
(a) Se bn converge e an < bn , segue que an converge.
2
n≥1 n≥1
X 3k X
(b) Se an diverge e an < bn , segue que bn diverge.
2
n≥1 n≥1
X k X
(c) Se bn diverge e bn < an , segue que an diverge.
2
n≥1 n≥1
X k X
(d) Se an converge e bn < an , segue que bn converge.
2
n≥1 n≥1
Os ítens (ii) e (iii) prova-se de maneira análoga ao anterior e, por isso, deixamos a cargo do leitor.
√
X 2n + 3
ER 2.11. Verifique se a série é convergente utilizando o teste da comparação por limites.
n+5
n≥1
Solução: Para usar o teste da comparação por limites, precisamos encontrar uma série a qual já con-
X 1
hecemos a sua convergência e, uma candidata é a série divergente . Logo,
n≥1
n+5
√
2n + 3
√
lim n + 5 = lim 2n + 3 = ∞,
1
n+5
ou seja, a série inicial diverge.
X
2.8 Teorema. [Teste da Integral] Seja an uma série de termos positivos. Se existe uma função f contínua,
n≥1
positiva e decrescente, para x ≥ 1, tal que f (n) = an , então, a série tem o mesmo comportamento que
Z ∞
f (x ) dx .
1
X
Prova: Considere sn a soma parcial da série an . Uma das propriedades de integral é que para funções
n≥1
Z i +1
decrescente teremos ai +1 ≤ f (x ) dx ≤ ai . Logo,
i
Z 2 Z n+1
a2 + . . . + an+1 ≤ f (x ) dx + . . . + f (x )dx
Z1 n+1 n
= f (x )dx
1
≤ a1 + . . . + an
X 1
ER 2.12. Utilize o teste da integral para estudar o comportamento da série
n≥1
n4
1
Solução: Veja que, f (x ) = é positiva, contínua e decrescente (f ′ (x ) < 0), para todo x ≥ 1. Logo,
x4
podemos aplicar o teste da integral. Daí,
Z +∞ Z a a
dx dx 1
= lim = lim
1 x4 a→+∞ 1 x 4 a→+∞ −3x 3
1
1 1 1
= lim + =
a→+∞ −3a3 3 3
X 1
Logo, converge.
n4
n≥1
2.2.6 As p-Séries
X 1
2.9 Definição. É toda série dada por , com p ∈ N.
np
n≥1
CÁLCULO III 33
2.2.7 A Convergência de uma p-Série
X 1
2.10 Teorema. Considere a série dada por , com p ∈ N. Se p > 1, a série converge. Caso p = 0 ou
n≥1
np
p = 1, diverge.
Como p > 1,
n−p+1 − 1 1
lim = .
n→∞ −p + 1 p−1
Segue, imediatamente, que a série converge.
A prova para o caso p = 0 e para o caso p = 1 é deixada para o leitor.
X 1
Nota 19. Em resumo, temos que a p -série , converge quando p > 1 e diverge quando 0 < p ≤ 1.
n≥1
np
A p -série é uma ferramenta bastante utilizada no estudo de séries.
Exercícios Propostos
EP 2.13. Use o teste da comparação ou comparação por limites para analisar o comportamento das séries
abaixo:
X X X X X n
1 1 1 1
(a) . (b) √ . (c) sen( ). (d) . (e) .
2 + 5n n−1 n ln(n) n≥0
n5 + 3n 2 + 1
n≥0 n≥2 n≥1 n≥2
EP 2.14. Utilize o teste da integral para estudar o comportamento das seguintes séries:
X X X
1 ln(n) 2
(a) . (b) . (c) xe −x .
3n + 1 n n≥0
n≥1 n≥1
Os testes estudados até esse momento são específicos, isto é, eles servem para analisar alguns tipos de
séries. Por essa razão, necessitaremos de testes mais práticos incluindo as séries de termos negativos e
alternados. Porém, antes de enunciá-los, daremos a definição de convergência absoluta.
X X
2.11 Definição. Uma série an é dita absolutamente convergente quando a série |an | convergir.
n≥1 n≥1
X cos(n) X | cos(n)| X 1
Exemplo 2.5. A série converge absolutamente, pois, ≤ devido ao fato que
n2 n2 n2
n≥1 n≥1 n≥1
| cos(n)| ≤ 1.
O próximo resultado não será demonstrado pelo fato de ser preciso o conceito de seqüência de Cauchy, no
qual não foi dado neste curso. Contudo, no livro de Elon há uma elegante prova.
X È
n
2.13 Teorema. Considere a série an e A = lim |an |. Então:
n→∞
n≥1
X 1 X 1
Prova: Primeiro provaremos o item (iii). Para tal, tomemos as séries e . Para ambas teremos
n n2
n≥1 n≥1
que A = 1, mas uma diverge enquanto que a outra converge. Suponhamos que 0 ≤ A < 1 e, assim, existe
r ∈ R tal que 0 ≤ A < 1.
È È
Como A = lim n
|an | temos que existe n0 ∈ N tal que n ≥ n0 ⇒ n
|an | ≤ A < r < 1 ⇒ |an | < r n . Mas,
X
0 < r < 1. Portanto, temos que a série r n converge e pelo teste da comparação. Segue, imediatamente,
n≥1
X
que a an converge absolutamente.
n≥1
Para o caso A > 1, deixamos a cargo do leitor.
X 1
Solução: (a) . Logo,
n≥1
nn
Ê r
1 1 1
lim n n
n
= lim = lim = 0.
n nn n
Portanto, a série éconverge e absolutamente convergente.
X 1 n
(2) 1+ . Assim,
n
n≥1
Ê Ê
n n
1 1 1
n n
lim 1 +
= lim 1+ = lim 1 + = 1.
n n n
Para este caso, nada poderemos afirmar. Já pelo teste da divergência, garantimos que a série diverge.
X √
(3) ( n n + 1)n . Logo,
n≥1
È √ È
n n
√ √
lim ( n + 1)n = lim n
( n n + 1)n = lim n n + 1 = 2.
CÁLCULO III 35
2.2.10 O Teste da Razão
A demonstração do resultado a seguir obedece o mesmo princípio do teste da raiz, onde se busca uma
série majorante. Dessa forma omitiremos alguns detalhes de forma a simplificar o entendimento.
X |an+1 |
2.14 Teorema. Considere a série an e L = lim . Então,
n→∞ |an |
n≥1
Prova: Para provar o item (iii), basta tomar, novamente, as séries harmônica e uma p -série convergente.
Suponhamos que 0 ≤ L < 1 e, assim, temos garantido a existência de um r ∈ R tal que 0 ≤ L < r < 1.
|an+1 |
Logo, existe n0 ∈ N tal que n ≥ n0 ⇒ ≤ L < r < 1 ⇒ |an+p | < r p |an0 |. Como 0 < r < 1, temos
X
|a n |
que a série r p |an0 | e, pelo teste da convergência, segue, imediatamente, que a série inicial converge
n ≥n0
absolutamente.
Para o caso L > 1, deixamos a cargo do leitor.
e, pelo teste da razão, nada podemos concluir. Porém, usando o teste da comparação por limite, verificamos
que essa série diverge.
X
(d) ln(n)
n≥1
Temos que:
|an+1 | | ln(n + 1)| ln(n + 1)
lim = lim = lim = 1.
|an | | ln(n)| ln(n)
Exercícios Propostos
2.15 Teorema. Seja (an ) uma seqüência decrescente de termos positivos convergindo para zero. Então, a
X
série (−1)n+1 an converge.
n≥1
Prova: Consideremos as somas parciais sn desta série. Nosso objetivo será dividir sn em duas partes:
índices pares e ímpares.
Primeiro, observemos que, pelo fato da seqüência an ser decrescente, teremos que s2n é crescente, tal
que 0 < s2n < a1 . Segue que s2n → S .
Por outro lado, S2n+1 = S2n + a2n+1 ⇒ S2n+1 → S . Portanto, a série é convergente. 2
X X
n+1 n
Em outras palavras, o teste de Leibnitz diz que dada a série alternada (−1) an ou (−1) an se
n≥1 n≥1
an > 0, an > an+1 , para todo n, e lim an = 0, então esta série é convergente.
n→+∞
X 1
ER 2.18. Pelo teste de Leibnitz verifica-se que a série alternada (−1)n+1 converge.
n
n≥1
1 1 1
Solução: Observe que an = . Assim, an = > 0, lim = 0 e
n n n
1 1
> ⇒ an > an+1
n n+1
X 1
Desta forma, a série é decrescente. Logo (−1)n+1 converge.
n≥1
n
Exercícios Propostos
CÁLCULO III 37
Séries de Funções: Uma Pequena Introdução
Seqüências de Funções
Vimos, anteriormente, o conceito de seqüências numéricas. Vamos considerar, agora, sequências (fn )
cujos elementos são funções reais que possuem um domínio em comum. Para cada x pertencente a esse
domínio, podemos construir uma outra seqüência numérica (fn (x )) cujos termos correspondem aos valores de
fn associados a x .
Considere uma seqüência de funções (fn ). A seqüência numérica gerada por um determinado valor x0 ∈
Domfn , ou seja, (fn (x0 )), daremos o nome de seqüência pontual de (fn ) em x = x0 .
x x2 x3 x4 ··· x 10 ···
0 0 0 0 ··· 0 ···
0, 1 0, 01 0, 001 0, 0001 ··· 10−10 ···
0, 9 0, 81 0, 729 0, 6561 ··· 0.34867844 · · ·
1 1 1 1 ··· 1 ···
Observe que, para cada x ∈ [0, 1], temos uma seqüência numérica diferente.
2.16 Definição. Seja (fn ) uma seqüência de funções definidas em D ⊂ R. A adição dos infinitos termos desta
X
é dita uma série de funções, ou seja, f1 + f2 + . . . + fn + . . . = fn .
n≥1
Evidentemente que, para cada x ∈ D fixado, a série de funções torna-se uma série numérica e, por isso, é
tão importante um estudo anterior e aprofundado de séries numéricas. Além disso, a função limite f da série
tem o mesmo domínio da seqüência (fn ).
X
Exemplo 2.6. Seja a série x n . Observemos que, para x = 0, 5 teremos uma série geométrica convergente
n≥0
n
X 1
, enquanto que, para x = 3, teremos uma série numérica divergente (verifique isto utilizando métodos
2
n≥0
já estudados).
X
É natural questionarmos para que elementos de D se garante a convergência da série fn . Para resolver
n≥1
esta questão, vamos definir uma região do domínio a qual a série de funções converge para uma função real
f , e esta região é conhecida como domínio de convergência.
X
Prova: A convergência da série numérica Mn garante que, dado ǫ > 0, existe n0 tal que n > n0 ⇒
n≥1
n
X ∞
X ∞
X
|f (x ) − fj (x )| = | fj (x )| ≤ Mj < ǫ e isto independe de x ∈ D .
j =1 j =n+1 j =n+1
X
Pelo teste da comparação, a série fn é convergente.
n≥1
X
Nota 21. Se fn é uma série de funções contínuas (ou deriváveis ou integráveis) convergente, sua
n≥1
soma é contínua (ou derivável ou integrável).
X
Prova: Como an (x − a)n converge, temos que lim an (x − a)n = 0. Assim, fixando ǫ = 1, temos que
n→∞
n≥1
existe n0 , tal que
∀ n ≥ n0 ⇒ |an (x − a)n | < 1. ( 2.2)
(b − a)
Tomemos q = . Por ( 2.2 e ( 2.3) concluímos que |an (x − a)n | < q n < 1.
(x − a) X
Pelo critério de Weirsstres, temos que a série an (x − a)n converge para todo x ∈ (a − r , a + r ).
n≥1
X
2.20 Corolário. Se an (x − a)n diverge, para x = b , então a série diverge, para todo x em D tal que
n≥1
|x − a| > |b − a| = r .
CÁLCULO III 39
(i) A série converge apenas em x = a;
(iii) Existe r > 0, tal que a série converge, absolutamente, para todo x ∈ (a − r , a + r ).
Nota 22. Para a primeira possibilidade, temos, na realidade, que o raio de convergência é nulo; enquanto
que para a segunda, o raio é infinito. No terceiro caso, temos que I = (a − r , a + r ) é uma região de
convergência da série de potências. Partindo-se de I , podemos determinar o domínio de convergência
da série (conjunto de todos pontos os quais a série é convergente), verificando se a série de potências
converge, pontualmente, para os extremos do intervalo I .
X
2.22 Teorema. Seja a série de potência an (x − a)n . Então o raio de convergência r da série é dado por
n≥1
|an |
r = lim .
n→∞ |an+1 |
|an+1 |
Tomemos L = lim . Temos, somente, três possibilidades:
n→∞ |an |
1. (1) L = 0 e a série converge para todo x em R, isto é, r = ∞.
Solução: (a)
2n
|an | (2n)! 2n (2n + 2)! (2n + 2)(2n + 1)
r = lim = lim n +1 = lim = lim = ∞. Portanto, o domínio
n→∞ |an+1 | n→∞ 2 n→∞ 2n+1 (2n)! n→∞ 2
(2[n + 1])!
de convergência é R.
1
|an | (n + 1)2n (n + 2)2n+1 n+2
(b) r = lim = lim = lim = 2 · lim = 2.
|an+1 | 1 (n + 1)2n n+1
(n + 2)2n+1
Portanto, (−1, 3) é um intervalo de convergência. Porém, até este momento, não estudamos o comportamento
da série nos extremos do intervalo de convergência, mas esta análise é tão importante para o resultado final.
X 1
1. Para x = −1, temos a série , que é divergente.
n+1
n≥0
Exercício Proposto
Dada uma função f (x ), n vezes continuamente derivável num ponto a e numa vizinhança de a, com raio r>0,
desejamos encontrar uma série de potências de (x-a) para representar esta função. Ou seja:
Está claro que a série de potências estará determinada tão logo saibamos os seus coeficientes an , n =
X
0, 1, 2, 3, . . .. Daí, seja f (x ) = an (x − a)n contínua e derivável em x = a. Assim,
n≥0
f (x ) = a0 + a1 (x − a) + a2 (x − a)2 + · · · ⇒ f (a) = a0
f ′ (x ) = a1 + 2a2 (x − a) + . . . ⇒ f ′ (a) = a1
f ′′ (x ) = 2a2 + 6a3 (x − a) + . . . ⇒ f ′′ (a) = 2a2
f ′′′ (x ) = 6a3 + 24a4 (x − a) . . . ⇒ f ′′′ (a) = 6a3
f (n) (a)
an = .
n!
Dessa forma, dada uma função f de classe C ∞ , desejamos encontrar uma série de potência para representá-
la na vizinhança de um ponto de R.
X f (n) (a)
2.23 Definição. Seja função f de classe C ∞ , a série (x − a)n é dita série de Taylor da função f (x )
n≥0
n!
no ponto a.
X f (n) (0) n
2.24 Definição. Se a = 0, a série x é chamada de série de Maclaurin da função f (x ).
n≥0
n!
ER 2.22. Encontre a série de Taylor, em torno da origem, para cada uma das funções a seguir:
1
(a) f (x ) = e x ; (b) f (x ) = .
1−x
CÁLCULO III 41
Logo, e x em série de Taylor, para a = 0, é:
X f (n) (0) n X 1 n
f (x ) = e x = x = x .
n≥0
n! n≥0
n!
(b)
n!
f ′ (x ) = (1 − x )−2 , f ′′ (x ) = 2(1 − x )−3 , f ′′′ (x ) = 6(1 − x )−4 , . . . , f (n) (x ) = ⇒ f (n) (0) = n!
(1 − x )n+1
1
Logo, em série de Taylor, para a = 0, é:
1−x
1 X f (n) (0) X n! X
f (x ) = = xn = xn = x n.
1−x n≥0
n ! n≥0
n ! n≥0
ER 2.23. Utilize os resultados dos exercícios anteriores para encontrar a série de Taylor das funções abaixo,
no ponto a indicado:
1
(a) f (x ) = , a = 0. (b) f (x ) = e −2x , a = −1.
(1 + x )2
1 X
Solução: (a) Observe que vimos anteriormente que = (−1)n x n . Derivando ambos os lados,
1+x
n≥0
teremos:
−1 X
2
= (−1)n nx n−1
(1 + x ) n≥0
Logo,
1 X
= (−1)n+1 nx n−1 .
(1 + x )2
n≥0
X 1 n
(b) Note que e x = x , para a = 0. Para a = −1, ficamos com a série na forma,
n!
n≥0
X 1
e (x +1) = (x + 1)n .
n≥0
n!
X x 2n 1 − cos(x ) 1
ER 2.24. Sabendo que cos(x ) = (−1)n mostre que lim = utilizando séries de Taylor.
x ≥0
(2n)! x →0 x2 2
ER 2.25. Calcule as derivadas f 40 (0) e f 51 (0) da função f (x ) = x 2 · sen(x ) Utilizando séries de Taylor. Dica:
X x 2n+1
sen(x ) = (−1)n .
x ≥0
(2n + 1)!
X x 2n+1
Solução: Observe que sen(x ) = (−1)n possui apenas potências ímpares, dessa forma, toda
x ≥0
(2n + 1)!
derivada cuja potência seja par, será nula. Assim f 40 (0) = 0. Os coeficientes das potências ímpares no ponto
zero são dados por:
f 2n+3 (0) (−1)n
=
(2n + 3)! (2n + 1)!
Como estamos interessados em calcular a derivada de ordem 51 significa dizer que 2n + 3 = 51 e dessa forma
n = 24. Substituindo este valor na equação anterior ficamos com:
f 51 (0) (−1)24
= ⇔ f 51 (0) = 50 · 51
51! 49!
Brook Taylor, nascido em Edmonton, Middlesex, Inglaterra, a 18 de Agosto de 1.685 e falecido em Londres,
Inglaterra, a 29 de dezembro de 1.731. Era filho de John Taylor, da Casa de Bifrons e de Olivia, filha de Nicholas
Tempest. Sua família era, moderadamente, rica e estava ligada à baixa nobreza. Seu avô, Nathaniel, tinha
apoiado Oliver Cromwell. John Taylor era um pai severo e rigoroso, o expulsou de casa em 1.721, quando
Taylor decidiu se casar com uma mulher que, embora pertencesse a uma boa família, não era muito rica.
Em 1.723, Brook voltou à sua casa após a morte de sua esposa durante o parto. Ele se casou novamente
em 1.725, desta vez com a aprovação e benção de seu pai, mas, infelizmente, sua segunda mulher também
morreu durante o parto em 1.730. Sua filha, entretanto, conseguiu sobreviver. A vida pessoal de Taylor parece
ter influenciado seu trabalho em diversas formas. Duas das suas maiores contribuições científicas lidam com
vibrações e desenho em perspectiva. Seu pai era muito interessado em música e artes, sua casa estava
sempre cheia de artistas. Os arquivos da família contém pinturas de Taylor e também um manuscrito não
publicado chamado On Musick, que foi encontrado entre seus papéis no Saint John’s College em Cambridge.
Taylor teve aulas particulares, em casa, antes de entrar para o Saint John’s College em 1.701, onde os
catedráticos em matemática eram John Machin e John Keill. Taylor recebeu seu diploma de Bacharelado em
1.709, foi eleito para a Royal Society de Londres em 1.712 e recebeu o diploma de Doutorado em 1.714. Ele foi
eleito secretário da Royal Society em janeiro de 1.714, mas se demitiu em outubro de 1.718 em virtude de sua
saúde e, talvez, também, pela perda de interesse nesta tarefa cansativa e extenuante.
CÁLCULO III 43
distintas, alcançadas após o exame de grande número de fatos.
O século X V I I I conservou a matemática como principal utensílio e como melhor exercício intelectual. É a
matemática que fornece o tipo das idéias claras, não há linha reta nem círculo na natureza. Mas, a matemática
representa corpos e pode aplicar-se à sua medida, ela pode servir para inventariar o mundo. Os matemáti-
cos do século X V I I I executaram trabalhos essencialmente práticos: processos para resolver os problemas
apresentados pela mecânica e pela astronomia, para explicar os fatos revelados pela observação do céu ou
dos corpos terrestres. Forma de vela retangular inflada pelo vento, linha de queda mais rápida entre duas
verticais sucessivas, traçado de um raio luminoso através de meios com diferentes densidades, causas dos
ventos, movimentos dos fluidos, cordas vibratórias: são esses alguns dos problemas que eram estudados.
Aperfeiçoaram, também, de maneira espantosa, a aparelhagem matemática. Euler, em 1.735, resolveu em três
dias através de seus métodos um problema de astronomia que levara alguns meses para ser resolvido pelos
métodos mais antigos. (Gauss, no século X I X , o solucionou em uma hora).
No último terço do século X V I I , os grandes matemáticos haviam sido os ingleses, como Newton, ou
alemães, como Leibnitz. No século X V I I I , passam a ser suíços (família Bernoulli e Euler) ou franceses
(Clairaut, D’Alembert, Lagrange, Laplace). A relativa decadência dos ingleses justifica-se, talvez, pelo fato
de Newton ter deixado o seu método de cálculo ainda mais imperfeito do que o de Leibnitz e, por outro lado,
pela controvérsia entre ingleses, suíços e alemães sobre uma questão tão grande quanto inútil: quem era
realmente o criador do cálculo infinitesimal, Leibnitz ou Newton?
Enquanto que, em 1.717, Brook Taylor aplicara o cálculo das diferenças finitas aos movimentos das cordas
vibratórias; MacLaurin, em 1.731, utilizou as demonstrações geométricas para dar maior rigor à sua teoria,
segundo a qual uma massa liquida, girando em torno de um eixo, sob a influência da gravitação, toma a forma
de um elipsóide de revolução. Taylor e MacLaurin chamavam, então, a atenção dos seus compatriotas para a
geometria, levando-os a desprezarem a análise.
Sendo membro da Royal Society, Taylor participou, em 1.712, do comitê formado para o julgamento da
questão da prioridade na invenção do Cálculo entre Newton e Leibnitz. Ele visitou a França, diversas vezes,
por razões de saúde e sociais. Durante estas visitas, ele manteve uma constante correspondência com Pierre
Rèmond de Montmort sobre as séries infinitas e sobre o trabalho de Montmort em probabilidade. Taylor serviu
como um tipo de intermediário entre Montmort e Abraham De Moivre.
Taylor publicou o seu primeiro artigo importante na Philosophical Transactions da Royal Society em, 1.714,
que, na verdade, já havia sido escrito em 1.708, de acordo com sua correspondência com Keill. O artigo tratava
da determinação do centro de oscilação de um corpo. Como era costume de Taylor e de outros matemáticos
da época, ele utilizou a notação de pontos ao resolver um problema em mecânica, dando início a uma disputa
com Johann I Bernoulli.
O período entre 1.714 e 1.719 foi, para Taylor, o mais produtivo matematicamente. A primeira edição de
seus dois livros matemáticos Methodus incrementorum directa et inversa e Linear Perspective saiu em 1.715.
Suas segundas edições foram publicadas em 1.717 e 1.719, respectivamente. Taylor também publicou treze
artigos, alguns como cartas na Philosophical Transactions durante os anos de 1.712 a 1.724. Nestes artigos
estão incluídos experimentos com a capilaridade, o magnetismo e o termômetro. Durante os últimos anos de
sua vida Taylor se voltou para escritos religiosos e filosóficos. Seu terceiro livro Comtemplatio philosophica foi
impresso postumamente pelo seu neto em 1.793.
Taylor é conhecido pelo teorema ou processo de se expandir funções em séries infinitas. Existe uma grande
discussão sobre o crédito que deve ser dado a Taylor pela formulação deste teorema.
Seu primeiro relatório do teorema foi escrito em uma carta para John Machin, no dia 26 de julho de 1.712,
e reescrito por H. Bateman. Nele, Taylor conta que a sua descoberta surgiu após uma “dica” de Machin
durante uma palestra no Child’s Coffeehouse sobre a “utilização da série de Sir Isaac Newton para a resolução
do problema de Kepler” e sobre o “método do Dr. Halley para se achar as raízes” de equações polinomiais
Mesmo que as séries infinitas já fossem algo conhecido, Taylor desenvolveu a sua fórmula sozinho e foi o
primeiro a enunciá-la e explicitá-la de uma forma geral. Pringsheim demonstrou que é possível se chegar ao
teorema de Taylor através da fórmula de Bernoulli por meio de algumas mudanças de variáveis. No entanto,
não existem indícios que Taylor fez isso e nem de que Bernoulli se sentira “plagiado”. A preposição X I do
teorema I V , por outro lado, é diretamente equivalente à fórmula de integração de Bernoulli. Mas, a derivação
de Taylor é mais complexa, tanto que lhe é dado o crédito da prioridade do processo de integração por partes.
Taylor foi um dos poucos matemáticos ingleses que conseguiu se manter na disputa com seus rivais do
“Continente”, embora nem sempre conseguisse se sair vitorioso. Bernoulli citou que um problema de integração
publicado por Taylor como um desafio aos “matemáticos não ingleses” já havia sido proposto e resolvido an-
teriormente por Leibnitz em Acta eruditurium. Suas disputas em jornais quase sempre continham frases mais
rudes e, até mesmo, uma vez, foi feita uma aposta entre eles no valor de cinqüenta guinéus. Quando Bernoulli
sugeriu, numa carta pessoal, que suas discussões tomassem um rumo mais “cavalheiresco”, Taylor respondeu
que ele tinha tido a intenção de ser grosseiro e mostrar indignação.
O livro Methodus continha vários pontos adicionais, cuja importância não podia ser notada ou percebida em
um primeiro estudo. Inclui-se o reconhecimento e a determinação de uma solução singular de uma equação
diferencial, uma fórmula que envolve uma mudança de variáveis e relaciona as derivadas de uma função com
as derivadas de sua inversa, a determinação de centros de oscilação e percussão, curvatura e o problema
de vibrações em molas. Os últimos três problemas já tinham sido publicados anteriormente em Philosophical
Transactions, dando continuação ao cálculo de logaritmos.
Newton abordava o problema da curvatura pelo meio da determinação do seu centro como o ponto de
intersecção entre duas normais. Mesmo que este método não tivesse sido publicado até 1.736, Taylor tinha
conhecimento deste trabalho de Newton e, após aplicar a sua própria fórmula para a resolução do mesmo
problema, disse que seus resultados coincidiam com os obtidos por Newton. Taylor, entretanto, imaginava o
raio de curvatura como sendo o raio do círculo limitante entre três pontos de uma curva e associava a curvatura
com o problema do ângulo de contato, citado por Euclides. Ele então usou a curvatura e o ângulo de curvatura
para dar a primeira solução para vibrações normais e o caso de molas. Nas preposições X X I I e X X I I I , ele
demonstrou que, sob suas condições, cada ponto vibra como um pêndulo cicloidal e determinou o seu período
em termos do comprimento e peso da mola e do peso suportado pela mola. Seus trabalhos influenciaram
outros matemáticos, Bernoulli, por exemplo, citou Taylor em cartas escritas para seu filho Daniel, escrevendo
sobre este tópico.
Methodus qualifica Taylor como um dos fundadores do cálculo de diferenças finitas e como um dos primeiros
a utilizá-lo em interpolação e somatória de séries. Taylor contribuiu para a história do barômetro ao explicar a
variação da pressão atmosférica como uma função da altitude e também contribuiu para o estudo da refração
da luz. Como todas as suas publicações, seu livro sobre perspectiva linear era tão conciso que Bernoulli
caracterizou-o como “incompreensível para todos e inteligível para os artistas, para quem ele foi especialmente
escrito”. Até mesmo a sua segunda edição, que continha quase o dobro das quarenta e duas páginas da edição
inicial, não mostrava uma melhora neste aspecto.
Methodus teve quatro edições normais, três traduções e outras vinte e duas edições de doze diferentes
autores, que continham comentários adicionais sobre seus conceitos mais importantes. Ele desenvolveu uma
CÁLCULO III 45
teoria sobre perspectiva de maneira formal, usando uma seqüência de teoremas e as suas respectivas demon-
strações. A sua mais notável e impressionante idéia nesta área foi a definição de pontos e linhas de fuga para
todos os planos e linhas e o desenvolvimento de uma teoria e prática para o problema inverso de perspec-
tiva que, mais tarde, serviu de base para o trabalho de Lambert e o desenvolvimento da fotogrametria. Taylor
também se utilizou da idéia de associar pontos de intersecção infinitamente distantes com linhas paralelas e
procurou métodos para se realizar construções geométricas diretamente em perspectiva.
Um estudo mais detalhado e profundo sobre a vida e o trabalho de Brook Taylor revela que a sua contribuição
para o desenvolvimento da matemática foi, substancialmente, maior do que a simples ligação do seu nome
a um teorema. Seu trabalho era conciso, difícil de ser seguido e estudado. O surpreendente número de
conceitos importantes que ele citou e tentou desenvolver, mas, infelizmente, não pode finalizar, mostra que a
saúde, problemas e preocupações familiares e outros fatores, como riqueza e repressão dos pais, conseguiram
restringir o período produtivo de sua relativamente curta vida.
Exercícios Propostos
Gabarito
n n 20 1 81
2.4 (a) (sn ) = ; (b) (sn ) = . 2.6 (a) ; (b) Diverge; (c) ; (d) . 2.8 2.13 (a) Converge; (b) Diverge; (c) Diverge;
n+1 2n + 1 3 7 112
(d) Diverge; (e) Converge. 2.14 (a) Diverge; (b) Diverge; (c) Converge. 2.17 (a) Nada podemos afirmar sobre o comportamento da série; (b)
absolutamente convergente; (c) absolutamente convergente; (d) divergente. 2.19 (a) Converge; (b) Converge. 2.21 (a) r = 1 e Ic = (−1, 1);
X X X
1 1 1 4 7 1 x 2n+1 x 2n
(b) r = e Ic = − , ; (c) r = e Ic = − , . 2.26 (a) (−1)n x n ; (b) (−1)n ; (c) (−1)n . 2.27 (a)
5 5 5 3 3 3 (2n + 1)! (2n)!
n≥0 n≥0 n≥0
X n+1 X X 2n+1 X
n x n e n nx n+1 n−1
(−1) ; (b) (−1) n (x + 2) ; (c) (−1) ; (d) (−1) n(x − 2) .
n+1 2 n! (2n)!
n≥0 n≥0 n≥0 n≥0
Apresentação
Uma equação da forma F (x , y , y ′ , . . . , y (n) ) = 0, que relaciona a variável x , a função y (x ) e suas derivadas
y ′ (x ), y ′′ (x ), . . . ,y (n) , chama-se equação diferencial ordinária. Muitas leis gerais da Física, Biologia e Economia
encontram sua expressão natural nestas equações. Por outro lado, inúmeras questões na própria matemática
(por exemplo, em Topologia e Geometria Diferenciais e no Cálculo de Variações) são formuladas por equações
diferenciais ordinárias ou se reduzem a elas.
Problema 1. Uma colônia de bactérias aumenta a uma taxa proporcional ao número de bactérias presentes,
se o número duplica em 24h. Quantas horas serão necessárias para que o número de bactérias aumentem de
100 vezes ao número de bactérias original.
Este é um problema que envolve equações diferenciais e que aprenderemos a resolver logo mais adiante.
Breve Histórico
O estudo das equações diferenciais começou com os métodos do Cálculo Diferencial e Integral, descober-
tos por Newton e Leibnitz, e elaborados no último quarto do século X V I I para resolver problemas motivados
por considerações físicas e geométricas. Estes métodos e sua evolução, conduziram, gradualmente, à consol-
idação das Equações Diferenciais como um novo ramo da Matemática que, em meados do século X V I I I , se
transformou numa disciplina indepedente.
Neste estágio, a procura e análise de soluções tornou-se uma finalidade própria. Também nesta época
ficaram conhecidos os métodos elementares de resolução (integração) de vários tipos especiais de equações
diferenciais (tais como variáveis separáveis, homogêneas, lineares, etc.), estudados, tradicionalmente, até nos-
sos dias, em muitos cursos de introdutórios de Cálculo.
Talvez, a aplicação mais importante do cálculo sejam as equações diferenciais. Quando os físicos ou
cientistas sociais usam o cálculo, em geral, o fazem para analisar uma equação diferencial surgida no processo
de modelagem de algum fenômeno que eles estão estudando.
3.1 Introdução
CÁLCULO III 47
3.1 Definição. Numa lei que relaciona a variável x , a função y e as derivadas sucessivas y ′ , y ′′ , . . . , y (n) , a
equação F (x , y , y ′ , y ′′ , . . . , y (n) ) = 0 é chamada de equação diferencial ordinária de ordem n.
1. x 2 y ′ + y ′′ x − 3y = 0;
2. 3x 4 y ′′′ + 2y ′ − x = x 3 .
3.2 Definição. A ordem de uma EDO é a ordem da mais alta derivada contida na equação.
3.3 Definição. O grau de uma EDO é dado pela potência da mais alta derivada contida na EDO.
2 6 1 2
Por exemplo, y (x ) = x − x + 5x + C é uma solução geral da equação diferencial y ′ − 4x 5 = 5 − x , uma
3 2
vez que y ′ (x ) = 4x 5 − x + 5 e, substituindo-se na equação diferencial, temos que:
(4x 5 − x + 5) − 4x 5 = 4x 5 − x + 5 − 4x 5 = 5 − x .
2 1
Note que, para verificarmos que y (x ) = x 6 − x 2 + 5x + C era uma solução, derivamos a função y (x )
3 2
e substituímos y (x ) e y ′ (x ) na EDO, obtendo, assim, uma identidade. Outrossim, a solução é geral e, se
2
atribuirmos um valor a constante C , obteremos uma solução particular da EDO. Por exemplo, y (x ) = x 6 −
3
1 2
x + 5x + 7 é uma solução particular e, neste caso, atribuímos o valor 7 a constante C .
2
ER 3.1. Verifique que a solução geral da equação diferencial y ′′ (x )−9y = 0 é da forma y (x ) = C1 e 3x + C2 e −3x .
− sen(x ) + sen(x ) = 0.
3.5 Definição. Uma solução de uma EDO F (x , y , y ′ , . . . , y (n) ) = 0, na qual figuram n constantes arbitrárias, é
chamada de solução geral desta EDO. E indicamos por f (x , y , C1 , C2 , . . . , Cn ) = 0.
Nota 23. O número de constantes arbitrárias na solução geral é igual a ordem da EDO.
3.6 Definição. Uma solução particular de uma equação diferencial é obtida da solução geral atribuindo-se
valores as constantes arbitrárias C1 , C2 , . . . , Cn .
Exercícios Propostos
Para encontrarmos a solução de uma equação, geralmente, aplicamos métodos algébricos ou numéricos.
Porém, antes de aplicarmos um destes, é bom que saibamos se não o estamos fazendo em vão, pois, em
alguns casos, se feitos manualmente, são processos demorados ou exaustivos. Devemos, portanto, antes de
aplicarmos, requerer algum resultado que nos garanta a existência de solução. Além disso, alguns processos
são feitos, partindo-se do pré-suposto que temos única solução num determinado subconjunto.
No caso das equações diferenciais ordinárias veremos que, quando existe solução, os métodos encontram
um solução geral (geralmente, uma família de funções) e a solução só será única se tivermos, associados a
esta equação, certas condições adicionais.
Alertamos que, descobrir uma solução para uma equação diferencial é algo similar ao cálculo de uma
integral e nós sabemos que existem integrais que não possuem primitivas, como é o caso das integrais elípticas.
Dessa forma, não é de se esperar que todas as equações diferenciais possuam soluções.
Portanto, três perguntas são importantes a se fazer, antes de tentarmos encontrar soluções para uma EDO:
Como podemos ver, uma equação diferencial não possui solução única. Porém, se impusermos certas
condições, poderemos encontrar única solução. Geralmente, uma equação diferencial de ordem m requer
m − 1 condições, a fim de se obter única solução. Estas, podem ser de qualquer tipo. Por exemplo: y (0) = 2,
Z 1
y ′ (3) = −4 ou cos(x )dx = 0.
0
Temos um Problema de Valor Inicial (PVI) se as m − 1 condições adicionais associadas a uma equação
diferencial de ordem m estiverem avaliadas num mesmo ponto. Por exemplo,
y ′ (x ) = y y ′′ (x ) + cos(x )y ′ = x 2
Exemplo 3.3. (a) (b)
y (1) = 0 y (1) = 0, y ′ (1) = 2
CÁLCULO III 49
Teorema de Existência e Unicidade de Solução de um PVI
dy
3.7 Lema. Seja f (x , y ) contínua num aberto Ω ⊂ R2 . Então, y = ϕ(x ) é uma solução para = f (x , y ) num
dx
intervalo real se, e somente se, ϕ é contínua e satisfaz
Z x
ϕ(x ) = y0 + f (s , ϕ(s ))ds ( 3.4)
x0
dy
Prova: Suponhamos que y = ϕ(x ) é uma solução para = f (x , y ). Segue que, ϕ′ (x ) = f (x , ϕ(x ))
dx
e integrando obtemos, facilmente, ( 3.4) e como se trata de uma integral de uma função contínua segue,
claramente, que ϕ é contínua. Reciprocamente, suponhamos que ϕ é contínua e vale ( 3.4). Pelo teorema
dy
fundamental do cálculo, segue que y = ϕ(x ) é uma solução para = f (x , y ). 2
dx
∂f
3.8 Teorema. Se f (x , y ) e (x , y ) são contínuas num aberto Ω ⊂ R2 , então, para todo (x0 , y0 ) ∈ Ω o PVI
∂y
tem uma única solução definida em um intervalo aberto contendo x0 .
Nota 24. O teorema de existência e unicidade de solução garante que a equação diferencial de primeira
ordem com uma condição adicional,
a0 (x )y ′ + a1 (x )y = d (x ), y (x0 ) = y0
Solução: Derivamos, implicitamente, a função para obtermos a EDO: y ′ = 2K x . Ainda, com base
y
na equação da função, isolemos a constante arbitrária K . Assim, da função principal temos que K = 2 .
x
Observe que neste exercício temos uma constante arbitrária K , o que significa que a EDO terá ordem 1.
Substituindo-se o valor de K encontrado na EDO temos:
y 2y
y ′ = 2K x ⇒ y ′ = 2 x ⇒ y′ = .
x2 x
Exercício Proposto
(a) y = ax + b , a, b ∈ R . (b) x = y − 1 + K · e −y , K ∈ R .
3.9 Definição. Uma equação separável é aquela diferencial de primeira ordem na qual a expressão dada por
dy
pode ser escrita como o produto de uma função de x (g (x )), por outra função de y (h(y )).
dx
dy
= g (x ) · h(y ).
dx
O nome separável vem do fato de que a expressão do lado direito pode ser “separada” em uma função de
x e do lado esquerdo em uma função de y , ou seja,
dy
= g (x )dx .
f (y )
Assim, basta integrar ambos os lados da equação para obter a solução, uma integral em função de y e a outra
em função de x , como é mostrado a seguir.
Z Z
dy
= g (x )dx .
f (y )
Retornemos ao problema 1, o qual perguntava a quantidade de horas necessárias para que o número de
bactérias aumentasse em 100 vezes em relação ao número de bactérias original, se este número duplica em
24h, uma vez que o número de bactérias aumentava a uma taxa proporcional ao número de bactérias presentes.
dB (t ) dB (t )
∼ B (t ) =⇒ = K · B (t ),
dt dt
onde K é constante
Z Z
dB (t )
= K dt =⇒ ln(B (t )) = K t + c =⇒ e ln(B (t )) = e K t +c
B (t )
Portanto,
B (t ) = e K T · e c =⇒ B (t ) = A · e K T .
Assim, para t = 0 ⇒ B (t0 ) = A · e 0 = A. Para t = 24, temos 2B (t0 ) = B (t0 ) · e K ·24 . Logo, ln(2) = 24K . Assim,
ln(2)
K = .
24
Quando aumentando em 100 vezes, o número de bactérias temos t igual a:
ln(2)
24 t
ln(2) 48 ln(10)
100B (t0 ) = B (t0 ) · e =⇒ ln(100) = t =⇒ t = .
24 ln(2)
dy x2
ER 3.6. Resolva a equação diferencial = 2.
dx y
dy x2
Solução: A equação = 2 , pode ser reescrita, de forma equivalente, na equação y 2 dy = x 2 dx .
dx y
Assim, Z Z
2 y3 x3
y dy = x 2 dx ⇒ = + C,
3 3
em que C é uma constante formada pelas constantes decorrentes das integrações em ambos os membros.
Podemos dizer, ainda, que a solução desta EDO é dada por: y 3 − x 3 = K , onde K = 3C .
CÁLCULO III 51
dy 1 − x2
Solução: A equação xy = 1 − x 2 equivale a y dy = dx . Integrando-se ambos os membros
dx x
desta, obtemos: Z Z Z Z
1 − x2 y2 1
y dy = dx ⇒ = dx − x dx
x 2 x
Assim,
y2 x2
= ln |x | − + c ⇒ y 2 − ln |x | + x 2 = K .
2 2
Exercícios Propostos
(b) Encontrar uma solução particular que satisfaça a condição y (0) = 1, ou seja, se x = 0, então y = 1.
3.10 Definição. Uma função f (x , y ) é chamada de homogênea de grau n se, para todo t ∈ R, vale a relação
f (tx , ty ) = t n f (x , y ).
Nota 25. A função f (x , y ) é homogênea de grau 0 se, para todo t ∈ R, vale a relação
f (tx , ty ) = f (x , y ).
f (tx , ty ) = t 2 x 2 + t 2 y 2 = t 2 (x 2 + y 2 ) = t 2 f (x , y ).
3.11 Definição. Uma equação diferencial de primeira ordem na forma y ′ = f (x , y ) é dita homogênea, se
f = f (x , y ) é uma função homogênea de grau zero.
x2 + y2
ER 3.11. Mostre que a função y ′ = é homogênea de grau zero.
xy
t 2x 2 + t 2y 2 t 2 (x 2 + y 2 )
f (tx , ty ) = = = f (x , y ).
txty t 2 xy
du du 1 du
x· + u = f (1, u ) ⇔ = · [f (1, u ) − u ] ⇔ = g (x ) · h(u ),
dx dx x dx
1
em que, g (x ) = e h(u ) = f (1, u ) − u .
x
x2 + y2
ER 3.12. Resolva a equação diferencial y ′ = .
xy
Solução: Vimos no exercício 3.11 que esta equação é uma EDO homogênea. Assim, temos,
x2 + y2 x2 y2 x y 1
y′ = = + = + = + u = f (1, u )
xy xy xy y x u
du
Aplicando a fórmula x · + u = f (1, u ), temos,
dx
du 1 du 1
x· +u = +u ⇒x · =
dx u dx u
dx
Segue que, udu = . Vamos integrar ambos o membros desta e utilizar de álgebra elementar para encontrar
x
a solução geral. Observe:
Z Z
dx u2 y2
udu = ⇒ = ln |x | + K u 2 = 2 ln |x | + C ⇒ 2 = 2 ln |x | + C y 2 = x 2 (2 ln |x | + C )
x 2 x
Exercício Proposto
∂F ∂F
dF = dx + dy .
∂x ∂y
CÁLCULO III 53
Nota 26. Com o intuito de termos expressões menos carregadas para as EDO, pode-se utilizar a notação
Mx para representar a derivada parcial da função M em relação à variável x , ou seja,
∂M
Mx = .
∂x
3.13 Definição. Uma equação na forma diferencial M (x , y )dx + N (x , y )dy = 0 é chamada de Exata, se existir
uma função F = F (x , y ) cuja diferencial exata dF = Fx dx + Fy dy coincide com M (x , y )dx + N (x , y )dy = 0, isto
é:
dF = M (x , y )dx + N (x , y )dy = 0.
Sob certas condições de diferenciabilidade das funções M e N , temos um outro critério para determinarmos
quando uma EDO é exata:
3.14 Teorema. Suponha que M (x , y ) e N (x , y ) sejam contínuas e tenham derivadas parciais contínuas em
relação as variáveis x e y em regiões limitadas. Então, existe uma função F (x , y ) tal que
∂F
M (x , y ) =
∂x
( 3.5)
∂F
N (x , y ) =
∂y
se, e somente se, a equação é exata.
∂F
M (x , y ) =
∂x
∂F
N (x , y ) =
∂y
∂F
Integrando-se M (x , y ) = obtemos:
∂x
Z
F (x , y ) = M (x , y )dx + h(y ),
Observe que no primeiro membro temos uma função de uma única variável e, segue que, o outro membro,
necessariamente, também é uma função definida em y . Assim,
Z
dh ∂ ∂M ∂N ∂M
=0⇒ N (x , y ) − (x , y )dt = 0 ⇒ − = 0.
dx ∂x ∂y ∂x ∂y
Solução:
Uma vez que já constatamos que a EDO da forma M (x , y )dx + N (x , y )dy = 0 é exata (geralmente isto é
feito utilizando-se as equações em ( 3.5)) devemos seguir o seguinte método:
De uma forma mais simples, identificamos a solução geral de uma EDO exata por:
Z Z
∂F
M (x , y )dx + N (x , y ) − dy = C ,
∂y
Z
em que, F (x , y ) = M (x , y )dx .
ER 3.15. Verifique se a EDO (2x + y )dx + (2y + x )dy = 0 é exata, caso afirmativo, ache a solução geral.
Sendo assim,
∂F
=x
∂y
CÁLCULO III 55
Portanto, Z Z
∂F
N (x , y ) − dy = [(2y + x ) − x ] dy = y 2 .
∂y
Logo, a solução geral da equação (2x + y )dx + (2y + x )dy = 0 é x 2 + y x + y 2 = C .
Segue que Z Z
∂F
N (x , y ) − dy = ((2x + 2y ) − 2x ) dy = y 2
∂y
Logo, a solução geral da equação (3x 2 + 2y )dx + (2x + 2y )dy = 0 é x 3 + 2xy + y 2 = C .
Exercício Proposto
3.15 Definição. Uma função I (x , y ) é chamada de Fator Integrante da equação diferencial M (x , y )dx +
∂M ∂N
N (x , y )dy = 0, com 6= , se
∂y ∂x
I (x , y )M (x , y )dx + I (x , y )N (x , y )dy = 0
Considere que a equação M (x , y )dx + N (x , y )dy = 0 não é exata. Nosso problema aqui será o de de-
terminar, se possível, uma função I (x , y ) que ao multiplicar ambos os membros, a transforme numa equação
diferencial exata. Como a nova equação obtida é equivalente a primeira, a solução obtida será a mesma.
∂M ∂I ∂N ∂I
I· +M · =I · +N ·
∂y ∂y ∂x ∂x
É evidente que qualquer I (x , y ) que satisfaz esta equação é um fator integrante. Observamos que a
obtenção de I não uma tarefa tão simples quando ela depende das duas variáveis. Quando I depende so-
mente de uma variável existe um método para a obter.
Nota 27. Caso não se consiga obter I em função de x , tenta-se encontrar I em função de y , ou seja,
∂M ∂N ∂N ∂M
− −
∂y ∂x ∂x ∂y
verificamos se é uma função que depende de x ou se é uma função que depende
N M
de y .
∂M ∂N
= −2y 6= 2y =
∂y ∂x
Vamos, então, se possível, determinar o fator integrante I que dependa somente da variável y .
dI dI
I · (−2y − 2y ) = −(3x 2 − y 2 ) ⇒ I · (−4y ) = −(3x 2 − y 2 )
dy dy
CÁLCULO III 57
Como constatamos a presença da variável x , não existe I (y ). Tentemos, portanto, obter um fator integrante I
que dependa, somente, da variável x .
dI dI dI dx dI 1
I · (−2y − 2y ) = 2xy ⇒ I · (−4y ) = 2xy ⇒ −2I = x ⇒ −2 = ⇒ −2 ln(x ) = ln(I ) ⇒ I = 2 .
dx dx dx x I x
1 1 y2 2y
(3x 2 − y 2 )dx + (2xy )dy = 0 ⇒ 2
· ((3x 2 − y 2 )dx + (2xy )dy ) = 2 · 0 ⇒ (3 − 2 )dx + dy = 0.
x x x x
∂M −2y ∂N
Note, agora, que = 2 = . Assim,
∂y x ∂x
Z Z
y2 y2
F (x , y ) = M (x , y )dx = 3− 2 dx = 3x +
x x
Segue que Z Z
∂F 2y ∂F 2y 2y
= ⇒ N (x , y ) − dy = − dy = 0.
∂y x ∂y x x
y2
Logo, a solução geral da equação (3x 2 − y 2 )dx + (2xy )dy = 0 é 3x + = C.
x
Exercício Proposto
3.6 Trajetórias
3.16 Definição. Duas famílias de curvas F e T são chamadas de trajetórias sob o ângulo α, 0 < α < π, se
cada curva da família F intercepta todas as curvas da família T sob o ângulo α.
π
Se α = , as trajetórias são chamadas de ortogonais.
2
π
Se α 6= 2, as trajetórias são chamadas de isogonais.
No caso em que duas famílias F e T são ortogonais, as retas tangentes em cada ponto (x , y ) às curvas yF
e yT são perpendiculares. Assim, determinamos a família de trajetórias ortogonais por:
dyF 1
=−
dx dyT
dx
ER 3.20. Encontre a trajetória ortogonal à família y = cx , c ∈ R.
y y
Solução: Temos que y ′ = c e, da equação original, temos que c = . Segue que, y ′ = . Chamemos,
x x
y
então, yT′ = . Assim,
x
1 x
yF′ = − y = − .
y
x
Exercício Proposto
3.17 Definição. Uma equação diferencial de primeira ordem é dita linear quando ela tem a seguinte forma
geral:
dy
+ p (x )y = q (x ) ( 3.6)
dx
em que, p (x ) e q (x ) são funções contínuas definidas em x .
Quando q é a função identicamente nula, dizemos que a equação é homogênea. Caso contrário, ela é dita
não homogênea.
dy dy
Exemplo 3.4. A equação + y = 3x é não homogênea, enquanto, − e x y = 0 é homogênea.
dx dx
M (x , y )dx + N (x , y )dy = 0
y ′ + p (x )y = q (x )
é multiplicar todos os membros da equação por um Fator Integrante, que é uma função I = I (x ). Sendo assim,
temos que
I (x )y ′ (x ) + I (x )p (x )y (x ) = I (x )q (x ).
Impondo que o primeiro membro desta, seja, exatamente, a derivada da função I (x ) · y (x ), isto é:
d
[I (x ) · y (x )] = I (x ) · y ′ (x ) + I (x ) · p (x ) · y (x ),
dx
mas, para que isto ocorra, devemos exigir que I = I (x ) satisfaça a
I (x )y ′ (x ) + I ′ (x )y (x ) = I (x )y ′ (x ) + I (x )p (x )y (x )
CÁLCULO III 59
Admitindo que y = y (x ) não seja identicamente nula, temos que:
I ′ (x ) = I (x )p (x )
I (x ) = e P (x )
e P (x ) y ′ + p (x )e P (x ) y (x ) = q (x )e P (x )
Dessa forma, temos uma expressão para y = y (x ) que nos da a solução da EDO, dada por:
Z
Z Ǒ
Z
− p (x )dx p (x )dx
y (x ) = e q (x ) · e dx + C .
Segue que
Z 2
−x 2 x2 −x 2 ex 1 2
y (x ) = e x · e dx + C =e +C = + C e −x
2 2
Exercício Proposto
Em geral, podemos dizer que as equações diferenciais são o coração da análise e do cálculo, dois dos
mais importantes ramos da matemática nos últimos 300 anos. Como uma ferramenta matemática importante
para as ciências físicas, a equação diferencial não tem igual. Assim, é amplamente aceito que equações
diferenciais são importantes para a matemática pura quanto para a aplicada. Os seus fundamentos parecem
estar dominados pelas contribuições de um homem, Leonhard Euler.
Naturalmente, isto seria uma simplificação grosseira do seu desenvolvimento. Existem vários contribuintes
importantes e, aqueles que vieram antes de Euler, foram necessários para que ele pudesse entender o cálculo
e a análise necessários para desenvolver muitas das idéias fundamentais.
A história começa a partir do momento em que Fermat, Newton, e Leibniz tiveram o entendimento suficiente
e a notação para a derivada. Esta, então, logo apareceu em equações. Nasce esta teoria. Contudo, descobri-
ram que as soluções para estas equações não eram tão fáceis. A integral (antiderivada) e seu papel teórico
no Teorema Fundamental do Cálculo ofereciam ajuda direta apenas quando as variáveis eram separadas, em
circunstâncias muito especiais. O método de separação de variáveis foi desenvolvido por Jakob Bernoulli e
generalizado por Leibniz, iniciando, assim, no século X V I I , este ramo da matemática.
Por volta do início do século X V I I I , surge uma nova onda de pesquisadores que começaram a aplicar
equações diferenciais a problemas em astronomia e ciências físicas. Jakob Bernoulli estudou, cuidadosamente,
e escreveu equações diferenciais que modelavam o movimento planetário, usando os princípios de gravidade
e momento, desenvolvidos por Newton. O trabalho de Bernoulli incluiu o desenvolvimento da catenária e o
uso de coordenadas polares. Nesta época, as equações diferenciais estavam interagindo com outros tipos de
matemática e ciências para resolver significativos problemas aplicados. O irmão de Jakob, Johann Bernoulli,
foi, provavelmente, o primeiro matemático a entender o cálculo de Leibniz e os princípios de mecânica para
modelar, matematicamente, fenômenos físicos usando equações diferenciais e a encontrar suas soluções.
Ricatti (1.676 − 1.754) começou um estudo sério de uma equação em particular, mas foi limitado pelas teo-
rias do seu tempo para casos especiais da equação que leva hoje seu nome. Os Bernoulli, Jakob, Johann, e
Daniel, todos, também, estudaram os casos da equação de Ricatti. Na época, Taylor usou séries para “resolver”
equações diferenciais. Outros desenvolveram e usaram estas séries para vários propósitos. Contudo, o desen-
volvimento de Taylor de diferenças finitas começou um novo ramo da matemática intimamente relacionado ao
desenvolvimento das equações diferenciais.
Suas técnicas de conjecturar e encontrar os coeficientes indeterminados foram etapas fundamentais para
desenvolver este assunto. Em 1.739, desenvolveu o método de variação de parâmetros. Seu trabalho tam-
bém incluiu o uso de aproximações numéricas e o desenvolvimento de métodos numéricos, os quais proveram
“soluções” aproximadas para quase todas as equações. Euler então continuou aplicando o trabalho em mecânica
CÁLCULO III 61
que levou a modelos de equações diferenciais e soluções. Ele era um mestre que esta teoria necessitava para
se desenvolver além de seu início primitivo, tornando-se coesa e central ao desenvolvimento da matemática
aplicada moderna.
Temos que lembrar que os avances em equações diferencias aconteceram paralelamente ao desenvolvi-
mento da filosofia que seriam fundamentais para o que hoje é conhecido como filosofia matemática. Vejamos
algum aspectos destas correntes do pensamento humano.
As principais fontes especulativas do idealismo clássico alemão são, em primeiro lugar, Kant e depois
Spinoza. De Kant deriva o conceito de síntese a priori, criatividade e autonomia do espírito, que se desen-
volve, logicamente, no monismo imanentista. Depois, Spinoza impele, decididamente, o idealismo alemão para
o caminho do monismo, imanentista, para o qual já fora orientado por Kant.
Correspondente ao movimento filosófico do idealismo pode ser considerado o romantismo; é este um fenô-
meno artístico e literário, e é também especialmente alemão; pois, também o romantismo é dominado pelo
conceito de criatividade e libertação do espírito, como o idealismo.
Os maiores filósofos do idealismo são: Fichte, Schelling, Schleiermacher e Hegel. Os maiores críticos desse
sistema são: Herbart e Schopenhauer. Não obstante, o seu conceito de criatividade do espírito, de síntese a
priori, Kant deixara ainda certos dados, perante os quais o espírito é passivo: o mundo dos noumenons, que o
espírito não conhece, isto é, uma matéria misteriosa, donde derivariam as sensações, e um mundo inteligível,
donde derivaria a atividade criadora do espírito.
Ora, o idealismo clássico nega o transcendente mundo noumênico kantiano, resolvendo a matéria em uma
produção inconsciente do espírito, e resolvendo o inteligível transcendente no transcendental criador da exper-
iência. Jorge Guilherme Frederico Hegel nasceu em Stuttgart, em 1.770. Estudou teologia e filosofia, simpatizou
com o iluminismo e o criticismo, mas voltou-se, em seguida, para o historicismo romântico, aproximando-se de
Fichte e Schelling. Lecionou em várias universidades alemãs, especialmente na de Berlim, onde granjeou
muita fama e exerceu notável influência. Faleceu em Berlim, em 1.831.
As suas obras filosóficas principais são: Fenomenologia do Espírito; Lógica; Enciclopédia das Ciências
Filosóficas. Com Hegel, o idealismo alemão e o pensamento contemporâneo, em geral, atingem o seu vértice
imanentista em um poderoso sistema dialético. Para poder erigir a realidade da experiência em realidade
absoluta, divina, Hegel é obrigado a inventar uma nova lógica e com esta racionalizar absolutamente o elemento
potencial e negativo da mesma experiência (o mal metafísico, moral e físico).
Assim, podemos dizer que enquanto os matemáticos desenvolviam a teoria de equações diferencias, grande
filósofos da humanidade também desenvolviam o que é conhecido como idealismo, que abriu o caminho para
o que logo seria a filosofia matemática.
Gabarito
y2 cos(x 2 )
3.3 I. (V); II. (V); III. (V); IV. (V) e V. (F). 3.5 (a) y ′′ = 0; (b) 1 = y ′ (y − x ). 3.8 (a) + = C ; (b) e x + e −y = C . 3.9 3.13 (a)
2 2
y p x 2
x2 x
2 arctg( ) = ln(x 2 + y 2 )C ; (b) y + x 2 + y 2 = x 2 C . 3.17 (a) + 3xy − 4x + y = C ; (b) y 2 − x 2 − 2xy = 4. 3.19 (a) + = C;
x 2 2 y
9
4 1 x
(b) ln(x ). 3.21 (a) y = C x ; (b) 2y 2 + x 2 = C ; (c) e −y + = C ; (d) y 2 − 2x = C . 3.23 (a) x 5 y + = C ; (b) y = e x (x + C ); (c)
ln(3) 3x 3
2
ex
y = x −2 +C .
2
4.1 Introdução
4.1 Definição. Uma função real a duas variáveis é uma relação que transforma em um único número real z
cada par ordenado (x , y ) de números reais de um certo conjunto D ⊆ R2 , chamado de domínio da função, e
escrevemos z = f (x , y ). Em outras palavras,
f : D ⊆ R2 → R
(x , y ) 7→ z = f (x , y )
Nota 29. Na equação z = f (x , y ), dizemos que z é a variável dependente e que x e y são as variáveis
independentes; O conjunto de todos os valores possíveis de z , que pode ser obtido aplicado a relação f
aos pares ordenados (x , y ) ∈ D , é denominado Imagem de f .
4.3 Definição. Duas funções y1 e y2 são linearmente independentes num intervalo [a, b ] se W (y1 , y2 ) 6= 0, ∀ x ∈
[a, b ], caso contrário, são linearmente dependentes.
Vamos estudar, em particular, as equações diferenciais homogêneas de segunda ordem, ressaltando que
os resultados encontrados podem ser generalizados para uma equação de ordem n.
y ′′ + a1 (x )y ′ + a2 (x )y = 0 ( 4.7)
CÁLCULO III 63
4.4 Teorema. Sejam y1 e y2 duas soluções linearmente independentes da equação ( 4.7). Então
4.5 Teorema. Sejam y1 (x ) e y2 (x ) duas soluções linearmente independentes da equação ( 4.7), com a1 (x ) e
a2 (x ) contínuas num intervalo I . Se y (x ) é qualquer solução de ( 4.7), então ∃c1 , c2 ∈ R tais que y (x ) é escrito
como combinação linear de y1 (x ), y2 (x ), ou seja,
y (x ) = c1 · y1 (x ) + c2 · y2 (x ), ∀ x ∈ I
4.6 Definição. Se y1 (x ) e y2 (x ) são duas soluções linearmente independentes da equação ( 4.7), a solução
geral de ( 4.7) é dada por:
y (x ) = c1 · y1 (x ) + c2 · y2 (x ), c1 , c2 ∈ R.
4.7 Teorema. Seja y1 (x ) uma solução de ( 4.7). Então, a outra solução de ( 4.7) linearmente independente
com y1 (x ) é dada por: Z
Z − a1 (x )dx
e
y2 (x ) = y1 (x ) dx .
(y1 (x ))2
1 ′ 1
ER 4.1. Encontre a solução geral da equação y ′′ + y − 2 y = 0, sendo que y1 = x é uma solução.
x x
1
Solução: Veja que a1 (x ) = . Assim,
x
Z Z
1
Z − a1 (x )dx Z − dx Z
e e x e − ln(x )
y2 (x ) = y1 (x ) dx = x dx = x dx
(y1 (x ))2 x2 Z
x2 Z
x −1 1
= x dx = x x −3 dx = −
x2 2x
Exercício Proposto
EP 4.2. Encontre a solução geral das equações seguintes, sendo que y1 é uma solução.
2 ′ sen(x )
(a) y ′′ + y + y = 0, y1 = (b) x 2 y ′′ − 6y = 0, y1 = x 3
x x
As equações diferenciais lineares a coeficientes constantes são sob muitos aspectos as mais simples das
equações diferenciais. Estas EDO formam a única classe numerosa de equações diferenciais de ordem maior
que um que podem ser explicitamente resolvidas. Além disso, tais equações surgem em uma variedade sur-
preendente de problemas físicos.
y ′′ + a1 y ′ + a2 y = 0 ( 4.8)
(e kx )′′ + a1 (e kx )′ + a2 (e kx ) = 0 ⇒ k 2 e kx + a1 ke kx + a2 e kx = e kx (k 2 + a1 k + a2 ) = 0
⇒ k 2 + a1 k + a2 = 0.
4.8 Teorema. A função y (x ) = e k1 x , onde k1 ∈ R é uma solução da equação ( 4.8) se, e somente se, k1 é uma
raiz da equação K 2 + a1 K + a2 = 0.
Z − a1 (x )dx
e
y2 (x ) = y1 (x ) dx .
(y1 (x ))2
Assim,
Z Z
Z − a1 dx Z − a1 dx Z Z
e e e −a 1 x
y2 (x ) = y1 (x ) dx = e kx
dx = e kx dx = e kx e −(2k +a1 )x dx
(y1 (x ))2 (e kx )2 e 2kx
CÁLCULO III 65
©
O conjunto e kx , xe kx é uma base para o espaço solução da equação diferencial e é também chamado
de sistema fundamental de soluções. As soluções são combinações lineares da base.
A partir destas funções, vamos procurar soluções reais que satisfaçam a equação ( 4.8).
(u + iv )′′ + a1 (u + iv )′ + a2 (u + iv ) = 0 ⇒ u ′′ + a1 u ′ + a2 u + i (v ′′ + a1 v ′ + a2 v ) = 0
⇒ u ′′ + a1 u ′ + a2 u = 0 e v ′′ + a1 v ′ + a2 v = 0
Como,
y1 = e (a+i b)x = e ax (cos(bx ) + i sen(bx )) = e ax cos(bx ) + ie ax sen(bx )).
Temos que u (x ) = e ax cos(bx ) e v (x ) = e ax sen(bx ) são soluções da equação. Além disso, elas são L.I.,
pois, W (u (x ), v (x )) = be 2ax 6= 0.
O conjunto {e ax cos(bx ), e ax sen(bx )} é uma base para o espaço solução da equação diferencial e é
também chamado de sistema fundamental de soluções. As soluções são combinações lineares da
base.
Nota 30. Os três caso anteriores se estendem para equações com ordens maiores que dois.
ER 4.5. Seja L10 (y ) = 0 uma EDO de ordem 10 com raízes características 0, 1, 1, −2, 2 + i , 2 − i , 2 + i , 2 −
i , 3 + 4i , 3 − 4i . Escreva a solução geral.
Exercício Proposto
y ′′ + a1 (x )y ′ + a2 (x )y = f (x ). ( 4.9)
y = yH + yP ,
onde, yH é a solução geral da EDO homogênea associada a ( 4.9) e yP é a solução particular da EDO dada.
Método de Lagrange
1. yH : yH = Ay1 + By2 , A, B ∈ R;
Solução:
yH = A cos(x ) + B sen(x )
CÁLCULO III 67
2. yP : y′′ + y = sec(x). Como y1 = cos(x ), y2 = sen(x ) e f (x ) = sec(x ), calculemos C1 (x ) e C2 (x ).
0 sen(x )
sec(x ) cos(x ) − sen(x ) · sec(x ) sen(x )
C1′ (x ) =
= 2 2
=− = − tg(x )
cos(x ) sen(x )
cos (x ) + sen (x ) cos(x )
− sen(x ) cos(x )
Z
Segue que C1 (x ) = − tg(x ) dx = ln | cos(x )|.
cos(x ) 0
− sen(x ) sec(x ) cos(x ) · sec(x ) 1
C2′ (x ) =
= = =1
cos(x ) sen(x )
cos2 (x ) + sen2 (x ) 1
− sen(x ) cos(x )
Z
Segue que C2 (x ) = dx = x . Portanto,
Exercício Proposto
Decaimento Radioativo
Fatos experimentais mostram que materiais radioativos desintegram a uma taxa proporcional à quantidade
presente do material. Se Q = Q (t ) é a quantidade presente de um certo material radioativo no instante t , então
dQ
a taxa de variação de Q (t ) com respeito ao tempo t , aqui denotada por , é dada por:
dt
dQ
= k · Q (t ),
dt
onde k é uma constante negativa bem definida do ponto de vista físico. Para o Carbono 14 a constante é
k = −1, 244E − 4 e para o caso do Rádio a constante é k = −1, 4E − 11.
Exemplo 4.2. Um isótopo radioativo tem uma “meia-vida” de 16 dias. Você deseja ter 30g no final de 30 dias.
Com quanto radioisótopo você deve começar?
Solução: Desde que a "meia-vida” está dada em dias, nós mediremos o tempo em dias. Seja Q = Q (t )
a quantidade presente no instante t , e Q (0) = Q0 a quantidade inicial. Sabemos que r é uma constante e
usaremos a "meia-vida” 16 dias para obter a constante k . Como
Q (t ) = Q0 e kt
1
então, para t = 16, teremos Q (16) = Q0 . Logo
2
1 1
Q0 = Q0 e 16k ⇒ = e 16k .
2 2
ln(2)
k =− = −0, 043321698785
16
e, dessa forma, temos a função que determina a quantidade de material radioativo a qualquer momento:
Q (t ) = Q0 e 0,043321698785t .
Sobre a condução do calor, um modelo real simples que trata sobre a troca de calor de um corpo com o
meio ambiente em que o mesmo está colocado, aceita três hipóteses básicas:
3. A taxa de variação da temperatura com relação ao tempo t é proporcional à diferença entre a temperatura
do corpo e a temperatura do meio ambiente.
dT
= −k (T − Tm )
dt
onde, T = T (t ) é a temperatura do corpo no instante t , Tm é a temperatura constante do meio ambiente e k é
uma constante que depende do material com que o corpo foi construído, sendo que o sinal negativo indica que
a temperatura do corpo está diminuindo com o passar do tempo, em relação à temperatura do meio ambiente.
dT
= −kdt
T − Tm
CÁLCULO III 69
Integrando ambos os membros em relação à variável tempo, teremos:
ln(T − Tm ) = −kt + k0
Aplicando a função exponencial a ambos os membros e tomando as constantes embutidas em uma só, obter-
emos:
T (t ) − Tm = C e −kt
T (t ) = Tm + C e −kt
Se sabemos que a temperatura inicial do corpo é T (0) = T0 , então, substituindo t = 0 na solução da equação,
podemos obter a constante C que aparece na solução, pois
T0 = Tm + C
A solução do PVI
dT
= −k (T − Tm ), T (0) = T0
dt
será, então, dada por
T (t ) = Tm + (T0 − Tm )e −kt
ER 4.9. Um corpo com temperatura de 100◦ C é posto numa sala, onde a temperatura do ambiente se
mantém constante em 25◦ C . Após 5 minutos, sua temperatura cai para 90◦ C . Quanto tempo decorrerá até o
corpo atingir 50◦ C , sabendo-se que o fluxo de calor, através das paredes do corpo é proporcional à diferença
entre a temperatura do corpo e a do ambiente.
Solução:
t = 0 ⇒ N = 100◦C
t = 5min ⇒ N = 90◦ C
t =? ⇒ N = 50◦ C
dN
Como dado da questão, foi revelado que = k · (N − 25), assim, devemos resolver tal equação difer-
dt
encial, utilizando os dados anteriores, para encontrar cada um das constantes envolvidas.
Z Z
dN dN
= k · dt ⇒ =k dt ⇒ N (t ) = e k ·t +c + 25
(N − 25) (N − 25)
Observe que se t = 0 então N = 100◦ C isto significa dizer que N (0) = 100. Dessa forma, substituindo na
equação anterior, temos que:
Elementos de Eletricidade
Sem a preocupação de aprofundamento nos detalhes relacionados com a Eletricidade, iremos apresentar
alguns poucos conceitos necessários ao presente trabalho de Equações Diferenciais.
2. A Intensidade da corrente elétrica será a taxa de variação da carga elétrica Q em relação ao tempo t que
atravessa uma seção transversal de um condutor. Em símbolos:
dQ
I (t ) =
dt
3. A capacitância C de um capacitor submetido a uma carga elétrica Q , com uma diferença de potencial
entre as placas indicada por V , será dada por:
Q (t )
C (t ) =
V (t )
4. A lei de Ohm, estabelece que a diferença de potencial V nos terminais de um resistor de resistência R
submetido a uma intensidade da corrente I , é dada por:
V (t ) = RI (t )
5. A indutância L de um indutor é uma constante relacionada com a diferença de potêncial V e com a taxa de
dI
variação da intensidade da corrente elétrica em relação ao tempo , através da expressão matemática:
dt
dI
V (t ) = L
dt
CÁLCULO III 71
Circuitos Elétricos RLC
Circuitos elétricos mais complexos (redes) são basicamente formados por re-
R
sistores de resistência R , indutores de indutância L, capacitores de capacitân-
cia C , carregado com uma diferença de potencial VC e uma fonte elétrica cuja E
L C VC
diferença de potencial é indicada E (t ).
dI
VL (t ) = L
dt
VR (t ) = RI (t )
VL (t ) + VR (t ) + VC (t ) = E (t ),
ou seja,
Z t
dI 1
L + RI (t ) + I (u )du = E (t )
dt C 0
1
LI ′′ (t ) + RI ′ (t ) + I (t ) = 0
C
e temos uma EDO linear homogênea.
1
LI ′′ (t ) + RI ′ (t ) + I (t ) = E ′ (t ).
C
Existem alguns casos particulares interessantes, sendo alguns deles apenas teóricos, mas com algum
fundamento matemático.
A diferença de potencial nos terminais do resistor é dada por VR = RI (t ) e a diferença de potencial nos
terminais do capacitor é dada por
Z
1 t
VC (t ) = I (u )du
C 0
VR (t ) + VC (t ) = E
E
I (0) =
R
Substituindo I (0) na solução da equação, obtemos
E −t
I (t ) = e RC
R
Aplicando esta função, podemos obter
Z t Z t
1 1 E −u
VC (t ) = I (u )du = e RC du
C 0 C 0 R
Assim, a diferença de potencial entre os terminais do capacitor ao longo do tempo t , será dada por:
t
VC (t ) = E 1 − e − RC
Como a parte não homogênea da EDO é uma função constante, usamos o método dos coeficientes a
determinar para procurar uma solução particular Ip = Ip (t ) que seja constante, assim Ip′ (t ) ≡ 0 e, então,
RIp (t ) = E o que garante que
E
Ip (t ) = .
R
A solução da EDO é a soma da solução da homogênea associada com a solução particular. Logo,
Rt E
I (t ) = K e − L + .
R
CÁLCULO III 73
Se considerarmos que I (0) = 0, então
E
0=K+ .
R
E
Logo, K = − . Assim,
R
E Rt
I (t ) = 1 − e− L
R
Esta função tem a mesma forma que a função VC = VC (t ) do circuito RC, apenas que a função horizontal
E
limite deve ser traçada para I = .
R
3. Circuito RC: Se o circuito elétrico possui um resistor de resistência R , um capacitor de capacitância C e
a fonte de alimentação tem diferença de potencial E = E (t ), a EDO linear que rege o fenômeno é:
1
RI ′ (t ) + I (t ) = 0.
C
Exercício Proposto
dI
EP 4.10. Resolva a equação L + RI = E sen(w t ), onde L, R , E e w são constantes e I é uma função de
dt
t . (Esta função dá a corrente em um circuito de resistência R e indutância L impulsionada por um gerador de
w
corrente alternada de freqüência e voltagem máxima E ).
2π
2. Como poderemos proteger os recursos deste local ou deste meio ambiente para que não ocorra a extinção
de uma ou de várias espécies?
Para apresentar uma aplicação de equações diferenciais relacionado com este problema, consideraremos
o modelo matemático mais simples para tratar sobre o crescimento populacional de algumas espécies. Ele
é chamado o Modelo de Crescimento Exponencial, isto é, a taxa de variação da população em relação ao
dP
tempo, aqui denotada por , é proporcional à população presente. Em outras palavras, se P = P (t ) mede a
dt
população, nós temos
dP
= kP ,
dt
onde, a taxa k é uma constante. É simples verificar que se k > 0, nós teremos crescimento e se k < 0, nós
teremos decaimento. Esta é uma EDO linear que quando resolvida nos dá:
P (t ) = P0 e kt ,
O primeiro caso, k > 0, não é adequado e o modelo pode não funcionar bem a longo prazo. O argumento
principal para isto vem das limitações do ambiente. A complicação é que o crescimento populacional é even-
tualmente limitado por algum fator, usualmente dentre aqueles recursos essenciais. Quando uma população
está muito distante de seu limite de crescimento ela pode crescer de forma exponencial, mas quando está
próxima de seu limite o tamanho da população pode variar.
ER 4.11. Sabe-se que uma certa população é descrita pelo modelo de crescimento exponencial de Malthus
e que a quantidade de indivíduos presentes em 20 anos é exatamente o dobro da população inicial. Quanto
tempo levará até que o número de indivíduos triplique?
Assim, estamos interessados em encontrar o valor de t , tal que N (t ) = 3 · N0 . Utilizando a equação anterior
temos:
ln(2) ln(2)
·t ·t
ln(2) 20 · ln(3)
3 · N0 = N0 · e 20 ⇒ 3 = e 20 ⇒ ln(3) = ·t ⇒ t = ≃ 31, 7anos.
20 ln(2)
Existe um outro modelo proposto para remediar este problema do modelo exponencial. Ele é chamado o
Modelo Logístico ou modelo de Verhulst-Pearl. A EDO para este modelo é
dP P
= kP (1 − ),
dt L
onde, L é o limite máximo para a população (também chamado a capacidade do ambiente). Se P = P (t ) é
pequeno quando comparado com L, a EDO se reduz à equação exponencial.
Este é um exemplo de uma EDO não linear separável. As soluções constantes são P = 0 e P = L. As
soluções não constantes podem ser obtidas pela separação das variáveis, seguido do uso de integração com
o uso da técnica das frações parciais.
Considerando P (0) = P0 e assumindo que P0 não é igual a zero nem igual a L, obteremos:
LP0
P (t ) =
P0 + (L − P0 )e −kt
CÁLCULO III 75
Com cálculos simples de limites, podemos mostrar que, quando t cresce indefinidamente, então:
lim P (t ) = L.
t →+∞
Esta solução já diz muito mais que a outra, entretanto, este modelo ainda é satisfatório pois não nos diz
quando uma população estará extinta. Mesmo começando com uma população pequena, a população sempre
tenderá para a capacidade L do ambiente. Embora este modelo ainda possua falhas, ele é bastante apropriado
para a análise de crescimento populacional de cidades, assim como como de populações de lactobacilos e
outros.
Misturas
Considere um tanque com uma solução (soluto + solvente) de volume inicial V0 e com vazão de entrada ve
e vazão de saída vs obtendo-se essa solução uniformemente misturada, desejamos determinar a quantidade
q (t ) de soluto no tanque no instante t . A variação média da quantidade de soluto no tanque q (t ) é dada pela
diferença entre as quantidades de soluto que entram e que saem do tanque, ou seja,
∆q (t )
= ve ce − vs cs , ( 4.10)
∆t
onde ce é concentração de soluto na entrada do tanque e cs é a concentração de soluto na saída do tanque.
Lembro que a concentração de soluto em uma solução é dada pela massa do soluto dividida pelo volume do
massa quilo Kg
solvente. Logo, sua unidade de medida é dada por: , por exemplo, = .
volume litro L
Notamos que a concentração cs e o volume V do tanque pode variar com o tempo t , a depender da con-
centração de entrada e da vazão de entrada e saída do tanque. Logo, temos que:
q (t )
cs (t ) = ,
V (t )
onde cs (t ) é, justamente, a concentração no tanque no instante t .
V (t ) = V0 + t (ve − vs ).
Portanto, de ( 4.10) temos que a variação da quantidade de soluto no tanque no instante t (variação instantânea)
é dada por:
dq (t ) q (t ) dq (t ) q (t )
= ve ce − vs ⇒ + vs = ve ce ( 4.11)
dt V (t ) dt V (t )
Logo, temos que a equação ( 4.11) é uma equação diferencial linear de primeira ordem, onde:
vs
p (t ) = e q (t ) = ve ce .
V (t )
ER 4.12. No instante t = 0, um tanque contém 25g de sal dissolvido em 50L de água. Água salgada contendo
4g de sal por litro é acrescentada ao tanque a uma vazão de 2L/min e a solução misturada é drenada do à
mesma vazão.
Solução: (a) Temos, neste caso, que V0 = 50L, ve = vs = 2L/min e ce = 4g /L. Logo, substituindo em (
4.12) temos:
dq (t ) q (t )
+2 = 8.
dt 50
Logo, a solução dessa equação é:
R Z R
dt dt t t t
q (t ) = e − 25 8·e 25 dt dt + C = e − 25 · 200 · e 25 + C ⇒ q (t ) = 200 + e − 25 C
t
Como q (0) = 25, temos: q (0) = 200 + C = 25 ⇒ C = −175. Logo, q (t ) = 200 − 175e − 25 .
(b) Para t = 0, 5h = 30min, temos:
30
q (30) = 200 − 175e − 25 ⇒ q (30) ≈ 147, 29g de sal.
ER 4.13. Um corpo de massa m cai em queda livre. No instante inicial t0 temos sua velocidade inicial v0 .
Ache a equação horária da velocidade e da posição do corpo no instante t segundos.
(b) Considere que a força de resistência do ar exerce uma força sobre o corpo que é diretamente proporcional
a sua velocidade.
m dv
ma = mg ⇒ m · v ′ (t ) = mg ⇒ = g dt
v (t ); s (t ) dt
v (t ) = v0 + g t
que é, justamente, a equação horária de um corpo em queda livre sem resistência do ar que se ensina no
ensino médio. Para acharmos a equação da posição fazemos na equação acima s ′ (t ) = v (t ). Logo, temos:
Z Z Z
ds
s ′ (t ) = v0 + g t ⇒ = v0 + g t ⇒ ds = v0 dt + g tdt ⇒ ds = v0 +g tdt
dt
t2
s (t ) = v0 t + g · +C
2
Como s (0) = C = s0 , então temos:
t2
s (t ) = s0 + v0 t + g · +C
2
CÁLCULO III 77
que é, justamente, a equação horária de um corpo em queda livre sem resistência do ar, visto no ensino
médio.
m
v0 ; s0 (b) A força de resistência do ar (F̃r a ) presente no movimento é diretamente proporcional
à velocidade e possui sentido oposto ao movimento do corpo, ou seja, amortece o
movimento de queda funcionando como uma espécie de “freio”
F̃r a = kv (t ),
m −
→
v (t ); s (t ) onde, k é uma constante positiva de proporcionalidade. Logo, temos que a força F ,
que atuante no corpo é dada por:
−
→ − → − → −
→
−
→ − → F = P − F r a ⇒ F = mg − kv (t ).
F = P
−
→
Como F = ma, temos:
k dv k
ma = mg − kv (t ) ⇒ mv ′ (t ) = mg − kv (t ) ⇒ v ′ (t ) = g − · v (t ) ⇒ ⇒ + · vt = g .
m dt m
dv k
Observe que a equação diferencial + · vt = g é linear e possui ordem 1. Dessa forma, podemos utilizar
dt m
o método do fator integrante para resolvê-la.
O fator integrante I neste caso, será dado pela expressão:
R R
k k k
I =e m dt = em dt
= e m ·t
k dv k k k d k
k
e m ·t · + e m ·t · · vt = e m ·t · g = v (t ) · e m ·t = e m ·t · g .
dt m dt
Integrando-se ambos os lados desta equação, ficamos com:
Z Z
d k
k
k m k m −k
v (t ) · e m ·t dt = e m ·t · g dt ⇒ v (t ) · e m ·t = g · · = e m ·t + C ⇒ v (t ) = g · + C · e m ·t .
dt k k
Como v (0) = C = v0 temos, finalmente, que a equação da velocidade do corpo para o movimento com
amortecimento é dado por:
m m −k · t m −k
v (t ) = g · +g · · e m = g · · 1 + e m ·t
k k k
que é, justamente, a equação horária de um corpo em queda livre sem resistência do ar que se ensina no
ensino médio. Para acharmos a equação da posição fazemos na equação acima s ′ (t ) = v (t ). Logo, como
s (0) = C = s0 , então, temos que:
t2
s (t ) = s0 + v0 t + g ·
2
que é, justamente, a equação horária de um corpo em queda livre sem resistência do ar, visto no ensino
médio.
Gabarito
sen(x ) cos(x ) 1
4.2 (a) y (x ) = A · +B · (b) y (x ) = A · x 3 + B · 2 4.6 (a) y = Ae x + Be 2x ; (b) y = Ae x + Bxe x ; (c) y = A cos(x ) + B sen(x )
x x x
e 2x cos(2x ) x
e (d) y = Ae −x + Be 2x + C xe 2x . 4.8 (a) y = Ae x + Be −x + ; (b) y = A cos(2x ) + B sen(2x ) + ln | cos(2x )| + sen(2x ); (c)
3 4 2
E (R sen(w t ) − w Lcos (w t )) −Rt
y = Ae 3x + Bxe 3x − e 3x ln |x | − e 3x . 4.10 I = + C e L .
R 2 + w 2 L2
[2] PISKOUNOV, N.; Calculo Diferencial e Integral - V. II. 9a edição. Porto: Lopes da Silva, 1.982.
[3] BRAUN, Martin; Equações Diferenciais e suas aplicações. Rio de Janeiro: Editora Campus Ltda, 1.979.
[4] CAPUTO, H. P.; Iniciação ao Estudo das Equações Diferenciais e suas aplicações. Rio de Janeiro:
LTC, 1.973.
[5] LEITHOLD, L.; O Cálculo com Geometria Analítica. 3a edição. São Paulo: Harbra, 1.994.
[6] STEWART, James; Cálculo - Vol. II. 5a edição. São Paulo: Thomson, 2.006.
[7] AYRES, Frank; Coleção Schawn - Equações Diferenciais. 1a edição. Rio de Janeiro: McGraw-Hill do
Brasil, 1.978.
[8] SVEC, Maria; Tópicos: Séries e equações diferenciais. 2a edição. Salvador: EdUFBA, 2.002.
[9] SWOKOWSKI, Earl W.; Cálculo com Geometria Analítica - Vol. 2. 2a edição. São Paulo: Makron Books
do Brasil Ltda., 1.995.
[10] ANTON, Howard; Cálculo: Um Novo Horizonte - Vol. 2. 6a edição. Porto Alegre: Bookman, 2.000.
CÁLCULO III 79
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