Matemática 03. 1 - Conjuntos Numéricos RESUMO

VEST
Marco @vestmapamental
MATEMÁTICA
CONJUNTOS
Conjuntos Numéricos
Conjunto é o agrupamento de elementos que partilham de mesmas

características. Quando esses elementos são números, essa união
passa a ser conhecida como conjunto numérico. Dentro da
matemática, pode-se agrupar os números de diversas formas,
gerando assim inúmeros conjuntos numéricos.
Porém, alguns desses conjuntos são mais notórios por conta da

frequência que aparecem nas soluções e demonstrações
matemáticas. São eles: naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais.
O Conjunto dos Números Naturais, representado pela letra N, foi o

primeiro conjunto numérico que surgiu, por conta da necessidade
de se realizar contagens. Seus elementos são os números inteiros e
positivos.
O conjunto dos números naturais possui os seguintes elementos:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …}
As chaves ({x}) são utilizadas na representação para dar ideia de

conjunto. Os pontos de reticência dão a ideia de infinidade, já que
os conjuntos numéricos são infinitos.
O Conjunto dos Números Naturais inicia-se em zero e é infinito.
Subconjuntos dos Números Naturais
N* = {1, 2, 3, 4, 5…, n, …} ou N* = N – {0}: conjuntos dos números

naturais não-nulos, ou seja, sem o zero;
Np = {0, 2, 4, 6, 8…, 2n, …}, em que n ∈ N (pertence à N): conjunto

dos números naturais pares;
Ni = {1, 3, 5, 7, 9…, 2n+1, …}, em que n ∈ N: conjunto dos números

naturais ímpares;
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …}: conjunto dos números naturais primos.
Conjunto dos Números Inteiros (Z)
O Conjunto dos Números Inteiros, representado pela letra Z, é uma

extensão do conjunto dos números naturais. Ele é constituído pela
união do conjunto dos números naturais com os números negativos.
Portanto, pode-se dizer que o conjunto dos números inteiros, possui
os seguintes elementos:
Z = {…, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, …}
Subconjuntos dos Números Inteiros
Z* = {…, –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, …} ou Z* = Z – {0}: conjuntos dos

números inteiros não-nulos, ou seja, sem o zero;
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}: conjunto dos números inteiros e não-

negativos. Logo, Z+ = N;
Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, …}: conjunto dos números inteiros positivos e

sem o zero;
Z – = {…, –5, –4, –3, –2, –1, 0}: conjunto dos números inteiros não-
positivos;
Z*– = {…, –5, –4, –3, –2, –1}: conjunto dos números inteiros negativos
e sem o zero.
Conjunto dos Números Racionais
O Conjunto dos Números Racionais é o conjunto dos números que

podem ser escritos na forma de fração. Representado por Q, o
conjunto dos números racionais possui os seguintes elementos:
Q = {x ∈ Q: x = a/b, a ∈ Z e b ∈ N}
A definição acima é lida desta forma: x pertence aos racionais, tal

que x é igual a a dividido por b, com a pertencente aos inteiros e b
pertencente aos naturais.
Em outras palavras, se é fração ou um número que pode ser escrito

na forma de fração, então é um número racional.
Os números que podem ser escritos na forma de fração são:
- Todos os números inteiros;
- Decimais finitos;
- Dízimas periódicas.
Os decimais finitos são aqueles que possuem um número finito de

casas decimais. Como por exemplo:
- 0,1
- 3,5
- 6,32
Dízimas periódicas são decimais infinitos, mas que repetem a

sequência final de suas casas decimais. Por exemplo:
- 5,22222…
- 4,45454545….
- 7,255255255255….
Subconjuntos dos Números Racionais
Q* = subconjunto dos números racionais não-nulos, formado pelos

números racionais sem o zero;
Q+ = subconjunto dos números racionais não-negativos, formado

pelos números racionais positivos e o zero;
Q*+ = subconjunto dos números racionais positivos, formado pelos

números racionais positivos, sem o zero;
Q– = subconjunto dos números racionais não-positivos, formado

pelos números racionais negativos e o zero;
Q*– = subconjunto dos números racionais negativos, formado

números racionais negativos, sem o zero.
Conjunto dos Números Irracionais
O Conjunto dos Números Irracionais, representado pela letra I,

possui como elementos todos os números que NÃO pertencem ao
conjunto dos racionais.
Portanto, ou um número é racional ou ele é irracional. Não há

possibilidade de um número pertencer a esses dois conjuntos ao
mesmo tempo. Desta forma, o conjunto dos números irracionais
complementa o conjunto dos números racionais, dentro do universo
dos números reais.
Podemos definir também o conjunto dos números irracionais da

seguinte forma: Os números irracionais são os que NÃO podem ser
escritos na forma de fração. São eles:
- Decimais infinitos;
- Raízes não exatas.
Os decimais infinitos são números que possuem infinitas casas

decimais e que não são dízimas periódicas. Tais como:
0,1541984561354…
√2
Conjunto dos Números Reais
O Conjunto dos Números Reais, representado por R, é constituído

por todos os demais conjuntos citados. Ele pode ser definido pela
união do conjunto dos números racionais e o conjunto dos números
irracionais. O Conjunto dos Números Reais pode ser escrito
matematicamente desta forma:
R = Q U I = {Q + I}
Relação entre Conjuntos Numéricos

N C Z C Q C R → N está contido em Z, que está contido em Q e que está
contido em R
I C R → I está contido em R
Q U I = R → Q união com I, corresponde a R
Q ∩ I = Ø → Q intersecção com I, corresponde a vazio
I = R – Q → I corresponde a R, subtraído de Q

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Conjunto é o agrupamento de elementos que partilham de mesmas

Porém, alguns desses conjuntos são mais notórios por conta da

O Conjunto dos Números Naturais, representado pela letra N, foi o

O conjunto dos números naturais possui os seguintes elementos:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …}

As chaves ({x}) são utilizadas na representação para dar ideia de

Subconjuntos dos Números Naturais

N* = {1, 2, 3, 4, 5…, n, …} ou N* = N – {0}: conjuntos dos números

Np = {0, 2, 4, 6, 8…, 2n, …}, em que n ∈ N (pertence à N): conjunto

Ni = {1, 3, 5, 7, 9…, 2n+1, …}, em que n ∈ N: conjunto dos números

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …}: conjunto dos números naturais primos.

Conjunto dos Números Inteiros (Z)

O Conjunto dos Números Inteiros, representado pela letra Z, é uma

Subconjuntos dos Números Inteiros

Z* = {…, –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, …} ou Z* = Z – {0}: conjuntos dos

Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}: conjunto dos números inteiros e não-

Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, …}: conjunto dos números inteiros positivos e

Conjunto dos Números Racionais

O Conjunto dos Números Racionais é o conjunto dos números que

A definição acima é lida desta forma: x pertence aos racionais, tal

Em outras palavras, se é fração ou um número que pode ser escrito

Os números que podem ser escritos na forma de fração são:

- Todos os números inteiros;

Os decimais finitos são aqueles que possuem um número finito de

Dízimas periódicas são decimais infinitos, mas que repetem a

Subconjuntos dos Números Racionais

Q* = subconjunto dos números racionais não-nulos, formado pelos

Q+ = subconjunto dos números racionais não-negativos, formado

Q*+ = subconjunto dos números racionais positivos, formado pelos

Q– = subconjunto dos números racionais não-positivos, formado

Q*– = subconjunto dos números racionais negativos, formado

Conjunto dos Números Irracionais

O Conjunto dos Números Irracionais, representado pela letra I,

Portanto, ou um número é racional ou ele é irracional. Não há

Podemos definir também o conjunto dos números irracionais da

- Raízes não exatas.

Os decimais infinitos são números que possuem infinitas casas

Conjunto dos Números Reais

O Conjunto dos Números Reais, representado por R, é constituído

Relação entre Conjuntos Numéricos

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