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03 Apostila Versao Digital Matematica 067.205.683 61 1676406741
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03 Apostila Versao Digital Matematica 067.205.683 61 1676406741
A
Escriturário – Agente Comercial
Matemática
Matemática
Porcentagens.................................................................................................................................21
Lógica proposicional.......................................................................................................................24
Noções de conjuntos......................................................................................................................58
Relações e funções; Funções exponenciais e logarítmicas..........................................................60
Funções polinomiais.......................................................................................................................69
Matrizes. Determinantes. Sistemas lineares..................................................................................79
Sequências. Progressões aritméticas e progressões geométricas................................................92
Exercícios.......................................................................................................................................95
Gabarito........................................................................................................................................106
— Conjuntos Numéricos
O grupo de termos ou elementos que possuem características parecidas, que são similares em sua nature-
za, são chamados de conjuntos. Quando estudamos matemática, se os elementos parecidos ou com as mes-
mas características são números, então dizemos que esses grupos são conjuntos numéricos1.
Em geral, os conjuntos numéricos são representados graficamente ou por extenso – forma mais comum em
se tratando de operações matemáticas. Quando os representamos por extenso, escrevemos os números entre
chaves {}. Caso o conjunto seja infinito, ou seja, tenha incontáveis números, os representamos com reticências
depois de colocar alguns exemplos. Exemplo: N = {0, 1, 2, 3, 4…}.
Existem cinco conjuntos considerados essenciais, pois eles são os mais usados em problemas e questões
no estudo da Matemática. São eles: Naturais, Inteiros, Racionais, Irracionais e Reais.
Conjunto dos Números Naturais (N)
O conjunto dos números naturais é representado pela letra N. Ele reúne os números que usamos para contar
(incluindo o zero) e é infinito. Exemplo:
N = {0, 1, 2, 3, 4…}
Além disso, o conjunto dos números naturais pode ser dividido em subconjuntos:
N* = {1, 2, 3, 4…} ou N* = N – {0}: conjunto dos números naturais não nulos, ou sem o zero.
Np = {0, 2, 4, 6…}, em que n ∈ N: conjunto dos números naturais pares.
Ni = {1, 3, 5, 7..}, em que n ∈ N: conjunto dos números naturais ímpares.
P = {2, 3, 5, 7..}: conjunto dos números naturais primos.
Conjunto dos Números Inteiros (Z)
O conjunto dos números inteiros é representado pela maiúscula Z, e é formado pelos números inteiros ne-
gativos, positivos e o zero. Exemplo: Z = {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4…}
O conjunto dos números inteiros também possui alguns subconjuntos:
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4…}: conjunto dos números inteiros não negativos.
Z- = {…-4, -3, -2, -1, 0}: conjunto dos números inteiros não positivos.
Z*+ = {1, 2, 3, 4…}: conjunto dos números inteiros não negativos e não nulos, ou seja, sem o zero.
Z*- = {… -4, -3, -2, -1}: conjunto dos números inteiros não positivos e não nulos.
Conjunto dos Números Racionais (Q)
Números racionais são aqueles que podem ser representados em forma de fração. O numerador e o deno-
minador da fração precisam pertencer ao conjunto dos números inteiros e, é claro, o denominador não pode ser
zero, pois não existe divisão por zero.
O conjunto dos números racionais é representado pelo Q. Os números naturais e inteiros são subconjuntos
dos números racionais, pois todos os números naturais e inteiros também podem ser representados por uma
fração. Além destes, números decimais e dízimas periódicas também estão no conjunto de números racionais.
Vejamos um exemplo de um conjunto de números racionais com 4 elementos:
Qx = {-4, 1/8, 2, 10/4}
Também temos subconjuntos dos números racionais:
Q* = subconjunto dos números racionais não nulos, formado pelos números racionais sem o zero.
Q+ = subconjunto dos números racionais não negativos, formado pelos números racionais positivos.
1 https://matematicario.com.br/
Observe que chegamos a uma divisão não exata cujo quociente é menor que o divisor. Isso comprova que
o número 113 é primo.
A análise combinatória ou combinatória é a parte da Matemática que estuda métodos e técnicas que permi-
tem resolver problemas relacionados com contagem4.
Muito utilizada nos estudos sobre probabilidade, ela faz análise das possibilidades e das combinações pos-
síveis entre um conjunto de elementos.
— Princípio Fundamental da Contagem
O princípio fundamental da contagem, também chamado de princípio multiplicativo, postula que:
“quando um evento é composto por n etapas sucessivas e independentes, de tal modo que as possibilidades
da primeira etapa é x e as possibilidades da segunda etapa é y, resulta no número total de possibilidades de o
evento ocorrer, dado pelo produto (x) . (y)”.
Em resumo, no princípio fundamental da contagem, multiplica-se o número de opções entre as escolhas que
lhe são apresentadas.
Exemplo: Uma lanchonete vende uma promoção de lanche a um preço único. No lanche, estão incluídos um
sanduíche, uma bebida e uma sobremesa. São oferecidas três opções de sanduíches: hambúrguer especial,
sanduíche vegetariano e cachorro-quente completo. Como opção de bebida pode-se escolher 2 tipos: suco de
maçã ou guaraná. Para a sobremesa, existem quatro opções: cupcake de cereja, cupcake de chocolate, cup-
cake de morango e cupcake de baunilha. Considerando todas as opções oferecidas, de quantas maneiras um
cliente pode escolher o seu lanche?
Solução: Podemos começar a resolução do problema apresentado, construindo uma árvore de possibilida-
des, conforme ilustrado abaixo:
Acompanhando o diagrama, podemos diretamente contar quantos tipos diferentes de lanches podemos es-
colher. Assim, identificamos que existem 24 combinações possíveis.
Podemos ainda resolver o problema usando o princípio multiplicativo. Para saber quais as diferentes possi-
bilidades de lanches, basta multiplicar o número de opções de sanduíches, bebidas e sobremesa.
Total de possibilidades: 3.2.4 = 24.
Portanto, temos 24 tipos diferentes de lanches para escolher na promoção.
— Tipos de Combinatória
O princípio fundamental da contagem pode ser usado em grande parte dos problemas relacionados com
contagem. Entretanto, em algumas situações seu uso torna a resolução muito trabalhosa.
Desta maneira, usamos algumas técnicas para resolver problemas com determinadas características. Basi-
camente há três tipos de agrupamentos: arranjos, combinações e permutações.
Antes de conhecermos melhor esses procedimentos de cálculo, precisamos definir uma ferramenta muito
utilizada em problemas de contagem, que é o fatorial.
4 https://www.todamateria.com.br/analise-combinatoria/
Exemplo: Como exemplo de arranjo, podemos pensar na votação para escolher um representante e um
vice-representante de uma turma, com 20 alunos. Sendo que o mais votado será o representante e o segundo
mais votado o vice-representante.
Dessa forma, de quantas maneiras distintas a escolha poderá ser feita? Observe que nesse caso, a ordem
é importante, visto que altera o resultado.
Exemplo: Para exemplificar, vamos pensar de quantas maneiras diferentes 6 pessoas podem se sentar em
um banco com 6 lugares.
Como a ordem em que irão se sentar é importante e o número de lugares é igual ao número de pessoas,
iremos usar a permutação:
Logo, existem 720 maneiras diferentes para as 6 pessoas se sentarem neste banco.
Exemplo: A fim de exemplificar, podemos pensar na escolha de 3 membros para formar uma comissão orga-
nizadora de um evento, dentre as 10 pessoas que se candidataram.
De quantas maneiras distintas essa comissão poderá ser formada?
Note que, ao contrário dos arranjos, nas combinações a ordem dos elementos não é relevante. Isso quer
dizer que escolher Maria, João e José é equivalente a escolher João, José e Maria.
Observe que para simplificar os cálculos, transformamos o fatorial de 10 em produto, mas conservamos o
fatorial de 7, pois, desta forma, foi possível simplificar com o fatorial de 7 do denominador.
Assim, existem 120 maneiras distintas formar a comissão.
— Probabilidade e Análise Combinatória
A Probabilidade permite analisar ou calcular as chances de obter determinado resultado diante de um experi-
mento aleatório. São exemplos as chances de um número sair em um lançamento de dados ou a possibilidade
de ganhar na loteria.
A partir disso, a probabilidade é determinada pela razão entre o número de eventos possíveis e número de
eventos favoráveis, sendo apresentada pela seguinte expressão:
Sendo:
P (A): probabilidade de ocorrer um evento A.
n (A): número de resultados favoráveis.
n (Ω): número total de resultados possíveis.
Para encontrar o número de casos possíveis e favoráveis, muitas vezes necessitamos recorrer as fórmulas
estudadas em análise combinatória.
Exemplo: Qual a probabilidade de um apostador ganhar o prêmio máximo da Mega-Sena, fazendo uma
aposta mínima, ou seja, apostar exatamente nos seis números sorteados?
Solução: Como vimos, a probabilidade é calculada pela razão entre os casos favoráveis e os casos possíveis.
Nesta situação, temos apenas um caso favorável, ou seja, apostar exatamente nos seis números sorteados.
Já o número de casos possíveis é calculado levando em consideração que serão sorteados, ao acaso, 6
números, não importando a ordem, de um total de 60 números.
Para fazer esse cálculo, usaremos a fórmula de combinação, conforme indicado abaixo:
— Probabilidade
A teoria da probabilidade é o campo da Matemática que estuda experimentos ou fenômenos aleatórios e
através dela é possível analisar as chances de um determinado evento ocorrer5.
Quando calculamos a probabilidade, estamos associando um grau de confiança na ocorrência dos resulta-
dos possíveis de experimentos, cujos resultados não podem ser determinados antecipadamente. Probabilidade
é a medida da chance de algo acontecer.
Desta forma, o cálculo da probabilidade associa a ocorrência de um resultado a um valor que varia de 0 a 1
e, quanto mais próximo de 1 estiver o resultado, maior é a certeza da sua ocorrência.
Por exemplo, podemos calcular a probabilidade de uma pessoa comprar um bilhete da loteria premiado ou
conhecer as chances de um casal ter 5 filhos, todos meninos.
— Experimento Aleatório
Um experimento aleatório é aquele que não é possível conhecer qual resultado será encontrado antes de
realizá-lo.
Os acontecimentos deste tipo quando repetidos nas mesmas condições, podem dar resultados diferentes e
essa inconstância é atribuída ao acaso.
Um exemplo de experimento aleatório é jogar um dado não viciado (dado que apresenta uma distribuição
homogênea de massa) para o alto. Ao cair, não é possível prever com total certeza qual das 6 faces estará
voltada para cima.
— Fórmula da Probabilidade
Em um fenômeno aleatório, as possibilidades de ocorrência de um evento são igualmente prováveis.
Sendo assim, podemos encontrar a probabilidade de ocorrer um determinado resultado através da divisão
entre o número de eventos favoráveis e o número total de resultados possíveis:
Sendo:
P(A): probabilidade da ocorrência de um evento A.
n(A): número de casos favoráveis ou, que nos interessam (evento A).
n(Ω): número total de casos possíveis.
O resultado calculado também é conhecido como probabilidade teórica.
Para expressar a probabilidade na forma de porcentagem, basta multiplicar o resultado por 100.
Exemplo: Se lançarmos um dado perfeito, qual a probabilidade de sair um número menor que 3?
Solução: Sendo o dado perfeito, todas as 6 faces têm a mesma chance de caírem voltadas para cima. Va-
mos então, aplicar a fórmula da probabilidade.
5 https://www.todamateria.com.br/probabilidade/
As unidades de medida são modelos estabelecidos para medir diferentes grandezas, tais como comprimen-
to, capacidade, massa, tempo e volume6.
O Sistema Internacional de Unidades (SI) define a unidade padrão de cada grandeza. Baseado no sistema
métrico decimal, o SI surgiu da necessidade de uniformizar as unidades que são utilizadas na maior parte dos
países.
— Medidas de Comprimento
Existem várias medidas de comprimento, como por exemplo a jarda, a polegada e o pé.
No SI a unidade padrão de comprimento é o metro (m). Atualmente ele é definido como o comprimento da
distância percorrida pela luz no vácuo durante um intervalo de tempo de 1/299.792.458 de um segundo.
Assim, são múltiplos do metro: quilômetro (km), hectômetro (hm) e decâmetro (dam)7.
Enquanto são submúltiplos do metro: decímetro (dm), centímetro (cm) e milímetro (mm).
6 https://www.todamateria.com.br/unidades-de-medida/
7 https://www.todamateria.com.br/medidas-de-comprimento/
— Medidas de Capacidade
As medidas de capacidade representam as unidades usadas para definir o volume no interior de um reci-
piente8. A principal unidade de medida da capacidade é o litro (L).
O litro representa a capacidade de um cubo de aresta igual a 1 dm. Como o volume de um cubo é igual a
medida da aresta elevada ao cubo, temos então a seguinte relação:
1 L = 1 dm³
Mudança de Unidades
O litro é a unidade fundamental de capacidade. Entretanto, também é usado o quilolitro(kL), hectolitro(hL) e
decalitro que são seus múltiplos e o decilitro, centilitro e o mililitro que são os submúltiplos.
Como o sistema padrão de capacidade é decimal, as transformações entre os múltiplos e submúltiplos são
feitas multiplicando-se ou dividindo-se por 10.
Para transformar de uma unidade de capacidade para outra, podemos utilizar a tabela abaixo:
9 https://www.todamateria.com.br/medidas-de-massa/
Exemplos:
a) Quantas gramas tem 1 kg?
Para converter quilograma em grama basta consultar o quadro acima. Observe que é necessário multiplicar
por 10 três vezes.
1 kg → g
1 kg x 10 x 10 x 10 = 1 x 1000 = 1.000 g
b) Quantos quilogramas tem em 3.000 g?
Para transformar grama em quilograma, vemos na tabela que devemos dividir o valor dado por 1.000. Isto é
o mesmo que dividir por 10, depois novamente por 10 e mais uma vez por 10.
3.000 g → kg
3.000 g : 10 : 10 : 10 = 3.000 : 1.000 = 3 kg
c) Transformando 350 g em mg.
Para transformar de grama para miligrama devemos multiplicar o valor dado por 1.000 (10 x 10 x 10).
350 g → mg
350 x 10 x 10 x 10 = 350 x 1000 = 350.000 mg
— Medidas de Tempo
Existem diversas unidades de medida de tempo, por exemplo a hora, o dia, o mês, o ano, o século. No sis-
tema internacional de medidas a unidades de tempo é o segundo (s)11.
10 https://www.todamateria.com.br/medidas-de-massa/
11 https://www.todamateria.com.br/medidas-de-tempo/
Em algumas áreas é necessário usar medidas com precisão maior que o segundo. Neste caso, usamos seus
submúltiplos.
Assim, podemos indicar o tempo decorrido de um evento em décimos, centésimos ou milésimos de segun-
dos.
Por exemplo, nas competições de natação o tempo de um atleta é medido com precisão de centésimos de
segundo.
Instrumentos de Medidas
Para medir o tempo utilizamos relógios que são dispositivos que medem eventos que acontecem em inter-
valos regulares.
Os primeiros instrumentos usados para a medida do tempo foram os relógios de Sol, que utilizavam a som-
bra projetada de um objeto para indicar as horas.
Foram ainda utilizados relógios que empregavam escoamento de líquidos, areia, queima de fluidos e dispo-
sitivos mecânicos como os pêndulos para indicar intervalos de tempo.
Outras Unidades de Medidas de Tempo
O intervalo de tempo de uma rotação completa da terra equivale a 24h, que representa 1 dia.
O mês é o intervalo de tempo correspondente a determinado número de dias. Os meses de abril, junho,
setembro, novembro têm 30 dias.
Já os meses de janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro e dezembro possuem 31 dias. O mês de feve-
reiro normalmente têm 28 dias. Contudo, de 4 em 4 anos ele têm 29 dias.
O ano é o tempo que a Terra leva para dar uma volta completa ao redor do Sol. Normalmente, 1 ano corres-
ponde a 365 dias, no entanto, de 4 em 4 anos o ano têm 366 dias (ano bissexto).
Na tabela abaixo relacionamos algumas dessas unidades:
Exemplos:
a) Quantos mililitros correspondem 35 litros?
Para fazer a transformação pedida, vamos escrever o número na tabela das medidas de capacidade. Lem-
brando que a medida pode ser escrita como 35,0 litros. A virgula e o algarismo que está antes dela devem ficar
na casa da unidade de medida dada, que neste caso é o litro.
Depois completamos com zeros até chegar na casa da unidade pedida, que neste caso é o quilograma. A
vírgula passa então para atrás do algarismo que está na casa do quilograma.
A razão estabelece uma comparação entre duas grandezas, sendo o coeficiente entre dois números12.
Já a proporção é determinada pela igualdade entre duas razões, ou ainda, quando duas razões possuem o
mesmo resultado.
Note que a razão está relacionada com a operação da divisão. Vale lembrar que duas grandezas são pro-
porcionais quando formam uma proporção.
Ainda que não tenhamos consciência disso, utilizamos cotidianamente os conceitos de razão e proporção.
Para preparar uma receita, por exemplo, utilizamos certas medidas proporcionais entre os ingredientes.
Para encontrar a razão entre duas grandezas, as unidades de medida terão de ser as mesmas.
A partir das grandezas A e B temos:
Razão
ou A : B, onde b ≠ 0.
12 https://www.todamateria.com.br/razao-e-proporcao/
Se o denominador for igual a 100, temos uma razão do tipo porcentagem, também chamada de razão cen-
tesimal.
Além disso, nas razões, o coeficiente que está localizado acima é chamado de antecedente (A), enquanto o
de baixo é chamado de consequente (B).
x = 12 . 3
x = 36
Assim, quando temos três valores conhecidos, podemos descobrir o quarto, também chamado de “quarta
proporcional”.
Na proporção, os elementos são denominados de termos. A primeira fração é formada pelos primeiros ter-
mos (A/B), enquanto a segunda são os segundos termos (C/D).
Nos problemas onde a resolução é feita através da regra de três, utilizamos o cálculo da proporção para
encontrar o valor procurado.
— Propriedades da Proporção
1. O produto dos meios é igual ao produto dos extremos, por exemplo:
é equivalente
Logo, D. A = C . B.
— Regra de três simples e composta
A regra de três é a proporção entre duas ou mais grandezas, que podem ser velocidades, tempos, áreas,
distâncias, cumprimentos, entre outros13.
É o método para determinar o valor de uma incógnita quando são apresentados duas ou mais razões, sejam
elas diretamente ou inversamente proporcionais.
As Grandezas
Dentro da regra de três simples e composta existem grandezas diretamente e inversamente proporcionais.
Caracteriza-se por grandezas diretas aquelas em que o acréscimo ou decréscimo de uma equivale ao mes-
mo processo na outra. Por exemplo, ao triplicarmos uma razão, a outra também será triplicada, e assim suces-
sivamente.
Exemplo: Supondo que cada funcionário de uma microempresa com 35 integrantes gasta 10 folhas de papel
diariamente. Quantas folhas serão gastas nessa mesma empresa quando o quadro de colaboradores aumentar
para 50?
13 https://www.educamaisbrasil.com.br/enem/matematica/regra-de-tres-simples-e-composta
5x = 80 . 7
5x = 560
x = 560/5
x = 112
Sendo assim, serão 112 dias para a construção da casa com 5 pedreiros.
Regra de Três Simples
A regra de três simples funciona na relação de apenas duas grandezas, que podem ser diretamente ou in-
versamente proporcionais.
Exemplo 1: Para fazer um bolo de limão utiliza-se 250 ml do suco da fruta. Porém, foi feito uma encomenda
de 6 bolos. Quantos limões serão necessários?
Reparem que as grandezas são diretamente proporcionais, já que o aumento no pedido de bolos pede uma
maior quantidade de limões. Logo, o valor desconhecido é determinado pela multiplicação cruzada:
x = 250 . 6
x = 1500 ml de suco
Exemplo 2: Um carro com velocidade de 120 km/h percorre um trajeto em 1 hora. Se a velocidade for redu-
zida para 70 km/h, em quanto tempo o veículo fará o mesmo percurso?
Observa-se que neste exemplo teremos uma regra de três simples inversa, uma vez que ao diminuirmos a
velocidade do ônibus, o tempo de deslocamento irá aumentar. Então, pela regra, uma das razões deverá ser
invertida e transformada em direta.
Porcentagens
14 https://www.todamateria.com.br/calcular-porcentagem/
2º passo: multiplicar o valor que representa 1% pela porcentagem que se quer descobrir.
2 x 20 = 40
Chegamos mais uma vez à conclusão que 20% de 200 é 40.
Método 2: Calcular porcentagem utilizando frações equivalentes
As frações equivalentes representam a mesma porção do todo e podem ser encontradas dividindo o nume-
rador e o denominador da fração pelo mesmo número natural.
Se a fração equivalente de é , então para calcular 20% de um valor basta dividi-lo por 5. Veja como
fazer:
Negação ~ Não p
Conjunção ^ peq
Disjunção In-
v p ou q
clusiva
Disjunção Ex-
v Ou p ou q
clusiva
Bicondicional ↔ p se e somente se q
Em síntese temos a tabela verdade das proposições que facilitará na resolução de diversas questões
Exemplo:
(MEC – CONHECIMENTOS BÁSICOS PARA OS POSTOS 9,10,11 E 16 – CESPE)
A figura acima apresenta as colunas iniciais de uma tabela-verdade, em que P, Q e R representam proposi-
ções lógicas, e V e F correspondem, respectivamente, aos valores lógicos verdadeiro e falso.
Com base nessas informações e utilizando os conectivos lógicos usuais, julgue o item subsecutivo.
A última coluna da tabela-verdade referente à proposição lógica P v (Q↔R) quando representada na posição
horizontal é igual a
R Q P [P v (Q ↔ R) ]
V V V V V V V V
V V F F V V V V
V F V V V F F V
V F F F F F F V
F V V V V V F F
F V F F F V F F
F F V V V F V F
F F F F V F V F
Resposta: Certo
Proposição
Conjunto de palavras ou símbolos que expressam um pensamento ou uma ideia de sentido completo. Elas
transmitem pensamentos, isto é, afirmam fatos ou exprimem juízos que formamos a respeito de determinados
conceitos ou entes.
Valores lógicos
São os valores atribuídos as proposições, podendo ser uma verdade, se a proposição é verdadeira (V), e
uma falsidade, se a proposição é falsa (F). Designamos as letras V e F para abreviarmos os valores lógicos
verdade e falsidade respectivamente.
Com isso temos alguns aximos da lógica:
– PRINCÍPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO: uma proposição não pode ser verdadeira E falsa ao mesmo tempo.
– PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO: toda proposição OU é verdadeira OU é falsa, verificamos sempre
um desses casos, NUNCA existindo um terceiro caso.
Negação ~ Não p
Conjunção ^ peq
Disjunção Inclusiva v p ou q
Disjunção Exclusiva v Ou p ou q
Condicional → Se p então q
Bicondicional ↔ p se e somente se q
Exemplo:
2. (PC/SP - Delegado de Polícia - VUNESP) Os conectivos ou operadores lógicos são palavras (da lingua-
gem comum) ou símbolos (da linguagem formal) utilizados para conectar proposições de acordo com regras
formais preestabelecidas. Assinale a alternativa que apresenta exemplos de conjunção, negação e implicação,
respectivamente.
(A) ¬ p, p v q, p ∧ q
(B) p ∧ q, ¬ p, p -> q
(C) p -> q, p v q, ¬ p
(D) p v p, p -> q, ¬ q
(E) p v q, ¬ q, p v q
Exemplo:
5. (VUNESP/TJSP) Uma negação lógica para a afirmação “João é rico, ou Maria é pobre” é:
(A) Se João é rico, então Maria é pobre.
(B) João não é rico, e Maria não é pobre.
(C) João é rico, e Maria não é pobre.
(D) Se João não é rico, então Maria não é pobre.
(E) João não é rico, ou Maria não é pobre.
Resposta: B.
Leis de Morgan
Com elas:
– Negamos que duas dadas proposições são ao mesmo tempo verdadeiras equivalendo a afirmar que pelo
menos uma é falsa
– Negamos que uma pelo menos de duas proposições é verdadeira equivalendo a afirmar que ambas são
falsas
.
ATENÇÃO
As Leis de Morgan exprimem que NEGAÇÃO CONJUNÇÃO em DISJUNÇÃO
transforma: DISJUNÇÃO em CONJUNÇÃO
CONECTIVOS
Para compôr novas proposições, definidas como composta, a partir de outras proposições simples, usam-se
os conectivos.
ATENÇÃO: Sentenças interligadas pelo conectivo “e” possuirão o valor verdadeiro somente quando todas as
sentenças, ou argumentos lógicos, tiverem valores verdadeiros.
Conectivo “ou” (v)
Este inclusivo: Elisabete é bonita ou Elisabete é inteligente. (Nada impede que Elisabete seja bonita e inte-
ligente).
Observe que uma subjunção p→q somente será falsa quando a primeira proposição, p, for verdadeira e a
segunda, q, for falsa.
Conectivo “Se e somente se” (↔)
Se p e q são duas proposições, a proposição p↔q1 é chamada bijunção ou bicondicional, que também pode
ser lida como: “p é condição necessária e suficiente para q” ou, ainda, “q é condição necessária e suficiente
para p”.
Considere, agora, a seguinte bijunção: “Irei à praia se e somente se fizer sol”. Podem ocorrer as situações:
1. Fez sol e fui à praia. (Eu disse a verdade)
2. Fez sol e não fui à praia. (Eu menti)
3. Não fez sol e fui à praia. (Eu menti)
4. Não fez sol e não fui à praia. (Eu disse a verdade). Sua tabela verdade:
Observe que uma bicondicional só é verdadeira quando as proposições formadoras são ambas falsas ou
ambas verdadeiras.
ATENÇÃO: O importante sobre os conectivos é ter em mente a tabela de cada um deles, para que assim
você possa resolver qualquer questão referente ao assunto.
Ordem de precedência dos conectivos:
O critério que especifica a ordem de avaliação dos conectivos ou operadores lógicos de uma expressão
qualquer. A lógica matemática prioriza as operações de acordo com a ordem listadas:
Exemplo:
(PC/SP - DELEGADO DE POLÍCIA - VUNESP) Os conectivos ou operadores lógicos são palavras (da lin-
guagem comum) ou símbolos (da linguagem formal) utilizados para conectar proposições de acordo com regras
formais preestabelecidas. Assinale a alternativa que apresenta exemplos de conjunção, negação e implicação,
respectivamente.
(A) ¬ p, p v q, p ∧ q
(B) p ∧ q, ¬ p, p -> q
(C) p -> q, p v q, ¬ p
(D) p v p, p -> q, ¬ q
(E) p v q, ¬ q, p v q
Resolução:
A conjunção é um tipo de proposição composta e apresenta o conectivo “e”, e é representada pelo símbolo ∧.
A negação é representada pelo símbolo ~ou cantoneira (¬) e pode negar uma proposição simples (por exemplo:
¬ p ) ou composta. Já a implicação é uma proposição composta do tipo condicional (Se, então) é representada
pelo símbolo (→).
Resposta: B
CONTRADIÇÕES
São proposições compostas formadas por duas ou mais proposições onde seu valor lógico é sempre FAL-
SO, independentemente do valor lógico das proposições simples que a compõem. Vejamos:
A proposição: p ^ ~p é uma contradição, conforme mostra a sua tabela-verdade:
Exemplo:
(PEC-FAZ) Conforme a teoria da lógica proposicional, a proposição ~P ∧ P é:
(A) uma tautologia.
(B) equivalente à proposição ~p ∨ p.
(C) uma contradição.
(D) uma contingência.
(E) uma disjunção.
Resolução:
Montando a tabela teremos que:
Como todos os valores são Falsidades (F) logo estamos diante de uma CONTRADIÇÃO.
Resposta: C
A proposição P(p,q,r,...) implica logicamente a proposição Q(p,q,r,...) quando Q é verdadeira todas as vezes
que P é verdadeira. Representamos a implicação com o símbolo “⇒”, simbolicamente temos:
P(p,q,r,...) ⇒ Q(p,q,r,...).
ATENÇÃO: Os símbolos “→” e “⇒” são completamente distintos. O primeiro (“→”) representa a condicional,
que é um conectivo. O segundo (“⇒”) representa a relação de implicação lógica que pode ou não existir entre
duas proposições.
Exemplo:
Observe:
- Toda proposição implica uma Tautologia:
Propriedades
• Reflexiva:
– P(p,q,r,...) ⇒ P(p,q,r,...)
– Uma proposição complexa implica ela mesma.
• Transitiva:
– Se P(p,q,r,...) ⇒ Q(p,q,r,...) e
Q(p,q,r,...) ⇒ R(p,q,r,...), então
P(p,q,r,...) ⇒ R(p,q,r,...)
– Se P ⇒ Q e Q ⇒ R, então P ⇒ R
• Silogismo Disjuntivo
• Modus Ponens
• Modus Tollens
Princípio da inconsistência
– Como “p ^ ~p → q” é tautológica, subsiste a implicação lógica p ^ ~p ⇒ q
– Assim, de uma contradição p ^ ~p se deduz qualquer proposição q.
A proposição “(p ↔ q) ^ p” implica a proposição “q”, pois a condicional “(p ↔ q) ^ p → q” é tautológica.
Lógica de primeira ordem
Existem alguns tipos de argumentos que apresentam proposições com quantificadores. Numa proposição
categórica, é importante que o sujeito se relacionar com o predicado de forma coerente e que a proposição faça
sentido, não importando se é verdadeira ou falsa.
Vejamos algumas formas:
- Todo A é B.
- Nenhum A é B.
- Algum A é B.
- Algum A não é B.
Onde temos que A e B são os termos ou características dessas proposições categóricas.
• Classificação de uma proposição categórica de acordo com o tipo e a relação
Elas podem ser classificadas de acordo com dois critérios fundamentais: qualidade e extensão ou quantida-
de.
– Qualidade: O critério de qualidade classifica uma proposição categórica em afirmativa ou negativa.
– Extensão: O critério de extensão ou quantidade classifica uma proposição categórica em universal ou par-
ticular. A classificação dependerá do quantificador que é utilizado na proposição.
Tais proposições afirmam que o conjunto “A” está contido no conjunto “B”, ou seja, que todo e qualquer ele-
mento de “A” é também elemento de “B”. Observe que “Toda A é B” é diferente de “Todo B é A”.
• Universal negativa (Tipo E) – “NENHUM A é B”
Tais proposições afirmam que não há elementos em comum entre os conjuntos “A” e “B”. Observe que “ne-
nhum A é B” é o mesmo que dizer “nenhum B é A”.
Podemos representar esta universal negativa pelo seguinte diagrama (A ∩ B = ø):
Essas proposições Algum A é B estabelecem que o conjunto “A” tem pelo menos um elemento em comum
com o conjunto “B”. Contudo, quando dizemos que Algum A é B, presumimos que nem todo A é B. Observe
“Algum A é B” é o mesmo que “Algum B é A”.
• Particular negativa (Tipo O) - “ALGUM A não é B”
Se a proposição Algum A não é B é verdadeira, temos as três representações possíveis:
Exemplos:
(DESENVOLVE/SP - CONTADOR - VUNESP) Alguns gatos não são pardos, e aqueles que não são pardos
miam alto.
Uma afirmação que corresponde a uma negação lógica da afirmação anterior é:
(A) Os gatos pardos miam alto ou todos os gatos não são pardos.
(B) Nenhum gato mia alto e todos os gatos são pardos.
(C) Todos os gatos são pardos ou os gatos que não são pardos não miam alto.
(D) Todos os gatos que miam alto são pardos.
(E) Qualquer animal que mia alto é gato e quase sempre ele é pardo.
Resolução:
Temos um quantificador particular (alguns) e uma proposição do tipo conjunção (conectivo “e”). Pede-se a
sua negação.
O quantificador existencial “alguns” pode ser negado, seguindo o esquema, pelos quantificadores universais
(todos ou nenhum).
Exemplo:
(PC/PI - ESCRIVÃO DE POLÍCIA CIVIL - UESPI) Qual a negação lógica da sentença “Todo número natural
é maior do que ou igual a cinco”?
(A) Todo número natural é menor do que cinco.
(B) Nenhum número natural é menor do que cinco.
(C) Todo número natural é diferente de cinco.
(D) Existe um número natural que é menor do que cinco.
(E) Existe um número natural que é diferente de cinco.
Resolução:
Do enunciado temos um quantificador universal (Todo) e pede-se a sua negação.
O quantificador universal todos pode ser negado, seguindo o esquema abaixo, pelo quantificador algum,
pelo menos um, existe ao menos um, etc. Não se nega um quantificador universal com Todos e Nenhum, que
também são universais.
TODO
A
AéB
Se um elemento pertence ao
conjunto A, então pertence tam-
bém a B.
N E -
E NHUM
AéB
Existe pelo menos um ele-
mento que pertence a A, então
não pertence a B, e vice-versa.
ALGUM
O
A NÃO é B
Exemplo:
(GDF–ANALISTA DE ATIVIDADES CULTURAIS ADMINISTRAÇÃO – IADES) Considere as proposições:
“todo cinema é uma casa de cultura”, “existem teatros que não são cinemas” e “algum teatro é casa de cultura”.
Logo, é correto afirmar que
(A) existem cinemas que não são teatros.
(B) existe teatro que não é casa de cultura.
(C) alguma casa de cultura que não é cinema é teatro.
(D) existe casa de cultura que não é cinema. – Errado, a justificativa é observada no diagrama da alternativa
anterior.
(E) todo teatro que não é casa de cultura não é cinema. – Correta, que podemos observar no diagrama
abaixo, uma vez que todo cinema é casa de cultura. Se o teatro não é casa de cultura também não é cinema.
Resposta: E
LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO
Chama-se argumento a afirmação de que um grupo de proposições iniciais redunda em outra proposição
final, que será consequência das primeiras. Ou seja, argumento é a relação que associa um conjunto de pro-
posições P1, P2,... Pn , chamadas premissas do argumento, a uma proposição Q, chamada de conclusão do
argumento.
Observem que todos os elementos do conjunto menor (homens) estão incluídos, ou seja, pertencem ao con-
junto maior (dos pássaros). E será sempre essa a representação gráfica da frase “Todo A é B”. Dois círculos,
um dentro do outro, estando o círculo menor a representar o grupo de quem se segue à palavra TODO.
Na frase: “Nenhum pássaro é animal”. Observemos que a palavra-chave desta sentença é NENHUM. E a
ideia que ela exprime é de uma total dissociação entre os dois conjuntos.
Finalmente, passemos à análise da conclusão: “Patrícia não gosta de chocolate”. Ora, o que nos resta para
sabermos se este argumento é válido ou não, é justamente confirmar se esse resultado (se esta conclusão) é
necessariamente verdadeiro!
- É necessariamente verdadeiro que Patrícia não gosta de chocolate? Olhando para o desenho acima, res-
pondemos que não! Pode ser que ela não goste de chocolate (caso esteja fora do círculo), mas também pode
ser que goste (caso esteja dentro do círculo)! Enfim, o argumento é inválido, pois as premissas não garantiram
a veracidade da conclusão!
Métodos para validação de um argumento
Aprenderemos a seguir alguns diferentes métodos que nos possibilitarão afirmar se um argumento é válido
ou não!
1º) Utilizando diagramas de conjuntos: esta forma é indicada quando nas premissas do argumento aparecem
as palavras TODO, ALGUM E NENHUM, ou os seus sinônimos: cada, existe um etc.
2º) Utilizando tabela-verdade: esta forma é mais indicada quando não for possível resolver pelo primeiro
método, o que ocorre quando nas premissas não aparecem as palavras todo, algum e nenhum, mas sim, os co-
nectivos “ou” , “e”, “” e “↔”. Baseia-se na construção da tabela-verdade, destacando-se uma coluna para cada
premissa e outra para a conclusão. Este método tem a desvantagem de ser mais trabalhoso, principalmente
quando envolve várias proposições simples.
3º) Utilizando as operações lógicas com os conectivos e considerando as premissas verdadeiras.
Por este método, fácil e rapidamente demonstraremos a validade de um argumento. Porém, só devemos
utilizá-lo na impossibilidade do primeiro método.
Exemplo:
Diga se o argumento abaixo é válido ou inválido:
(p ∧ q) → r
_____~r_______
~p ∨ ~q
Resolução:
-1ª Pergunta) O argumento apresenta as palavras todo, algum ou nenhum?
A resposta é não! Logo, descartamos o 1º método e passamos à pergunta seguinte.
- 2ª Pergunta) O argumento contém no máximo duas proposições simples?
A resposta também é não! Portanto, descartamos também o 2º método.
- 3ª Pergunta) Há alguma das premissas que seja uma proposição simples ou uma conjunção?
3º passo preenchimento de nossa tabela, com as informações mais óbvias do problema, aquelas que não
deixam margem a nenhuma dúvida. Em nosso exemplo:
ATENÇÃO: se o médico é casado com Maria, ele NÃO PODE ser casado com Lúcia e Patrícia, então
colocamos “N” no cruzamento de Medicina e elas. E se Maria é casada com o médico, logo ela NÃO
PODE ser casada com o engenheiro e nem com o advogado (logo colocamos “N” no cruzamento do
nome de Maria com essas profissões).
– Paulo é advogado: Vamos preencher as duas tabelas (tabela gabarito e tabela principal) agora.
– Patrícia não é casada com Paulo: Vamos preencher com “N” na tabela principal
– Carlos não é médico: preenchemos com um “N” na tabela principal a célula comum a Carlos e “médico”.
Notamos aqui que Luís então é o médico, pois foi a célula que ficou em branco. Podemos também completar
a tabela gabarito.
Novamente observamos uma célula vazia no cruzamento de Carlos com Engenharia. Marcamos um “S”
nesta célula. E preenchemos sua tabela gabarito.
4º passo – após as anotações feitas na tabela principal e na tabela gabarito, vamos procurar informações
que levem a novas conclusões, que serão marcadas nessas tabelas.
Verificamos, na tabela acima, que Patrícia tem de ser casada com o engenheiro, e Lúcia tem de ser casada
com o advogado.
Advo-
Medicina Engenharia Lúcia Patrícia Maria
cacia
Carlos N S N
Luís S N N
Paulo N N S N
Lúcia N N S
Patrícia N S N
Maria S N N
Concluímos, então, que Lúcia é casada com o advogado (que é Paulo), Patrícia é casada com o engenheiro
(que e Carlos) e Maria é casada com o médico (que é Luís).
Preenchendo a tabela-gabarito, vemos que o problema está resolvido:
Exemplo:
(TRT-9ª REGIÃO/PR – TÉCNICO JUDICIÁRIO – ÁREA ADMINISTRATIVA – FCC) Luiz, Arnaldo, Mariana
e Paulo viajaram em janeiro, todos para diferentes cidades, que foram Fortaleza, Goiânia, Curitiba e Salvador.
Com relação às cidades para onde eles viajaram, sabe-se que:
− Luiz e Arnaldo não viajaram para Salvador;
− Mariana viajou para Curitiba;
− Paulo não viajou para Goiânia;
− Luiz não viajou para Fortaleza.
É correto concluir que, em janeiro,
(A) Paulo viajou para Fortaleza.
(B) Luiz viajou para Goiânia.
(C) Arnaldo viajou para Goiânia.
Resposta: B
Quantificador
Tipos de quantificadores
• Quantificador universal (∀)
O símbolo ∀ pode ser lido das seguintes formas:
Exemplo:
Todo homem é mortal.
A conclusão dessa afirmação é: se você é homem, então será mortal.
Na representação do diagrama lógico, seria:
O quantificador existencial tem a função de elemento comum. A palavra algum, do ponto de vista lógico,
representa termos comuns, por isso “Algum A é B” possui a seguinte forma simbólica: (∃ (x)) (A (x) ∧ B).
Aplicando temos:
x + 2 = 5 é uma sentença aberta. Escrevendo da forma (∃ x) ∈ N / x + 2 = 5 (lê-se: existe pelo menos um x
pertencente a N tal que x + 2 = 5), atribuindo um valor que, colocado no lugar de x, a sentença será verdadeira?
A resposta é SIM, pois depois de colocarmos o quantificador, a frase passou a possuir sujeito e predicado
definidos e podemos julgar, logo, é uma proposição lógica.
ATENÇÃO:
– A palavra todo não permite inversão dos termos: “Todo A é B” é diferente de “Todo B é A”.
– A palavra algum permite a inversão dos termos: “Algum A é B” é a mesma coisa que “Algum B é A”.
Forma simbólica dos quantificadores
Todo A é B = (∀ (x) (A (x) → B).
Algum A é B = (∃ (x)) (A (x) ∧ B).
Nenhum A é B = (~ ∃ (x)) (A (x) ∧ B).
Algum A não é B= (∃ (x)) (A (x) ∧ ~ B).
Exemplos:
Todo cavalo é um animal. Logo,
(A) Toda cabeça de animal é cabeça de cavalo.
(B) Toda cabeça de cavalo é cabeça de animal.
(C) Todo animal é cavalo.
(D) Nenhum animal é cavalo.
Resolução:
A frase “Todo cavalo é um animal” possui as seguintes conclusões:
– Algum animal é cavalo ou Algum cavalo é um animal.
– Se é cavalo, então é um animal.
Nesse caso, nossa resposta é toda cabeça de cavalo é cabeça de animal, pois mantém a relação de “está
contido” (segunda forma de conclusão).
Resposta: B
(CESPE) Se R é o conjunto dos números reais, então a proposição (∀ x) (x ∈ R) (∃ y) (y ∈ R) (x + y = x) é
valorada como V.
Resolução:
Lemos: para todo x pertencente ao conjunto dos números reais (R) existe um y pertencente ao conjunto dos
números dos reais (R) tal que x + y = x.
– 1º passo: observar os quantificadores.
Noções de conjuntos
— Relação de Pertinência
A relação de pertinência é um conceito muito importante na “Teoria dos Conjuntos”.
Ela indica se o elemento pertence (e) ou não pertence (ɇ) ao determinado conjunto, por exemplo:
D = {w,x,y,z}
Logo:
w e D (w pertence ao conjunto D);
j ɇ D (j não pertence ao conjunto D).
15 https://www.todamateria.com.br/teoria-dos-conjuntos/
Apostila gerada especialmente para: Lucas Vasconcelos 067.205.683-61
58
— Relação de Inclusão
A relação de inclusão aponta se tal conjunto está contido (C), não está contido (Ȼ) ou se um conjunto contém
o outro (Ɔ), por exemplo:
A = {a,e,i,o,u}
B = {a,e,i,o,u,m,n,o}
C = {p,q,r,s,t}
Logo:
A C B (A está contido em B, ou seja, todos os elementos de A estão em B);
C Ȼ B (C não está contido em B, na medida em que os elementos do conjunto são diferentes);
B Ɔ A (B contém A, donde os elementos de A estão em B).
— Conjunto Vazio
O conjunto vazio é o conjunto em que não há elementos; é representado por duas chaves { } ou pelo símbolo
Ø. Note que o conjunto vazio está contido (C) em todos os conjuntos.
— União, Intersecção e Diferença entre Conjuntos
A união dos conjuntos, representada pela letra (U), corresponde a união dos elementos de dois conjuntos,
por exemplo:
A = {a,e,i,o,u}
B = {1,2,3,4}
Logo:
AB = {a,e,i,o,u,1,2,3,4}.
A intersecção dos conjuntos, representada pelo símbolo (∩), corresponde aos elementos em comum de dois
conjuntos, por exemplo:
C = {a, b, c, d, e} ∩ D = {b, c, d}
Logo:
CD = {b, c, d}
Diagrama de Flechas
Gráfico Cartesiano
No nosso exemplo, o domínio é D = {1, 4, 7}, o contradomínio é = {1, 4, 6, 7, 8, 9, 12} e o conjunto imagem
é Im = {6, 9, 12}
Classificação das funções
Injetora: Quando para ela elementos distintos do domínio apresentam imagens também distintas no contra-
domínio.
Função 1º grau
A função do 1° grau relacionará os valores numéricos obtidos de expressões algébricas do tipo (ax + b),
constituindo, assim, a função f(x) = ax + b.
Estudo dos Sinais
Definimos função como relação entre duas grandezas representadas por x e y. No caso de uma função do
1º grau, sua lei de formação possui a seguinte característica: y = ax + b ou f(x) = ax + b, onde os coeficientes a
e b pertencem aos reais e diferem de zero. Esse modelo de função possui como representação gráfica a figura
de uma reta, portanto, as relações entre os valores do domínio e da imagem crescem ou decrescem de acordo
com o valor do coeficiente a. Se o coeficiente possui sinal positivo, a função é crescente, e caso ele tenha sinal
negativo, a função é decrescente.
Função Crescente: a > 0
De uma maneira bem simples, podemos olhar no gráfico que os valores de y vão crescendo.
Raiz da função
Calcular o valor da raiz da função é determinar o valor em que a reta cruza o eixo x, para isso consideremos
o valor de y igual a zero, pois no momento em que a reta intersecta o eixo x, y = 0. Observe a representação
gráfica a seguir:
Podemos estabelecer uma formação geral para o cálculo da raiz de uma função do 1º grau, basta criar uma
generalização com base na própria lei de formação da função, considerando y = 0 e isolando o valor de x (raiz
da função).
X=-b/a
Dependendo do caso, teremos que fazer um sistema com duas equações para acharmos o valor de a e b.
Exemplo:
Dado que f(x)=ax+b e f(1)=3 e f(3)=5, ache a função.
F(1)=1a+b
3=a+b
F(3)=3a+b
5=3a+b
Isolando a em I
a=3-b
Substituindo em II
3(3-b)+b=5
9-3b+b=5
-2b=-4
b=2
Discriminante(∆)
∆ = b²-4ac
∆>0
A parábola y=ax²+bx+c intercepta o eixo x em dois pontos distintos, (x1,0) e (x2,0), onde x1 e x2 são raízes
da equação ax²+bx+c=0
∆=0
Quando ∆=0 , a parábola y=ax²+bx+c é tangente ao eixo x, no ponto
Repare que, quando tivermos o discriminante ∆ = 0, as duas raízes da equação ax²+bx+c=0 são iguais
∆<0
A função não tem raízes reais
Raízes
Solução
Função exponencial
A expressão matemática que define a função exponencial é uma potência. Nesta potência, a base é um nú-
mero real positivo e diferente de 1 e o expoente é uma variável.
Função crescente
Se a > 1 temos uma função exponencial crescente, qualquer que seja o valor real de x.
No gráfico da função ao lado podemos observar que à medida que x aumenta, também aumenta f(x) ou y.
Graficamente vemos que a curva da função é crescente.
Função decrescente
Se 0 < a < 1 temos uma função exponencial decrescente em todo o domínio da função.
Neste outro gráfico podemos observar que à medida que x aumenta, y diminui. Graficamente observamos
que a curva da função é decrescente.
Consequências da Definição
Propriedades
Mudança de Base
Exemplo
Dados log 2=0,3010 e log 3=0,4771, calcule:
a) log 6
b) log1,5
c) log 16
Solução
a) Log 6=log 2⋅3=log2+log3=0,3010+0,4771=0,7781
Uma função dada por , em que a constante a é positiva e diferente de 1, denomina-se função
logarítmica.
Funções polinomiais
Grau de um polinômio
Se an ≠0, o expoente máximo n é dito grau do polinômio. Indicamos: gr(P)=n
Exemplo
P(x)=7 gr(P)=0
P(x)=7x+1 gr(P)=1
Valor Numérico
O valor numérico de um polinômio P(x), para x=a, é o número que se obtém substituindo x por a e efetuando
todas as operações.
Exemplo
P(x)=x³+x²+1 , o valor numérico para P(x), para x=2 é:
P(2)=2³+2²+1=13
O número a é denominado raiz de P(x).
Igualdade de polinômios
Os polinômios p e q em P(x), definidos por:
P(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn
Q(x) = bo + b1x + b2x² + b3x³ +...+ bnxn
São iguais se, e somente se, para todo k = 0,1,2,3,...,n:
Multiplicação de Polinômios
Para obter o produto de dois polinômios, multiplicamos cada termo de um deles por todos os termos do
outro, somando os coeficientes.
Exemplo
Divisão de Polinômios
Considere P(x) e D(x), não nulos, tais que o grau de P(x) seja maior ou igual ao grau de D(x). Nessas condi-
ções, podemos efetuar a divisão de P(x) por D(x), encontrando o polinômio Q(x) e R(x):
P(x)=D(x)⋅Q(x)+R(x)
P(x)=dividendo
Q(x)=quociente
D(x)=divisor
Método de Descartes
Consiste basicamente na determinação dos coeficientes do quociente e do resto a partir da identidade:
Exemplo
Divida P(x)=x³-4x²+7x-3 por D(x)=x²-3x+2
Solução
Devemos encontrar Q(x) e R(x) tais que:
Exemplos
Exemplos:
Exemplos
(4c + 3d).(4c – 3d) = (4c)2 – (3d)2 = 16c2 – 9d2
(x/2 + y).(x/2 – y) = (x/2)2 – y2 = x2/4 – y2
(m + n).(m – n) = m2 – n2
4. O cubo da soma de dois termos.
Consideremos o caso a seguir:
(a + b)3 = (a + b).(a + b)2 → potência de mesma base.
(a + b).(a2 + 2ab + b2) → (a + b)2
Aplicando a propriedade distributiva como nos casos anteriores, teremos:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Exemplos:
(2x + 2y)3 = (2x)3 + 3.(2x)2.(2y) + 3.(2x).(2y)2 + (2y)3 = 8x3 + 24x2y + 24xy2 + 8y3
(w + 3z)3 = w3 + 3.(w2).(3z) + 3.w.(3z)2 + (3z)3 = w3 + 9w2z + 27wz2 + 27z3
(m + n)3 = m3 + 3m2n + 3mn2 + n3
5. O cubo da diferença de dois termos
Acompanhem o caso seguinte:
(a – b)3 = (a - b).(a – b)2 → potência de mesma base.
(a – b).(a2 – 2ab + b2) → (a - b)2
Método de Descartes
Consiste basicamente na determinação dos coeficientes do quociente e do resto a partir da identidade:
Exemplo
Divida P(x)=x³-4x²+7x-3 por D(x)=x²-3x+2
Solução
Devemos encontrar Q(x) e R(x) tais que:
Algoritmo de Briot-Ruffini
Consiste em um dispositivo prático para efetuar a divisão de um polinômio P(x) por um binômio D(x)=x-a
Exemplo
Divida P(x)=3x³-5x+x-2 por D(x)=x-2
Solução
Passos
– Dispõem-se todos os coeficientes de P(x) na chave
– Colocar a esquerda a raiz de D(x)=x-a=0.
– Abaixar o primeiro coeficiente. Em seguida multiplica-se pela raiz a e soma-se o resultado ao segundo
coeficiente de P(x), obtendo o segundo coeficiente. E assim sucessivamente.
Exemplos:
Exemplos
(4c + 3d).(4c – 3d) = (4c)2 – (3d)2 = 16c2 – 9d2
(x/2 + y).(x/2 – y) = (x/2)2 – y2 = x2/4 – y2
(m + n).(m – n) = m2 – n2
4. O cubo da soma de dois termos.
Consideremos o caso a seguir:
(a + b)3 = (a + b).(a + b)2 → potência de mesma base.
(a + b).(a2 + 2ab + b2) → (a + b)2
Aplicando a propriedade distributiva como nos casos anteriores, teremos:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Matriz
Uma matriz é uma tabela de números reais dispostos segundo linhas horizontais e colunas verticais.
O conjunto ordenado dos números que formam a tabela, é denominado matriz, e cada número pertencente
a ela é chamado de elemento da matriz.
Tipo ou ordem de uma matriz
As matrizes são classificadas de acordo com o seu número de linhas e de colunas. Assim, a matriz represen-
tada a seguir é denominada matriz do tipo, ou ordem, 3 x 4 (lê-se três por quatro), pois tem três linhas e quatro
colunas. Exemplo:
Exemplo
(PM/SE – Soldado 3ª Classe – FUNCAB) A matriz abaixo registra as ocorrências policiais em uma das regi-
ões da cidade durante uma semana.
Sendo M=(aij)3x7 com cada elemento aij representando o número de ocorrência no turno i do dia j da se-
mana.
O número total de ocorrências no 2º turno do 2º dia, somando como 3º turno do 6º dia e com o 1º turno do
7º dia será:
(A) 61
(B) 59
(C) 58
(D) 60
(E) 62
Resolução:
Turno i –linha da matriz
Turno j- coluna da matriz
2º turno do 2º dia – a22=18
3º turno do 6º dia-a36=25
Exemplo
(PM/SP – SARGENTO CFS – CETRO) Considere a seguinte sentença envolvendo matrizes:
Diante do exposto, assinale a alternativa que apresenta o valor de y que torna a sentença verdadeira.
(A) 4.
(B) 6.
(C) 8.
(D) 10.
Resolução:
y=10
Resposta: D.
Multiplicação por um número real: sendo k ∈ R e A uma matriz de ordem m x n, a matriz k . A é obtida multi-
plicando-se todos os elementos de A por k.
Subtração: a diferença entre duas matrizes A e B (de mesma ordem) é obtida por meio da soma da matriz A
com a oposta de B.
Exemplo:
(CPTM – ALMOXARIFE – MAKIYAMA) Assinale a alternativa que apresente o resultado da multiplicação das
matrizes A e B abaixo:
(A)
(B)
(A)
(C)
(B)
(D)
(C)
(E)
(D)
Resolução: (E)
Resposta: B.
Matriz transposta: é a matriz obtida pela troca ordenada de linhas por colunas de uma matriz. Dada uma ma-
triz A de ordem m x n, obtém-se uma outra matriz de ordem n x m, chamada de transposta de A. Indica-se por At.
Exemplo:
(CPTM – ANALISTA DE COMUNICAÇÃO JÚNIOR – MAKIYAMA) Para que a soma de uma matriz e sua
respectiva matriz transposta At em uma matriz identidade, são condições a serem cumpridas:
(A) a=0 e d=0
(B) c=1 e b=1
(C) a=1/c e b=1/d
(D) a²-b²=1 e c²-d²=1
(E) b=-c e a=d=1/2
Resolução:
2a=1
a=1/2
b+c=0
b=-c
2d=1
D=1/2
Resposta: E.
Matriz inversa: dizemos que uma matriz quadrada A, de ordem n, admite inversa se existe uma matriz A-1,
tal que:
Determinantes
Determinante é um número real associado a uma matriz quadrada. Para indicar o determinante, usamos
barras. Seja A uma matriz quadrada de ordem n, indicamos o determinante de A por:
Exemplo:
(PM/SP – SARGENTO CFS – CETRO) É correto afirmar que o determinante é igual a zero para x igual a
(A) 1.
(B) 2.
(C) -2.
(D) -1.
Resolução:
D = 4 - (-2x)
0 = 4 + 2x
x=-2
Resposta: C.
Regra de Sarrus
Esta técnica é utilizada para obtermos o determinante de matrizes de 3ª ordem. Utilizaremos um exemplo
para mostrar como aplicar a regra de Sarrus. A regra de Sarrus consiste em:
a) Repetir as duas primeiras colunas à direita do determinante.
b) Multiplicar os elementos da diagonal principal e os elementos que estiverem nas duas paralelas a essa
diagonal, conservando os sinais desses produtos.
c) Efetuar o produto dos elementos da diagonal secundária e dos elementos que estiverem nas duas para-
lelas à diagonal e multiplicá-los por -1.
d) Somar os resultados dos itens b e c. E assim encontraremos o resultado do determinante.
Simplificando temos:
detA = - 1 – 4 + 2 - (2 + 2 + 2) = - 9
Resposta: A.
Teorema de Laplace
Para matrizes quadradas de ordem n ≥ 2, o teorema de Laplace oferece uma solução prática no cálculo dos
determinantes. Pelo teorema, o determinante de uma matriz quadrada A de ordem n (n ≥ 2) é igual à soma dos
produtos dos elementos de uma linha ou de uma coluna qualquer, pelos respectivos co-fatores.
Exemplo:
Dada a matriz quadrada de ordem 3, , vamos calcular det A usando o teorema de Laplace.
Podemos calcular o determinante da matriz A, escolhendo qualquer linha ou coluna. Por exemplo, escolhen-
do a 1ª linha, teremos:
det A = a11. A11 + a12. A12 + a13. A13
1 3 2 0
3 1 0 2
2 3 0 1
0 2 1 3
A partir dos dados assinalados, mantendo-se a mesma disposição, construiu-se uma matriz M. O valor do
determinante associado à matriz M é
(A) 42
(B) 44
(C) 46
(D) 48
(E) 50
Resolução:
Como é uma matriz 4x4 vamos achar o determinante através do teorema de Laplace. Para isso precisamos,
calcular os cofatores. Dica: pela fileira que possua mais zero. O cofator é dado pela fórmula:
Para o determinante é usado os números que sobraram tirando a linha e a coluna.
A43=1.2=2
D = 46 + 2 = 48
Resposta: D.
Determinante de uma matriz de ordem n > 3
Para obtermos o determinante de matrizes de ordem n > 3, utilizamos o teorema de Laplace e a regra de
Sarrus. Exemplo:
Como os determinantes são, agora, de 3ª ordem, podemos aplicar a regra de Sarrus em cada um deles.
Assim:
det A= 3. (188) - 1. (121) + 2. (61) ⇒ det A = 564 - 121 + 122 ⇒ det A = 565
Propriedades dos determinantes
a) Se todos os elementos de uma linha ou de uma coluna são nulos, o determinante é nulo.
b) Se uma matriz A possui duas linhas ou duas colunas iguais, então o determinante é nulo.
Em que:
Sistema Linear 2 x 2
Chamamos de sistema linear 2 x 2 o conjunto de equações lineares a duas incógnitas, consideradas simul-
taneamente.
Todo sistema linear 2 x 2 admite a forma geral abaixo:
a1 x + b1 y = c1
a2 + b2 y = c2
Matriz incompleta
Classificação
1. Sistema Possível e Determinado
Como não existe outro par que satisfaça simultaneamente as duas equações, dizemos que esse sistema é
SPD(Sistema Possível e Determinado), pois possui uma única solução.
2. Sistema Possível e Indeterminado
Esse tipo de sistema possui infinitas soluções, os valores de x e y assumem inúmeros valores. Observe o
sistema a seguir, x e y podem assumir mais de um valor, (0,4), (1,3), (2,2), (3,1) e etc.
3. Sistema Impossível
Não existe um par real que satisfaça simultaneamente as duas equações. Logo o sistema não tem solução,
portanto é impossível.
Sistema 3x3
A primeira equação tem três coeficientes não-nulos, a segunda tem dois e a terceira, apenas um.
Sistema 2x3
Inicialmente, trocamos a posição das equações, pois é conveniente ter o coeficiente igual a 1 na primeira
equação.
Resolução
1 3
D= = a−6
2 a
D = 0⇒ a−6 = 0⇒ a = 6
+3 =5
+3 =5
2 + 6 = 1 ~
← −2 0 + 0 = −9
Consideramos os sistema .
Suponhamos que a ≠ 0. Observamos que a matriz incompleta desse sistema é , cujo determinante é
indicado por D = ad – bc.
Se substituirmos em M a 2ª coluna (dos coeficientes de y) pela coluna dos coeficientes independentes, obte-
remos ,cujo determinante é indicado por Dy = af – ce.
Assim, .
Substituindo esse valor de y na 1ª equação de (*) e considerando a matriz , cujo determinante é indicado
por Dx = ed – bf, obtemos , D ≠ 0.
Sequências
Sempre que estabelecemos uma ordem para os elementos de um conjunto, de tal forma que cada elemento
seja associado a uma posição, temos uma sequência.
O primeiro termo da sequência é indicado por a1,o segundo por a2, e o n-ésimo por an.
Termo Geral de uma Sequência
Algumas sequências podem ser expressas mediante uma lei de formação. Isso significa que podemos obter
um termo qualquer da sequência a partir de uma expressão, que relaciona o valor do termo com sua posição.
Para a posição n(n ϵ N*), podemos escrever an=f(n)
Progressão Aritmética
Denomina-se progressão aritmética(PA) a sequência em que cada termo, a partir do segundo, é obtido adi-
cionando-se uma constante r ao termo anterior. Essa constante r chama-se razão da PA.
an = an-1 + r(n ≥ 2)
Exemplo
A sequência (2,7,12) é uma PA finita de razão 5:
a1 = 2
a2 = 2 + 5 = 7
a3 = 7 + 5 = 12
Classificação
As progressões aritméticas podem ser classificadas de acordo com o valor da razão r.
r < 0, PA decrescente
r > 0, PA crescente
r = 0, PA constante
Propriedades das Progressões Aritméticas
-Qualquer termo de uma PA, a partir do segundo, é a média aritmética entre o anterior e o posterior.
-A soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.
a1 + an = a2 + an-1 = a3 + an-2
Termo Geral da PA
Podemos escrever os elementos da PA(a1, a2, a3, ..., an,...) da seguinte forma:
a2 = a1 + r
a3 = a2 + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = a1 + 3r
Observe que cada termo é obtido adicionando-se ao primeiro número de razões r igual à posição do termo
menos uma unidade.
an = a1 + (n - 1)r
Numa PA finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.
Soma dos Termos
Usando essa propriedade, obtemos a fórmula que permite calcular a soma dos n primeiros termos de uma
progressão aritmética.
Sabemos também que a soma de dois termos equidistantes dos extremos de uma P.A. finita é igual à soma
dos seus extremos. Como esta P.A. tem um número ímpar de termos, então o termo central tem exatamente o
valor de metade da soma dos extremos.
Em notação matemática temos:
Assim sendo:
O primeiro termo desta sucessão é igual a -14.
Exemplo
Dada a progressão geométrica (1, 3, 9, 27,..) calcular:
a) A soma dos 6 primeiros termos
b) O valor de n para que a soma dos n primeiros termos seja 29524
Solução:
a1 = 1; q = 3; n = 6
Exercícios
(C)
(D) a . b < a . c
(E) a + b < a + c
Desprezando-se a espessura do material do copo, qual deve ser a razão entre o lado do hexágono da base
do copo de 500 mL e do copo de 300 mL?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
7. CESGRANRIO - PPNS (PETROBRAS)/PETROBRAS/Engenharia de Petróleo/2018
Assunto: Proporções. Grandezas proporcionais. Divisão em partes proporcionais
A especificação da composição de um combustível comercializado no Brasil é de 27% de álcool e o restante
de gasolina. Para testar os combustíveis nos postos para saber se estes estão dentro dessa proporção, é utili-
zado um tubo de 100 ml, onde se coloca inicialmente 50 ml de combustível e completa-se o tubo com outros 50
ml de água. Considerando a densidade da água 1 g/ cm3, a do álcool 0,80 g/ cm3 e a da gasolina 0,70 g/ cm3,
após alguns minutos de repouso, pode-se medir a fração de gasolina no tubo.
Para que o combustível esteja na composição especificada, tal medida deve corresponder a quantos milili-
tros de gasolina?
(A) 13,5
(B) 36,5
(C) 50,0
(D) 63,5
(E) 86,5
Quando a menor roda (com 6 dentes) der 108 voltas completas, a maior (com 9 dentes) dará um número de
voltas completas igual a
(A) 18
(B) 54
(C) 72
(D) 162
(E) 216
9. CESGRANRIO - PNMO (ELETRONUCLEAR)/ELETRONUCLEAR/Especialista em Segurança de Área
Protegida de Nuclear/2022
Assunto: Regra de três simples
Uma bomba d’água esvazia uma piscina em 10 horas.
Se a vazão promovida pela bomba fosse 25% maior, em quanto tempo ela esvaziaria a piscina?
(A) 8h
(B) 7h30min
(C) 6h
(D) 5h
(E) 2h30min
10. CESGRANRIO - Esc BB/BB/Agente de Tecnologia/2021
Assunto: Regra de três simples
André, Bianca e Carol precisam pintar um painel de 50m2. Para pintar 1m2, André gasta 12 minutos, Bianca
gasta 20 minutos, e Carol, 15 minutos.
Supondo-se que os três pintaram, juntos, o mesmo painel, sem fazer pausas e a velocidades constantes,
quanto tempo eles levaram para a conclusão da tarefa?
(A) 3h 40min
(B) 4h 10min
(C) 5h 50min
(D) 6h
(E) 6h 20min
A empresa precisa programar-se para que sua produção possa atender às demandas futuras, caso essa
tendência se mantenha.
Assim, considerando-se 2,5 como aproximação para 1,25, e mantida a taxa de crescimento observada, o
número mais próximo para a previsão de vendas de todo o período de 2014 a 2023, em milhares de equipa-
mentos, contando, inclusive, com as vendas de 2014 e 2023, é igual a
(A) 156,2
(B) 162,5
(C) 190,0
(D) 262,5
(E) 285,2
(B)
(C)
(D)
19. CESGRANRIO - Ana Jr (TRANSPETRO/TRANSPETRO/Comercialização e Logística Júnior/Comércio e
Suprimento/2018
Assunto: Matrizes
Sejam A e B duas matrizes quadradas 2x2, tal que
Sobre os dados, sabe-se que. (i) mk é a massa conjunta do tubo k com os materiais nele contidos, para 1 ≤
k ≤ 4; (ii) cada tubo vazio tem massa igual a m0; (iii) as densidades dos materiais X, Y, W, e Z são, respectiva-
mente, dx , dy , dw e dz ; (iv) os volumes de cada material, em cada um dos quatro tubos, estão representados
pelo quadro a seguir.
1 2 3 4
X 0,7 1,0 0,4 0,5
Y 1,4 0,3 1,6 0,8
W 0,5 1,7 0,5 0,4
Z 0,8 0,8 0,6 1,8
Considere que esses dados foram organizados nas matrizes M, D e V, assim definidas.
Assim, o sistema de equações que modela matematicamente o problema, representado em sua forma ma-
tricial, é.
(A) D = M T . V −1
(B) D = V . M
De acordo com esses dados, verifica-se que a contribuição de um dado segmento que atinge exatamente a
meta de sua região é de
(A) R$160.000,00 no segmento seguros, na região Sul
(B) R$400.000,00 no segmento previdência, na região Sudeste
(C) R$180.000,00 no segmento consórcio, na região Norte
(D) R$90.000,00 no segmento seguros, na região Norte
(E) R$180.000,00 no segmento previdência, na região Sul
(A)
(B)
(C) p + 2m
(D) 2p - m
(E) 2m - 2p
27. CESGRANRIO - PPNS (PETROBRAS)/PETROBRAS/Estatística/2018
Assunto: Sequências de números, figuras, letras e palavras
Considere a sequência de números reais (an), n ∈ N, n ≥1 tal que.
a1 = 2;
a2 = 3
an+1 = an − an−1, ∀ ≥ 2
1 E
2 D
3 D
4 B
5 B
6 E
7 B
8 C
9 A
10 C
11 E
12 C
13 B
14 D
15 A
16 D
17 E
18 B
19 A
20 E
21 A
22 D
23 C
24 A
25 D
26 D
27 C
28 E
29 D
30 E