Prof.

De Matemática

Economista Especialista
(pós-graduação em Gestão Financeira)

Maio/2009
“Os problemas mais significativos com os
quais nos deparamos não podem ser
resolvidos no mesmo nível de pensamento
em que estávamos quando eles foram
propostos.”
Einstein
 1. Porcentagem

1.1 Conceito:

O símbolo % significa divisão por cem logo 25% = 25 : 100, ou seja, toda
percentagem é uma fração, então para se saber uma percentagem de uma certa quantia,
basta multiplicar a fração que representa a percentagem pela quantia.

20
Exemplo: 20% de 230  230 = 46
100

1.2 Cálculo da Porcentagem:

Para se saber quanto por cento uma quantia menor representa de outra maior, basta
dividir a menor pela maior e multiplicar o resultado por cem.

Exemplo: Quanto por cento 34 representa de 680:

34
 100 = 5%
680

Através da regra de três simples podemos encontrar tanto o valor de uma

porcentagem, como também a porcentagem que um valor menor representa de um maior.

Exemplo: a) a)Quanto é 20% de 230 ?

Valor % 100x = 230 . 20
x 20
230  20
230 100 x= = 46
100

b) Quanto por cento 34 representa de 680:

Valor %
680 100 680.x = 3400
3400
34 x x=
680
x = 5%
 Exercício de Fixação

1) Um objeto sofreu um desconto de 8% e custou R$ 460,00. Quanto você iria pagar por
esse objeto se ele não sofresse o desconto ? ( R$ 500,00)

2) Numa indústria, 15% dos operários são solteiros. Se a indústria possui 700 operários,
quantos são os casados ? (R = 595)

3) De 400 operários, 120 faltaram ao serviço. Qual a taxa de porcentagem dos operários
ausentes ? (R = 30%)
 2. Juros Simples

2.1 Juro:

É uma espécie de recompensa pela disponibilidade imediata de uma certa quantia.

Assim se alguém empresta uma quantia x comprometendo – se a pagar x + y, isso significa
que y é a recompensa pela disponibilidade imediata de x, quantia esta referente ao juro.
Quando uma pessoa deposita uma certa quantia na poupança em um certo banco, ela
na realidade está emprestando essa quantia ao banco, que a usará como bem entender, e por
isso o banco se compromete a pagar a essa pessoa uma certa quantia como recompensa,
quantia essa que se refere ao juro, que é representada em forma de taxa (taxa de poupança).

2.2 Taxa:

Como vimos o símbolo % significa divisão por cem logo 25% = 25 : 100. Isso nos
sugere então que existe dois tipos de taxa: uma na forma percentual e outra na forma
unitária.
a) Forma percentual: É a forma representada através do símbolo %.
Exemplo: 25 %

b) Forma unitária : É a forma representada após a divisão por 100.

Exemplo: 25% fica na forma unitária = 0,25

2.3 Cálculo do juro:

O Cálculo do juro é o cálculo de uma porcentagem vezes o número de

capitalizações que o período indica.

Exemplo: Calcular os juros produzidos por um capital de R$ 2000,00 aplicado a

taxa de 12% ao mês, durante 6 meses.

12
Resposta:  2000  6 1440
100

cálculo da porcentagem período de capitalizações

 Portanto podemos escrever uma fórmula para se calcular os juros produzidos por
um certo capital em função da taxa e do tempo:
Juros = C . i . n
Onde : C = capital
I = taxa (Geralmente na forma unitária)
n = número de capitalizações
Assim no exemplo anterior teremos:
Juros = 2000 . 0,12 . 6
Juros = 240 . 6
Juros = 1440

Ao se usar a fórmula devemos sempre ter o cuidado de verificar se a unidade de

tempo da taxa é a mesma unidade de tempo do período de aplicação, caso não o seja
devemos fazer as transformações necessárias.

No juro simples somente o capital inicial sofre capitalização, assim se aplicarmos

R$ 100,00 à 10% ao mês, teremos:
 No final do primeiro mês R$ 100,00 + R$ 10,00 = R$ 110,00
 No final do segundo mês R$ 100,00 + R$ 10,00 + R$ 10,00 = R$ 120,00
E assim por diante.

2.4 Cálculo do montante:

Quando se empresta um capital por um certo período de tempo, comprometendo–se

no final do período a devolver o capital acrescido dos juros, estamos devolvendo o
montante, que nada mais é do que o capital mais os juros.
Assim temos :

M = C + Juros (mas como Juros = C.i.n, fazendo a substituição teremos)

M = C + C.i.n (colocando C em evidência teremos)
M = C.(1 + i.n)

Exemplo: Calcular o montante produzido por um capital de R$ 2000,00 aplicado a

taxa de 12% ao mês, durante 6 meses.

M = 2000 . ( 1 + 0,12 . 6)
M = 3440
2.5 Taxa proporcional:

É quando duas taxas e seus respectivos períodos formam uma proporção:

i1 n1

i 2 n2

Exemplo: Verificar se as taxas de 5% ao trimestre e de 20% ao ano são

proporcionais.
Resolução : i1 = 0,05 a.t. n1 = 3 meses
i2 = 0,20 a.a. n2 = 12 meses
substituindo-se os valores:
0,05 3

0,20 12

o que é verdade, logo elas são proporcionais.

2.6 Taxa equivalente:

É quando um mesmo capital aplicado às duas taxas com capitalizações diferentes,
por um mesmo período de tempo produzem os mesmos juros:
C . i1 . n1 = C . i2 . n2 i1 . n1 = i2 . n2
Se caso não levarmos em consideração o período de tempo e sim o período de
capitalização em uma mesma unidade de tempo teremos:
i1 n1

i 2 n2
Então nesse caso, no juros simples a taxa equivalente é a mesma proporcional.

Exemplo: Seja um capital de R$ 10000,00, que pode ser aplicado alternativamente à

taxa de 2% ao mês ou de 24% ao ano. Supondo um prazo de aplicação de dois anos,
verificar se as taxas são equivalentes.
I1 = 0,02 n1 = 1 Como i1.n1 = i2.n2
I2 = 0,24 n2 = 12 0,02.24 = 0,24.2
0,48 = 0,48 o que é verdadeiro
Ou, pela Segunda fórmula teremos logo são equivalentes

substituindo-se os valores:
0,02 = 1 0,24 = 0,24
0,24 12
 o que é verdade, logo elas são equivalentes.
2.7 Juro Exato:

É aquele que se obtém quando consideramos o ano civil (365 dias), para se achar a
taxa diária, pois geralmente estará expressa em ano, e o período (n) expresso em dias:

C.i.n
JE =
365

Exemplo: Qual é o juro exato obtido por um capital de R$ 10.000,00 que é aplicado
por 45 dias a uma taxa de 72% ao ano?
Resolução:

10000  0,72  45
JE = 887,67
365

2.8 Juro Comercial:

É aquele que se obtém quando consideramos o ano comercial (360 dias),

para se achar a taxa diária, pois geralmente estará expressa em ano, e o período (n)
expresso em dias:

C.i.n
JC =
360

Exemplo: Qual é o juro exato obtido por um capital de R$ 10.000,00 que é aplicado
por 45 dias a uma taxa de 72% ao ano?
Resolução:

10000  0,72  45
JC = 900,00
360
2.9 Capital, Taxa e Prazo Médio:

É dado pela razão entre o somatório do produto : capital . taxa . tempo (c.i.n),
podendo faltar um desses termos, e o somatório do produto com exclusão daquele termo
que se deseja achar a média.

 C.i.n
 C.i.n

Se você usar o (i n) embaixo (no denominador) estará achando o capital médio. Se
você usar o (c.n) no denominador estará achando a taxa média. Se você usar o (c.i) no
denominador estará achando o prazo médio.

Exemplo: Um capital de R$ 3000 foi aplicado à uma taxa de 5%am por 3 meses,
outro de R$ 5000 à taxa de 10%am por 5 meses e um outro de R$ 6000 à uma taxa de
8%am por 4 meses. Pergunta – se:

a) Qual o capital médio?:

 C.i.n 3000  5  3  5000  10  5  6000  8  4

=
 C.i.n 5  3  10  5  8  4

487000
R$ 5020,62
97

b) Qual a taxa média?:

 C.i.n 3000  5  3  5000  10  5  6000  8  4

=
 C.i.n 3000  3  5000  5  6000  4

487000
= 8,4%
58000

c) Qual o prazo médio?:

 C.i.n 3000  5  3  5000  10  5  6000  8  4

=
 C.i.n 3000  5  5000  10  6000  8

487000
= 5,47 meses
89000
 Vamos Treinar

1) Calcular os juros simples de um capital de R$ 2.000,00, à taxa de 36% aa, durante 9

meses.

R = R$ 540,00

2) Calcular a taxa de juros trimestral proporcional à taxa de 24%a.a.

R = 6% a. t.

3) Calcular a taxa de juros anual proporcional à taxa de 3%ao mês

R = 36% a.a.

4) Calcular os juros simples de um capital de R$ 1.000,00, à taxa de 38% a.a.,. durante 2

anos e 8 meses.

1 R$ 1.013,33

5) Que montante receberá um aplicador que investiu R$ 10.000,00 à taxa de 42% a.a.
durante 2 anos e 3 meses ?

2 R = R$ 19.450,00

6) Uma pessoa investiu R$ 1.000,00 durante 1 ano e 9 meses, e resgatou R$ 1.350,00.

Qual a taxa de juros simples aplicada na operação ?

R = 1,67% a.m.

7) Quanto tempo deve ficar aplicado um capital de R$ 1.200,00 à taxa de 22%a.a., para
gerar um montante de R$ 2.366,00 ?

3 R= 4 anos e 5 meses

8) Uma loja vende um objeto por R$ 1.500,00 à vista. A prazo vende por R$ 1.800,00,
sendo R$ 200,00 de entrada e o restante após 1 ano. Qual é a taxa de juros anual
cobrada ?
R = 23,07 % a.a.

9) Quanto tempo deve ficar aplicado um capital para que o juro seja igual a cinco vezes o
capital, se a taxa de juros for de 25% a.a.

R = 20 anos

10) Em quanto tempo o montante produzido por um capital de R$ 1.920,00 aplicado a 25%
a.a. se iguala ao montante de um capital de R$ 2.400,00 aplicado a 15% a.a. ?

4 R = 4 anos

11) A quantia de R$ 1.500,00 foi aplicada à taxa de juros simples de 42% a.a. pelo prazo de
100 dias. Qual será o juros comercial e exato desta operação ?

5 R = Je = 172,60 e Jc = 175,00

12) José investiu os capitais de R$ 10.560,00; R$ 7.521,00; R$ 15.605,00 durante 1 mês, às

taxas de 5%, 6%, 3,5%, respectivamente. Qual a taxa média do investimento ?

R = 4,53%
2.10 Valor Futuro:

É o valor do documento em qualquer data posterior à presente data.

VF = VP . (1 + i . n)

O valor futuro também é conhecido como montante, considerando o valor presente

como o capital aplicado, é conhecido também como valor nominal, caso o valor futuro seja
igual aquele da data de vencimento do documento.

VF = Valor Futuro = Montante = Valor Nominal

VP = Valor Presente

2.11 Valor Presente:

É o valor do título na presente data.

VF VF
VF = VP . (1 + i . n) => = VP portanto VP =
(1  i  n) (1  i  n)

O valor presente também é conhecido como valor atual racional pois como vimos
acima ele deriva de transformações matemáticas e não de convenções.

VF = Valor Futuro
VP = Valor Presente = Valor Atual Racional

2.12 Valor Nominal:

É quanto vale o documento na data marcada para seu vencimento.

Exemplo : Uma pessoa aplicou hoje uma quantia de R$ 10.000,00 em uma letra de
câmbio, e vai resgatá-la daqui a 6 meses com valor de R$ 12.000,00, esse valor expresso
em sua face, é o valor nominal.

Logo : Valor nomial = R$ 12.000,00

2.13 Valor Atual:

É quanto vale o documento em uma certa data antes do seu vencimento. Para se
achar o valor atual devemos aplicar um desconto, pois se resgatarmos o documento antes da
data de seu vencimento, ele terá um valor menor que aquele da data de seu vencimento (
valor nominal). Logo Valor Atual é igual ao valor nominal menos o desconto.
O desconto que devemos aplicar pode ser desconto racional, desconto comercial e
ainda desconto bancário, assim se aplicarmos o desconto racional obteremos valor atual
racional, se aplicarmos o desconto comercial obteremos valor atual comercial e se
aplicarmos o desconto bancário obteremos valor atual bancário.
Veja os exemplos nos descontos a seguir.

2.14 Desconto Racional (por dentro) e Valor Atual Racional:

É a diferença entre valor nominal e valor presente veja:

Mesmo que VP

Dr = N - N N.i.n
(1 + i . n) (1 + i . n)

Valor Nominal = N = Valor Futuro

Exemplo: Uma pessoa pretende resgatar um título de R$ 5000, quatro meses antes
da data de vencimento. Sabendo que a taxa de juros de desconto racional é de 48%aa, qual
o valor do desconto racional ? e qual o valor atual racional?

Taxa ao mês

Dr = N . i . n 5000 . 0,04 . 4 800 689,65

(1 + i . n) (1 + 0,04 . 4) 1,16

O Valor Atual Racional : É o valor nominal menos o desconto racional = 5000 – 689,65
Logo Valor Atual Racional = 4310,35

Pode ser calculado ainda por : VP = VF onde VP = Valor Atual Racional

(1 + i . n) VF = N = Valor Nominal
Logo Valor Atual Racional = 5000 5000 4310,34
(1 + 0,04 . 4) 1,16
2.15 Desconto Comercial (por fora) e Valor Atual Comercial:

É aquele que se obtém pelo cálculo do juro simples tomando como valor-base de
aplicação o valor nominal veja:

valor de aplicação
Dc = N . i . n

Valor Nominal = N = Valor Futuro

Exemplo: Uma pessoa pretende resgatar um título de R$ 5000, quatro meses antes
da data de vencimento. Sabendo que a taxa de juros de desconto comercial é de 48%aa,
qual o valor do desconto comercial ? e qual o valor atual comercial?

Taxa ao mês

Dc = N . i . n 5000 . 0,04 . 4 800

Valor Atual Comercial : É o valor nominal menos o desconto comercial = 5000 – 800
Logo Valor Atual Comercial= 4200

O Valor Atual Comercial pode ser calculado ainda por :

N em evidência

Valor Atual Comercial = N – N . i . n N . (1 - i . n)

Valor Atual Comercial = 5000(1 - 0,04 . 4) 5000 . 0,84 4200

2.16 Desconto Bancário e Valor Atual Bancário:

É aquele que se obtém pelo cálculo do juro simples tomando como valor-base de
aplicação o valor nominal mais uma porcentagem sobre o valor nominal, cobrada pelo
banco como taxa de serviços veja:

valor de aplicação N em evidência

Db = N . i . n + N . s N . (i . n + s)

Valor Nominal = N = Valor Futuro

Taxa de serviço = s
 Em resumo é o desconto comercial mais uma taxa de serviço sobre o valor nominal.

Exemplo :

Uma pessoa pretende resgatar um título de R$ 5000, quatro meses antes da data de
vencimento. Sabendo que a taxa de juros é de 48%aa, e que o banco cobra 2% como taxa
de despesas administrativas, qual o valor do desconto bancário ? e qual o valor atual
bancário ?

Resolução:
Taxa ao mês

Db = N . i . n + N . s 5000 . 0,04 . 4 + 5000 . 0,02 800 + 100 900

Ou

Db = N . (i . n + s) 5000. (0,04 . 4 + 0,02) 900

Valor Atual Bancário: É o valor nominal menos o desconto bancário = 5000 – 900
Logo Valor Atual Bancário = 4100

Valor Atual Bancário pode ser calculado ainda por :

N em evidência

Valor Atual Bancário =N - N . (i . n + s) –N . [ 1 - (i . n + s)]

Valor Atual Bancário = 5000[1 – (0,04 . 4 + 0,02)] 5000 . 0,82 4100

2.17 Taxa Efetiva :

A taxa efetiva é aquela que realmente foi aplicada em um desconto, ela provém do
desconto racional, pois o mesmo é derivado de equações matemáticas e não de convenções,
como já foi visto.
A taxa efetiva é aquela do desconto racional que produz o mesmo valor de desconto
que os outros tipos de descontos.
Assim temos taxa efetiva em relação ao desconto comercial, e taxa efetiva em
relação ao desconto bancário.
Daí surge o conceito de taxa aparente que é a taxa expressa no contrato, e taxa
efetiva que é aquela realmente aplicada.
2.17.1 Taxa Efetiva em relação ao Desconto Comercial:

Assim a taxa efetiva em relação ao desconto comercial é encontrada por :

Dr = Dc N . if . n = N . i . n if = i
(1 + if . n) 1–i.n

Exemplo : Uma pessoa pretende resgatar um título de R$ 5000, quatro meses

antes da data de vencimento. Sabendo que a taxa de juros de desconto comercial é de
48%aa, qual o valor da taxa efetiva realmente cobrada ?

if = i = 0,04 = 0,047am = 0,564aa

1–i.n 1 – 0,04 . 4

0u seja de 4,7% ao mês ou de 56,4% ao ano e não de 48% ao ano como o problema diz.

Daí surge o conceito de taxa aparente que é a taxa expressa no contrato, e taxa
efetiva que é aquela realmente aplicada. No nosso exemplo anterior a taxa aparente é
4%am ou 48%aa e a taxa efetiva é 4,7%am ou 56,4%aa.

2.17.2 Taxa Efetiva em relação ao Desconto Bancário:

Assim a taxa efetiva em relação ao desconto bancário é encontrada por :

Dr = Db N . if . n = N . (i . n + s) ou if = i.n+s
2
(1 + if . n) n–i.n –n.s

Exemplo: Uma pessoa pretende resgatar um título de R$ 5000, quatro meses antes
da data de vencimento. Sabendo que a taxa de juros é de 48%aa, e que o banco cobra 2%
como taxa de despesas administrativas, qual o valor da taxa efetiva realmente cobrada ?

Como vimos:

Dr = Db N . if . n = N . (i . n + s)
(1 + if . n)

5000 . if . 4 = 900 20000if = 900 + 3600if

1 + if . 4

20000if - 3600if = 900 16400if = 900 if = 900

 16400

Logo if = 0,0548 ou seja if = 5,48% ao mês ou 65,76% ao ano

2.18 Relação entre Desconto Comercial e Desconto Racional:

Como observamos o desconto comercial é sempre maior que o desconto racional,
logo podemos relacioná-los fazendo a divisão:
Dc = N.i.n Dc = 1 + i . n
Dr N.i.n Dr
1+i.n
Logo :
Dc = Dr . ( 1 + i . n)
Exemplo: O desconto comercial de um título que descontado 5 meses antes de seu
vencimento e à taxa de 36%aa, é de R$ 340,00. Qual o desconto racional ?

Dc = Dr . ( 1 + i . n) 340 = Dr . (1 + 0,03 . 5) Dr = 340

1,15
Dr = 295,65

2.19 Equivalência de Capitais:

Não podemos equiparar, ou seja, igualar capitais ao longo do tempo, ou seja, em

datas focais diferentes, então como fazer isso ? Um processo muito prático vêm responder
essa pergunta, primeiro devemos encontrar o valor atual de todos os capitais que desejamos
igualar, para só depois fazer as equiparações.
Exemplo: Uma empresa deve pagar R$ 1000,00 daqui a 6 meses, R$ 2000,00 em 9
meses e R$ 3000,00 em 1 ano. O banco cuja taxa de juros é de 45% ao ano, aceita a
liquidação da dívida em dois pagamentos iguais, sendo o primeiro em 6 meses e o segundo
em 1 ano. Qual é o valor dos pagamentos se :
a) Fosse adotado o critério do desconto comercial e data focal zero (presente momento) ?
Resolução:
3000
2000
1000
0
6 9 12
X X

Como foi adotado desconto comercial, devemos encontrar o valor atual comercial
de cada documento, e a soma das dívidas deverá ser igual ao valor dos dois novos
documentos:
1o) 1000.(1 - 0,0375 . 6) = 775 0,775x + 0,55x = 3750
2o) 2000.(1 - 0,0375 . 9) = 1325 1,325x = 3750
3o) 3000.(1 – 0,45 . 1) = 1650 x = 3750
4o) x.(1 – 0,0375 . 6) = 0,775x 1,325
5o) x.(1 – 0,45 . 1) = 0,55x x = 2830,19
A empresa substituirá os três pagamentos anteriores por dois de R$ 2830,19
b) Fosse adotado o critério do desconto racional e data focal zero (presente momento) ?
Resolução:
3000
2000
1000
0
6 9 12

X X
Como foi adotado desconto racional, devemos encontrar o valor atual racional de
cada documento, e a soma das dívidas deverá ser igual ao valor dos dois novos
documentos:
1o) 1000 = 816,32
1 + 0,0375 . 6
2o) 2000 = 1495,32
1 + 0,0375 . 9
3o) 3000 = 2068,96
1 + 0,45. 1

4o) x = x = 1 . x = 0,816x
1 + 0,0375 . 6 1,225 1,225
5o) x = x = 1 . x = 0,689x
1 + 0,45. 1 1,45 1,45

Logo a soma dos dois novos valores será igual a soma dos três valores anteriores

1,505 x = 4380,60 x = 4380,60 x = 2910,70

1,505
A empresa substituirá os três pagamentos anteriores por dois de R$ 2910,70
 Vamos Treinar

1. Uma promissória de R$ 2.200,00 foi resgatada três meses antes de seu vencimento por R$
2.035,00. Sabendo que foi aplicado o desconto comercial simples, qual é a taxa de desconto ?

(R = 2,5 % a.m.)

2. Uma duplicata foi resgatada 90 dias antes de seu vencimento, obtendo um desconto de R$
11.780,00. Sabendo que a taxa de desconto comercial simples na operação foi de 76% a.a., de
quanto era o valor nominal da duplicata ?

(R = R$ 62.000,00)

3. Determine o valor atual racional de um título com valor nominal de R$ 8.000,00 que foi
resgatado 3 meses antes de seu vencimento à uma taxa de 24% a.a.

(R = R$ 7.547,17)

4. Determine o valor atual comercial de um título com valor nominal de R$ 18.000,00 que foi
resgatado 3 meses antes de seu vencimento à uma taxa de 36% a.a.

(R = R$ 16.380,00)

5. Calcule o valor do desconto comercial e racional de um título com valor nominal de R$

18.000,00 que foi resgatado 5 meses antes de seu vencimento à uma taxa de 48% a.a.

(Dr = R$ 3.000,00 e Dc = R$ 3.600,00)

6. Qual será o desconto bancário em uma operação onde o valor nominal é de R$ 7.000,00 e o
prazo de antecipação é de 120 dias, a taxa é de 60% a.a., e a taxa administrativa que o banco
cobra é de 1% ?

(R = R$ 1.120,00)

7. Uma empresa deve liquidar dois títulos, um de R$ 1.750,00 para 1 mês e outro de R$ 1.960,00
para 4 meses. Não podendo Quitá-las no vencimento, o credor propões trocá-las por um único
título para 5 meses. Qual o valor nominal do novo título, se a taxa de desconto comercial é de
4% a.m. ?

(R = R$ 4.158,00)
8. Uma empresa deve três títulos: R$ 2.300,00 para 3 mês, R$ 1.400,00 para 5 meses e R$
2.800,00 para 8 meses. Não podendo Quitá-las no vencimento, o credor propões trocá-las por
um único título para 10 meses. Qual o valor nominal do novo título, se a taxa de desconto
racional é de 5% a.m. ?

(R = R$ 7.680,00)

3. Juros Compostos

3.1 Conceito:

Vimos que nos juros simples só o capital inicial sofre capitalização. Já nos juros
compostos o juro da primeira capitalização se incorpora no próprio capital inicial para
juntos sofrerem a Segunda capitalização, que por sua vez se incorpora novamente no capital
para sofrerem a terceira capitalização e assim por diante.
Vejamos a diferença entre capitalização simples e composta. Se aplicarmos R$
100,00 à 10% ao mês, durante três meses, teremos:

Capitalização Simples Capitalização Composta

Capital inicial = 100 Capital inicial = 100

Final do 1o mês: 100 . 0,1 . 1 = 10 Final do 1o mês: 100 . 0,1 . 1 = 10

Final do 2o mês: 100 . 0,1 . 1 = 10 Novo capital: 100 + 10 = 110

Final do 3o mês: 100 . 0,1 . 1 = 10 Final do 2o mês 110 . 0,1 . 1 = 11

Novo capital: 110 + 11 = 121

Final do 3o mês: 121 . 0,1 . 1 = 12,10

Total no final da aplicação = R$ 130,00 Total no final da aplicação = R$ 133,10

Como vimos, na capitalização composta os juros dos períodos anteriores se

incorporam no capital para juntos sofrerem juros dos períodos seguintes por isso o juro
composto também é conhecido como juros sobre juros. Gerando assim um montante no
final da aplicação maior que nos juros simples.
3.2 Cálculo do Montante e do Juro:

Relembrando que nos juros simples o montante é dado por M = C . (1 + i . n),

fazendo o período (n) igual a um para cada mês, teremos: M = C . (1 + i . 1), como o
número 1 é o elemento neutro na multiplicação, podemos aqui desprezá-lo, assim teremos
M = C . (1 + i), prosseguindo :

Fazendo capital inicial = C0, teremos:

 C1 = C0 . (1 + i) isso nos dá o valor no final do 1º mês

 C2 = C1 . (1 + i) como C1 = C0 . (1 + i), teremos:
 C2 = C0 . (1 + i).(1 + i) isso nos dá o valor no final do 2º mês
 C3 = C2 . (1 + i) como C2 = C0 . (1 + i).(1 + i), teremos:
 C3 = C0 . (1 + i).(1 + i).(1 + i) que nos dará o valor no final do 3º mês.

Mas se C3 = C0 . (1 + i).(1 + i).(1 + i) então teremos:

C3 = C0 . (1 + i)3 utilizando esse raciocínio podemos generalizar para (n)

capitalizações, obtendo assim a fórmula dos juros compostos: Cn = C0 . (1 + i)n, Cn
também é conhecido como M de montante, e C0 como C de capital, assim teremos:
M = C . ( 1 + i)n

Vamos calcular novamente o valor total no final da aplicação de R$ 100,00 à 10%

ao mês, durante três meses:
100 . (1 + 0,1)3  100 . 1,13  100 . 1,331  131,10

Os juros, são dados pela diferença entre o capital final e o capital inicial:

J = Cn – C0  C0 . (1 + i)n – C0 colocando C0 em evidência teremos:

J = C0 . [ (1 + i)n – 1]

Exemplo: Uma pessoa aplica R$ 10.000,00 a juros de 2% am pelo período de 1 ano

com capitalização composta. Qual é o montante e o juro da aplicação?
M = 10.000 . (1 + 0,02)12  10.000 . 1,268241  12682,41
Portanto o juro foi de Cn – C0  12700 – 10000  2682,41
Ou aplicando a fórmula: J = C0 . [ (1 + i)n – 1]
J = 10.000 . [(1 + 0,02)12 – 1]  2682,41
3.3 Convenção Exponencial e Linear

Tanto a convenção exponencial quanto a linear é utilizada quando o prazo de

aplicação não é um número inteiro de períodos a que se refere a taxa.

 Convenção Exponencial : O montante utilizando convenção exponencial é dado

por: M = C0 . (1 + i)n . (1 + i)p/q onde n é igual ao no de períodos inteiros, e p/q é
o período não inteiro (quebrado).

 Convenção Linear : O montante utilizando convenção Linear é dado por :

M = C0 . (1 + i)n. (1 + i . m) onde n = período(s) inteiro(s), e ( m ) é o período não
inteiro (quebrado).

Exemplo: Um valor de R$ 10.000,00 é emprestado a taxa de juros composto de 21%

a.a., pelo prazo de 5 anos e 6 meses. Calcule o montante utilizando a convenção
exponencial e linear.

 Convenção Exponencial:

M = C0 . (1 + i)n . (1 + i)p/q M = 10.000 . (1,21)5. (1,21)1/2

M = 25937,4246 . 1,21 M = 25937,4246 . 1,1 M = 28531,17

 Convenção Linear:

1
M = C0 . (1 + i)n. (1 + i . m) M = 10.000 . (1,21)5 . (1 + 0,21 . )
2
M = 28660,85
 Vamos Treinar

1) Peguei emprestado R$ 10.000,00 a juros de 3% a.m. pelo prazo de seis meses com
capitalização composta. Quanto terei que devolver no final do prazo ?

(R = R$ 11.940,52)

2) Quanto de juros terá que pagar uma pessoa que emprestou R$ 10.000,00 à taxa de 2%
a.m. de juros compostos pelo prazo de 8 meses ?

(R = R$ 1.716,59)

3) Uma pessoa emprestou o capital de R$ 1.000,00 à taxa de juros compostos de 21% a.a.,
pelo prazo de 2 anos e 6 meses. Utilizando a convenção exponencial, quanto a pessoa
terá que devolver no final do prazo ?

(R = R$ 1.610,51)

4) Uma pessoa emprestou o capital de R$ 15.000,00 à taxa de juros compostos de 20%

a.a., pelo prazo de 2 anos e 6 meses. Utilizando a convenção linear, quanto a pessoa terá
que devolver no final do prazo ?

(R = R$ 23.760,00)

5) Que quantia mínima devo aplicar hoje a juros compostos, à taxa anual de 21%, para que
ao completar um período de 4 anos eu consiga, como montante, comprar um carro no
valor de R$14.600,00?

(R = R$ 6.811,00)

6) Ao resgatar um título, após 6 meses de aplicação, o investidor recebeu R$ 18.345,60.

Tendo sido informado de que este montante incluía R$ 4.345,60 referente aos juros
creditados. Qual a taxa semestral que investidor ganhou ?

(R = 31,04% a.s.)

7) Qual é o juro auferido por um capital de R$ 2.000,00 aplicado à taxa de juros

compostos de 10% a.m. durante 4 meses ?

(R = R$ 928,20)
3.4 Taxas Equivalentes

São equivalentes aquelas taxas que aplicadas a um mesmo capital durante um

mesmo prazo, produzem o mesmo montante. Relacionando a taxa anual com as taxas
semestrais, quadrimestrais, trimestrais, bimestrais, mensais e diárias, obteremos as fórmulas
a seguir:
(1 + ia) = (1 + is)2 = (1 + iq)3 = (1 + it)4 = (1 + ib)6 = (1 + im)12 = (1 + id)360

Trabalhamos sempre relacionando duas quaisquer dessas taxas, ou seja, se você tem
a taxa anual e quer saber a taxa bimestral relacionam-se essas duas taxas, e assim por
diante.

Exemplo : Quais as taxas trimestral, semestral e anual equivalente a taxa de 3% ao

mês ?

 Taxa anual: (1 + ia) = (1 + im)12 (1 + ia) = (1,03)12


1 + ia = 1,42576 ia = 1,42576 – 1 ia = 0,42576

Ou seja, 42,576% aa

 Taxa semestral: (1 + is)2 = (1 + im)12 (1 + is)1 = (1 + im)6 1 + is = 1,036


1 + is = 1,1940 is = 1,1940 – 1 is = 0,1940

Ou seja, 19,40%as

 Taxa trimestral: (1 + it)4 = (1 + im)12 (1 + it) = (1 + im)3


1 + it = 1,033 it = 1,09272 – 1 it =0,09272

Ou seja, 9,272%at

3.5 Taxa Nominal:

É aquela em que a unidade de tempo da taxa não coincide com a unidade de tempo
dos períodos de capitalização. Ela geralmente é fornecida em termos anuais, e os períodos
de capitalização podem ser bimestrais, trimestrais, ou qualquer outra medida de tempo.
Exemplo de taxas nominais:
a) 13% ao ano, capitalizados semestralmente;
b) 12% ao ano, capitalizados bimestralmente.
3.6 Taxa Efetiva ou Taxa Real:

É aquela em que a unidade de tempo da taxa coincide com a unidade de tempo dos
períodos de capitalização.
Veja alguns exemplos de taxas efetivas:

a) 3%ao mês, capitalizados mensalmente;

b) 6% ao semestre, capitalizados semestralmente;
c) 12% ao ano, capitalizados anualmente.

3.7 Transformação de Taxa Nominal em Taxa Efetiva:

Não se trabalha com a taxa nominal, e sim com a taxa efetiva, portanto muitas vezes
devemos transformar a taxa nominal em efetiva. Para se transformar uma taxa nominal em
taxa efetiva, devemos dividir a taxa nominal pela quantidade de capitalizações que a
unidade de tempo da taxa nos dá.
Veja algumas transformações:

a) 12% aa, capitalizados mensalmente, nos dá uma taxa efetiva de :

12% : 12 capitalizações = 1% ao mês

b) 10% aa, capitalizados trimestralmente, nos dá uma taxa efetiva de :

10% : 4 capitalizações = 2,5% ao trimestre

Exemplo: (Cespe/UNB-TCDF/ACEF/95) Para que se obtenha R$ 242,00, ao final

de seis meses, a uma taxa de juros de 40% aa., capitalizados trimestralmente, deve-se
investir, hoje, a quantia de:

a) R$ 171,43 b) R$ 172,86 c) R$ 190,00 d) R$ 200,00 e) R$ 220,00

Resolução:
Primeiro devemos achar a taxa efetiva ( 40 : 4 capitalizações = 10% ao trimestre)
Observe que o prazo de aplicação (seis meses = dois trimestres) logo n = 2
Aplicando a fórmula M = C0 . (1 + i)n, teremos: 242 = C0 . (1,1)2
242 = C0 . 1,21 C0 = 242 C0 = 200
1,21
Portanto devemos investir hoje R$ 200,00, para que nas condições descritas acima
tenhamos no final de seis meses R$ 242,00.
3.8 Ganho Real e Ganho Nominal

Ganho nominal refere-se àquele praticado com uma taxa nominal, ou taxa corrente,
enquanto o ganho real, refere-se àquele, praticado com uma taxa real, já retirada a parcela
influenciada pela inflação do período.
O processo para se achar o ganho real na capitalização composta não é tão simples
como se parece, dada a taxa nominal e a taxa da inflação devemos primeiro aplicar uma
fórmula para acharmos a taxa real e em seguida calcularmos o ganho real.
A fórmula para se achar a taxa real é dada por:

1 n
1+r=
1 i

onde: r = taxa real

n = taxa nominal ou corrente
i = taxa da inflação no período

Exemplo : (Cespe/UNB-TCDF/ACEF/95) A renda nacional de um país cresceu

110% em um ano, em termos nominais. Nesse mesmo período, a taxa de inflação foi de
100%. O crescimento real da renda foi então de:

a) 5% b) 10% c) 15% d) 105% e)110%

Resolução:
Nesse caso é só acharmos a taxa real 1+r = 1+n
1 + inf.
1 + r = 1 + 1,1 1 + r = 2,1 1 + r = 1,05 r = 1,05 - 1
1+1 2

logo r = 0,05 5%
 Vamos Treinar

1) Para que se obtenha R$ 340,00, ao final de seis meses, a uma taxa de juros de 40% aa.,
capitalizados trimestralmente, deve-se investir, hoje, a quantia de:

(R = R$ 280,99)

2) A caderneta de poupança remunera seus aplicadores a taxa nominal de 36% a.a.,

capitalizada mensalmente, no regime de juros composto. Qual é o valor do juro obtido
pelo capital de R$ 50.000,00 durante 2 meses ?

(R = R$ 3.045,00)

3) No Brasil as cadernetas de poupança pagam, além da correção monetária, juros

compostos à taxa nominal de 48% a.a., com capitalização mensal. A taxa efetiva
bimestral é então:

(R = 8,16% a.b.)

4) A taxa de 36% ao trimestre, com capitalização mensal, corresponde a uma taxa efetiva
bimestral de:
(R = 25,44% a.b.)

5) A taxa de 30% ao bimestre, com capitalização mensal, é equivalente a uma taxa efetiva
trimestral de:

(R = 52,0875%)

6) Uma pessoa fez uma aplicação durante 6 meses à uma taxa de 15% ao semestre. A
inflação neste semestre foi de 9%.Qual o ganho real dessa pessoa ?

(R = 5,5045%)

3.9 Desconto Comercial e Valor Atual Comercial:

É o desconto obtido ao resgatar-se um compromisso antes do seu vencimento. O

desconto comercial é obtido pela diferença entre o valor nominal e o valor atual comercial.
O valor atual comercial é obtido pela diferença entre o valor nominal e os juros
incidentes sobre o valor nominal levando em consideração o tempo de antecipação do
compromisso.
Os juros incidentes sobre o valor nominal no primeiro período antes do vencimento
são dados por:

J1 = N . i . 1 desconsiderando o número 1 teremos J1 = N . i

Portanto o valor atual comercial com período de antecipação igual a um (1) será:
Vc1 = N – N.i com N em evidência temos vc1 = N.(1 – i)

Agora o nosso novo valor nominal é vc1, e os juros incidentes sobre o valor
nominal no segundo período é dado por:
J2 = vc1 . i como vc1 = N . (1 - i)
J2 = N.(1 - i) . i
Logo o valor atual com período de antecipação dois (2) será:
Vc2 = N.(1 – i) – N.(1 – i) . i com N.(1 – i) em evidência teremos:
Vc2 = N.(1 – i).(1 – i) que será Vc2 = N.(1 – i)2

Generalizando para n períodos antes do seu vencimento teremos :

 Vcn = N.(1 – i)n que nos dá o valor atual comercial

 Como o desconto comercial é dado pela diferença entre o valor nominal e o valor
atual comercial temos:

Dc = N – Vcn logo teremos

n
Dc = N – N.(1 – i) com N em evidência temos Dc = N.[1 – (1 – i)n]

Exemplo: Um título no valor de R$ 100.000,00 será saldado 3 meses antes de seu

vencimento. O portador do título conseguiu uma taxa de desconto comercial (composto) de
5% am. Qual o valor que o portador recebeu ? e qual o valor do desconto comercial ?

Primeiro vamos obter o valor atual comercial (o valor que o portador recebeu)

Vc = 100000.(1 – 0,05)3 Vc = 100000.0,857375 Vc = 85737,50

Logo o desconto comercial será:

Dc = N –Vc Dc = 100000-85737,50 Dc = 14262,50

3.10 Desconto Racional e Valor Atual Racional:

É o desconto obtido ao resgatar-se um compromisso antes do seu vencimento. O

desconto racional é obtido pela diferença entre o valor nominal e o valor atual racional.
O valor atual racional é obtido pela própria fórmula do montante, fazendo a
transformação necessária, pois como vimos o próprio montante é o valor nominal e o
capital aplicado o próprio valor atual racional veja:
N = Vr . (1 + i)n isolando Vr no primeiro membro teremos:

N
Vr = que nos dá o valor atual racional
(1  i ) n

Como o desconto racional é a diferença entre o valor nominal e o valor atual

racional, então temos:

Dr = N - Vr

N  1 
Dr = N -  com N em evidência teremos Dr = N . 1  n
ou
(1  i) n  (1  i) 

Dr = N . [ 1 – (1 + i)-n ]
 Exemplo: Um título no valor de R$ 100.000,00 será saldado 3 meses antes de seu
vencimento. O portador do título conseguiu uma taxa de desconto racional (composto) de
5% am. Qual o valor que o portador recebeu ? e qual o valor do desconto racional ?

Primeiro vamos obter o valor atual racional (o valor que o portador recebeu)

Vr = N Vr = 100000 Vr = 100000
(1 + i)n ( 1 + 0,05)3 1,157625

Vr = 86383,76

Logo o desconto racional será : N – Vr 100000 – 86383,76

Dr = 13616,24

Vamos Treinar

1) Qual o valor atual de um título cujo valor nominal é de R$ 500,00 e é resgatado 3 anos
antes do vencimento, à taxa de desconto comercial composto de 20% a.a., capitalizados
semestralmente ?

(R = R$ 265,72)

2) Um título de crédito de valor de face de R$ 34.000,00 foi resgatado2 meses antes de seu
vencimento. Utilizando o desconto comercial composto, à 3% a.m., qual o valor líquido
do título ?

(R = R$ 31.990,60)
3) No regime de capitalização composta, à taxa mensal de 10%, um título de valor
nominal de R$ 5.541, é resgatado 2 meses antes de seu vencimento. O valor do
desconto racional será de ?

(R = R$ 961,66)

4) Qual o valor atual de um título cujo valor nominal é de R$ 50.000,00 e é resgatado 3

meses antes do vencimento, à taxa de desconto racional composto de 10% a.m. ?

(R = R$ 37.565,74)

5) Qual a taxa de desconto racional composto que eqüivale a 20% de desconto comercial
composto?

(R = R$ 25%)

6) Qual a taxa aproximada de desconto comercial composto que eqüivale a 10% de

desconto racional composto?

(R = R$ 9,1%)

3.11 Equivalência de Capitais:

Como vimos no juro simples não podemos equiparar capitais em datas focais diferentes,
portanto devemos puxar os valores nominais para uma mesma data focal, de preferência
data focal zero (presente momento), ou seja, devemos primeiro achar o valor atual naquele
presente momento, para só depois fazermos as equiparações.
Devemos nos lembrar que o valor atual de um título é o valor nominal menos o
desconto praticado, desconto esse que pode ser racional, comercial ou bancário. Aqui
veremos apenas os valores atuais que são praticados com descontos racionais e comerciais
por serem os mais usados em equivalência de capitais.

3.11.1 Equivalência com Desconto Racional:

Os capitais serão equivalentes se seus valores atuais racionais forem iguais. Portanto
devemos primeiro achar os valores atuais racionais para só depois fazermos a comparação.

Exemplo1: Um título com valor nominal de R$ 5000,00, com vencimento para 4

meses, é trocado por outro de R$ 4805,84, com vencimento para 2 meses. Sabendo que a
taxa de juros corrente de mercado é de 2%am, pergunta-se a substituição foi vantajosa?
Resolução: vamos puxar os valores para a data focal zero para depois comparar.

4805,84 5000

0 2 4

V1 = 5000 5000 4619,22

(1+0,02)4 1,08243216

v2 = 4805,84 4805,84 4619,22

(1+0,02)2 1,0404
Como os valores atuais são iguais não há vantagem e nem desvantagem.

Exemplo2 : Uma financeira oferece a um cliente dois títulos, o primeiro vencendo

em 1 ano, no valor de R$ 12000,00, e o segundo em 2 anos, no valor de R$ 36000,00. O
cliente aceita a oferta e assina uma nota promissória, com vencimento para 6 meses.
Sabendo-se que a taxa de juros da operação foi de 20% ao ano. Qual o valor da nota
promissória em seu vencimento ?
Resolução: vamos puxar os valores para a data focal zero para depois comparar.

12000 36000

0 1 2
Como Vr = N
(1 + i)n
v1 = 12000 12000 10000
(1+0,2) 1,2
v2 = 36000 36000 25000
(1+0,2)2 1,44

O valor nominal da promissória será a incógnita N, como o valor é nominal,

devemos colocá-lo na forma de valor atual:

V3 = N N N
(1+0,2)1/2 1,2 1,095445

agora devemos igualar os capitai onde o valor atual da promissória será igual a
soma dos valores atuais dos documentos oferecidos.
 N = 10000 + 25000 N = 35000
1,095445 1,095445

N = 1,095445 . 35000 N = 38340,58

Portanto o valor da promissória será de R$ 38340,58

3.11.2 Equivalência com Desconto Comercial:

Os capitais serão equivalentes se seus valores atuais comerciais forem iguais.

Portanto devemos primeiro achar os valores atuais comerciais para só depois fazermos a
comparação.

Exemplo1: Dois títulos, um de R$ 20.000,00, para 6 meses e outro de R$ 50.000,00,

para 1 ano, são trocados por um único, vencendo em 9 meses. Se for adotada a taxa de
desconto comercial de 2% ao mês, qual será o valor deste novo título ?

Resolução: vamos puxar os valores para a data focal zero para depois comparar.

Como VAC = N . (1 – i)n

V1 = 20000 . (1 – 0,02)6 = 20000 . 0,88584 = 17.716,80

V2 = 50000 . (1 – 0,02)12 = 50000 . 0,78471 = 39235,50
V3 = N . (1 – 0,02)9 = N . 0,83374 = 0,83374N

Agora é só fazer a comparação, o título que procuramos deve ter o valor da soma
dos dois títulos que desejamos trocar.

0,83374N = 17716,80 + 39235,50 = 0,83374N = 56952,30

N= 56952,30 = N = 68309,42
0,83374

Exemplo2 : Uma pessoa deve a uma financeira R$ 20000,00 em 12 meses, resolve

antecipar parte de sua dívida pagando hoje R$ 5000,00, comprometendo-se a pagar R$
12000,00 em 6 meses. Que valor restante será pago em 12 meses, se a taxa de desconto
comercial considerada foi de 10% ao semestre?

Primeiro vamos acha o valor de sua dívida hoje, achando o valor atual comercial.
 V1 = 20000 . (1 – 0,1)2 = 20000 . 0,81 = 16200

Como foi pago hoje R$ 5000 então temos 16200 – 5000 = 11200 restantes

Agora vamos ver o valor atual comercial do 2o título:

V2 = 12000 . (1 – 0,1)1 = 12000 . 0,9 = 10800

O valor restante será v3 = N . (1 – 0,1)2 = 0,81N

Fazendo a comparação:

0,81N + 10800 = 11200 0,81N = 11200 – 10800 0,81N = 400

N = 400 N = 493,83
0,81

Vamos Treinar

1) Uma pessoa tem dois títulos: um de valor nominal de R$ 5.000,00 com vencimento em
2 meses, e outro de valor nominal de R$ 8.000,00 com vencimento em 4 meses. Ele os
trocou por uma nota promissória com vencimento para 6 meses. Se a taxa de juros
composto racional é de 36% a.a., capitalizados bimestralmente, o valor da nota
promissória em seu vencimento será de ?

(R = R$ 14.097,99)

2) Uma pessoa tem dois títulos: um de valor nominal de R$ 2.000,00 com vencimento em
3 meses, e outro de valor nominal de R$ 4.000,00 com vencimento em 6 meses. Ele os
trocou por um outro título com vencimento para 9 meses. Se a taxa de juros composto
 comercial é de 36% a.a., capitalizados trimestralmente, o valor da nota promissória em
seu vencimento será de ?

(R = R$ 6.810,77)

3) Um título no valor de R$ 10.000,00 vence hoje, enquanto outra no valor de R$

20.000,00 vence em 4 meses. A taxa de juros compostos de 5% a.m., e considerando
um desconto racional, obtenha o valor da dívida equivalente às duas anteriores, com
vencimento ao fim de 6 meses ?

(R = R$ 35.450,94)

4) Um título no valor de R$ 50.000,00 vence hoje, enquanto outra no valor de R$

80.000,00 vence em 3 meses. A taxa de juros compostos de 3% a.m., e considerando
um desconto comercial, obtenha o valor da dívida equivalente às duas anteriores, com
vencimento ao fim de 4 meses, desprezando os centavos ?

(R = R$ 138.952,00)

4. Anuidades(Rendas Certas)

4.1 Rendas Certas:

Quando se faz um empréstimo, ou se financia um bem comprometendo-se a pagar

posteriormente em parcelas iguais, nada nos impede de quitarmos o compromisso de uma
vez só, mas, para isso devemos antes puxarmos o saldo devedor para o valor presente
(atual) e depois saldarmos o compromisso.
Em operações financeiras que devemos saldar ou receber um compromisso em uma
série de pagamentos ou recebimentos de parcelas iguais, ou seja, pré-fixadas, estamos
falando de rendas certas, justamente porque não mudam.
As rendas certas que trataremos aqui são as temporárias periódicas, ou seja, aquelas
que tem uma duração limitada de igual período para recebimentos ou pagamentos.
As rendas certas são imediatas, quando são exigidas a partir do primeiro período.
As rendas certas são diferidas, quando forem exigidas a partir de uma data que não
seja o primeiro período.
As rendas certas tanto imediata quanto diferida podem ser antecipadas ou
postecipadas. Antecipadas são aquelas exigidas no início do período, e postecipadas
aquelas que são exigidas no final do período, que é a mais comum em empréstimos e
financiamentos de bens.

4.1.2 Rendas Certas Postecipadas:

São aquelas exigidas no final do período, ou seja, quando se financia algo hoje, cujo
pagamento ocorrerá mensalmente em várias parcelas, e a primeira delas será exigida um
mês depois.
Imaginemos um certo empréstimo a ser pago em n parcelas iguais a R, imediatos,
postecipados e periódicos sob uma certa taxa i de juros. Observe a representação gráfica:

P R R R R

0 1 2 n-1 ...... n

A soma do valor atual(presente) dos termos na data focal zero é dado por:

P= R + R + R + R
(1+ i) (1+ i)2 (1+ i)n-1 (1+ i)n
Colocando R em evidência teremos:

P=R. 1 + 1 + 1 + 1
2
(1+ i) (1+ i) (1+ i)n-1 (1+ i)n

Igualando a soma entre colchetes a a (Lê-se “ a, n cantoneira i ”)

n i

Teremos: P = R . a
n i
O desenvolvimento da soma entre colchetes é igual a : (1 + i)n - 1
i . (1 + i)n
Logo a = (1 + i)n - 1
n i i . (1 + i)n
Geralmente em concursos o valor de “a, n cantoneira i” é dado em uma tabela.
O que acabamos de ver é válido para rendas certas postecipadas.

Exemplo 1:Um aparelho custa R$ 8000,00 a vista, ou financiado em 10 prestações

mensais iguais, exigidas no final do período. Se taxa de juros da operação é de 3% am.,
calcule o valor da prestação.
 Resolução: P = R . ani 8000 = R . 8,530203

R = 8000 = R = 937,84
8,530203

Exemplo2: Um Certo objeto está sendo vendido da seguinte maneira: R$ 2000,00

de entrada e três prestações mensais iguais de R$ 1100,00. Sabendo que a taxa de juro da
operação foi de 2%am. Qual o preço a vista ?

Resolução: primeiro vamos achar o valor atual das três prestações, para somar ao
valor da entrada.

P = R . ani P = 1100 . a32 P = 1100 . 2,883883

P = 3172,27

Logo o preço a vista é: 3172,27 + 2000 = 5172,27

4.1.3 Montante em Rendas Certas Postecipadas:

Imaginemos agora uma série finita de depósitos iguais (R), periódicos e

postecipados, a uma taxa de juros (i) referida ao mesmo período dos depósitos, a fim de
gerar um montante (S) em uma certa data focal (n), que será o resultado desse processo de
capitalização.
Veja a representação gráfica:

R R R R R
0 1 2 3... ...n – 1.. ..n

Como é de se perceber o montante (S) é a soma dos montantes de cada um dos

depósitos, a taxa (i), até a data focal (n). Assim teremos:

S = R + R.(1 + i)1 + R.(1 + i)2 +...+ R.(1 + i)n-1

Com R em evidência teremos:

 S = R .[1 + (1 + i)1 + (1 + i)2 + ...+ (1 + i)n-1]

Igualando todo o somatório que está entre colchetes a S teremos:

n i

S n i = [1 + (1 + i)1 + (1 + i)2 + ...+ (1 + i)n-1]

Logo o nosso montante será dado por:

S=R.Sn i lê-se : “S, n cantoneira i”

Geralmente em concursos o valor de “S, n cantoneira i” é dado em uma tabela.

Exemplo1: Uma certa pessoa deposita R$ 350,00 mensalmente em uma poupança.

Sabendo-se que a poupança paga uma taxa de 0,5%am., quanto possuirá no final de um ano
?
Dados: R = 350
S 12 0,5 = 12,335562

Resolução : S = R . S n i S = 350 . 12,335562 S = 4.317,45

Exemplo2: Uma pessoa deseja comprar daqui a 12 meses uma motocicleta no valor
de R$ 12.000,00, à vista,. Quanto ele terá que poupar mensalmente, sabendo que aplicação
feita por ele rende 1,5% ao mês ?

Dados: S = 12.000
S 12 1,5 = 13,041211

Resolução : S = R . S n i 12.000 = R . 13,041211 R = 12.000

13,041211
R = 920,16
 Vamos Treinar

1) Um bem foi adquirido através de um plano de 6 prestações de R$ 200,00 mensais iguais e

consecutivas, sem entrada. A 1a prestação ocorre a 30 dias da data de sua aquisição. A taxa
negociada é de 3% a.m. e o regime é de capitalização composta. O valor à vista do bem
desprezando os centavos é de ?

(R = R$ 1.083,00)

2) Um financiamento foi adquirido através de um plano de 5 prestações de R$ 1.000,00 anuais

iguais e consecutivas, sem entrada. A 1a prestação ocorre a 1 ano da data de sua aquisição. A
taxa negociada é de 15% a.a. e o regime é de capitalização composta. O valor do financiamento
desprezando os centavos é de ?

(R = R$ 3.352,00)

3) Um automóvel no valor de R$ 8.500,00 foi adquirido através de um plano de financiamento de

36 prestações mensais iguais e consecutivas, sem entrada. A 1a prestação ocorre a 30 dias da
data de sua aquisição. A taxa negociada é de 2% a.m. e o regime é de capitalização composta. O
valor de cada prestação é de ?

(R = R$ 333,48)

4) Uma pessoa deposita todo final de mês R$ 150,00, em um banco que paga 1,5% a.m.,. Sabendo
que o 1o depósito ocorreu no final de janeiro, quanto ela possuirá no final de dezembro ?

(R = R$ 1.956,18)

4.1.4 Rendas Certas Antecipadas:

São aquelas exigidas no início do período, ou seja, quando se financia algo hoje,
cujo pagamento ocorrerá mensalmente em várias parcelas, e a primeira delas será exigida
no início do primeiro mês, ou seja, no momento do financiamento, e as outras no início de
cada mês.

Imaginemos um certo empréstimo a ser pago em n parcelas iguais a R,

imediatas, antecipadas e periódicas sob uma certa taxa i de juros. Observe a representação
gráfica:

P
 R R R R

0 1 2 n–1 n

A soma do valor atual(presente) dos termos na data focal zero é dado por:

P= R + R + R + R
2
(1+ i) (1+ i) (1+ i)n-1

Colocando R em evidência teremos:

P=R . 1 + 1 + 1 + 1
2
(1+ i) (1+ i) (1+ i)n-1

Como sabemos o número um é o elemento neutro na multiplicação, então se

multiplicarmos o segundo membro por (1+ i) / (1+ i) , a igualdade não se altera, pois, tudo
que é dividido por sí mesmo é sempre um. Logo teremos:

P = R . (1 + i) . 1 + 1 + 1 + 1
(1 + i) (1+ i) (1+ i)2 (1+ i)n-1

P = R . (1 + i) . 1 + 1 + 1 + 1
(1+ i) (1+ i)2 (1+ i)3 (1+ i)n

Já vimos que o valor entre colchetes é igual a a

n i
Teremos: P = R . (1 + i) . a
n i

Como é de se perceber basta multiplicar por (1 + i) o modelo de renda postecipadas.

Teremos: P = R . a . (1 + i)
n i

Veja o exemplo a seguir

Exemplo2: Um Certo objeto está sendo vendido da seguinte maneira: três prestações
mensais iguais de R$ 200,00, sendo a primeira no ato da aquisição. Sabendo que a taxa de
juro da operação foi de 2%am. Qual o preço a vista ?

P = R . a . (1 + i) P = 200 . 2,883883 . (1 + 0,02)

n i

P =R$ 588,31
4.1.5 Montante em Rendas Certas Antecipadas:

Imaginemos agora uma série finita de depósitos iguais (R), antecipados, imediatos e
periódicos , a uma taxa de juros (i) referida ao mesmo período dos depósitos, a fim de gerar
um montante (S) em uma certa data focal (n).
Veja a representação gráfica:

R R R R R
0 1 2 3 ... n – 1.. ..n

Como é de se perceber o montante (S) é a soma dos montantes de cada um dos

depósitos, a taxa (i), até a data focal (n). Assim teremos:
S = R.(1 + i)1 + R.(1 + i)2 + R.(1 + i)3+...+ R.(1 + i)n-1+ R.(1 + i)n
Com R em evidência teremos:
S = R .[(1 + i)1 + (1 + i)2 + (1 + i)3+ ...+ (1 + i)n-1+ (1 + i)n]
Como sabemos o número um é o elemento neutro na multiplicação, então se
multiplicarmos o segundo membro por (1+ i) / (1+ i) , a igualdade não se altera, pois, tudo
que é dividido por sí mesmo é sempre um. Logo teremos:

S = R . (1 + i) . [(1 + i)1 + (1 + i)2 + (1 + i)3+...+ (1 + i)n-1+ (1 + i)n]

(1 + i)
Então teremos: S = R . (1 + i) .[ 1 + (1 + i)1 + (1 + i)2 + ...+ (1 + i)n]

Igualando todo o somatório que está entre colchetes a S teremos:

n i
S n i = [ 1 + (1 + i)1 + (1 + i)2 + ...+ (1 + i)n]
Logo o nosso montante será dado por:

S = R . (1 + i) . S n i lê-se : “S, n cantoneira i”

Geralmente em concursos o valor de “S, n cantoneira i” é dado em uma tabela.

Exemplo: Uma pessoa deposita R$ 100,00 todo início de mês em um banco.

Sabendo-se que ela começou os depósitos em janeiro, e está ganhando 3% am, e que o
último depósito foi em novembro quanto possuirá no final do ano ?

Resolução: S = R . (1 + i) . S n i
 Como foram feitos 11 depósitos n = 11, a taxa i = 3%, logo S n i = 12,807796
S = 100 . (1 + 0,03) . 12,807796 100 . 1,03 . 12,807796 1319,20

Vamos Treinar

1) Um bem foi adquirido através de um plano de 5 prestações de R$ 500,00 mensais iguais e

consecutivas. A 1a prestação ocorre na da data de sua aquisição. A taxa negociada é de 3% a.m.
e o regime é de capitalização composta. O valor à vista do bem é de ?

(R = R$ 2.358,55)

2) Um financiamento foi adquirido através de um plano de 10 prestações de R$ 1.000,00 anuais

iguais e consecutivas. A 1a prestação ocorre na data de sua aquisição. A taxa negociada é de
10% a.a. e o regime é de capitalização composta. O valor do financiamento desprezando os
centavos é de ?

(R = R$ 6.759,00)

3) Um automóvel no valor de R$ 8.500,00 foi adquirido através de um plano de financiamento de

36 prestações mensais iguais e consecutivas. A 1a prestação ocorre na data de sua aquisição. A
taxa negociada é de 2% a.m. e o regime é de capitalização composta. O valor de cada prestação
é de ?

(R = R$ 326,94)

4) Uma pessoa deposita todo início de mês R$ 200,00, em um banco que paga 1,5% a.m.,.
Sabendo que o 1o depósito ocorreu no primeiro dia de janeiro, quanto ela possuirá no final de
dezembro ?

(R = R$ 2.647,36)

Lista de Exercícios

Juros Simples
1) (Fiscal da Receita Federal). Indique, nas opções abaixo, qual a taxa unitária anual
equivalente à taxa de juros simples de 5% ao mês.

a) 0,7 b) 0,4 c) 0,6 d) 0,8 e) 0,5

2) (TTN/85) Se 6/8 de uma quantia produzem 3/8 desta mesma quantia de juros simples
em 4 anos, qual é a taxa aplicada ?

a) 70%aa b) 40%aa c) 20%aa d) 13,6%aa e) 12,5%aa

3) (AFTN/98) – Os capitais de R$ 20.000,00; R$ 30.000,00 e R$ 50.000,00 foram

aplicados à mesma taxa de juros simples mensal durante 4 3 e 2 meses
respectivamente. O prazo médio de aplicação desses capitais é :

a) 3m12d b) 4m20d c) 2m31d d) 2m15d e)2m21d

4) (AFTN/98) – O desconto comercial simples de um título 4 meses antes do seu

vencimento é de R$ 600,00. Sendo uma taxa de 5%am, o valor correspondente no caso
de um desconto racional simples é de ?

a) 200,00 b) 300,00 c) 400,00 d) 500,00 e) 250,00

5) (Folha dirigida) – Um investidor que aplicar R$ 15.000,00 durante 8 meses a uma taxa
mensal de 2% a juros simples receberá, em reais, juros de ?

a) 2400,00 b) 2160,00 b) 2200,00 c)2250,00 d) 3230,00 e) 3170,00

6) (Analista BACEN) – Na capitalização simples, a taxa que faz duplicar um capital em 2

meses vale?

a) 40% b) 42,0% c) 54% d)60% e) 50%

7) (Analista BACEN) – Na capitalização simples, os juros correspondentes à aplicação de

R$ 2.000,00 por 2 meses, à taxa de 4%am é de ?

a) 140,00 b) 160,00 b) 200,00 c) 250,00 d) 230,00 e) 170,00

8) (Analista BACEN) – O valor do desconto simples por fora, de um título de R$ 2.000,00

com vencimento para 120 dias à taxa de 3%am é de?

a) 269,00 b) 179,00 c) 230,00 d) 359,00 e)240,00

9) (Fiscal da Receita Federal) O desconto comercial simples de um título quatro meses
antes de seu vencimento é de R$600,00. Considerando uma taxa de 5% ao mês, obtenha
o valor correspondente no caso de um desconto racional simples.

a) R$ 740 b) R$ 630 c) R$ 535 d) R$ 720 e) R$ 500

10) (TTN/92) Um negociante tem duas dívidas a pagar, uma de R$ 3000,00, com 45 dias de
prazo e outra de R$ 8400,00, pagável em 60 dias. O negociante quer substituir essas
duas dívidas por uma única, com 30 dias de prazo. Sabendo-se que a taxa de desconto
comercial é de 12%aa, e usando a data focal zero, o valor nominal dessa dívida será de:

a) R$ 11287,00 b) R$ 8232,00 c) R$ 9332,00 d) R$ 11300,00 e) R$ 8445,00

11) (AFC-ESAF/93) Determinar a taxa de juros mensal para que sejam equivalentes hoje os
capitais de R$ 1000,00 vencível em dois meses e R$ 1500,00 vencível em três meses,
considerando-se o desconto simples comercial.

a) 15% b) 20% c) 25% d) 30% e) 33,33%

12) (AFTN/85) João deve a um banco R$ 190.000,00 que vencem daqui a 30 dias. Por não
dispor de numerário suficiente, propõe a prorrogação da dívida por mais 90 dias.
Admitindo-se a data focal atual zero e que o banco adote a taxa de desconto comercial
simples de 72% aa, o valor do novo título será de:

a) R$ 235000,00 b) R$ 238000,00 c) R$ 240000,00 d) R$ 243000,00 e) R$ 245000,00

Juros Composto

01) (BACEN/98) um capital de R$ 4.000,00 aplicado à taxa de 2%am, durante 3 meses,

na capitalização composta, gera um montante de:

a) 6.000,00 b) 4.240,00 c) 5.500,00 d) 4.244,83 e) 6.240,00

02) (AFTN/SP) Que quantia mínima devo aplicar hoje a juros compostos, à taxa anual de
20%, para que ao completar um período de 3 anos eu consiga, como montante, comprar um
carro no valor de R$10.800,00?

a) 6.00,00 b) 6.250,00 c) 6.500,00 d) 6.750,00 e) 6.800,00

03) (AFTN/96) Uma empresa obteve um financiamento de R$10.000,00, à taxa de 120%aa,
capitalizados mensalmente (juros compostos). A empresa pagou R$6.000,00 no final do
primeiro mês e R$3.000,00 no final do 2º mês. O valor que deverá ser pago no final do 3º
mês para liquidar o financiamento (juros + principal) é:

a) 3.250,00 b) 3.100,00 c) 3.050,00 d) 2.975,00 e) 2.750,00

04) (AFTM/Fortaleza/CE) um capital aplicado a juros compostos, à taxa nominal de

36%aa, com capitalização mensal, atingiu um montante de R$10.900,00 ao fim de um
trimestre. O capital aplicado foi de (esquecendo os centavos):

a) 9.800,00 b) 9.889,00 c) 9.919,00 d) 9.975,00 e) 10.000,00

05) (auditor TCE/PB) O capital de R$ 120,00 foi colocado a juros compostos de 20%aa,
capitalizado semestralmente. Ao final de 1 ano e 6 meses, o montante era de :

a) 169,00 b) 179,00 c) 130,00 d) 159,72 e)165,00

06) (Fiscal do município de SP ) No regime de capitalização composta, à taxa mensal de

10%, um título de valor nominal de R$ 2.541,00, é resgatado 2 meses antes do vencimento.
O desconto racional será de:

a) 441,00 b) 541,00 c) 640,00 d) 444,00 e) 349,00

07) (Fiscal do município de SP ) Um título de valor nominal de R$ 59.895,00 foi pago três
meses antes do vencimento. Se a taxa do desconto racional composto era de 10%, o valor
líquido deste título era de?

a) 40.00,00; b)45.000,00; c) 50.000,00; d)55.000,00; e)60.000,00

08) (Fiscal do município de SP ) Uma empresa tem dois títulos: um de valor nominal R$
6.000,00 com vencimento em 1 ano e outro de valor nominal R$ 7.200,00 com vencimento
em 1 ano e meio. Ele os trocou por uma nota promissória com vencimento para seis meses.
Se a taxa de juros compostos é de 44%aa, o valor da nota promissória em seu vencimento
será de ?

a) 10.000,00; b)15.000,00; c)20.000,00; d)25.000,00; e) 30.000,00

09) (Fiscal do município de SP ) No regime de capitalização composta, qual a taxa anual de

juros para a qual um título de valor nominal R$ 5.000,00 vencível daqui a 1 ano, eqüivale a
um título de valor nominal R$ 5.750,00, vencível daqui a 2 anos?

a) 10%; b) 15%; c) 20%; d) 25%; e) 30%

10) (Fiscal do município de SP ) Um aparelho de som é vendido à vista por R$ 1.275,00, ou
a prazo, sem entrada e em duas parcelas bimestrais iguais. Se a taxa bimestral de juros
compostos for de 4%, o valor de cada parcela será de?

a) 430,00; b) 538,00; c) 676,00; d) 715,00; e) 802,00

11) (AFTN/98) – Uma compra no valor de R$ 10.000,00 deve ser paga com uma entrada de
20% e o saldo devedor financiado em 12 prestações mensais iguais, vencendo a 1a
prestação ao fim do 1o mês, a uma taxa de 4%am. Considerando que este sistema de
amortização corresponde a uma anuidade ou renda certa, em que o valor atual da anuidade
corresponde ao saldo devedor e que os termos de anuidade correspondem às prestações,
calcule a prestação mensal, desprezando os centavos.

a) 430,00; b) 538,00; c) 748,00; d) 852,00; e) 905,00

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