CONCEITOS BÁSICOS

CONCEITO DE FLUXO DE CAIXA

O Fluxo de caixa (de uma empresa, de um financiamento, de um investimento, etc.) é um
conjunto de entradas e saídas de caixa (dinheiro) ao longo do tempo. A representação de
um fluxo de caixa ao longo do tempo pode ser feita através de um diagrama, como mostra
a figura abaixo:

onde a escala horizontal representa o tempo (em meses, trimestres, semestres, anos, etc.);
as flechas para baixo correspondem a saídas de caixa ou despesas e terão sinais negativos;
as flechas para cima representam entradas de caixa ou receitas e terão sinais positivos.
A MATEMÁTICA FINANCEIRA E SEUS OBJETIVOS
A matemática financeira é o ramo da matemática que estuda o comportamento do dinheiro
no tempo e tem por objetivo o manuseio, a transformação e a comparação de fluxos de
caixa.
O CAPITAL E O JURO
Denomina-se capital a qualquer quantidade de moeda ou dinheiro que uma pessoa, física
ou jurídica, aplica ou empresta para outra durante certo tempo. O juro pode ser definido
como a compensação financeira conseguida por um aplicador durante certo tempo ou
ainda o custo do capital para uma pessoa, que durante certo tempo, usa o capital de outra.
O juro é cobrado em função de um coeficiente, chamado taxa de juro, que é dado
geralmente em termos percentuais e sempre referido a um intervalo de tempo, tomado
como unidade, denominado período financeiro. A taxa de juro é a razão entre os juros
recebidos (ou pagos) no fim de um período financeiro e o capital aplicado.
Exemplo: Suponhamos que a aplicação de R$ 150,00 tenha produzido, ao fim de um mês,
a quantia de R$ 4,50 de juros.
Valor aplicado → R$ 150,00
Juros obtidos → R$ 4,50
Taxa de juro → 4,50/ 150 = 0,03 *100= 3% ao mês. É importante deixar o período.
REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO
A sucessiva incorporação dos juros ao principal ao longo dos períodos financeiros,
denomina-se capitalização.
Regime de capitalização simples: quando os rendimentos são devidos única e
exclusivamente sobre o principal, ao longo dos períodos financeiros a que se refere a taxa
de juros.
Regime de capitalização composta: quando ao fim de cada período de tempo, a que se
refere a taxa de juros, os rendimentos são incorporados ao capital anterior e passam, por
sua vez, a render juros no período seguinte.
O VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO
Do ponto de vista da Matemática Financeira, R$ 10.000,00 hoje não são iguais a R$
10.000,00 em uma outra data qualquer, pois o dinheiro cresce no tempo ao longo dos
períodos, devido à presença da taxa de juros. Assim, sob a ótica da Matemática Financeira
devemos observar que:
a) os valores presentes em uma mesma data são grandezas que podem ser comparadas e
somadas algebricamente;
b) os valores presentes em datas diferentes são grandezas que só podem ser comparadas
e somadas algebricamente após serem movimentadas para uma mesma data, com a devida
aplicação de uma taxa de juros.
CLASSIFICAÇÃO DOS JUROS
Os juros são classificados em simples ou compostos, de acordo com o regime de
capitalização em que se está trabalhando.
7.1-Exemplo Numérico de Juros simples: Suponhamos que um indivíduo tenha feito,
hoje, uma aplicação no valor de R$ 100,00, em um banco que remunera suas aplicações
a juros simples, à razão de 20% ao ano. Qual será seu saldo credor no final de cada um
dos próximos cinco anos?

É importante observar, que neste caso, o banco sempre aplica a taxa de juros de 20%a.a.
sobre o capital inicial de R$ 100,00, e não permite que o indivíduo retire os juros
produzidos em cada período. Assim, apesar dos juros estarem sempre à disposição do
banco, eles não são remunerados por parte da Instituição.

Exemplo Numérico de Juros Compostos:

Vamos supor, agora, que a aplicação do exemplo anterior, tenha sido feita a juros compostos.
Qual seria o saldo credor do indivíduo ao final de cada um dos próximos cinco anos.

É importante observar, que neste caso, o banco sempre aplicou a taxa de juros de 20%a.a.
sobre o saldo existente no início de cada período financeiro. Assim, após cada período,
os juros são incorporados ao saldo anterior e passam, por sua vez, a render juros no
período seguinte.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01) Um investidor aplicou R$ 2.000,00 numa instituição financeira que remunera seus
depósitos a uma taxa de 6% ao trimestre, no regime de juros simples. Mostrar o
crescimento desse capital no final de cada trimestre, a contar da data da aplicação dos
recursos, e informar o montante que poderá ser retirado pelo investidor no final do quinto
trimestre, após a efetivação do depósito.
02) Um investidor aplicou R$ 2.000,00 numa instituição financeira que remunera seus
depósitos a uma taxa de 6% ao trimestre, no regime de juros compostos. Mostrar o
crescimento desse capital no final de cada trimestre, a contar da data da aplicação dos
recursos, e informar o montante que poderá ser retirado pelo investidor no final do quinto
trimestre, após a efetivação do depósito.
03) Suponha que a aplicação de R$ 5.000,00 tenha produzido ao final de um trimestre a
quantia de R$ 190,00 de juros. Qual foi a taxa percentual trimestral da aplicação?

JUROS SIMPLES
CÁLCULO DOS JUROS SIMPLES
Simbologia a ser adotada
Como forma de simplificação e uniformização de procedimentos no desenvolvimento
teórico dos juros simples, será usada a seguinte notação:
P = principal, valor presente, valor atual, ou seja, valor do capital no dia de hoje;
i = taxa efetiva de juros por período de capitalização;
n = número de períodos de capitalização;
j = valor dos juros;
M = montante, valor futuro, ou seja, valor do capital no fim de n períodos.
Expressão para o cálculo dos juros
Os juros simples incidem unicamente sobre o principal e geram rentabilidade ou custo,
que são diretamente proporcionais ao capital e ao prazo da operação. Assim, o valor dos
juros no final do primeiro período é dado por Pi, no final do segundo período por 2Pi, no
final do terceiro período por 3Pi e assim, sucessivamente. O total de juros acumulados no
final de n períodos será dado, portanto, pela fórmula:
j=Pxixn
em que P – Principal, i - taxa de juros e n - períodos de capitalização
Exemplo:
Calcular os juros simples referentes a um empréstimo no valor de R$ 8.000,00, à taxa de
3% ao mês, durante 4 meses.
Solução:
P = R$ 8.000,00
i = 3% a.m.
n = 4 meses
j = Pin  j = 8.000 × 0,03 × 4  j = R$ 960,00
Exemplo:
Calcular os juros simples referentes a um empréstimo no valor de R$ 6.000,00, à taxa de
2% ao mês, durante 8 meses.
Solução:
P = R$ 6.000,00
i = 2% a.m.
n = 8 meses
j = Pin  j = 6.000 × 0,02 × 8  j = R$ 960,00

Expressão para o cálculo do montante

O montante M, ao fim de n períodos, resultante da aplicação do capital P à taxa i de juros
simples, é dado por:
M = P + j, ou seja,
Montante = Principal + juros.
Logo, M = P + Pin Colocando-se P em evidência, resulta:
M = P (1+in)
Exemplo
Determinar o montante, ao fim de 5 meses, correspondente a uma aplicação no valor de
R$ 6.000,00, à taxa de 4% ao mês, no regime de juros simples.
M = P (1 + in)
M = 6000 * (1 + 0,04 *5)
M = 6000 * (1 + 0,2)
M = 6000 * 1,2
M = 7200
Ou seja, ao investir R$ 6.000,00, à uma taxa de 4% a.m. durante 5 meses, o indivíduo
terá R$ 7.200,00 ao final do período.
Exemplos Slides (pág 20)
Cálculo do Valor Presente
Para o cálculo do valor atual (P) que produzirá o montante (M) daqui a n períodos a uma
taxa (i) de juros simples basta inverter a relação anterior, isto é:
𝑀
𝑃=
1 + 𝑖𝑛
em que, M – Montante, i – Taxa de juros e n – período de capitalização
Exemplo: Qual o valor que se deve aplicar hoje para se obter o montante de R$ 8.000,00,
daqui a 6 meses, a uma taxa de juros de 4% ao mês.
P = ? M = R$ 8.000,00 i = 4% a.m. n = 6 meses
8000 8000 8000
P = 1+0,04𝑋6 = 1+0,24 = = 6.451,61
1,24

Ou seja, se deseja possuir R$ 8.000,00 ao fim de 6 meses, com a taxa de juros de 4% ao

mês, deve-se investir hoje R$ 6.451,61.

Ex. 2: José aplicou uma determinada quantia à taxa de 12% ao ano, no regime de
capitalização simples, pelo prazo de 7 anos. Ao final dos 7 anos, ele possuía com R$
50.000,00. Qual foi o valor aplicado?
P = ? M = R$ 50.000,00 i = 12% a.a. n = 7 anos
50000 50000 50000
P = 1+0,12𝑋7 = 1+0,84 = = 27.173,34
1,84
Cálculo da taxa de juros
Buscamos encontrar o i da equação
Qual é a taxa de juros anual necessária para que um investimento de R$ 28.000,00, para
produzir em 5 anos, o montante de R$ 35.000,00?
M = P (1+in)
35000 = 28000(1+ i x 5)
35000 = 28000 (1 + 5i)
35000 = 28000 + 140000i
35000 – 28000 = 140000i
7000 = 140000i
i = 7000/140000
i = 0,05 ou 5% ao ano

Ex. 2: Carlos realizou um empréstimo na Caixa para abrir seu negócio. Ele pegou R$
35.000,00 com banco, esse valor será pago ao longo de 48 meses e no final considerando
os juros terá pago um montante de R$ 56.000,00. Qual foi a taxa de juros praticados
nessa operação?
M = P (1+in)
56000 = 35000(1+ i x 48)
56000 = 35000 (1 + 48i)
56000 = 35000+ 1680000i
56000 - 35000= 1680000i
21000 = 1680000i
i = 21000/1680000
i = 0,0125 ou 1,25% ao mês

Cálculo do período de capitalização

Nesse, buscamos calcular o período de capitalização, ou seja, o n da equação.
M = P (1+in)
Ex. Carlos aplicou R$ 8.000,00 à taxa de 10% ao trimestre, para produzir ao final de x
anos, o montante de R$ 14.400,00, no regime de capitalização simples. Qual foi o período
de capitalização em anos?
M = P (1+in)
14400 = 8000 (1 + 0,1 x n)
14400/8000 = (1+0,1n)
1,8 = 1+ 0,1 n
1,8 – 1 = 0,1 n
0,8= 0,1 n n = 8 trimestre > 2 anos

Ex. 2 Durante quanto tempo um capital deve ser aplicado a juros simples, com taxa de
4% ao mês, para que o seu valor seja triplicado?
P = R$ x
M = R$ 3x
i = 4% a.m.
n=?
M = P (1+in)
3x = x (1 + 0,04 x n)
3x/x = (1+0,04n)
3 = 1+ 0,04 n
3 - 1 = 0,04 n
2 = 0,04 n n = 50 meses ou 4 anos e 2 meses
TAXAS PROPORCIONAIS E TAXAS EQUIVALENTES
Conceitos - Duas ou mais taxas de juros são proporcionais quando os seus valores e os
períodos a que elas se referem estão na mesma razão. Assim, 20% ao ano e 5% ao
20 12 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠
trimestre são taxas proporcionais, pois 5 = 5 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠

Duas ou mais taxas de juros são equivalentes quando ao serem aplicadas a um mesmo
principal, durante um mesmo intervalo de tempo, produzem o mesmo montante.
Observação: É importante notar, que no regime de juros simples as taxas proporcionais
são, também, equivalentes.
• Essa conversão simples só pode ser feita em cálculo de juros simples
Ex: Calcule o montante de uma aplicação de R$ 5.000,00 pelo prazo de 6 meses,
utilizando as taxas proporcionais 20% a.a. e 5% a.t., respectivamente.
M = P (1 + i x n)
6
i. M = 5000(1+ 0,2 x 12) = 5000 (1+ 0,2 x 0,5) = 5000(1 + 0,01) = 5500

ii. M = 5000 (1 + 0,05 x 2) = 5000 (1 + 0,1) = 5500

Ou seja, as taxas são equivalentes, pois produzem o mesmo montante, ao serem aplicadas
sobre o mesmo capital, em um intervalo de tempo igual.
Ex. 2 A que taxa mensal de juros simples deve-se aplicar o capital de R$ 15.000,00 para
que em 3 meses e 15 dias, produza o montante de R$ 17.100,00?
M = P (1 + i x n)
105
17100 = 15000 (1 + i x )
30

17100/15000 = (1 + i x 3,5)
1,14 = (1 + 3,5i)
1,14 – 1 = 3,5i
0,14 = 3,5i
i = 0,14/3,5 = 0,04 ou 4% a.m.
Ex 3: Um capital de R$ 50.000,00 foi aplicado à taxa de 54% ao ano, no regime de capitalização
simples, pelo prazo de 27 dias. Determinar o valor dos juros exatos dessa aplicação.
P = R$ 50.000,00
i = 54% a.a.
n = 27 dias
j=?
27
j = Pin  j = 50.000  0,54  365  j = R$ 1.997,26