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MOVIMENTO CIRCULAR
ATIVIDADE 1
Professores: Claudemir C. Alves / Luiz C. R. Montes

1- Velocidade Angular (ω)

Um ponto material “P”, descrevendo uma trajetória circular de raio “r”, apresenta uma variação
angular (∆φ) em um determinado intervalo de tempo (∆t).

A relação entre a variação angular (∆φ) e o intervalo de tempo (∆t) define a velocidade angular do
movimento.

Em que:
ω = velocidade angular [rad/s]
∆φ = variação angular [rad]
∆t = variação de tempo [s]

2 – Período (T)
É o tempo necessário para que um ponto material “P”, movimento-se em uma trajetória de raio “r”,
complete um ciclo, ou uma volta.

Em que:
T = período [s]
ω = velocidade angular [rad/s]
π = constante trigonométrica 3,1415...

3 – Freqüência (f )
É o número de ciclos ou volta que o ponto material “P” descreve em um segundo, movimentando-se
em trajetória circular de raio “r”.

A freqüência (f) é o inverso do período “T”.

Em que:
f = freqüência [Hz]
T = período [s]
ω = velocidade angular [rad/s]
π = constante trigonométrica 3,1415...

4 – Radiano
É o arco de circunferência cuja medida é o raio.

5 – Rotação (n)
É o número de ciclos ou voltas que um ponto material “P”, movimentando-se em uma trajetória
circular de raio “r”, descreve em um minuto.

Desta forma, podemos escrever que:

Como f = ω / 2 x π , tem-se: n = rotação [rpm]

n = 60 x ω / 2 x π , portanto f = freqüência [Hz]
ω = velocidade angular [rad/s]
π = constante trigonométrica 3,1415...
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Em que:
6 – Velocidade Periférica ou Tangencial (v)
A velocidade tangencial ou periférica tem como característica a mudança de trajetória a cada
instante, porém o seu módulo permanece constante.

A relação entre a velocidade tangencial (v) e a velocidade

angular (ω) é definida pelo raio da peça.
v / ω = r , portanto v=ωxr

mas, isolando-se ω na expressão da rotação, obtém-se:

substituindo-se ω na expressão anterior, obtém-se:

Em que:
v = velocidade periférica [m/s]
π = constante trigonométrica 3,1415...
n = rotação [rpm]
r = raio [m]
ω = velocidade angular [rad/s]

Exercícios
1 – A roda da figura possui d = 300 mm, gira com velocidade angular ω = 10 π rad/s.
Determinar para o movimento da roda:

a) Período (T)
b) Freqüência (f)
c) Rotação (n)
d) Velocidade periférica (vp)

2 – O motor elétrico da figura possui como característica de desempenho a rotação n = 1740 rpm.
Determine as seguintes caracter´sticas de desempenho do motor:

a) Velocidade angular (ω)

b) Período (T)
c) Freqüência (f)

3 – O ciclista da figura monta uma bicicleta aro 26 (d = 660 mm), viajando com um movimento que
faz com que as rodas girem com n = 240 rpm. Qual a velocidade do ciclista? V [Km/h]
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MOVIMENTO CIRCULAR
RELAÇÃO DE TRANSMISSÃO (i) – ATIVIDADE 2
Professor Claudemir Claudino Alves

7 – Relação de Transmissão (i)

Transmissão por Correias

Transmissão redutora de velocidade Transmissão ampliadora de velocidade

Em que:
i = relação de transmissão [adimensional]
d1 = diâmetro da polia 1 (menor) [m,...]
d2 = diâmetro da polia 1 (maior) [m,...]
ω1 = velocidade angular 1 [rad/s]
ω2 = velocidade angular 2 [rad/s]
f1 = freqüência 1 [Hz]
f2 = freqüência 2 [Hz]
n1 = rotação 1 [rpm]
n2 = rotação 2 [rpm]
MT1 = torque 1 [Nm]
MT2 = torque 2 [Nm]

Exercícios
4 – A transmissão por correias , representada na figura, é composta por duas polias com os
seguintes diâmetros respectivamente:
Polia 1 motora d1 = 100 mm
Polia 2 movida d2 = 180 mm

A polia 1 (motora) atua com

velocidade angular ω = 39 π rad/s.

Determinar para a transmissão:

a) Período da polia 1 (T1) f) Período da polia 2 (T2)

b) Freqüência da polia 1 (f1) g) Rotação da polia 2 (n2)
c) Rotação da polia 1 (n1) h) Velocidade periférica da transmissão (vp)
d) Velocidade angular da polia 2 (ω 2) i) Relação de transmissão (i)
e) Freqüência da polia 2 (f2)
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MOVIMENTO CIRCULAR
TORÇÃO SIMPLES – ATIVIDADE 3
Professor Claudemir Claudino Alves

Uma peça encontra-se submetida a esforço de torção, quando sofre a ação de um torque (M T) em
uma das extremidades e um contratorque (M’T) na extremidade oposta.

8 – Momento Torçor ou torque (MT)

É definido por meio do produto entre a carga (F) e a distância entre o ponto de
aplicação da carga e o centro da seção transversal da peça (ver figura anterior).

MT = torque (Nm)
F = carga aplicada (N)
S = distância entre o ponto de aplicação da carga e o centro da seção transversal da peça (m)

Exemplo 1:
Determinar o torque de aperto na chave que movimenta as castanhas na placa do torno. A carga
aplicada nas extremidades da haste é F = 80N. O comprimento da haste é l = 200 mm.

MT = 2 x F x s

MT = 2 x 80 Nm x 100 mm

MT = 16000 N mm

MT = 16 Nm

9 – Torque nas Transmissões

Para as transmissões de movimento, o torque é definido por meio do produto entre a força
tangencial (FT) e o raio da peça.

Em que:
MT = Torque [Nm]
FT = Força tangencial [N]
r = raio da peça [m]
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Exemplo 1
A transmissão por correias, representada na figura, é composta pela polia motora 1 que possui
diâmetro d1 = 100 mm e a polia movida 2 que possui diâmetro d2 = 240 mm. A transmissão é
acionada por uma força tangencial FT = 600 N.

Determinar para a transmissão:

a) Torque na polia 1
b) Torque na polia 2

Resolução;

a) Torque na polia 1

a1 – raio da polia 1

r1 = d1 / 2 = 100 mm / 2 

r1 = 50 mm  r1 = 0,05 mm

a2 – Torque na polia 2

MT1 = FT x r1  MT1 = 600 N x 0,05 m 

MT1 = 30 Nm

b) Torque na polia 2

b1 - raio da polia 2

r2 = d2 / 2 = 240 mm / 2 

r1 = 120mm  r1 = 0,12 mm

b2 – Torque na polia 2

MT2 = FT x r2  MT2 = 600 N x 0,12 m 

MT2 = 72 Nm
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10 – Potência (P)
Define-se por meio do trabalho realizado na unidade de tempo.

Tem-se então:

Como τ = F x s , conclui-se que :

Mas, vp = S / t , portanto P = F x vp

Unidade de [P] [ Nm / s = J / s = W ] Unidade de potência (P) no SI.

Em que:
P = potência [W] W = Watt
FT = força tangencial [N]
vp = velocidade periférica [m/s]

No século XVIII ao inventar a máquina a vapor James Watt decidiu demonstrar ao povo inglês
quantos cavalos equivalia a sua máquina.
Para isso, efetuou a seguinte experiência:

F = Qmáx = 76 kgf

Carga máxima que o cavalo elevou com velocidade V= 1 m/s.

Resultando em:

P = F x v  P 76 kgf x 1 m/s  P = 76 kgf x m/s

Como:
Kgf = 9,80665 N
P = 76 x 9,80665 N x 1 m/s
P = 745,... Nm/s, a unidade Nm/s = 1 W, homenagem a J. Watt, surgiu dessa a experiência o HP
(horse power).
hP = 745,....W – cuja utilização é vedada no SI.
Após algum tempo a experiência foi repetida na França constatando-se que Q = 75 kgf.
Resultou daí o cv (cavalo vapor)

P = F x v  P 75 kgf x 1 m/s  P = 75 kgf x m/s

Conclui-se então que:

P = 75 x 9,80665 N m/s
P = 735,5 W temporariamente permitida a utilização no SI.
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Relações Importantes
hp = 745,... W (horse Power) – vedada a utilização no SI. ( unidade de potência ultrapassada)
cv = 735,5 W (cavalo vapor) permitida temporariamente a utilização no SI.

11 – Torque x Potência

Como:

tem-se

Substituindo-se as equações II e III em I, tem-se:

Ou

Em que:
P = potência [W]
MT = torque [Nm]
ω = velocidade angular [rad/s]
n = rotação [rpm]

12 – Força Tangencial (FT)

Em que:
FT = força tangencial [N]
MT = torque [Nm]
r = raio da peça [m]
P = potência [W]
vp = velocidade periférica [m/s]
ω = velocidade angular [rad/s]
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Exercícios
5 – A transmissão por correias, representada na figura, é acionada por um motor elétrico com
potência P = 5.5 Kw com rotação n = 1720 rpm chavetando a polia 1 do sistema.

As polias possuem respectivamente os seguintes diâmetros:

Polia 1 motora d1 = 120 mm

Polia 2 movida d2 = 300 mm

Desprezar as perdas.

Determinar para a transmissão:

a) Velocidade angular da polia 1 (ω 1)
b) Freqüência da polia 1 (f1)
c) Torque da polia 1 (MT 1)
d) Velocidade angular da polia 2 (ω 2)
e) Freqüência da polia 2 (f2)
f) Rotação da polia 2 (n2)
g) Torque da polia 2 (MT 2)
h) Relação de transmissão (i)
i) Velocidade periférica da transmissão (vp)
j) Força tangencial da transmissão (FT)

6 – A transmissão por correias, representada na figura, é acionada por meio da polia 1 por um motor
elétrico com potência P = 7,5 kW (P = 10 cv) e rotação n = 1140 rpm. As polias possuem
respectivamente os seguintes diâmetros:

Polia 1 motora d1 = 120 mm

Polia 2 movida d2 = 220 mm

Determinar para a transmissão:

a) Velocidade angular da polia 1 (ω 1)

b) Freqüência da polia 1 (f1)
c) Torque da polia 1 (MT 1)
d) Velocidade angular da polia 2 (ω 2)
e) Freqüência da polia 2 (f2)
f) Rotação da polia 2 (n2)
g) Torque da polia 2 (MT 2)
h) Velocidade periférica da transmissão (vp)
i) Força tangencial da transmissão (FT)
j) Relação de transmissão (i)