Trabalho de Recuperaçao de MATEMATICA

Davi Moreira da Silva 9ºC
Trabalho de Recuperação de Matematica

Índice
-Grandezas Inversa e Diretamente Proporcionais
-Produtos Notáveis
-Equação do 2º Grau:Formula de Bhaskara
1º Capitulo
Grandezas Inversamente e Diretamente Proporcionais
Caso duas grandezas sejam proporcionais, variar a medida de uma delas faz com
que a medida observada na segunda também varie. Se essa variação é direta,
então essas grandezas são diretamente proporcionais; se essa variação for inversa,
então as grandezas serão inversamente proporcionais;Alguns exemplos de
Inversamente e Diretamente Proporcionais são velocidade,tempo,gravidade e
peso
Exemplos:
um automóvel está movendo-se a uma velocidade de 60 km/h e percorre 240 km

em determinado período de tempo. Quantos quilômetros percorrerá a uma
velocidade de 90 km/h?
60 = 90
240 x
60x = 90·240
60x = 21600
x = 21600
60
x = 360
Serão percorridos 360 km
Em uma fábrica, há 5 máquinas que produzem 4920 peças diárias. Em um
determinado dia, 2 máquinas ficaram paradas para manutenção. Sabendo que
não há diferença na quantidade de peças produzidas entre as máquinas, o
número de peças produzidas nesse dia foi de?
Sabendo que a fábrica possui 5 máquinas no total e 2 ficaram paradas para a
manutenção em um dia, então 3 máquinas produzirão x quantidade de peças
nesse dia.
Se 5 máquinas produzem 4920 peças, então 3 máquinas produzem quantas
peças?
Máquinas Peças
5 ------------ 4920
3 ------------ x
5 * x = 3 * 4920
5x = 14760
x = 14760/5
x = 2952
Durante a produção de sabonete líquido para sua família, Márcia decidiu dividir
igualmente entre os seus 5 filhos a produção, ficando cada um com 2,7 litros.
Como a quantidade que cada um levaria estava grande, ela decidiu que, além dos
5 filhos, ela ficaria com uma parte e doaria também para as suas 3 vizinhas, de
modo que cada um receba a mesma quantidade, então, cada um receberá um
total de:
A) 1,2 L B)1,5L C)1,8L D)2,0L E)2,5L
Quantidade de sabão Tempo
2.7 litros 5
X 5
9x = 2,7 · 5
9x = 13,5
x = 13,5 : 9
x = 1,5
Cada pessoa receberá 1,5 litros.
2ºCapitulo
Produtos Notáveis
Os produtos notáveis são expressões algébricas utilizadas em muitos cálculos

matemáticos, por exemplo, nas equações de primeiro e de segundo grau.
O termo "notável" refere-se à importância e notabilidade desses conceitos para a

área da matemática.
Antes de sabermos suas propriedades é importante estar atento a alguns

conceitos importantes:
quadrado: elevado a dois
cubo: elevado a três
diferença: subtração
produto: multiplicação
Exemplos:
Analisando as alternativas a seguir, marque aquela que contém de forma correta a

solução do produto notável (x – 5)²:
A) x² + 25
B) x² – 25
C) x² – 10x + 25
D) x² + 10x – 25
E) x² + 10
(x – 5)² = x² – 2 · 5 · x + 5²
(x – 5)² = x² – 10x + 25
Sabe-se que x² + y² = 20 e xy = 3, qual é o valor de (x + y)²?
Utilizando o princípio do quadrado da soma, temos que:
(x + y)² = x² + 2.x.y + y²
Podemos reescrever essa igualdade da seguinte forma:
(x + y)² = x² + y² + 2.x.y
Sabemos que x² + y² = 20 e xy = 3, substituindo esses valores na igualdade acima,

temos:
(x + y)² = 20 + 2.3
(x + y)² = 20 + 6
(x + y)² = 26
Portanto, (x + y)² = 26.
Escreva as expressões a seguir de forma reduzida:
a) (3m + n)² + 2n²
b) (2a + 2b)² – a.(a – 2b)
a) (3m + n)² + 2n²
Desenvolvendo o produto notável, temos:
(3m + n)² + 2n²
(3m)² + 2.3m.n + n² + 2n²
9m² + 6mn + n² + 2n²
9m² + 6mn + 3n²
Portanto, (3m + n)² + 2n² = 9m² + 6mn + 3n²
b) (2a + 2b)² – a.(a – 2b)
Desenvolvendo o produto notável e aplicando a propriedade distributiva, temos:
(2a + 2b)² – a.(a – 2b)
(2a)² + 2.2a.2b + (2b)² – a² + 2ab
4a² + 8ab + 4b² – a² + 2ab
3a² + 10ab + 4b²
Portanto, (2a + 2b)² – a.(a – 2b) = 3a² + 10ab + 4b²

3ºCapitulo
Equação de 2 Grau:Formula de Bhaskara
A fórmula de Bhaskara é um método resolutivo para equações do segundo grau

utilizado para encontrar raízes a partir dos coeficientes da equação. A fórmula de
Bhaskara é um método resolutivo para equações do segundo grau cujo nome
homenageia o grande matemático indiano que a demonstrou.
Como fazer equação do 2 grau fórmula de Bhaskara?
A equação do 2º grau é caracterizada por possuir uma incógnita de grau 2. Para

resolver esse tipo de equação, é importante conhecer a fórmula de Bhaskara. A
equação do 2º grau é caracterizada por um polinômio de grau 2, ou seja, um
polinômio do tipo ax2+bx+c, em que a, b e c são números reais.
Quais são as raízes reais da equação x2 – x = 6?
a) Apenas 3
b) 25 e 3
c) 25 e – 2
d) 3 e – 2
e) Apenas – 2
Para resolver esse exercício, basta usar fórmula de Bhaskara. Entretanto, é

necessário igualar a equação a zero. Para tanto, basta reescrevê-la com o número
6 no primeiro membro. Observe:
x2 – x = 6
x2 – x – 6 = 0
Agora separe os coeficientes e utilize a fórmula do determinante:
a = 1, b = – 1 e c = – 6
Δ = b2 – 4·a·c
Δ = (– 1)2 – 4·1·(– 6)
Δ = 1 + 24
Δ = 25
Por fim, utilize a fórmula de Bhaskara:
x = – b ± √Δ
2·a
x = – (– 1) ± √25
2·1
x=1±5
x’ = 1 + 5 = 6 = 3
2 2
x’’ = 1 – 5 = – 4 = – 2
2 2
As raízes são 3 e – 2.
R=Letra D
Qual é a medida de um ângulo interno de um polígono convexo que possui 230

diagonais?
a) 164,35°
b) 23°
c) 1849°
d) 3780°
e) 20°
Para descobrir o número de lados de um polígono do qual sabemos apenas o

número de diagonais, usaremos a expressão a seguir:
d = n(n – 3)
230 = n(n – 3)
230·2 = n(n – 3)
460 = n2 – 3n
n2 – 3n – 460 = 0
Observe que temos uma equação do segundo grau. Para resolvê-la, usaremos a
fórmula de Bhaskara. Para tanto, vamos separar os coeficientes e calcular o
discriminante:
a = 1, b = – 3 e c = – 460
Δ = b2 – 4·a·c
Δ = (– 3)2 – 4·1·(– 460)
Δ = 9 + 1840
Δ = 1849
Agora vamos calcular o número de lados com a fórmula de Bhaskara:
n = – b ± √Δ
2·a
n = – (– 3) ± √1849
2·1
n = 3 ± 43
n’ = 3 + 43 = 46 = 23
2 2
n’’ = 3 – 43 = – 40 = – 20
2 2
Como o resultado não pode ser um número negativo, o polígono em questão

apresenta 23 lados.
Agora usaremos o número de lados para descobrir a soma dos ângulos internos
desse polígono:
S = (n – 2)·180
S = (23 – 2)·180
S = 21·180
S = 3780
Como o polígono é convexo, basta dividir esse resultado pelo número de lados do
polígono, que é igual ao número de ângulos:
3780 = 164,35°
23
Cada ângulo interno do polígono mede, aproximadamente, 164,35°.
R=Letra A
Um terreno quadrado possui área de 144 metros quadrados e apenas a sua frente
ainda não está murada. Quantos metros de muro terão que ser feitos para isolar
completamente esse terreno?
a) 144 m
b) 576 m
c) 24 m
d) 18 m
e) 12 m
A área do quadrado é a seguinte:
A = l2
Substituindo a área que conhecemos na fórmula, temos:
144 = l2
l2 – 144 = 0
Separando os coeficientes, descobriremos primeiro o valor do discriminante:
a = 1, b = 0 e c = – 144
Δ = b2 – 4·a·c
Δ = (0)2 – 4·1·(– 144)
Δ = 0 + 576
Δ = 576
Agora usaremos a fórmula de Bhaskara para encontrar o lado do quadrado:
l = – b ± √Δ
2·a
l = – (0) ± √576
2·1
l = 0 ± 24
l’ = 24 = 12
l’’ = – 24 = – 12
Como não pode existir um quadrado com lado negativo, consideramos que o
lado é igual a 12.
R=Letra E
FONTES:
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/grandezas-diretamente-
proporcionais.htm
https://www.todamateria.com.br/grandezas-proporcionais-grandezas-
diretamente-inversamente-proporcionais/
https://exercicios.brasilescola.uol.com.br/exercicios-matematica/
exercicios-sobre-grandezas-inversamente-proporcionais.htm#resp-
12
https://www.todamateria.com.br/produtos-notaveis/
https://exercicios.mundoeducacao.uol.com.br/exercicios-
https://exercicios.mundoeducacao.uol.com.br/exercicios-
matematica/exercicios-sobre-quadrado-soma-quadrado-
diferenca.htm#questao-410
https://www.todamateria.com.br/exercicios-sobre-formula-de-
bhaskara/
https://exercicios.brasilescola.uol.com.br/exercicios-matematica/
exercicios-sobre-formula-bhaskara.htm#resp-2

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Davi Moreira da Silva 9ºC

Trabalho de Recuperação de Matematica

um automóvel está movendo-se a uma velocidade de 60 km/h e percorre 240 km

Cada pessoa receberá 1,5 litros.

Os produtos notáveis são expressões algébricas utilizadas em muitos cálculos

O termo "notável" refere-se à importância e notabilidade desses conceitos para a

Antes de sabermos suas propriedades é importante estar atento a alguns

quadrado: elevado a dois

cubo: elevado a três

Analisando as alternativas a seguir, marque aquela que contém de forma correta a

Sabe-se que x² + y² = 20 e xy = 3, qual é o valor de (x + y)²?

Utilizando o princípio do quadrado da soma, temos que:

Podemos reescrever essa igualdade da seguinte forma:

Sabemos que x² + y² = 20 e xy = 3, substituindo esses valores na igualdade acima,

Portanto, (x + y)² = 26.

Escreva as expressões a seguir de forma reduzida:

a) (3m + n)² + 2n²

b) (2a + 2b)² – a.(a – 2b)

a) (3m + n)² + 2n²

Desenvolvendo o produto notável, temos:

(3m + n)² + 2n²

(3m)² + 2.3m.n + n² + 2n²

9m² + 6mn + n² + 2n²

9m² + 6mn + 3n²

Portanto, (3m + n)² + 2n² = 9m² + 6mn + 3n²

b) (2a + 2b)² – a.(a – 2b)

Desenvolvendo o produto notável e aplicando a propriedade distributiva, temos:

(2a + 2b)² – a.(a – 2b)

(2a)² + 2.2a.2b + (2b)² – a² + 2ab

4a² + 8ab + 4b² – a² + 2ab

3a² + 10ab + 4b²

Portanto, (2a + 2b)² – a.(a – 2b) = 3a² + 10ab + 4b²

Equação de 2 Grau:Formula de Bhaskara

A fórmula de Bhaskara é um método resolutivo para equações do segundo grau

Como fazer equação do 2 grau fórmula de Bhaskara?

A equação do 2º grau é caracterizada por possuir uma incógnita de grau 2. Para

Quais são as raízes reais da equação x2 – x = 6?

Para resolver esse exercício, basta usar fórmula de Bhaskara. Entretanto, é

Agora separe os coeficientes e utilize a fórmula do determinante:

Por fim, utilize a fórmula de Bhaskara:

Qual é a medida de um ângulo interno de um polígono convexo que possui 230

Para descobrir o número de lados de um polígono do qual sabemos apenas o

Agora vamos calcular o número de lados com a fórmula de Bhaskara:

Como o resultado não pode ser um número negativo, o polígono em questão

Cada ângulo interno do polígono mede, aproximadamente, 164,35°.

A área do quadrado é a seguinte:

Substituindo a área que conhecemos na fórmula, temos:

Separando os coeficientes, descobriremos primeiro o valor do discriminante:

Agora usaremos a fórmula de Bhaskara para encontrar o lado do quadrado:

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