1

CPV ESPMJUN2013
MATEMTICA
21. O valor numrico da expresso
(x
2
+ 4x + 4) . (x
2
2x)
x
2
4

para x = 48 :
a) 4800
b) 1200
c) 2400
d) 3500
e) 1800
Resoluo:
Fatorando a expresso, temos:

(x
2
+ 4x + 4) . (x
2
2x)
(x
2
4)
=
(x + 2)
2
. x (x 2)
(x + 2) . (x 2)
= (x + 2) . x
Para x = 48,
(x + 2) . x = 50 . 48 = 2400
Alternativa C
22. Um nmero natural N, quando dividido por 18 ou por 15,
deixa o mesmo resto R. Se R o maior possvel e N o
menor possvel, o valor de N + R :
a) 98
b) 121
c) 100
d) 105
e) 118
Resoluo:
N = 18 q + R (0 R 17)
N = 15 q' + R (0 R 14)
Como R o maior valor possvel, temos R = 14. Assim,
N = 18 q + 14, N 14 = 18 q
N = 15 q' + 14, N 14 = 15 q'
Como N tem que ser o menor valor possvel e N 14 tem que ser
mltiplo de 18 e 15, temos que:
N 14 = mmc (18; 15) N 14 = 90 N = 104
Portanto, N + R = 104 + 14 = 118
Alternativa E

ESPM RESOLVIDA PROVA E 23/JUNHO/2013

CPV ESPECIALIZADO NA ESPM
ESPM 23/06/2013 CPV ESPECIALIZADO NA ESPM 2
CPV ESPMJUN2013
23. As solues inteiras da equao x
2
y
2
= 7 formam 4 pares
ordenados. Esses pares representam, no plano cartesiano,
os vrtices de um quadriltero cuja rea vale:
a) 30
b) 48
c) 24
d) 32
e) 36
Resoluo:
x
2
y
2
= 7 (x + y) . (x y) = 7
Para solues inteiras, temos:
x + y = 7
(x = 4 e y = 3) ou
x y = 1
x + y = 1
(x = 4 e y = 3) ou
x y = 7
x + y = 7
(x = 4 e y = 3) ou
x y = 1
x + y = 1
(x = 4 e y = 3)
x y = 7
Ento, o quadriltero em questo pode ser representado no plano
cartesiano:
A rea do quadriltero 8 . 6 = 48
Alternativa B
y
3
4
3
4 x
24. Na funo f (x) = 2
x
x, o valor de
fof (0) + fof (1) + fof (2) + fof (3) :
a) 28
b) 29
c) 30
d) 31
e) 32
Resoluo:
Pelo enunciado temos:
fof (0) + fof (1) + fof (2) + fof (3)
f(f (0)) + f(f (1)) + f(f (2)) + f(f (3))

f (0) = 2
0
0 = 1
f (1) = 2
1
1 = 1
f (2) = 2
2
2 = 2
f (3) = 2
3
3 = 5
f (1) + f (1) + f (2) + f (5)

f (5) = 2
5
5 = 27
Portanto, 1 + 1 + 2 + 27 = 31
Alternativa D
25. O valor mximo que a funo f (x) =
1
( )
2
x
2
4x
pode
asumir :
a) 16
b) 32
c) 8
d) 1
e) 4
Resoluo:
Como a funo f (x) =
1
( )
2
x
2
4x
uma funo exponencial
decrescente, ela ser mxima quando seu expoente (x
2
4x) for
mnimo; como o expoente dado por uma funo quadrtica, seu
valor mnimo ser:
y
v
=

4a
=
((4)
2
4 . 1 . 0)
4 . 1
= 4
Portanto, o valor mximo de f (x) :

1
( )
2
4
= 16
Alternativa A
3 CPV ESPECIALIZADO NA ESPM ESPM 23/06/2013
ESPMJUN2013 CPV
26. O mais amplo domnio da funo real
f (x) = log
2x2
(x
2
3x + 2) o conjunto
D = {x | x > k}. O valor de f (k + 1) :
a) 1
b) 0
c)
1
4
d) 2
e)
1
2
Resoluo:
Analisando o domnio da funo logartmica, temos:
x
2
3x + 2 > 0 x < 1 ou x > 2
2x 2 > 0 x > 1 x > 2
2x 2 1 x 1,5
Ou seja: D = {x | x > 2} e k = 2.
f (2 + 1) = f (3) = log
2 . 3 2
(3
2
3 . 3 + 2) = log
4
(2) =
1
2

Alternativa E
27. Sabe-se que as razes da equao x
2
+ kx + 6 = 0 so
dois nmeros naturais primos. O valor de k pertence ao
intervalo:
a) [8; 6]
b) [6; 3]
c) [3; 0]
d) [0; 4]
e) [4; 7]
Resoluo:
Analisando a soma e o produto das razes da equao
x
2
+ kx + 6 = 0 temos:
soma = k
produto = 6
Como as razes so dois nmeros naturais primos e de produto 6,
elas s podem ser os nmeros 2 e 3.
Soma = 2 + 3 = k k = 5
Portanto, k pertence ao intervalo [ 6; 3].
Alternativa B
28. Uma agncia de turismo fez uma consulta a um grupo
de clientes. 40% dos consultados disseram que tinham
viajado nas ltimas frias, sendo que, destes, 60% viajaram
pelo Brasil, 30% para a Amrica do Norte e as outras 12
pessoas foram para a Europa.
O nmero de entrevistados que disseram no ter viajado
nessas frias foi:
a) 240
b) 180
c) 120
d) 90
e) 200
Resoluo:
Chamado de T o total das pessoas consultadas, temos que:
40% T viajou
60% T no viajou
Dos que viajaram temos:
40% T . 60 % viajaram pelo Brasil
40% T . 30 % viajaram pela Amrica do Norte
40% T . 10 % viajaram pela Europa.
Como 40 % . T . 10% = 12
T = 300
Logo, o nmero de entrevistados que disseram no ter viajado
dado por:
60% . 300 = 180
Alternativa B
ESPM 23/06/2013 CPV ESPECIALIZADO NA ESPM 4
CPV ESPMJUN2013
29. Um produto que custou R$ 1300,00 foi vendido com lucro
de 20% sobre o preo de custo. Depois disso, foi vendido
novamente, mas com um lucro de 20% sobre o preo de
venda. Podemos afrmar que este ltimo preo de venda
foi de:
a) R$ 1870,00
b) R$ 1980,00
c) R$ 2105,00
d) R$ 1950,00
e) R$ 1890,00
Resoluo:
Na primeira venda temos:
v
1
preo de venda
c
1
= 1300 custo
L
1
= 0,2 . c
1
lucro
Como L
1
= v
1
c
1
0,2 . 1300 = v
1
1300
v
1
= 1560
Como o produto foi vendido novamente, para o revendedor, 1560
o preo de custo, preo pelo qual ele comprou o produto na
primeira venda.
Na segunda venda temos:
v
2
preo de venda
c
2
= 1560
L
2
= 0,2 v
2
Como L
2
= v
2
c
2
0,2 v
2
= v
2
1560
v
2
= 1950,00
Alternativa D
30. Um tanque abastecido por duas torneiras de mesma
vazo fca completamente cheio em 4 horas. Ao meio-dia
iniciou-se o enchimento desse tanque com as duas torneiras
abertas, mas duas horas depois uma delas foi fechada,
completando-se o processo com uma s torneira.
Podemos concluir que o tanque fcou totalmente cheio s:
a) 17 h
b) 17 h30 min
c) 18 h
d) 18 h30 min
e) 19 h
Resoluo:
Como as duas torneiras possuem a mesma vazo, uma torneira
sozinha enche o tanque em 8 horas. Aps duas horas em que as
torneiras esto abertas, metade do tanque foi cheio, sobrando a
outra metade para uma torneira sozinha. Como ela leva 8 horas
para encher o tanque todo, em 4 horas ela encher metade.
Sendo assim:
2 horas + 4 horas = 6 horas

duas uma
torneiras torneira
juntas sozinha
Como o trabalho iniciou-se ao meio dia, terminou s 18 h
(6 horas depois.)
Alternativa C
5 CPV ESPECIALIZADO NA ESPM ESPM 23/06/2013
ESPMJUN2013 CPV
31. Duas matrizes quadradas de mesma ordem so inversas se
o seu produto igual matriz identidade daquela ordem.
Sendo A =
2 1
[ ]
0 1
e B =
x y
[ ]
z w
matrizes inversas, o
valor de x + y + z + w :
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
Resoluo:

2 1
[ ]
0 1
.
x y
[ ]
z w
=
1 0
[ ]
0 1


2x + z 2y + w
[ ]
z w
=
1 0
[ ]
0 1
Assim:
2x + z = 1 x = 1/2
2y + w = 0 y = 1/2
z = 0 z = 0
w = 1 w = 1

Logo, x + y + z + w = 0
Alternativa A
32. Sabendo-se que
a b
| |
m n
= 2, podemos afrmar que:
a)
2a 2b
| |
2m 2n
= 4
b)
a m
| |
b n
= 2
c)
2m 2n
| |
a b
= 4
d)
a b
| |
m n
= 2
e)
a a + b
| |
m m + n
= 4
Resoluo:

a b
| |
m n
= 2
m n
| |
a b
= 2
m n
| |
a b
= 2
Logo,
2m 2n
| |
a b
= 2 .
m n
| |
a b
= 4
Alternativa C

33. O campeonato de futsal de uma faculdade ser disputado

por 6 equipes. Na primeira fase de classifcao, todas as
equipes jogam entre si, uma nica vez. Das 4 melhores
colocadas, a primeira joga com a quarta e a segunda joga
com a terceira e os vencedores dessas partidas jogam entre
si, resultando da a equipe campe.
O nmero total de jogos realizados ser igual a:
a) 15
b) 20
c) 18
d) 16
e) 21
Resoluo:
Na primeira fase temos: C
6,2
= 15 jogos
Na fase seguinte temos: 1
a
x 4
a
e 2
a
x 3
a
2 jogos
Na fase fnal: 1 jogo
Assim, o nmero total de jogos ser igual a 18.
Alternativa C
34. No curso de Administrao de uma faculdade, 80% dos
alunos so homens, mas no curso de Propaganda esse
percentual cai para 60%. Escolhendo-se, ao acaso, um
aluno de cada curso, a probabilidade de que sejam duas
mulheres igual a:
a) 20%
b) 16%
c) 12%
d) 8%
e) 6%
Resoluo:
No curso de Administrao, 80% so homens e 20% mulheres.
No curso de Propaganda, 60% so homens e 40% mulheres.

Assim, escolhendo-se ao acaso um aluno de cada curso, a
probabilidade de que sejam mulheres dada por:
20% . 40% = 8%
Alternativa D
ESPM 23/06/2013 CPV ESPECIALIZADO NA ESPM 6
CPV ESPMJUN2013
35. Um polinmio P(x) dividido por x 1 tem como quociente
Q(x) e resto 2. Quando esse polinmio dividido por x 2
tem o mesmo quociente Q(x) e resto 3.
Podemos afrmar que o valor de Q(1) + Q(2) :
a) 1
b) 0
c) 2
d) 1
e) 2
Resoluo:
P(x) = (x 1) . Q(x) + 2 P(1) = 2
P(x) = (x 2) . Q(x) + 3 P(2) = 3
Assim,
P(2) = (2 1) . Q(2) + 2 3 = Q(2) + 2 Q(1) = 1
P(1) = (1 2) . Q(1) + 3 2 = Q(1) + 3 Q(2) = 1
Logo, Q(1) + Q(2) = 2
Alternativa E
e

36. Na fgura abaixo, ABCD um quadrado. BCE e EBF so

tringulos issceles de bases BE e BF, respectivamente.
Sabendo-se que A, C e E esto alinhados e que A, B e F
tambm esto alinhados, a medida do ngulo x :
a) 2230'
b) 30
c) 15
d) 45
e) 60
Resoluo:
Da fgura, temos:
2 = 45
+ = 90 = 2230', = 6730' e x = 45
x + 2 = 180
Alternativa D
45
45

7 CPV ESPECIALIZADO NA ESPM ESPM 23/06/2013
ESPMJUN2013 CPV
37. Na progresso aritmtica fnita (5, ..., 15), sabe-se que
o ltimo termo igual soma de todos os anteriores. O
produto da razo pelo nmero de termos dessa PA igual a:
a) 24
b) 18
c) 12
d) 30
e) 15
Resoluo:
Na PA fnita (5, ..., 15), temos:
S
n
15 = 15 S
n
= 30
(5 + 15) .
n
2
= 30 n = 6
Assim,
a
6
= a
1
+ 5r 15 = 5 + 5r r = 4
Portanto, n . r = 6 . 4 = 24
Alternativa A
38. Uma reta do plano cartesiano tem equaes paramtricas
dadas por x = 2t + 1 e y = t 1, com t . O coefciente
angular (ou declividade) dessa reta igual a:
a) 2
b) 2
c)
1
2
d) 1
e)
1
2
Resoluo:
x = 2t + 1 x = 2t + 1
y = t 1 2y = 2t + 2
Somando membro a membro as duas equaes, temos:
x 2y = 3 y =
1
2
x
3
2
Portanto, o coefciente angular da reta
1
2
.
Alternativa E

39. A parbola de equao x

2
= 2y + 4 e a circunferncia de
equao x
2
+ y
2
= 4 interceptam-se nos pontos A, B e C.
A rea do tringulo ABC igual a:
a) 4
b) 12
c) 8
d) 2
e) 16
Resoluo:
x
2
= 2y + 4
x
2
+ y
2
= 4


No plano cartesiano, temos:
y
x
A B
C
(2;0) (2;0)
(0;2)
A rea do tringulo ABC
4 . 2
2
= 4
Alternativa A
(x = 2 e y = 0) ou (x = 2 e y = 0)
ou (x = 0 e y = 2)
ESPM 23/06/2013 CPV ESPECIALIZADO NA ESPM 8
CPV ESPMJUN2013
40. A base de um prisma reto um tringulo retngulo
que possui um ngulo interno de 30 e a hipotenusa
medindo 8 cm.
Se a altura desse prisma igual ao maior cateto da base,
seu volume igual a:
a) 108 cm
3
b) 96 cm
3
c) 218 cm
3
d) 154 cm
3
e) 84 cm
3
Resoluo:
Chamemos de x o valor do maior cateto do tringulo retngulo.
Assim:
cos 30 =
x
8
x = 4 3 cm
A rea da base A
B
=
1
2
. 4 3 . 8 . sen 30 = 8 3 cm
2
O volume do prisma V = A
B
. x = 8 3 . 4 3 = 96 cm
3

Alternativa B
x
8
30
COMENTRIO DO CPV
A prova de Matemtica do processo seletivo da ESPM (junho de
2013) premiou os vestibulandos com uma avaliao primorosa,
de enunciados claros e precisos, escolha adequada de assuntos
e apesar de sua simplicidade, muita criatividade.
Acreditamos que os candidatos mais preparados puderam
deliciar-se em meio a estas questes, mostrando o seu potencial.
Parabenizamos a Banca examinadora por esta excepcional
demonstrao de competncia.