INSTITUTO DE CULTURA TÉCNICA

Aluno: __________________________________________

Nº: _________ Turma: ______________

Logaritmo Da definição, concluímos que o logaritmo só existe sob
certas condições:
O conceito de logaritmo está ligado à operação potenciação.
Veja, por exemplo, a igualdade 32 = 9.
Dizemos que logaritmo de 9 na base 3 é o expoente 2. Em Base⇒ {a>0
a≠1
Logaritmando⇒b ≠ 0

símbolos, log3 9 = 2.
Quando um logaritmo envolve variáveis, devemos sempre
Portanto, calcular log39 é obter o expoente ao qual devemos
analisar o domínio real dessas variáveis com base nas
elevar a base 3 para obter, como resultado, a potência 9.
condições de existência do logaritmo.
Temos a equivalência:

log3 9 = 2 ⇔ 32 = 9 EXEMPLOS:

Generalizando: Se a e b são números reais positivos, com a 2. Com base na definição de logaritmo e levando em
conta as condições de existência, RESOLVER a equação
≠1 e ax = b, dizemos que x é o logaritmo de b na base a ( em
logx (2x + 8) = 2.
símbolos: x = loga b).
Resolução:
logab = x⇔ax = b
Condição de Existência (CE)
Na igualdade logab = x, Base: Logaritmando
 a é a base; x>0 2x + 8 > 0
 b é o logaritmandoouantilogaritmo; x ≠1 2x > – 8
 x é o logaritmo. 8
x>–
2
Resumindo, calcular um logaritmo, significa obter
x >– 4
umexpoente, ou seja, resolver uma equação exponencial.

EXEMPLOS:
Consequências da definição
1. Com base na definição de logaritmo, calcular log 48 e Pela definição, temos os seguintes casos especiais, supondo-
log 1 √ 9.
5
se definidos os logaritmos:
3

1 loga 1 = 0porque a0 = 1
Resolução:
2 logaa = 1 porque a1 = a
log4 8 = x log 1 √5 9= x
3 3 logaak = k porque ak = ak
4x = 8
a log k = kporque logak = logak
()1 x 5 2
(22)x = 23 4 a

= √3
22x = 23 3
2
2x = 3 3–x= 5
3 EXEMPLOS:
3
x= 2
2 –x= 3. Utilizando as propriedades da potenciação e a
5
propriedade (4), calcular 21+log 2 6 e 9 log3 5.
2
x=–
5 Resolução:
1+log 2 6 log3 5
2 9
Condições de existência do 21 .2log 2 6 ( 32 )
log3 5

logaritmo 2 . 6 = 12
( 3 log 5 )
3
2
 52 = 25 1
c) log √2
8

d) log 0,2 √ 25
3

EXERCÍCIOS:
e) log 0,25 √5 4
1. Indique a potenciação equivalente a cada um dos
logaritmos. f) log 9 √3 0,111…
a) log216 = 4
5. Calcule os seguintes números:
b) log51 = 0
a) 3 log3 5
1
c) log3 =–3
27 b) log77 – 3 + 5log 5 4
1 c) 21 + log 5 – log3 34
2

d) log3√ 5 =
2
d) 52-log 5 4 + 9 log3 2

2. Expresse cada igualdade utilizando logaritmos.

6. Determine os seguintes números reais:
a) 23 = 8
a) o número cujo logaritmo na base 5 é 2.
b) 61 = 6
b) o número cujo logaritmo na base 8 é 0,333...
1
c) 3– 2 = c) a base em que o logaritmo de 7 é 2.
9
d) a base em que o logaritmo de 3 é 0,5.
d) 60,5 = √ 6

7. Calcule os seguintes números:

3. Calcule mentalmente os logaritmos a seguir. Pense na a) log6 (log3 3)
potenciação equivalente. b) log2 (log6 36)
a) log39 c) log9 (log2 8)

b) log232 d) log2 (log3√ 3)

1 8. Resolva as equações, levando em conta as condições

c) log5
25
de existência dos logaitmos.
d) log61 a) log2 (x + 8) = 1

e) log55 b) log0,5 (x2 – 9) = – 4

c) log(x – 1) 16 = 2
f) log10100
d) log2 (log2 x) = 0
g) log55– 3 e) logx (x + 6) = 2

h) log100,0001

log3√
5
Sistemas de logaritmos
i) 3
Sistema de logaritmos é o conjunto de todos os logaritmos
4. Calcule os logaritmos a seguir. Se necessário, utilize as numa determinada base. Entre os infinitos sistemas de
equações exponenciais. logaritmos, destacam-se dois: decimais e neperianos (ou

a) log 1 √9
5
naturais).
3
O sistema de logaritmos decimais utiliza a base 10. No
b) log 4 √ 2 cálculo de logaritmos decimais, convenciona-se não escrever
a base, ou seja, log x é o mesmo que log10 x.
 log x significa logaritmo de x na base 10 Observe: O logaritmo pedido na base 13 pode ser obtido
pela divisão de dois logaritmos calculados em uma mesma
O sistema de logaritmos naturais ouneperianos utiliza, como
base. Nesse caso, utilizamos a base 10.
base, o número irracional e, cujo valor aproximado é 2,718.
Esse raciocínio pode ser generalizado para qualquer base k.
Esse número foi introduzido por Euler em meados do século
De maneira geral, satisfeitas as condições de existência dos
XVIII. O logaritmo natural de x é indicado por ln x.
logaritmos, vale a seguinte fórmula de mudança de base:
ln x significa logaritmo de x na base e
logb
logab =
A tabela a seguir mostras os valores aproximados dos log a
logaritmos decimais (base 10) de alguns números inteiros EXEMPLOS:

positivos n. Esses números serão usados em problemas que

4. Calcular log35 de dois modos: escrevendo 3 e 5 como
aparecerão daqui em diante.
potências de base 10 e utilizando a fórmula de
mudança de base.
N log n n log n n log n n log n
2 0,301 7 0,845 20 1,301 45 1,653 Resolução:

3 0,477 9 0,954 22 0,954 59 1,771 Usando base 10 Usando a fórmula

4 0,602 13 1,114 25 1,114 60 1,778 3 = 100.477 x = log35

5 0,699 15 1,176 30 1,176 75 1,875

5= 10 0,699
log 5
x=
log 3
6 0,778 16 1,204 31 1,204 96 1,982
log3 5 = x 0,699
x=
Pela tabela temos, por exemplo:
x
3 =5 0,477
 log 2 = 0,301 ⇔ 100,301 = 2 (100,477)x = 100,699 x = 1,465

 log 25 = 1,398 ⇔ 101,398 = 25 0,477x = 0,699

0,699
x=
0,477
Mudança de Base x = 1,465

Um único sistema de logaritmos é suficiente para o cálculo 5. Utilizando logaritmos decimais e a fórmula de

de qualquer logaritmo em qualquer base. mudança de base, resolver a equação exponencial

4x = 15.
Vamos obter uma regra geral que nos permite calcular um
Resolução:
logaritmo em certa base, utilizando logaritmos em outra
4x = 15 ⇒ log4 15 = x ⇒ x = log4 15
base arbitrária.
log 15 1,176
Vamos calcular log13 59. Acompanhe. x= ⇒x = ⇒ x = 1,950
log 4 0,603
log 59 = 1,771 ⇔ 101,771 = 59
log 13 = 1,114 ⇔ 101,114 = 13 6. Simplificar ao máximo o produto log35 . log5 9.

log13 59 = x Resolução:

13x = 59 log3 5 . log5 9 = x log3 9 = x

(101,114)x = 101,771 log 5 log 9 3x = 9

⋅ =x
log 3 log 5 3x = 32
1,114x = 1,771
log 9 x=2
1,771 log 59 =x
x= ⇒ log13 59 = log 3
1,114 log 13

EXERCÍCIOS:
 Uma das utilidades práticas dos logaritmos é simplificar o
9. Calcule os logaritmos decimais.
cálculo numérico. Certas propriedades dos logaritmos
a) log 1
permitem transformar:
b) log 10
 multiplicações em adições; São as mesmas
c) log 100 000
 divisões em subtrações; propriedades
d) log 1023 usadas nas
 potenciações em multiplicações;
e) log 10– 11 potências.
 radiciações em divisões.
f) log 0,0001
Quando os logaritmos foram criados, ainda não havia
calculadoras. Com base nessas propriedades, os
10. Utilize nossa tabela de logaritmos para calcular: matemáticos conseguiam transformar em cálculos simples,
a) log 45 + log 31 – log 22 operações numéricas mais complicadas.
1 Logaritmo do produto (somar os logaritmos)
b) 101,875 – 101,204 + 10000,392
2

c) x y
x e y, tais que 10 = 60 e 100 = 96 loga (mn) = loga m + loga n

11. Utilizando a tabela de logaritmos decimais, resolva as

3 Logaritmo do quociente (subtrair os logaritmos)
equações exponenciais abaixo. 4

a) 10x = 5
b) 10 2x – 1
=9
loga( mn ) = loga m – loga n

c) 3x = 4
d) 13x + 1 = 30x – 1 5 Logaritmo da potência (multiplicar o logaritmo pelo
expoente)
12. Através da fórmula de mudança de base e da tabela de 6

logaritmos, determine: logamk = k.loga m

a) log3 7
EXEMPLOS:
b) log5 1000
c) log10015 7. Dados os valores log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477, obterlog
d) log2 10 0,6 e log 18.
e) 20x = 100
Resolução:
f) 62y – 1 = 25
6 2.3 log 18 = log (2.32) =
log 0,6 = log = log =
13. Utilizando a fórmula da mudança de base, obtenha os 10 10 log 2 + 2.log 3 =
valores das expressões (NÃO USAR A TABELA PARA (log 2 + log 3) – log 10 = 0,301 + 2.0,477 =
ESSE EXERCÍCIO) (0,301 + 0,477) – 1 = – 0,222 0,301 + 0,954 = 1,255
log 5 8
a)
log 5 2 8. Se log 2 = 0,301, log 3 = 0,477 e log 13 = 1,114, calcular

log 3 4 13 √ 3
b) log .
log 3 0,5 4
c) log8 5 . log5 2 Resolução:

d) log3 5 . log7 3 . log5 7 13 √ 3

log = (log 13 + log √ 3) – log 4 =
4
1
Propriedades dos logaritmos (log 13 + log 2
32 ) – log 2 = (log 13 + 0,5.log3) – 2.log2 =
(1,114 + 0,5.0,477) – 2.0,301 = (1,114 + 0,2385) – 0,602 =
1,3525 – 0,602 = 0,7505
 c) log 1,5 56
g) log
9. Supondo que os logaritmos sejam definidos, decompor d) log 0,003 9
x
2 e) log 5 49 √ 2
log2 h) log
4y 4

15. Aplicando as propriedades dos logaritmos e a fórmula

Resolução:
2 de mudança de base, calcule:
log2
x = log x2 – (log 4 + log y) =
2 2 2 a) log418
4y
2.log2 x – (log2 22 + log2 y) = 2.log2 x – 2 + log2 y b) log √6 63

log 13 18
c)
log 13 5
10. Compor a expressão E = 3.log m – log 3 + 2 – log n.
16. Resolva a equação exponencial 12x = 28 de duas formas
Resolução:
diferentes:
E = 3.log m – log 3 + 2 – log n
a) Escrevendo 12 e 28 como potências de base 10.
E = 3.log m – log 3 + log 102 – log n
b) Utilizando a definição de logaritmo e, depois, a fórmula
E = log m3 + log 100 – log 3 – log n
de mudança de base.
E = (log m3 + log 100) – (log 3+ log n)
E = (log m3.100) – (log 3.n) 17. Resolva as equações exponenciais:
3
E = log
100 m a) 9x = 30
3n 15
b) 4x – 1 =
2
11. Resolver 15x = 64, com base nos valores log 2 = 0,301,
18. Sem utilizar a tábua de logaritmos ou a calculadora,
log 3 = 0,477 e log 5 = 0,699.
simplifique o máximo possível.
Resolução: a) log12 3 + log12 4
x
15 = 64 b) log5 50 – log5 2
log1564 = x c) log4 6 + log4 24– 2.log4 3
log64 1,806 d) 2.log 5 +4.log 2 – log 12 + log 3
x= = ≅ 1,535
log 15 1,176
e) log2 5 . log81 4. log5 9

Parte 1 Parte 2
19. Decomponha as expressões a seguir em logaritmos
log 64 = log 26 = 6.log 2 = log 15 = log (3.5) =
mais simples. Suponha que todas as variáveis
6.0,301 = 1,806 log 3 + log 5 = 0,477 + 0,699 =
envolvidas sejam positivas e m≠ 1.
1,176
a) log (x3y2) c) logm (a5m2)

EXERCÍCIOS:
10p a 2 . √3 b
b) log d) log
√q 25x
INSTRUÇÕES: Para as questões 14, 15, 16 e 17, utilize
20. Componha as expressões a seguir, isto é, transforme-as
somente log 2 = 0,301; log 3 = 0,477 e log 7 = 0,845. Log 10,
em um único logaritmo. Suponha que todos os
log 100, log 1000, ..., são sempre permitidos.
logaritmos são definidos.
14. Utilizando as propriedades dos logaritmos, calcule os a) log5 x+ log5 y
seguintes números: b) 3 + log2 k
a) log 42 f) log 144 c) 2.log3 m + 3.log3p
b) log 4000 d) 0,5.log2 a – 3.log2 x + 5
e) 2.log (x + 1) – log (x – 1) c) log151 + log 10 100
log 5 5 + 2
d) 5 + 49 log7 2 − 2
EXERCÍCIOS DE REVISÃO:
07. Calcule mentalmente os resultados abaixo:
01. Calcule:
a) log6 1 g) log2 23
a) log 25 125 g) log 2 √ 64
8
b) log0,2 1 h) log3 3-2
b) log 0,01 100
h) log 625 √ 5 c) log1/4 1 i) log6 6½
1 d) log5 5 log 2 5
c) log 9 i) log 49 √ 7
3 j) 2
27
e) log1,8 1,8 log2 10
d) log √ 4 256 j) log 9 3 √ 3
k) 8
f) log12 12 log3 2
e) log 16 64 k) log 2 0,25 l) 3

f) log √2 128
5
l) log 10 100000
08. UTILIZANDO A TABELA, calcule os logaritmos abaixo:
m) log10 0,0001
a) log 16 + log 31 – log 59
02. Calcule o valor da incógnita "N" em cada exercício,
b) log 9 . log 0,01
aplicando a equivalência fundamental:
c) 101,398 + 100,778 – 1000,557 + 10000,318
a) log 5 N = 3 d) log √3 N = 2
d) x, sabendo que 1002x = 15
b) log 2 N = 8 e) log 3 N = – 4
e) y, sabendo que 3y = 5
c) log 2 N = – 9 f) log10 N = 6
09. Com o auxílio da TABELA DE LOGARITMOS, escreva os
03. Calcule o valor da incógnita "a" em cada exercício,
números a seguir na forma de potência de base 10.
aplicando a equivalência fundamental:
a) 75 c) 20 e) 22
a) log a 81 = 4 1
d) log a √ 27 = b) 45 d) 100 f) 25
b) log a 10 = 2 2
1 e) log a 1000 = 3 10. Resolva as equações abaixo CONSULTANDO A TÁBUA
c) loga9 =
2 f) loga 625 = 2 DE LOGARITMOS:
a) 10x + 1 = 20 c) 25x = 22
04. Determine o valor de x para que existam os logaritmos:
b) 100y = 75 d) 45x + 2 = 25x + 1
a) log 3 (3x – 2)
b) log (3x – 6) 2 11. Utilizando a fórmula de MUDANÇA DE BASE e
c) log (x + 1) (2x – 5) consultando a TABELA, calcule:
a) log3 7 d) log 2 10
05. Resolva as equações abaixo, levando em conta as
b) log5 1000 e) log4 15
condições de existência dos logaritmos.
c) log100 15 f) log13 30
a) log x (x + 20) = 2

b) log 2x (4x – 5) = 1
12. Decomponha as expressões a seguir (suponha que todos
c) log (x + 1) (4 – x) = 1 os logaritmos sejam definidos):
d) log3 (x + 5) = 2 a) log (x5y2) b) loga (a7b3)
e) log2 (log4 x) = 1
13. Componha as expressões a seguir num único logaritmo
f) log2 (x + 2) = log2 8
(suponha que todos os logaritmos sejam definidos):
g) log2 (log3 x) = 0
a) log2 k + 2log 2 m + 1

06. Calcule os seguintes números: b) 2 – 3log 5 a+ log 5 b

log3 5
a) 3 + 2log 2 7
b) log4 43 – log 10 0,0001
Para as questões 05 e 06 utilize apenas log 2 = 0,301; log 3
= 0,477; log 5 = 0,699 e log 7 = 0,845 (log 1, log 10, log 100,
log 1000, ... , são sempre permitidos!)
14. Utilizando as propriedades dos logaritmos, calcule:
a) log 21000 d) log 1,5
b) log 3,5 16
e) log
25 √ 10 1500
c) log
9 f) log 0,002

15. Aplicando as PROPRIEDADES OPERATÓRIAS e a

FÓRMULA DE MUDANÇA DE BASE, calcule:
a) log6 108 log 21 40
d)
b) log15 36√ 2 log 21 49
c) 16x = 500 e) log15 54 . log70 15

Professora Cláudia Helena

Professora Adriana Borges