Trigonometria No Círculo
Trigonometria No Círculo
Trigonometria No Círculo
Introdução
A palavra trigonometria tem origem grega e significa “medida de triângulos” sendo
formada pelos radicais tri = três, gonos = ângulo, metron =
medir.
A trigonometria começou como uma Matemática prática, para determinar
distâncias que não podiam ser medidas diretamente. Serviu à navegação, à
agrimensura e à astronomia.
Existe a trigonometria plana que lida com figuras geométricas pertencentes a
um único plano, e a trigonometria esférica trata dos triângulos que são secções da
superfície de uma esfera.
Ao lidar com a determinação de pontos e distâncias em três dimensões, a
trigonometria esférica ampliou sua aplicação à Física, à Química e a quase todos os
ramos da Engenharia, em especial no estudo de fenômenos periódicos como a
vibração do som e o fluxo de corrente alternada.
Arcos de Circunferência – Se dois pontos, A e B são tomados sobre uma
circunferência, esta fica dividida em duas partes denominadas arcos de
circunferência sendo A e B as extremidades desses arcos.
A
A
arco linearizado
O
B
B
Medida de Arcos
Medir um arco é compará-lo com outro arco adotado como unidade. As unidades
adotadas são:
Alex Pereira
1
∗ O grau admite como subdivisões o minuto ( ‘ ) e o segundo ( “ ), de forma que:
∗ 1º = 60’ e 1’ = 60”
∗ 360º ⇔ 400 gr ⇔ 2 π rad ou 180º ⇔ 200 gr ⇔ π rad
Exercícios de Revisão
Comprimento de Arco
É o produto do raio da circunferência pela medida, em radianos, do ângulo central
correspondente.
α rad
=α.r
r
Exercícios de Revisão
Alex Pereira
2
02.Dados o comprimento C do arco AB e o raio da circunferência, calcule a medida
do arco em radianos.
a) C = 0,5m e r = 0,25m
b) C = 2cm e r = 0,04m
c) C = 6cm e r = 2cm
Ciclo Trigonométrico
Circunferência centrada na origem do plano cartesiano de raio unitário. Por
convenção o ponto A(1,0) é a origem dos arcos orientados dessa circunferência, ou
seja, para percorrer estes arcos A será sempre o ponto de partida e o sentido anti-
horário é considerado como positivo do percurso.
-1 -
Q3 (3º quadrante) Q4 (4º quadrante)
B’
AP =
P y y
A A
60° = 300°
x Alex
AP =-x
Pereira
P
3
y
60°
A x
Observe que, com extremidades no mesmo ponto P, existem dois arcos AP , com
medidas e sentidos diferentes. Por exemplo, os arcos 60º e – 300º têm as mesmas
origem e extremidade
P A P A P A
Alex Pereira
4
60º + 360º . 0 60º + 360º . 1
60º + 360º . 2 Um ponto P da ciclo
trigonométrico é
extremidade de uma
coleção de arcos cuja
- expressão geral é:x +
- 300°
660° 360º⋅ k ou x + 2kπ
(k∈Z) ;onde x é chamado
primeira determinação
positiva se
60º – 360º . 1 60º – 360º 0 .< 2
x ≤ 2π
Arcos Côngruos
Arcos que diferem de um número inteiro de voltas, ou seja têm a mesma
extremidade.
1ª determinação positiva
20º, 380º, 740º, 110º, -340º (ARCOS CÔNGRUOS)
1ª determinação negativa
Expressão geral:
s
x = x 0 + 2kπ
P
x0
Expressão geral:
O A r AP = x0 + 2kπ
(k∈Z)
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5
Exercícios de Revisão
a) b) c)
150°
45° 45°
d) e)
Os pontos destacados
A B
representam os
vértices de um
D 45° C hexágono regular
Alex Pereira
6
P(sen,
1 cos}
sen()
o seno do arco é a ordenada de P
180º ou 1
π (1,0)
(-
1,0) 360º ou
2π
(0,-
1) 0
270º ou
Sinal do Seno e do Cosseno 360º ou 2π
Como sen x e cos x são as coordenadas de um ponto do plano cartesiano então os
sinais do seno e do cosseno dependem do quadrante do ponto.
- 1 ≤ senx, cosx ≤ 1
SINAIS DO SINAIS DO
SENO COSSENO
Exercícios de Revisão
Alex Pereira
7
π
01. Se a medida x de um arco é tal que < x < π , então
2
a) sen (x + π ) > 0
b) cos (x + π ) < 0
c) tg (x + π ) > 0
d) cos (x + 2π ) > 0
e) sen (x + 2π ) > 0
π 3π
02.. Se x é a medida de um ângulo em radianos e <x< , então
2 2
a) cos x > 0.
b) cos 2x < 0.
c) tgx > 0.
d) sen x < 0.
e) sen 2x > 0.
2 m −1
03.Para que valores reais de m existe a relação senx = ?
3
a) -1 ≤ m≤ 1
b) -2 ≤ m≤ 2
c) -1 ≤ m≤ 2
d) -2 ≤ m≤ 1
e) -3 ≤ m≤ 1
Tangente
O eixo das tangentes é a reta paralela ao eixo dos cossenos pela origem dos arcos.
Para se obter a tangente de um arco basta prolongar radialmente a reta que passa
pela origem do plano cartesiano e pela extremidade do arco até interceptar o eixo
das tangentes.
x
1
tg 155º
220º
tg 310º
180º (não
existe tg)
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8
Note que a tangente não está definida para os arcos 90º, 270º, bem como todos
os seus côngruos, ou seja:
π
a tangente de x só existe se : x ≠ + k .π
2
Sinal da Tangente
Usando que tg(x) = sen(x)/cos(x) e a regra de sinais para a divisão, podemos obter
o sinal da tangente através dos sinais do seno e do cosseno.
Sinal do Sinal do
Sinal do tangente
seno cosseno
Cotangente
O eixo das cotangentes é a reta paralela ao eixo dos senos pela extremidade do
arco de 90º. Para se obter a cotangente de um arco basta prolongar radialmente a
reta que passa pela origem do plano cartesiano e pela extremidade do arco até
interceptar o eixo das cotangentes.
cotg
cotg
Cotg 160° 50°
x 90 50
º º
x 160º
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9
Note que a cotangente não está definida para os arcos 0º, 180º, bem como todos os
seus côngruos, ou seja
a cotangente de x existe se : x ≠ k .π
Sinal da Cotangente
A cotangente possui o mesmo sinal da tangente, pois é a sua razão inversa, sendo
positiva nos quadrantes ímpares (1o Q e 3o Q) e negativa nos pares (2o Q e 4o Q).
Cossecante e Secante
Representam, respectivamente, as razões inversas do seno e do cosseno. Para
obtê-las basta prolongar a reta tangente ao ciclo trigonométrico que passa pela
extremidade do arco até encontrar os eixos coordenados.
cossec x existe se x ≠ k .π
π
sec x existe se x ≠ + k .π
2
Alex Pereira
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Interpretação Geométrica de todas as Razões Trigonométricas
cotg
1
cossec
tg
sen
cos
sec
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
IMPORTANTES:
Do triângulo retângulo acima tiramos que:
Exercícios de Revisão
π
01.Seja x um número real pertencente ao intervalo [0, ]. Se secx = 3/2, então
2
tgx é igual a
a) √2/3
b) 2/3
c) 1/2
d) √5/2
e) √3/2
Alex Pereira
11
02.Se x é um arco do 3o quadrante e cosx = - 4/5, então cossecx é igual a
a) -5/3
b) -3/5
c) 3/5
d) 4/5
e) 5/3
π
03. Se o cos x = 3/5 e - < x < 0, então tg x vale:
2
a) -4/3.
b) -3/4.
c) 5/3.
d) 7/4.
e) -7/4.
2 sec 2 x −1
06.Se senx = , calcule o valor da expressão y=
2 tg 2 x + 1
2 − sen 2 x
07.Simplifique a expressão E = − tg 2 x
cos 2 x
Redução ao 1o Quadrante
Dado um arco qualquer do 2oQ, 3oQ ou 4oQ podemos determinar um arco do 1oQ
que tem as mesmas razões trigonométricas do arco dado, em valor absoluto (o
sinal pode não ser o mesmo).
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É importante lembrar dos valores das razões trigonométricas dos ângulos notáveis
do 1oQ e que os sinais destas razões dependem do quadrante do arco a ser
substituído.
sen e cos e
tg e cotg
sen cos tg cossec sec
1oQ + + +
1 3 3
30º 2 2 3 2oQ + – –
2 2 3oQ – – +
45º 2 2 1
3 1 4oQ – + –
60º 2 2 3
π
Sendo x um arco do 1oQ ( 0 < x < ), temos:
2
180º – x ∈ 2oQ
180° -
180º + x ∈ 3oQ
180° +
360° -
360º – x ∈ 4oQ
sen(180º – x) = sen x
cos(180º – x) = – cos x
cotg(180º
Alex Pereira – x) = – cotg x
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Redução do 3oQ para o 1oQ
sen(180º + x) = – sen x
cos(180º + x) = – cos x
x
tg(180º + x) = tg x
sen(x) tg(x)
cos(180° + x) x cossec(180º+x) = –
cos(x) cossec x
sen(180° +
x)
180° + x sec(180º + x) = – sec x
cotg(180º + x) = cotg x
sen(360º – x) = – sen x
cos(360º – x) = cos x
tg(360º – x) = – tg x
Redução do 4oQ para o 1oQ
senx tg(x) cossec(360º – x) = – cossec x
x
sec(360º – x) = sec x
sen(360° - x) tg(360°- x)
x
cotg(360º – x) = – cotg x
Alex Pereira
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Regra Prática
1. Localize o quadrante do arco a ser reduzido.
180° - x
x
2oQ ⇒ quanto falta para 180º
x x
3oQ ⇒ quanto passa de 180º
180° + x x x
360° - x 4oQ ⇒ quanto falta para 360º
Exercícios de Revisão
b) tg 240º
c) cos 150º
Alex Pereira
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d) sen 300º
e) cos 2490º
Exemplo:
a) sen (π + x) = b) cos (π + x) =
g) tg (π - x) = h) sec (π - x) =
i) sen (11π - x) = j) cos( 14π + x) =
expressã
co-função
o
sen cos
tg cotg
π π
a) sen ( - x) = b) cos ( - x) =
2 2
π π
c) sen ( + x) = d) cos ( + x) =
2 2
3π 3π
e) tg ( + x) = e) cossec ( - x) =
2 2
Exercícios de Revisão
01.A expressão sen 270º - cos 150º - tg 135º - sec 300º é igual a:
5 2 3
a) −
2 3
1 2 3
b)- −
2 3
3
c) −
2
3
d)
2
3
e)2 -
2
02.De acordo com as relações de redução ao 1 o quadrante, calcule o valor da
expressão.
2 cos x + cos( π − x )
π
4 sen − x + cos( 2π − x )
2
a)1/5
b) 2/5
c)3/8
d)5/2
e)6
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sen( π – x ) + 7 ⋅ senx
03.A expressão π , para todo x real, é equivalente a:
sen – x
2
a)5 sen x
b) 8 tg x
c)2 tg x
d)7 sec x
e)8 cos x
13π 9π
sen + tg
b) 6 4 =
cos( π )
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Alex Pereira
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