TEXTO DE APOIO PARA OS ALUNOS

12ª Classe – 2º Ciclo

MATEMÁTICA

Ministério da Educação
Cultura e Formação
ÍNDICE

Tema 1 – Probabilidades ................................................................... 2

 Introdução ao Cálculo de Probabilidades ………………………………………………..…….. 3
 Análise Combinatória ………………………………………………………………………………..………. 13
 Distribuição de Frequências Relativas e Distribuição de Probabilidades …….…… 21

Tema 2 – Funções ……….................................................................... 29

 Funções Exponenciais e Logarítmicas ………………………………………………..…….. 30
 Teoria dos Limites ………………………………………………………………………………..………. 52
 Continuidade de uma Função ………………………………………………………….….…… 68
 Cálculo Diferencial ……………………………………………………………………………………….... 73

Tema 3 – Trigonometria ................................................................... 90

 Funções Trigonométricas com Funções Reais de Variável Real .……………..…….. 91
 Números Complexos ………………………………………………………………………………..………. 109

Bibliografia …………………................................................................... 123

2
 TEMA 1
PROBABILIDADES

INTRODUÇÃO
A incerteza foi, ao longo dos tempos, e continua a ser, a principal razão do estudo das probabilidades. Podem
ser conhecidos todos os possíveis resultados de um fenómeno aleatório, mas, antes que esteja concretizado,
mantém-se a incerteza quanto ao resultado que ocorrerá.
Essa incerteza é a motivação de muitos jogos, como por exemplo, a lotaria, o totoloto, jogos relacionados com o
lançamento de dados ou o girar de roletas. De certa forma, a origem das probabilidades está relacionada com
os chamados “jogos de azar”.
Problemas relacionados com o jogo alimentaram, ao longo dos O problema do cavaleiro De Méré:
anos, a reflexão e a discussão em torno das probabilidades. Um Dois jogadores, o cavaleiro e um seu
exemplo disso é a troca de correspondência entre Fermat e Pascal, adversário, estão a jogar aos dados. Cada
no século XVII, para discutir um problema colocado por Antoine de um aposta num determinado número e
Gambard (1610-1685) chamado de “cavaleiro De Méré”. ganha o primeiro a obter pela terceira vez
o número que apostou.
A partir da correspondência entre Pascal e Fermat, a teoria das A aposta foi de 64 moedas (32 cada um) e
probabilidades associada à Matemática, teve um impulso no seu o jogo é interrompido quando o cavaleiro
desenvolvimento. Para isso houve vários contributos, como por tem 2 sucessos contra 1 do adversário.
exemplo, os de Jacob Bernoulli e Laplace. Como deve ser repartido o valor apostado?

Alguns matemáticos:

Legenda de cores utilizada nos exercícios deste tema:

am – amarelo az – azul vd – verde vm – vermelho l - laranja b – branco p - preto
3
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DE PROBABILIDADES
 EXPERIÊNCIA ALEATÓRIA. CONJUNTO DE RESULTADOS. ACONTECIMENTOS
As experiências que realizamos dividem-se em dois tipos: experiências deterministas e experiências aleatórias.
O lançamento de uma pedra a um lago para verificar onde fica a Experiência aleatória é uma experiência
pedra, é um exemplo de experiência determinista porque mesmo com as seguintes características:
antes da realização do lançamento já sabemos que a pedra irá - são conhecidos os resultados possíveis
para o fundo do lago. - não é possível prever (determinar) o
O lançamento de um dado numerado de 1 a 6 para observar qual resultado de cada uma das experiências
o número que fica para cima é um exemplo de uma experiência - pode ser repetida em condições
aleatória pois o resultado apenas é conhecido após a realização idênticas.
do lançamento.
Conjunto de resultados ou espaço
Relativamente a esta última experiência existem seis resultados amostral de uma experiência aleatória é
possíveis: o conjunto de resultados possíveis que
lhe está associado a representa-se
habitualmente por S, E ou Ω.

Assim, os resultados possíveis desta experiência são:

Acontecimento de uma experiência
1, 2, 3, 4, 5e6
aleatória é qualquer subconjunto do
Daqui resulta o conjunto de resultados ou o espaço amostral espaço amostral.
desta experiência: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}
Exercícios:
Admita que na realização da experiência, há interesse em
1. Das seguintes experiências indique as que
observar se sai um número ímpar, temos:
são aleatórias e as que são deterministas:
A = {1, 3, 5} A: Lançar ao ar uma moeda e observar a face
que fica voltada para cima.
A S. A é um acontecimento. B: Observar a quantidade de água que é
Alguns acontecimentos têm nomes específicos: derramada quando se introduz um cubo com
3 cm de aresta dentro de um recipiente
- Acontecimento elementar: Se o resultado de uma experiência cheio de água.
consta de um só elemento do conjunto de resultados. C: Observar, numa localidade, a pluviosidade
Exemplo: B: “Sair o número dois” B = {2} durante uma semana.
- Acontecimento composto: Se o resultado de uma experiência D: Num jogo de cartas, observar o número
de ases distribuídos a um dos jogadores.
consta de dois ou mais elementos do conjunto de resultados.
Exemplo: C: “Sair um número par” C = {2, 4, 6} 2. Observe a roleta da sorte representada na
figura e considere
- Acontecimento certo: Se o resultado de uma experiência consta
a experiência de
de todos os elementos do conjunto de resultados. rodar o ponteiro
Exemplo: D: “Sair um número menor que 8” D = S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
e anotar o número
- Acontecimento impossível: Se o resultado de uma experiência que sai.
não tem qualquer elemento do conjunto de resultados.
2.1. Defina o conjunto de resultados.
Exemplo: E: “Sair um número maior que 7” E={}
2.2. Classifique os acontecimentos:
Para ajudar a determinar o conjunto de resultados pode-se usar a) A: “sair múltiplo de 8”
diagramas de árvore, tabelas ou outros esquemas. b) B: “sair número par”
c) C: “sair número primo”
d) D: “sair 9” e) E: “ não sair 9”

4
Exemplo 1. O Adamilton lançou duas vezes uma moeda de 1000 dobras
Exercícios:
e registou, em cada lançamento, a face da moeda que ficou voltada para
3. Na figura estão representadas 6 fichas que
cima.
foram colocadas num saco.
Ca – face cala az
Co – face coroa Ca Co
am vd
Para obter todos os resultados possíveis,
desta experiência, pode recorrer-se a um am vm
diagrama de árvore: az
Indique o espaço de resultados associado
a cada uma das seguintes experiências
aleatórias:
O conjunto de resultados possíveis é: 3.1. Retirar uma ficha e observar a cor.
S = { (Ca, Ca) , (Ca, Co) , (Co, Ca), (Co, Co)} 3.2. Retirar sucessivamente, com reposição,
duas fichas e calcular a soma dos números
das fichas retiradas
Exemplo 2: Determinemos agora o espaço amostral da experiência
4. Considere a tabela ao lado (exemplo 2).
aleatória que consiste em lançar dois dados, e observar os resultados.
Identifique os acontecimentos:
Para esta experiência a melhor forma de obter todos os resultados é
A: O número de pintas é igual nos dois dados
utilizando uma tabela de dupla entrada:
2d B: A soma das pintas é 9.
1d 1 2 3 4 5 6
C: O produto do número de pintas é 2.
1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)
2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)
3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)
4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)
5 (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)
6 (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)
O espaço amostral é o conjunto formado pelos 36 elementos da tabela. S = { (1, 1) , (1, 2) , (1, 3), … , (6, 6)}

 OPERAÇÕES COM ACONTECIMENTOS

Como os acontecimentos são identificados com conjuntos, a forma de operar com acontecimentos decorre da
forma de se operar com conjuntos, com a correspondente adaptação a uma linguagem específica.
Exemplo: Num saco foram colocadas 6 bolas numeradas de 1 a 6.
Consideremos a experiência aleatória que consiste em tirar uma bola e observar o
número que saiu. Sejam A e B os acontecimentos:
A: sair um número menor que 4. A = {1, 2, 3}
B: sair um número par. B = {2, 4, 6}
O espaço amostral da experiência aleatória é: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A representação dos conjuntos (acontecimentos) num diagrama de Venn, permite
uma melhor visualização da distribuição do espaço amostral pelos acontecimentos.

> Reunião de dois acontecimentos: Reunião ou união dos acontecimentos A e B

é o acontecimento que se realiza se pelo menos um dos acontecimentos se
realizar, A ou B. Representa-se por A U B e lê-se (A ou B).
No exemplo: AUB: Sair um número menor que 4 ou par.
AUB = {1, 2, 3, 4, 6}

> Intersecção de dois acontecimentos: A intersecção dos acontecimentos A

e B é o acontecimento que se realiza se e só se A e B se realizarem
simultaneamente. Representa-se por A ∩ B e lê-se (A e B).
No exemplo: A∩B: Sair um número par menor que 4.
A∩B = {2}

5
> Acontecimentos contrários ou complementares: O acontecimento contrário do S

acontecimento A representa-se por A e é o acontecimento constituído por

todos os resultados de S que não pertencem a A.

No exemplo: A = {1, 2, 3} A ∩ A = {}
A = {4, 5, 6} AU A =S

> Acontecimento diferença: Acontecimento diferença entre A e B é o acontecimento

que se realiza se e só se A se realiza sem que B se realize.
Representa-se por A – B ou A\B.
No exemplo: A\B: Sair um número menor que 4 que não seja par.
A\B = {1, 3}

Podemos ainda classificar dois acontecimentos como compatíveis ou incompatíveis:

> Acontecimentos compatíveis: Dois acontecimentos A e B são compatíveis se e só se A ∩ B ≠ { }.
No exemplo: A e B são compatíveis porque A∩B = {2}

> Acontecimentos incompatíveis: Dois acontecimentos A e B são incompatíveis se e só se A ∩ B = { }.

No exemplo: Consideremos o acontecimento C: sair o número 1.
B e C são incompatíveis porque B∩C = { }

Nota: dado um conjunto finito A, com n elementos, diz-se que 6. Relativamente à experiência aleatória de
o cardinal de A é n e representa-se por #A=n. lançar dois dados, de cores diferentes, e
observar os números, considere os seguintes
Exercícios: acontecimentos:
5. Numa caixa foram colocadas dez fichas numeradas de 1 a 10. A: saírem dois números pares.
Considere a experiência aleatória que consiste em retirar, ao acaso, B: a soma dos números é 10.
uma ficha e observar o seu número. Considere os acontecimentos: C: saírem dois números diferentes.
A: Sair número primo. D: o produto dos números é inferior a 5.
B: Sair número par. 6.1. Represente na forma de conjunto:
C: Sair número divisor de 6. a) D b) A\D c) C d) A∩B
5.1. Represente os acontecimentos num diagrama de Venn. 6.2. Defina um acontecimento:
5.2. Represente na forma de conjunto: a) compatível com D. b) incompatível com B.
a) AUB b) B∩C c) C d) A\C e) C\A c) contrário a A.

 APROXIMAÇÃO FREQUENCISTA DE PROBABILIDADE

Consideremos a experiencia aleatória: lançamento de um dado. Os seguintes gráficos representam a frequência
relativa de cada um dos acontecimentos elementares: {1} , {2} , {3} , {4} , {5} , {6}.
Com a ajuda dos gráficos e relembrando os conceitos de frequência absoluta e relativa, estudados na 10ª classe,
complete as tabelas.
- Resultados de 100 lançamentos
Xi 1 2 3 4 5 6
ni 25 30 10 5 15 15
25 1 30 10
fi   0,25  0,3  0,1 0,05 0,15
100 4 100 100

fi% 25% 30%

6
- Resultados de 1000 lançamentos
Xi 1 2 3 4 5 6
ni 170 163 167 165 167

170
fi  0,17 0,163 0,167 0,165 0,167
1000
fi% 17% 16,3% 16,7

- Resultados de 10 000 lançamentos

Xi 1 2 3 4 5 6
ni 1660 1670

fi

fi% 16,6% 16,7% 16,8%

A quantificação da probabilidade de um determinado acontecimento resulta

em muitas situações, da observação dos resultados de um grande número de
experiências.
No exemplo estudado verifica-se que à medida que o número de experiências aumenta, as frequências relativas
de cada acontecimento elementar tendem a estabilizar em torno dos 0,167, assume-se esse valor como sendo
a probabilidade dos referidos acontecimentos.

Nota: fr(A) representa a frequência relativa de um Exercício:

acontecimento A e é calculada através do quociente 7. Seja A um acontecimento
entre o número de vezes que A ocorre e o número de associado a uma experiência
aleatória com espaço de resultados
experiências efectuadas.
S. Quais das seguintes igualdades
são necessariamente falsas?
Probabilidade (frequencista) de um acontecimento A representa-se 7.1. fr(A) = - 0,2
por P(A) e corresponde ao valor para que tende a estabilizar a 7.2. fr(A) = 1,02
frequência relativa da realização desse acontecimento, à medida que 7.3. fr(A) = 0,76
aumenta o número de repetições da experiência aleatória.
Nota: quanto maior é o número de vezes que a experiência é repetida, 8. Uma nova vacina está em fase de
melhor será a estimativa obtida para a probabilidade. testes. Na tabela seguinte estão os
registos do número de sucessos no
decorrer dos testes.
Nº de
Nº de testes
sucessos
200 165
500 423
1 000 843
2 000 1 682
5 000 4 202
7 500 6 308
10 000 8 403
Faça uma estimativa para a
probabilidade de sucesso da
aplicação da vacina num novo
paciente. Fundamente a sua
resposta.

7
  DEFINIÇÃO CLÁSSICA DE PROBABILIDADE OU DE LAPLACE
A primeira definição que se conhece de probabilidade foi enunciada por Pierre Simon Laplace (1749 – 1827).
Esta definição só pode ser aplicada quando os acontecimentos elementares são igualmente prováveis
(equiprováveis).
Assim não podemos calcular a probabilidade de uma carica ficar voltada para cima usando a regra de Laplace.
Neste e em muitos outros casos teríamos que recorrer à experiência (noção frequencista de probabilidade).
No entanto, no caso de lançamento de dados e moedas, extração de bolas, fichas e cartas de um baralho e em
todas as situações em que os acontecimentos elementares são equiprováveis podemos calcular, com vantagem,
a probabilidade usando a definição clássica de probabilidade (regra de Laplace).

Lei de Laplace ou regra de Laplace: Se os acontecimentos

elementares forem equiprováveis, a probabilidade de um nº de casos favoraveis a A
P(A) =
acontecimento A é igual ao quociente entre o número de casos nº de casos possiveis
favoráveis ao acontecimento e o número de casos possíveis.

A regra de Laplace apenas se aplica no caso do conjunto de resultados ser finito.

Exemplo 1: Na figura está representada uma roleta dividida em 8 sectores circulares geometricamente iguais.
1.1. Consideremos a experiência:
I: Rodar a roleta e observar qual o número indicado pela seta.
Qual a probabilidade dos seguintes acontecimentos?
A: sair um número menor que 3. B: sair um número par. C: sair um número negativo.
Resolução:
Antes de calcular a probabilidade da cada um dos acontecimentos,
definamos em extensão cada um deles para podermos ver com Exercícios:
certeza quais os casos favoráveis: I = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} 9. Na figura estão representadas as planificações
A= {1, 2} B = {2, 4, 6, 8} C={} de dois dados equilibrados, A e B.
2 1 4 1 0
P(A)    0,25 P(B)    0,5 P(C)   0
8 4 8 2 8 As faces estão
1.2. Consideremos a experiência: pontuadas
II: Rodar a roleta duas vezes e considerar o produto dos números conforme a figura
saídos. ilustra.
Qual a probabilidade dos seguintes acontecimentos: Indique o espaço de resultados de cada uma das
D: o produto ser um número impar. seguintes experiências aleatórias e a
E: o produto ser maior que 5. probabilidade dos respectivos acontecimentos
Resolução: elementares:
Para calcular a probabilidade da cada um dos acontecimento é útil 9.1. Lançar o dado A e observar o número de
definir o espaço amostral. Nesta experiência vamos usar uma tabela pontos da face que fica voltada para cima.
de dupla entrada: 9.2. Lançar o dado B e observar o número de
1 2 3 4 5 6 7 8 pontos da face que fica voltada para cima.
1 1 2 3 4 5 6 7 8
2 2 4 6 8 10 12 14 16 10. Um saco contém bolas brancas e bolas
3 3 6 9 12 15 18 21 24 pretas. Retira-se ao acaso uma bola.
4 4 8 12 16 20 24 28 32 4
A probabilidade de ser branca é .
5 5 10 15 20 25 30 35 40 5
6 6 12 18 24 30 36 42 48 10.1. Se existirem 3 bolas pretas, quantas são as
7 7 14 21 28 35 42 49 56
bolas brancas?
8 8 16 24 32 40 48 56 72
10.2. Se existirem 40 bolas no total, quantas
16 1 54 27 delas são pretas?
P(D)    0,25 P(E)    0,84
64 4 64 32

8
Exemplo 2: Num teste há três afirmações, para as quais cada aluno deve indicar se é
verdadeira (V) ou falsa (F). A Joana responde às três questões ao acaso.
Seja C o acontecimento: “A Joana acerta em, pelo menos, uma afirmação”.
Determine a probabilidade do acontecimento C.
Resolução:
Para cada firmação, a Joana tem duas possibilidades: acertar – A ou errar - E
A contagem dos casos possíveis e dos casos favoráveis fica facilitada com recurso a uma
representação em diagrama de árvore.
S = { (A, A, A) , (A, A, E) , (A, E, A) , (E, A, A) , (E, A, E) , (E, E, A) , (E, E, E)}
C = { (A, A, A) , (A, A, E) , (A, E, A) , (E, A, A) , (E, A, E) , (E, E, A)}
Conclui-se, então, que há oito casos possíveis igualmente prováveis e sete casos
favoráveis.
7
Por aplicação da lei de Laplace vem: P(C) 
8
Raciocínio alternativo:
C: A Joana acerta em, pelo menos, uma afirmação. Exercícios:
C : A Joana erra todas as afirmações. C = {(E, E, E)} 11. De um baralho


1 1 7 com 52 cartas é
Então: P(C)  Como P(C)  1  P C tem-se P(C)  1   retirada uma ao
8 8 8
acaso.
Exemplo 3: Na cidade X existem dois jornais com publicação Determine a
semanal, o “Tira-Teimas” e o “ Semanário”. Numa sondagem feita probabilidade do
a 200 pessoas da cidade foi obtida a seguinte informação: acontecimento:
70 pessoas assinam o “Tira-Teimas”, 120 pessoas assinam o 11.1. sair uma carta
“Semanário” e 50 não assinam nenhum dos dois. de copas.
3.1. Quantas pessoas assinam os dois jornais? 11.2. sair uma carta
3.2. Escolhendo uma pessoa ao acaso qual a probabilidade de ela que não seja de paus.
assinar apenas o jornal “Semanário”? 11.3. sair um rei.
Resolução:
3.1. Para facilmente respondermos às questões vamos construir 12. Numa caixa há 10 bolas indistinguíveis ao
um diagrama de Venn. tacto, que diferem apenas na cor: 5 vermelhas,
70+120+50=240 3 amarelas e 2 pretas.
Isso quer dizer que 40 Considere a experiencia aleatória que consiste
pessoas assinam os dois em retirar, ao acaso, uma bola e observar a cor.
jornais simultaneamente. Dê um exemplo de um acontecimento cuja
probabilidade de ocorrer seja:
80 1
3.2. P(apenas Semanario)   0,4 12.1. 50% 12.2. 12.3. 80% 12.4. 0,7
200 5
13. Numa turma de 22 alunos, 10 praticam
futebol, 11 praticam basquetebol e 5 praticam
Em problemas anteriores já surgiram situações de os dois desportos referidos.
13.1. De acordo com os dados construa um
experiências que envolviam mais do que uma experiência
diagrama de Venn.
simples: lançar dois dados, lançar três moedas, tirar de um
13.2. Encontrou-se ao acaso um dos alunos da
saco sucessivamente três bolas… turma. Qual a probabilidade de ele:
Com o exemplo seguinte vamos aprofundar alguns a) praticar natação?
métodos para a resolução deste tipo de problemas. b) praticar apenas futebol?

14. Considere uma caixa com quatro camisolas,

Exemplo 4: Temos um saco com 5 fichas com o número 1 e três
uma de cada cor, e uma caixa com quatro saias,
fichas com o número 2. Retiramos uma ficha do saco e tomamos
com as mesmas cores das camisolas.
nota do número, colocamos de novo a ficha no saco e retiramos
Retirou-se ao acaso, uma camisola e uma saia.
nova ficha.
Qual a probabilidade de obter uma saia e uma
Qual a probabilidade das duas fichas terem o número 2?
camisola da mesma cor?
9
Resolução: Exercícios:
Esta experiência é composta por duas experiências simples. Para 15. Na figura estão representadas duas caixas.
calcularmos a probabilidade nestas situações procura-se o método
mais conveniente para contar os casos favoráveis e os casos
possíveis.
Vamos resolver este problema por três métodos diferentes.
1º método: Vamos construir uma tabela de dupla entrada para
contarmos os casos favoráveis e os casos possíveis.
2f
1f 1 1 1 1 1 2 2 2
1 (1, 1) (1, 1) (1, 1) (1, 1) (1, 1) (1, 2) (1, 2) (1, 2)
A caixa A contém cinco fichas numeradas de 1 a
1 (1, 1) (1, 1) (1, 1) (1, 1) (1, 1) (1, 2) (1, 2) (1, 2)
5 e a caixa B contém três fichas numeradas de 1
1 (1, 1) (1, 1) (1, 1) (1, 1) (1, 1) (1, 2) (1, 2) (1, 2)
1 (1, 1) (1, 1) (1, 1) (1, 1) (1, 1) (1, 2) (1, 2) (1, 2)
a 3. Considere a experiência aleatória que
1 (1, 1) (1, 1) (1, 1) (1, 1) (1, 1) (1, 2) (1, 2) (1, 2) consiste em retirar, ao caso, uma ficha de cada
2 (2, 1) (2, 1) (2, 1) (2, 1) (2, 1) (2, 2) (2, 2) (2, 2) caixa e registar os números das fichas.
2 (2, 1) (2, 1) (2, 1) (2, 1) (2, 1) (2, 2) (2, 2) (2, 2) Determine a probabilidade de:
2 (2, 1) (2, 1) (2, 1) (2, 1) (2, 1) (2, 2) (2, 2) (2, 2) 15.1. o número da ficha que é retirada da caixa A
Para que as duas fichas tenham o número dois, temos 9 casos ser menor que o número da ficha da caixa B.
favoráveis em 64 possíveis. 15.2. a soma dos números das fichas ser um
9 número ímpar.
P(pedida ) 
64 15.3. as fichas terem o mesmo número.
2º método: Regra do produto
16. Um inquérito feito a 60 funcionários de uma
Casos possíveis: 1ª tiragem 2ª tiragem
empresa, relativamente ao transporte público
8 8 = 64
utilizado permitiu concluir que:
Casos favoráveis: 1ª tiragem 2ª tiragem
3 3 =9 - 25 utilizam autocarro;
9 - 18 utilizam o comboio;
P(pedida )  - 20 não utilizam transporte público.
64
3º método: No diagrama seguinte estão representadas as Escolhe-se ao caso, um dos 60 funcionários.
probabilidades correspondentes a cada uma das tiragens Determine a probabilidade de o funcionário
escolhido utilizar:
16.1. o comboio.
16.2. dois transportes públicos.
16.3. apenas um transporte público.

17. Numa caixa há bombons sendo uns de café e

outros de licor. Retirando ao acaso, um bombom
da caixa, a probabilidade de ser de café é 24%.
Para determinar a probabilidade de termos dois 2 o raciocínio é: Quantos são os bombons de licor sabendo que
3 3 há seis de café?
“Em dos casos a 1ª ficha é 2 e a 2ª ficha é também 2 em dos
8 8
3 3 3 9 18. Uma moeda de 500 dobras é lançada três
casos.” P(pedida )    vezes consecutivas.
8 8 8 64
Determine a probabilidade de ocorrer:
18.1. três vezes a face coroa.
18.2. pelo menos uma vez, a face coroa.
Notas: 18.3. no máximo uma vez, a face coroa.
- Dois acontecimentos A e B de uma experiência 19. Sabe-se que os acontecimentos elementares
aleatória dizem-se equiprováveis quando: P(A) = P(B) de uma experiência aleatória são equiprováveis
- Na resolução de um exercício que envolva um e designados por A, B, C e D.
acontecimento do tipo “… pelo menos …” é Determine:
aconselhável verificar se o recurso ao acontecimento 19.1. P(A) 
19.2. P B
contrário simplifica a sua resolução. 19.3. P(A B)

10
 20. Numa slot machine é gerada aleatoriamente 22. Numa turma de 30 alunos, as Idade Rapazes Raparigas
uma sequência de quatro suas idades e sexos estão 16 5 6
algarismos, em cada distribuídos como se indica na 17 7 8
jogada. 18 3 1
tabela:
22.1. Encontrou-se ao acaso um aluno da turma. Qual é a
probabilidade de que seja uma rapariga de 17 anos?
Cada elemento da 22.2. Seleccionaram-se dois alunos da turma ao acaso.
sequência pode tomar a) Determine a probabilidade de serem dois rapazes de idades
valor de 0 a 9. diferentes.
b) Determine a probabilidade de terem mesma idade mas serem
20.1. Numa jogada, quantos são os resultados de sexos diferentes.
possíveis?
23. Na figura encontra-se representado um alvo circular de raio r,
20.2. Qual a probabilidade da sequência ter pelo
sendo o raio do círculo menor metade do raio do alvo.
menos um 1?
Admita que se lança um dardo que atinge sempre
20.3. Qual a probabilidade da sequência ser o
o alvo e que todos os pontos têm igual probabilidade
ano em que nasceu? Apresente o resultado na
de serem atingidos.
forma de potência de base 10.
23.1. Mostre que a probabilidade de acertar na coroa circular de
21. Retiram-se duas cartas ao acaso de um cor branca é 75%.
baralho de 52, sucessivamente e sem reposição. 23.2. Admita que se pretende construir um novo alvo, com raio
Determine a probabilidade de: igual ao dobro do raio anterior e com uma nova região como é
21.1. ambas serem reis. sugerido na figura.
21.2. nenhuma ser ás. Justifique a afirmação:
21.3. ambas serem de copas. “A probabilidade do dardo acertar
21.4. ambas serem dos mesmo naipe. na região correspondente ao alvo
21.5. sair um e um só rei. anterior é 25%.”

 DEFINIÇÃO AXIOMÁTICA DE PROBABILIDADES

A abordagem intuitiva das probabilidades tornou-se uma preocupação crescente da comunidade matemática,
até que nas primeiras décadas do século XX houve uma formalização da teoria das probabilidades, de modo a
torná-la logicamente coerente, suportada por um conjunto da afirmações verdadeiras e independentes – os
chamados axiomas – a partir dos quais todos os resultados – os teoremas – pudessem ser deduzidos.
Chama-se probabilidade a toda a aplicação P de domínio S e conjunto de chegada tal que, a todo o
acontecimento A é associado um número real P(A), que se designa por probabilidade do acontecimento A.
Esta aplicação verifica os seguintes axiomas:
> Axioma 1 : P(A) ≥ 0 A probabilidade de um acontecimento é um número não negativo.
> Axioma 2 : P(S) = 1 A probabilidade do acontecimento certo é 1.
> Axioma 3 : Se A∩B = Ø , então P(AUB) = P(A) + P(B) A probabilidade da reunião de dois
acontecimentos disjuntos é igual à soma das prababilidades desses acontecimentos.
S

Com base nestes três axiomas desmostraremos alguns teoremas. A B

> Teorema 1: P(Ø)=0
A probabilidade do acontecimento impossível é zero.
Demonstração: Tem-se: S U Ø = S e S ∩ Ø = Ø
Pelo axioma 3 temos: P(S U Ø) = P(S) + P(Ø) que é equivalente a P(S) = P(S) + P(Ø) tendo em conta (S U Ø = S).
Logo, P(Ø) = 0
11
> Teorema 2: 
P A  1  P(A) Recorde: Leis de Morgan
A probabilidade do acontecimento contrário A é igual Vimos na 10ª classe que as leis de Morgan que
à diferença entre 1 e a probabilidade de A. estudamos para condições também se aplicam a
Demonstração: Tem-se: AU A=S e A∩ A =Ø conjuntos. Uma vez que um acontecimento
P(A U A ) = P(S) também se pode definir por um conjunto podemos
Então: P(A) + P( A ) = 1 (Axiomas 2 e 3) utilizar as seguintes igualdades entre

Logo: P A  1  P(A)
acontecimentos.

A B  A B e A B  A B
> Teorema 3: Se A e B são acontecimentos tais que
B A , então P(B) P(A).
Demonstração: Se B A, então existe C tal que B C=Ø
e B C = A. Exercícios:
24. Sejam A e B dois acontecimentos da mesma
A C B experiência aleatória. Sabe-se que P(A) = 0,5 e P(B) = 0,3
Explique porque não é possível que:
Por aplicação do axioma 3, tem-se: 24.1. A e B sejam acontecimentos contrários.
P(BUC) = P(B) + P(C) = P(A). 24.2. P(A∩B) = 0,4
Pelo axioma 2, sabe-se que P(C) 0, então pode-se concluir 24.3. P(AUB) = 0,9.
que P(B) ≤ P(A) 25. Seja S o conjunto de resultados associado a uma
experiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos
> Teorema 4: 0 ≤ P(A) ≤ 1 (A C S e B C S).
A probabilidade de qualquer acontecimento A Sabe-se que P(A) = 0,2 e P(B) = 0,5.
é um número do intervalo [0, 1]. Indique, justificando, o intervalo a que pertence P(AUB).
Demonstração: Pelo axioma 1, sabe-se que P(A) ≥ 0. (1) 26. Sejam A e B dois acontecimentos da mesma
Como A S, por aplicação do teorema 3, conclui-se que experiência aleatória.
P(A) ≤ P(S) Indique se são verdadeiras ou falsas as seguintes
Pelo axioma 2, tem-se P(S) = 1. Então P(A) ≤ 1. (2) afirmações:
De (1) e (2), conclui-se que 0 ≤ P(A) ≤ 1. 26.1. Se A∩B = Ø, então P(A) = 1 – P(B).
26.2. Se A e B são acontecimentos contrários, então:
> Teorema 5: Se A e B são acontecimentos P(A) + P(B) = 1.
compatíveis, então: 26.3. Se P(A) + P(B) = 1, então A e B são acontecimentos
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A∩ B) contrários.
Demonstração: 27. Seja S o conjunto de resultados associado a uma
Os acontecimentos A\B e A∩B são incompatíveis e experiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos
A = (A\B) U (A∩B) (A S e B S). Sabe-se que:
- A e B são acontecimentos contrários.
- P(A) P(B) = 2/9
Pelo axioma 3, tem-se: - P(A) < P(B)
P(A) = P(A\B) + P(A∩B) Determine as probabilidades de A e de B.
Daqui resulta que P(A\B) = P(A) – P(A∩B). (3)
28. Seja S o conjunto de resultados associado a uma
Os acontecimentos A\B e B são incompatíveis e
experiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos
AUB = (A\B) U B.
Mostre que:
Pelo axioma 3, tem-se: P(AUB) = P(A\B) + P(B)
28.1. P(A\B) = P(A) – P(A∩B)
Daqui resulta que P(A\B) = P(AUB) – P(B). (4)
28.2. Se A e B são incompatíveis então
Comparando (3) e (4): P(AUB) – P(B) = P(A) – P(A∩B).
Ou seja, P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A∩ B).
  
P A  B  P A  PB

29. A, B e C são os acontecimentos elementares de uma

experiência aleatória. Sabe-se que: P(C) = 0,2

Determine: P A  B . 

12
  PROBABILIDADE CONDICIONADA E PROBABILIDADE DA INTERSECÇÃO DE ACONTECIMENTOS
Consideremos o dominó constituído pelas 28 peças representadas na figura:
Depois de as peças terem sido baralhadas, retira-se uma ao acaso e observa-se
a pontuação dessa peça.
Sejam A e B os seguintes acontecimentos:
A: Sair uma peça com 4 pontos em pelo menos um dos lados.
B: A soma dos pontos da peça é 9.
- Qual a probabilidade de ocorrer o acontecimento A?
7 1
Entre os 28 casos possíveis há 7 casos favoráveis. Assim, tem-se: PA   
28 4
- Qual a probabilidade de ocorrer o acont. A, sabendo que ocorreu o acontecimento B?
Saber-se que ocorreu o acontecimento B condiciona o número de casos possíveis que
passam a ser dois e nesses casos possíveis existe um favorável.
Neste caso a probabilidade representa-se por: PA |B

Observe-se que:
# A  B
No caso geral, sendo A e B dois acontecimentos
1 # A  B P(A  B) associados a uma experiência aleatória e tais que P(B)≠0,
PA |B    #S 
2 #B #B PB a probabilidade condicionada de A, sabendo B, é:
#S P(A  B)
PA |B 
PB
Exercícios:
Da igualdade anterior resulta: PA  B  P(A |B)  P(B)
30. Um casal tem três filhos. Se for igualmente
provável nascer uma rapariga ou um rapaz,
calcule a probabilidade de: 32. Considere o lançamento de um dado cúbico, equilibrado, com
30.1. O filho mais velho ser rapaz; as faces numeradas de 1 a 6. Determine a probabilidade de sair a
30.2. O filho mais novo ser rapariga; face com o número 3 se:
30.3. O casal ter exactamente duas raparigas, 32.1. não houver qualquer outra informação.
sabendo que o filho mais novo é do sexo 32.2. souber que saiu número par.
feminino. 32.3. souber que saiu número impar.
31. Num saco há oito bolas numeradas de 1 a 8, 33. Numa empresa produzem-se dois tipos de peças, A e B.
sendo cinco cinzentas e três pretas, como é Sabe-se que:
sugerido na figura. - 60% da produção corresponde a peças do tipo A;
- 2% das peças do tipo A têm defeito;
- 4% das peças do tipo B têm defeito.
Escolheu-se, ao acaso, uma peça e verificou-se que não tem
defeito. Qual é a probabilidade de ser uma peça do tipo A?
34. A e B são dois acontecimentos associados a uma experiência
aleatória, tais que:
Uma bola é retirada do saco, ao acaso, e P(A) = 0,3 P(B) = 0,6 P(AUB) = 0,9
observa-se o número e a cor dessa bola. 34.1. Os acontecimentos A e B são incompatíveis? Justifique.
Sejam A e B os acontecimentos: 34.2. Determine: a) PA |B  
b) P A |B
A: Sai bola cinza.
35. O Ivo desloca-se diariamente para a escola de comboio. Sejam
B: Sai bola com um número par.
A e B os acontecimentos:
Determine:
 
A: Acordar tarde. B: Perder o comboio.
31.1. PA |B 31.2. P B | A Sabe-se que P(A|B) = 0,8 e P(B) = 0,25
 
31.3. P A |B 31.4. PB | A  35.1. Defina, em linguagem corrente os acontecimentos B|A e A|B.
31.5. PA |B 31.6. PB | A 
35.2. Determine P(A∩B).

13
  ACONTECIMENTOS INDEPENDENTES
Exemplo: Consideremos o duplo lançamento
O conceito de independência é um dos mais importantes em
de um dado cúbico numerado de 1 a 6 e os
probabilidades. seguintes acontecimentos:
Dois acontecimentos são independentes quando a realização de A: Sair o número 4 no primeiro lançamento.
um deles não interfere na probabilidade do outro. B: A soma dos números que ocorrem nos dois
lançamentos é 9.
Dois acontecimentos A e B são independentes se e só se
C: Sair número par no segundo lançamento.
P(A|B) = P(A) , P(B)>0
- A e B são acontecimentos dependentes:
+ 1 2 3 4 5 6
Utilizando a definição de probabilidade condicionada podemos
1 2 3 4 5 6 7
ainda concluir: 2 3 4 5 6 7 8
P(A  B) 3 4 5 6 7 8 9
PA |B  P(A)   P(A)  P(A  B)  P(A)  P(B)
PB 4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
Dois acontecimentos A e B são independentes se e só se 4 1 1
PB   PB | A  
P(A∩B) = P(A) P(B) 36 9 6
Temos que PB  P(B | A)

De um modo geral, se A1, A2, …, An são n acontecimentos - A e C são acontecimentos independentes:

independentes, então: 18 1
PC   
P(A1 ∩ A2 ∩…∩An)= P(A1) P(A2) … P(An) 36 2
3 1
PC | A     P(C)
Exercícios: 6 2
36. De um baralho com 40 cartas, 10 de cada naipe, foram Temos que PC  P(C | A)
retiradas três cartas, sucessivamente e com reposição.
Determine a probabilidade de:
36.1. saírem três reis;
36.2. saírem exactamente dois ases;
42. Mostre que o acontecimento impossível é
36.3. saírem espadas;
independente de qualquer outro acontecimento.
36.4. não sair qualquer carta de copas.
43. Em relação a uma experiência aleatória, sejam A
37. Joga-se um dado duas vezes. Determine a probabilidade de
e B dois acontecimentos tais que:
se obter um número par na 1ª jogada e um “5” na 2ª jogada.

38. Em relação a uma experiência aleatória, sejam A e B dois

1
2
; PB 
PA  
2
5
e P A |B   
7
12
.

acontecimentos independentes. 43.1. Determine P(A∩B).


Sabe-se que P(A) = 0,2 e P B  0,7 . 43.2. Os acontecimentos A e B são independentes?
Determine P(A∩B). 44. Dejam A e B dois acontecimentos associados a
39. Em relação a uma experiência aleatória, sejam A e B dois uma experiência aleatória, tais que:
3 3
PA   PA  B 
1
acontecimentos possíveis e independentes. ; PB  e
Mostre que: P(A∩B) = P(A|B) P(B|A) 5 2 5
Mostre que A e B não são independentes.
40. Em relação a uma experiência aleatória, os acontecimentos
A e B são tais que: 45. Os alunos de duas turmas A e B encontram-se
P(A) = 0,8 ; P(B) = 0,5 e  
P A  B  0,6 . num autocarro para iniciarem, em conjunto, uma
viagem de fim de curso. A turma A é constituída por
40.1. Verifique se os acontecimentos A e B são independentes.
15 rapazes e 10 raparigas e a turma B por 8 rapazes e
40.2. Determine a probabilidade de não se verificar A nem B.
12 raparigas. Escolhe-se, ao acaso, um aluno.
41. A Adjamila e o Edson não sabem que foram convidados Calcule a probabilidade de:
para a mesma festa. As probabilidades de a Adjamila e o Edson 45.1. Ser um rapaz da turma A.
irem à festa são, respectivamente, 0,5 e 0,7. 45.2. Ser da turma B, sabendo que é rapariga.
Qual a probabilidade de ambos irem à festa?

14
ANÁLISE COMBINATÓRIA
No cálculo de probabilidades, muitas vezes, a principal dificuldade reside na contagem no número de casos
possíveis e do número de casos favoráveis associados a um determinado acontecimento.
Em muitas situações, há necessidade de fazer contagens sem a possibilidade de as fazer elemento a elemento.
Este tipo de necessidades tem características comuns que permitiram desenvolver os chamados modelos
combinatórios.
O estudo desses modelos apoia-se em quatro conceitos fundamentais:
> príncipio fundamental de contagem (regra do produto);
> permutações e arranjos simples (sem repetição);
> arranjos completos (ou com repetição);
> combinações.

 PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DE CONTAGEM

Utilizando um exemplo vamos recordar o princípio fundamental de contagem.
Exemplo 1: Considerando a ementa ao lado, quantas refeições diferentes podemos:
1.1. fazer com uma entrada e um prato (sem sobremesa)? Ementa
1.2. organizar com uma entrada, um prato e uma sobremesa? Entradas:
- Buzio
Resolução: 1.1. A construção do diagrama - Moelas
de árvore correspondente sugere o Prato principal:
processo de contagem e podemos - Frango assado
verificar que podemos combinar 8 - Calulu
refeições diferentes. - Atum grelhado
- Massada de peixe
Este valor aparece da multiplicação do Sobremesas:
número de entradas com o número de - Ananás
pratos principais: 2 4 = 8 refeições - Pudim de cocô
- Doce da casa
1.2. Considerando, agora as sobremesas podemos calcular directamente:
2 entradas 4 pratos principais 3 sobremesas = 24 refeições diferentes

Princípio fundamental de contagem:

Quando é necessário realizar k escolhas sucessivas, em que na primeira há n1 alternativas, na segunda há n2
alternativas, …, e na escolha de ordem k há nk alternativas, então o número total de alternativas é dado por:
n1 n2 n3 … nk.

Exercícios: 49. O Pedro tem os sacos que estão na figura.

46. Com 3 pares de calças e 2 camisas, de quantas
formas diferentes o Adilson se pode vestir?
47. Quantos números pares diferentes e com 3
algarismos existem no sistema decimal?
Pretende retirar uma bola de cada saco e escrever o número de
48. Da ementa de um restaurante escolhido pela três algarismos em que o algarismo das centenas corresponde
Andresa para almoçar constam 2 sopas, 3 pratos de ao da bola retirada do saco A, o algarismo das dezenas
peixe, 3 pratos de carne e 5 sobremesas. corresponde ao da bola retirada do saco B e o das unidades ao
Quantas são as escolhas possíveis se a Andresa da bola retirada do saco C.
pretender apenas: 49.1. Quantos números distintos podem ser escritos?
48.1. uma sopa e um prato de peixe? 49.2. Dos números que podem ser escritos, quantos são:
48.2. um prato de carne e uma sobremesa? a) múltiplos de 5? b) pares?
48.3. uma sopa, um prato de peixe e uma c) capicuas (números que se leem de igual forma da esquerda
sobremesa. para a direita e da direita para a esquerda)?

15
  PERMUTAÇÕES E ARRANJOS SIMPLES (SEM REPETIÇÃO)
No estudo que se segue, vamos recorrer frequentemente ao produto dos primeiros n números naturais. Tal
produto tem, em Matemática uma notação designada por fatorial.
Exercício:
Dado um número natural n , chama-se fatorial de n (ou n fatorial) ao 50. Calcule:
produto dos n primeiros números naturais e representa-se por n! 50.1. 6! 50.2. 7! – 5!
n! = n (n – 1) (n – 2) (n – 3) … 2 1 12! 8  10!9!
50.3. 50.4.
Nota: por convenção 0! = 1 10! 9
n1 x n2 x n3 x … x nk.
Exemplo 2: Cinco amigos vão de férias, fazendo a viagem até à cidade de destino de autocarro. Para irem todos juntos
ocupam os 5 lugares que existem no fundo do autocarro.
2.1. De quantas formas diferentes os cinco amigos podem ocupar os cinco lugares?
Resolução: Reparemos que:
- o número de pessoas é igual ao número de lugares disponíveis.
- a ordem interessa, isto é, se se trocar a ordem dos amigos temos uma combinação final diferente.
Para o primeiro lugar temos 5 possibilidades (5 amigos), para o
segundo lugar já só temos 4 possibilidades, uma vez que um deles Exemplos:
já se sentou, para o terceiro lugar temos 3 possibilidades, para o C D A B E

quarto lugar temos 2 possibilidades e para o quinto lugar (último) A B D E C

resta um dos amigos. A D B E C
Assim o número total de combinações é: 5 4 3 2 1 = 5! = 120
Como o número de pessoas é
igual ao número de lugares, bas-
Dado um conjunto com n elementos, dá-se o nome de permutações de n aos
tou permutar os lugares entre si. grupos que se podem formar tais que:
Fez-se a permutação de 5 - todos os grupos têm n elementos
elementos que se pode - dois ou mais grupos diferem entre si pela ordem de colocação dos elementos.
representar por O número de permutações de n é representado por Pn e o valor é dado por:
P5 = 5 4 3 2 1 = 5! Pn= n (n – 1) (n – 2) (n – 3) … 2 1, ou seja, Pn = n!

Exemplo 2: 2.2. Num dos dias os amigos decidiram percorrer a cidade de carruagem, mas cada carruagem só levava três.
Tiveram que ocupar, por isso, duas carruagens, a primeira com três amigos e a segunda com dois.
De quantas formas podem ocupar os três lugares da primeira carruagem?
Resolução: Reparemos que:
- o número de pessoas é superior ao número de lugares disponíveis.
- a ordem continua a interessar, isto é, se se trocar a ordem dos amigos temos uma combinação final diferente.
Para o primeiro lugar temos 5 possibilidades (5 amigos), para o segundo lugar já só temos 4 possibilidades e para o terceiro
lugar (último) temos 3 possibilidades.
Assim o número total de combinações é: 5 4 3 = 60
Cada uma das combinações corresponde a uma sequência de três amigos escolhidos de um conjunto de cinco.
5
Ao número obtido desta forma dá-se o nome da arranjos simples de 5 tomados 3 a 3 e representa-se por A3.
5 4  3 21 5!
Observemos que: 5 A3  5  4  3  
21 5  3!
Dado um conjunto com n elementos, chama-se arranjos simples ou arranjos sem repetição de n elementos
tomados p a p (p ≤ n) aos diferentes grupos que se poder formar com p elementos tais que:
- em cada grupo há p elementos não repetidos;
- dois se diferem em algum elemento ou na ordem de colocação dos mesmos.
O número de arranjos sem repetição de n elementos tomados p a p representa-se por nAp e o seu valor é
dado por:
n!
n
Ap= n (n – 1) (n – 2) (n – 3) … (n – p + 1), ou seja, n A p 
n  p !
16
Exercícios: 54. Utilizando todas as letras da palavra “BONITA” quantas
51. A Elsa comprou 5 CDs e vai escolher 4 para palavras diferentes, com ou sem significado, se podem formar?
oferecer um a cada um dos seus sobrinhos. De 55. Antes do início de um jogo de futebol 11 jogadores de uma
quantas maneiras diferentes pode presentear os equipa colocaram-se em fila, para tirarem uma fotografia. De
sobrinhos? quantas formas diferentes se podem dispor os 11 elementos
52. Numa turma de 25 alunos vão ser escolhidos sabendo que:
3 alunos. Cada um deverá participar numa a) o guarda-redes fica no meio.
reunião. De quantas maneiras se podem escolher b) o guarda-redes fica num dos cantos.
6 5 10
os três alunos, sabendo que as reuniões se 56. Calcule: a) A2 b) A3 c) A4
realizam à mesma hora? 57. Quantos números de quatro algarismos diferentes existem, no
53. Durante o período de férias, às refeições, o sistema de numeração decimal, que não tenham zero?
Nuno e os seus dois irmãos partilham tarefas. 58. Com as cores vermelha, verde, azul e amarela pretendem-se
Um põe a mesa, outro levanta-a e o terceiro lava fazer bandeiras tricolores. Variando as cores ou a ordem. Quantas
a loiça. De quantas maneiras se pode fazer a bandeiras diferentes é possível fazer?
distribuição das tarefas?

 ARRANJOS COMPLETOS (COM REPETIÇÃO)

Exemplo 3: Considere-se um saco com três fichas como mostra a figura.
Retira-se ao acaso uma ficha do saco, verifica-se o número, introduz-se de novo a ficha no saco e
repete-se este processo quantas tantas vezes se queira.
3.1. Quantos números diferentes podemos formar com duas extracções?
3.2. Quantos números diferentes podemos formar com três extracções?
3.3. Quantos números diferentes podemos formar com n extracções?
Resolução: 3.1. Mais uma vez, um diagrama de árvore ajuda a responder à questão, embora a
regra da multiplicação permita, desde já, concluir que há 3 3 = 9 números diferentes.
Na 1ª extração temos três possibilidades, na 2ª extracção repetem-se as três possibilidades,
2
havendo no total 3 3 = 3

3.2. Por um processo idêntico ao anterior, tem-se

em cada uma das extracções três possibilidades: 3, 6 e 8.
3
No total das extracções o número de possibilidades é: 3 3 3=3

3.3. No caso de n extracções, em cada uma delas continuam a existir três possibilidades, havendo no total:
3 3 … 3 = 3n

Dado um conjunto com n elementos, chama-se arranjos completos ou arranjos com repetição de n
elementos tomados p a p aos diferentes grupos que se poder formar com p elementos tais que:
- em cada grupo há p elementos repetidos ou não;
- dois grupos são diferentes se diferem em algum elemento ou na ordem de colocação dos mesmos.
O número de arranjos com repetição de n elementos tomados p a p representa-se por nA’p e o seu valor é
dado por: n
A’p= np

Exercícios: 62. Quatro amigas encontram-se numa pastelaria e cada uma

59. Com os dígitos 1, 2, 3 e 4 quantos números de três vai escolher um bolo. De quantas maneiras diferentes podem
algarismos se podem escrever? escolher, sabendo que há 9 variedades de bolos.
60. Quantos são os resultados possíveis se lançarmos 7 63. Com os algarismos 0, 2, 3, 5 e 7, quantos números de
vezes um dado com as faces numeradas de 1 a 6 e re- quatro algarismos e menores que 3000 se podem escrever?
gistarmos o número da face saída em cada lançamento?
64. O alfabeto Morse utilizava os símbolos • e -.
61. Quantos resultados possíveis existem quando se 64.1. Quantas sequências de três símbolos se podiam escrever?
lança uma moeda: 64.2. Qual o número de sequências com o número máximo de
61.1. duas vezes? 61.2. dez vezes? três símbolos?
17
  COMBINAÇÕES SEM REPETIÇÃO
Há problemas de contagem que envolvem a escolha de grupos onde interessam os elementos que constituem o
grupo, independentemente da sua ordem.
Exemplo 4: Numa turma de 20 alunos vão ser escolhidos três para representar a turma numa reunião com a Direcção.
4.1. Quantos grupos diferentes podem ser formados?
4.2. Quantos grupos diferentes podem ser formados sabendo que o delegado de turma terá que fazer parte do grupo?
Resolução:
4.1. Na resolução deste problema a ordem não interessa. O grupo ser formado, por exemplo, pelo o António, pela a Eunice e
pelo Emanuel corresponde à mesma situação que ter o grupo constituído pela Eunice, pelo Emanuel e pelo António. Assim o
número de grupos que é possível formar corresponde ao número de subconjuntos de 3 elementos que é possível definir
num conjunto de 20 elementos.
20
A3 20  19  18
Número de subconjuntos:   1140
3! 321
20
A este número chama-se combinações sem repetição de 20, 3 a 3 e representa-se por: C3
4.2. Uma vez que já sabemos que o delegado terá que fazer parte do grupo, trata-se de escolher dois alunos entre os
restantes 19, não interessando novamente a ordem.
19
A2 19  18
Temos então: 19
C2    171
2! 2

Combinações sem repetição de n elementos tomados p a p (p ≤ n) representa-se por nCp e é o número de

subconjuntos com p elementos que se podem obter a partir de um conjunto de n elementos, tais que:
- em cada subconjunto tem p elementos;
- dois grupos são diferentes se diferem em algum elemento não interessando a ordem da sua distribuição.
n
Ap n!
n
Cp  ou n
Cp 
p! p!n  p !

Exercícios: 68. Uma empresa vai admitir 6 pessoas.

65. Considere um baralho de 40 cartas, 10 de cada naipe. Apresentaram-se 45 candidatos: 20 homens e 25 mulheres.
De quantas maneiras se pode formar um grupo de seis De quantas maneiras diferentes podem ser preenchidas as
cartas, sendo duas e só duas de copas? vagas se forem escolhidos:
66. A Marta foi à Feira do Livro e verificou que as suas 68.1. candidatos do mesmo sexo?
economias só lhe permitem comprar cinco dos sete livros 68.2. dois homens e quatro mulheres?
que lhe interessam. De quantas maneiras pode escolher 68.3. no máximo dois homens?
os cinco livros? 68.4. pelo menos uma mulher?
67. Com os vértices de um octógono regular, quantos 69. Sem recorrer à calculadora, calcule:
5 8 10
triângulos se podem definir? a) C2 b) C3 c) C9

Quadro resumo

18
Exercícios: 77. Numa sala há um sofá e cinco almofadas de cores
70. Oito jovens vão dar um passeio em dois automóveis diferentes, sendo uma delas vermelha.
de cinco lugares cada um. Qualquer um dos jovens pode 77.1. De quantas formas diferentes, tendo em atenção a
conduzir. De quantas maneiras os oito jovens se podem cor, as almofadas podem ser colocadas no sofá, lado a
repartir pelos dois automóveis? lado?
71. O Olívio comprou um telemóvel e vai introduzir um 77.2. Admita que as almofadas foram colocadas ao acaso.
PIN constituído por uma sequência de quatro dígitos. Determine a probabilidade de a almofada vermelha ficar
71.1. Qual é o número total de possibilidades distintas no meio.
que o Olívio dispõe para a escolha do PIN? Apresente o resultado na forma de fracção irredutível.
71.2. O Olívio não gosta do 0 nem do 9. Quantas são as 78. Numa prateleira estão oito livros distintos, lado a lado,
possibilidades, rejeitando estes dois algarismos? sendo três de Matemática, dois de Física e três de Biologia.
71.3. Admita que o Olívio quer escolher um PIN Determine quantas formas diferentes é possível colocar os
envolvendo apenas dígitos que representam números oito livros na prateleira lado a lado, de modo que:
primos. Quantas são as possibilidades? 78.1. os livros de Física fiquem um em cada extremo;
72. De um saco com seis fichas com os números de 1 a 6, 78.2. os livros de Matemática fiquem juntos;
extraem-se sucessivamente e 78.3. os livros de Biologia fiquem juntos num dos extremos
sem reposição três fichas, 78.4. os livros fiquem agrupados por disciplina.
anotando-se o número da ficha 79. Numa caixa há dez calculadoras, das quais quatro não
em cada extracção. têm pilhas. Considere a experiência que consiste em retirar
aleatoriamente três máquinas da caixa e verificar se têm
Quantos números diferentes
pilhas ou não.
é possível obter?
79.1. Determine a probabilidade de:
73. De quantas formas diferentes é possível colocar sete a) nenhuma ter pilhas. b) apenas uma não ter pilhas.
bolas todas diferentes em, duas caixas também diferentes 79.2. Retiram-se da caixa três máquinas, uma a uma.
se, em cada caixa, tiver que ficar pelo menos uma bola? Sabendo que as duas primeiras têm pilhas, qual a
probabilidade de a terceira:
74. O Marco está de férias na sua terra natal e tenciona
a) não ter pilhas b) ter pilhas.
visitar 6 amigos de infância. De quantas maneiras pode
organizar as visitas? 80. Um grupo de 10 amigos, sete rapazes e três raparigas,
decidem ir ao cinema, ocupando uma fila de dez lugares.
75. Os primeiros-ministros de 7 países, incluindo, São
Admitindo que todos os elementos do grupo se sentam de
Tomé e Príncipe, Portugal, Angola e Moçambique,
forma aleatória, calcula a probabilidade de:
encontraram-se para uma reunião.
80.1. as raparigas ficarem juntas;
75.1. Todos se cumprimentaram entre si no início da
80.2. as raparigas ficarem juntas e os rapazes também;
reunião. Quantos cumprimentos foram trocados?
80.3. pelo menos um dos extremos ser ocupado por uma
75.2. Sabendo que se sentaram numa mesa em fila:
rapariga.
a) de quantas formas se podem sentar?
b) de quantas formas diferentes se podem sentar se o 81. Numa empresa são atribuídos códigos de acesso a
português e o moçambicano querem ficar juntos e o determinadas áreas mais restritas. Sabe-se que os códigos
santomense e o angolano querem ficar nos extremos? são construídos por uma sequência de quatro algarismos,
75.3. De quantas formas seguidos de duas letras das 26 do alfabeto.
diferentes se podem sentar A sequência 0016-NN é exemplo de um desses códigos.
os sete à volta de uma mesa 81.1. Quantos códigos é possível formar com este sistema?
redonda? 81.2. Escolhido um dos códigos ao acaso, determine a
probabilidade de:
a) ter os algarismos diferentes e as letras iguais;
76. Numa caixa há oito bolas numeradas de 1 a 8. b) ter exactamente dois algarismos iguais a 5 e as letras
Retiramos uma bola da caixa, registamos o número e diferentes;
colocamos de novo a bola na caixa. c) ter, pelo menos, dois algarismos iguais a 8;
Repetimos o procedimento quatro vezes. d) as letras não serem ambas vogais.
Quantos resultados diferentes é possível obter?

19
  TRIÂNGULO DE PASCAL
Exemplo 5: Num concurso televisivo, os concorrentes candidatam-se a um prémio mediante
a posição atingida por uma bola que é largada na posição P, num aparelho como o
representado na figura, e que atinge umas das posições A, B, C, D, E ou F.
Reparemos que:
- de P a P1 há um único percurso;
- de P a P2 há um único percurso;
- de P a P4 há dois percursos;
- de P a P8 há três percursos.

Podemos, então construir um Referência histórica:

“triângulo numérico” com Este triângulo numérico foi apresentado
o número de percursos existentes por Pascal, matemático francês e por
de P a cada um dos pontos. Tartaglia, matemático italiano.

Ao esquema triangular seguinte chama-se triângulo de Pascal,

triângulo de Tartaglia ou triângulo aritmético.
→ linha n = 0

→ linha n = 1

→ linha n = 2
Exercício:
→ linha n = 3 82. Observe o esquema seguinte:

→ linha n = 4

No triângulo de Pascal verifica-se que:

- Os números dos lados oblíquos são sempre iguais a 1.
- Cada termo de uma linha (excepto os extremos) é igual á Construa a 7ª linha do triângulo de
soma dos que estão em cima. Pascal (n=6) e calcule a soma dos
- Em cada linha, os termos equidistantes dos extremos são iguais. elementos da 8ª linha.

> Propriedades do Triângulo Pascal

O triângulo de pascal pode ser escrito usando combinações.
Podem-se constatar algumas propriedades do
Triângulo de Pascal e que resultam das
propriedades dos números combinatórios.

Propriedade 1: Todas as linhas começam e acabam com 1.

Demonstração: Efectivamente nC0 = nCn = 1

Propriedade 2: Em cada linha, os termos equidistantes dos extremos são iguais.

n
C p  n C n p , com n 0, p 0 e p≤n
n! n! n!
Demonstração: Temos que: n
Cp  e n
C n p  
p!n  p ! n  p !n  n  p ! n  p ! p!
Logo: n C p  n C n  p

20
Propriedade 3: Cada termo de uma linha (excepto os dos extremos) é igual à soma dos que estão acima.
n
C p  n C p 1  n1 C p 1 , com n 0, p 0 e p≤n
n! n!
Demonstração: n C p  n C p 1   
p!n  p !  p  1!n   p  1!
n! n! n! p  1  n!n  p 
   
p!n  p n  p  1!  p  1! p!n  p  1!  p  1!n  p !
n! p  1  n  p  n  1!
   n 1 C p 1
 p  1!n  p !  p  1!n  p !
Logo: n C p  n C p 1  n1 C p 1

Propriedade 4: A soma dos n+1 elementos de qualquer linha do Triângulo de Pascal é igual a 2n, com n 0.

Nota: Na linha n o segundo e penúltimo elemento são iguais a n e existem n+1 elementos.
Exemplo 6: A soma dos três últimos elementos de uma linha do Triângulo de Pascal é igual a 106.
6.1. Determinemos o terceiro elemento da linha seguinte.
6.2. De que linha estamos a falar?
Resolução: 6.2. Sabe-se que a soma dos últimos termos da linha é 106,
6.1. Se a soma dos três últimos elementos é 106 então a escrevendo em linguagem matemática e usando as
soma dos três primeiros também é 106 (propriedade 2).
combinações vem: n C n  n C n1  n C n2  106 
Visualizemos no triângulo o que acontece:
 1 n
n!
 106  1  n 
n  1n  106 
n  2!2! 2
 1  1  840
 n 2  n  210  0  n  
2
 n  14  n  15
Podemos concluir que x + y = 105 Como n ϵ 0, conclui-se que n=14.
e pela propriedade 3 sabemos que z = x + y .
Ou seja, z, que representa o 3º termo da linha seguinte é igual a 105.

Exercícios: 88. O penúltimo elemento de uma linha do Triângulo de

83. A soma dos dois últimos elementos de uma linha do Pascal é 12. Determine:
Triângulo de pascal é 35. 88.1. o número de elementos dessa linha.
83.1. Quantos elementos tem essa linha? 88.2. a soma dos elementos dessa linha.
83.2. Indique os três primeiros elementos da linha
Como
89. Considere os números: 256 , 789 , 2048 , 3576 e 4500
anterior.
83.3. Indique os três últimos elementos da linha seguinte. No Triângulo de Pascal, calculou-se a soma dos elementos
de uma linha e, de seguida, a soma dos elementos de outra
84. Dois elementos consecutivos de uma linha do linha.
Triângulo de Pascal são 120 e 45. Indique um elemento Os valores obtidos são representados por dois dos
maior que estes dois que pertença à linha seguinte. números dados.
85. Indique o(s) valore(s) de k ϵ 0, de modo que: Identifique-os e explique a razão porque rejeita os outros
85.1. 10
C3  C k
10
84.2. 21
C 5  k C16 três números.

85.3. C5 17C6 18Ck

17 90. A soma dos elementos de uma certa linha do Triângulo
de Pascal é 512. Para cada elemento da linha há um cartão
85.4. 12
C3 212C4  12C5  14C k
no qual esse número é escrito. Os cartões foram
86. Uma linha do Triângulo de Pascal tem 11 elementos. introduzidos num saco e de seguida retiraram-se,
Determina o maior número que faz parte dessa linha. simultaneamente, dois cartões.
Determine a probabilidade de:
87. Uma linha do Triângulo de Pascal tem 16 elementos.
90.1. um e um só cartão ter o número 1;
Determina o número de elementos dessa linha que são
90.2. os dois cartões terem o mesmo número.
maiores que 4000.

21
  BINÓMIO DE NEWTON
Observemos o seguinte padrão:

Observação:

Notemos que no desenvolvimento

Fórmula do binómio de Newton
de (a + b)n se tem:
- o grau do polinómio do desen- De um modo geral tem-se:
volvimento de (a + b)n é n. a  bn  n C0 a n  n C1 a n1b nC2 a n2 b 2  ... n Cn1 ab n1  nCn b n , n ϵ 0

- os coeficientes são os números do n

Triângulo de Pascal. Ou seja: a  bn  
p 0
n
C p a n p b p

Exemplo 7: Determinemos, sem efectuar o

5
Exercícios:
desenvolvimento, o termo em x que aparece no
8
91. Recorra ao Triângulo de Pascal e faça o
desenvolvimento de (x + 2) .
desenvolvimento de:
 
Resolução:
91.1. x  15
4
8 91.2. 2  x 2
A partir da expressão  x  2 8  
p 0
8
C p x 8 p 2 p 91.3.  y  26 91.4. 2 x  y 5
5
verifica-se que o termo em x surge no desenvolvimento 92. Recorra ao Binómio de Newton para desenvolver e
quando 8 – p = 5 ou seja p = 3. Substituindo p por 3 na representar na forma de polinómio reduzido as
expressão 8 C p x 8 p 2 p , tem-se: 8 C3 x 5 2 3 . expressões:

Donde se conclui que o termo em x resultante do

5 
92.1. 2  x 2  5
92.2. 3  x 3
8 5
desenvolvimento de (x + 2) é 448x . 6
 1
93. No desenvolvimento de  x   , determine, caso
 x
No desenvolvimento de a  b n , designamos o exista:
termo de ordem p + 1 por Tp+1, com 0 ≤ p ≤ n, 93.1. o termo em x
2

tem-se: 93.2. o termo independente de x 93.3. o termo em x

5

T p 1  n C p a n  p b p 94. Determine o termo médio (o que ocupa a posição

central) do desenvolvimento de:
6
 x
96. Mostre que 1  3 é solução da equação 94.1.  1   94.2. x  38
 2 
x 4  16 3  28 .
12
95. Considere a expressão: px   x  x 2  .
6

 1
97. Sem efectuar o desenvolvimento de  x 2   : Após se ter representado p(x) na forma de polinómio
 x reduzido, escolheu-se ao acaso um dos monómios que o
97.1. mostre que não existe qualquer termo do 2º grau no constituem.
desenvolvimento da expressão. Qual a probabilidade de o monómio escolhido ter
97.2. determine, caso exista, o termo independente de x. coeficiente negativo, sabendo que tem grau superior a 7?

22
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS RELATIVAS E DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES
 VARIÁVEL ALEATÓRIA: FUNÇÃO MASSA DE PROBABILIDADE
Exemplo 1: Considerando a experiência aleatória que consiste em lançar
uma moeda de 1000 dobras duas vezes.
Em diagrama de árvore mostra-se o que pode acontecer:
2
O conjunto de resultados tem 4 elementos 2 e é:
S = { (Ca, Ca) , (Ca, Co) , (Co, Ca), (Co, Co)}

Consideremos agora a função que tem como domínio S e a cada elemento

do domínio faz corresponder, por exemplo, o número de vezes que aparece Ca.

A esta função, que representamos por X

chama-se variável aleatória.
O contradomínio é: { 0, 1, 2 }
A variável aleatória X pode tomar três Uma variável aleatória X diz-se
valores e escreve-se: X = 0 , X = 1 , X = 2
aleatória discreta se tomar um
número finito ou infinito
Dada uma experiência aleatória à qual corresponde o espaço de numerável de valores distintos.
resultados S, chama-se variável aleatória X a uma função que a Se assumir uma infinidade não
cada elemento do espaço de resultados associa um número real. numerável de valores distintos
X :S  diz-se variável aleatória contínua.

> Função probabilidade de X

À distribuição de probabilidades também se chama função massa de probabilidade, ou modelo de probabilidade.
Relativamente ao Exemplo 1, consideremos agora a função que a cada valor de X faz corresponder a probabilidade dos
acontecimentos associados a esse valor.
A função referida pode representar-se por uma tabela ou um gráfico:

xi 0 1 2
1 1 1
P(X = xi)
4 2 4
Esta função chama-se distribuição de probabilidade da variável aleatória X ou função massa de probabilidade da variável X.
1 1 1
Verifica-se que p(X = 0) + p(X =1) + p(X =2) = + + =1
4 2 4

Dada uma variável aleatória discreta X, que

toma os valores x1, x2, … xk, as probabilidades Exercícios:
pi = p(X = xi) satisfazem as seguintes condições: 98. Uma certa variável aleatória discreta admite o seguinte
- 0 ≤ pi ≤ 1 , i = 1 , 2 , … , k modelo de probabilidade:
k xi 1 2 3 4
- p1 + p2 + … + pk = 1 (isto é, p
i 1
i 1) P(X = xi) 0,1 0,3 0,2 m
98.1. Determine m.
Chama-se função probabilidade de X (ou função 98.2. Indique o valor de:
massa de probabilidade) à função que a cada a) p(X ≤ 2) b) p(X > 2) c) p(X ≤ 4)
valor xi faz corresponder a respectiva 99. Seja Z a variável aleatória que representa a soma de dois
probabilidade pi. Os pares (xi, pi) ; i = 1 , 2 , … , k dados com as faces numeradas de 1 a 6. Represente por
constituem a distribuição de probabilidade da uma tabela e por um gráfico a distribuição de probabilidade
variável aleatória discreta X. para a variável Z.

23
> Média e valor médio; desvio-padrão amostral e desvio-padrão populacional
Tal como foi visto no estudo da estatística, no que se refere a medidas de localização e de dispersão, em
particular média e desvio-padrão (em relação à amostra), há interesse em conhecer parâmetros
correspondentes, ou seja, valor médio e desvio-padrão populacional, para o caso da distribuição de
probabilidades de uma variável aleatória X.
Exemplo 2: Consideremos um dado tetraédrico regular com as faces numeradas de 1 a 4.
2.1. Durante um certo período de tempo foram realizados
1500 lançamentos (registando-se o número que fica para
2.2. Consideremos a variável
baixo) e obteve-se a seguinte distribuição de frequências:
aleatória X: “valor numérico num lançamento”
xi 1 2 3 4 Total A variável aleatória assume os seguintes valores:
ni 359 388 382 371 1500 1,2,3e4
1
fi 0,239 0,259 0,255 0,247 1 p(X = 1) = p(X =2) = p(X =3) = p(X = 4) =
4
Média aritmética A tabela de distribuição da probabilidades da variável
x  1  0,239  2  0,259  3  0,255  4  0,247  2,51 aleatória X é:
Variância amostral xi 1 2 3 4
s 2  1  2,512  0,239  2  2,512  0,259  pi 0,25 0,25 0,25 0,25

 3  2,512  0,255  4  2,512  0,247

Valor médio ou esperança
 1,2219
  1  0,25  2  0,25  3  0,25  4  0,25  2,5
Desvio-padrão amostral
Variância populacional
s  1,2219  1,1054
 2  1  2,52  0,25  2  2,52  0,25 
 3  2,52  0,25  4  2,52  0,25
 1,25
Reparemos que a distribuição de frequências obtém-
Desvio-padrão populacional
se a partir de uma amostra (alguns elementos da
população), enquanto a distribuição de probabilidades   1,25  1,118
se obtém a partir de toda a população.
Em síntese:

Nota:
Atendendo à Lei dos Grandes
Números, à medida que o
número de experiências
aumenta, a frequência relativa
tende para a probabilidade.

Exercício:
100. A distribuição de probabilidade
de uma certa variável aleatória Y é a
seguinte:
yi 0 1 2 3
1 1 1 1
pi
8 4 8 2
Calcula o valor médio e o desvio-
padrão da variável Y.

24
Exercícios:
101. Num saco há sete bolas, quatro pretas e três 104. Uma caixa tem quatro bolas numeradas de 0 a 3.
vermelhas. Retiram-se, ao acaso, cinco bolas do saco. Retiram-se, sucessivamente e sem reposição, duas bolas e
Seja X a variável aleatória “Número de bolas vermelhas registam-se os números das bolas retiradas.
retiradas”. Seja X a variável aleatória: “Produto dos números das bolas
101.1. Quais os valores que a variável aleatória X toma? retiradas”.
101.2. Determine a probabilidade de a variável 104.1. Indique os valores que a variável X pode tomar,
aleatória X ser igual a 2, isto é, P(X = 2). organizando a experiência num diagrama de árvore.
102. Na figura está uma roleta dividida em seis sectores 104.2. A experiência foi repetida 200 vezes e os resultados
geometricamente iguais. foram os seguintes:
Cada jogada custa 25 euros e xi 0 2 3 6
consiste em rodar a roleta ni 105 35 31 29
dando no mínimo três voltas, Complete:
sendo atribuído, em euros o a) a tabela de frequências relativas:
prémio marcado no sector xi 0 2 3 6
indicado pela seta quando a
fi … … … …
roleta pára.
b) a tabela de distribuição de probabilidades:
Seja X a variável aleatória: “Saldo após uma jogada”
Construa a tabela de distribuição da variável aleatória X xi 0 2 3 6
P(X = xi) … … … …
103. A variável aleatória X: “Número do vértice de um
dado tetraédrico equilibrado que ocorre quando se
105. A distribuição de probabilidade de uma certa variável
lança o dado” tem a seguinte distribuição:
aleatória X é a seguinte:
xi 1 3 x
xi 1 2 3
P(X = xi) a 0,25 0,25
P(X = xi) 0,3 0,1 0,6
Com x ϵ e a ϵ [0, 1].
Calcule o desvio-padrão da variável X.
Sabe-se que o valor médio de X é 2,5.
Como se encontram numerados os vértices do dado?

 MODELO BINOMIAL
São frequentes as situações de experiências aleatórias em que apenas nos interessa observar a ocorrência de um
acontecimento ou a do seu contrário, sendo possível repetir essas experiências sem que a probabilidade desse
acontecimento se altere.
Exemplo 2: Considerando, novamente, a experiência aleatória que consiste em lançar um
tetraedro regular numerado de 1 a 4 e observar o número que fica para baixo.
Seja A o acontecimento: “Sair face com o número 2.”
PA  
1
4
e PA 
3
4

A : “Sair face com número diferente de 2.”
Reparemos que, se a experiência for repetida n vezes, tem-se que:
1. em cada experiência apenas se observa se ocorrem os acontecimentos A ou A .
2. a probabilidade do acontecimento A é constante, isto é, não varia ao repetir-se a experiência.
Obter sucesso ou insucesso numa experiência é independente dos resultados obtidos em experiências anteriores.

Experiências de provas repetidas de Bernoulli:

Considere-se uma experiência aleatória em que apenas interessa observar a ocorrência de um
acontecimento A (sucesso) e a do seu contrário A (insucesso).
- Estabelece-se o número n de provas a repetir;
- A probabilidade p de sucesso em cada prova é fixa.
A variável aleatória X, que representa o número de sucessos nas provas n, chama-se variável aleatória com
distribuição Binomial de parâmetros n e p e representa-se por B(n; p).

25
Exemplo 2: O Edson decidiu lançar o tetraedro 5 vezes e pretende
que nas nestes 5 lançamentos ocorram dois números 2, ou seja duas Exercícios:
106. Um exame tem 20 questões de escolha
vezes o acontecimento A (sucesso) e três vezes o acontecimento A
múltipla, cada uma com quatro respostas
(insucesso).

possíveis. Um aluno respondeu a todas as
Já sabemos que : PA   0,25 e P A  0,75 perguntas ao acaso.
Uma sequência favorável é, por exemplo: AAAAA . Seja Z a variável aleatória correspondente ao
   
Neste caso: P AAAAA  PA  P A  P A  PA P A  número de respostas em que o aluno acertou.

 
P AAAAA  0,25  0,75  0,75  0,25  0,75  0,252  0,753
Justifique que Z é uma variável aleatória com
distribuição binomial e indique n e p.
Este raciocínio é válido para qualquer sequência favorável de dois
2 3 107. De um baralho de cartas foram retirados
sucessos e três insucessos e a probabilidade é sempre 0,25 0,75 .
os quatro ases.
O número total de sequências favoráveis (número de maneiras
5 As quatro cartas foram baralhadas e retira-se
diferentes de ocorrem dois sucessos e três insucessos) é dado por C2.
uma ao acaso.
Sendo X a variável aleatória “Número de 2 em 5 lançamentos.”, a
Considere o acontecimento:
probabilidade pedida é P(X = 2).
A: “A carta retirada é o ás de copas.”
Pelo que foi visto conclui-se que:
  
Admita que a experiência é repetida três
P X  25C2 PA 2 P A
3
vezes. Determina a probabilidade de o
ou seja, P X  2 5C2  0,252  0,753  0,264 acontecimento A ocorrer:
107.1. apenas na última experiência.
Em n provas repetidas de Bernoulli, seja A o 107.2. exactamente uma vez.
acontecimento considerado sucesso. 107.3. no máximo duas vezes.


Em cada prova P(A) = p e P A = 1 – p = q. 108. No lançamento de uma moeda viciada, a
Seja ainda X a variável aleatória binomial que representa: 1
probabilidade de sair face cala é .
3
“Número de sucessos em n provas”
Em 5 lançamentos, qual a probabilidade de:
A probabilidade de obter exactamente k sucessos em n
108.1. sair face cala exactamente duas vezes?
provas é dada por:
108.2. sair sempre face coroa?
P X  k  n C k p k q nk ; 0  k  n 108.3. sair, pelo menos 4 vezes, a face cala?

109. A distribuição de probabilidades da

Numa distribuição binomial de parâmetros n e p, B(n, p), variável aleatória X é B( 3 ; 0,2).
temos: 109.1. Determine P(X = 2).
109.2. Construa a tabela de distribuição de
Valor médio:   n  p
probabilidades da variável X.
Variância:  2  n  p  1  p 
110. Um casal tem 4 filhos.
Desvio-padrão:   n  p  1  p  Comente a afirmação:
“A probabilidade de ter só dois filhos rapazes é
50%”.
Referência histórica:
Nota: Considere que a probabilidade de nascer
rapaz é igual à probabilidade de nascer
Jacob Bernoulli (1654 – 1705) foi um
rapariga.
dos membros da distinta família
Bernoulli, com muitos contributos 111. Um jogador de futebol tem sucesso em
dados na área das ciências. 70% das vezes que é chamado a marcar um
Apresentou vários trabalhos na área da penalti. Qual a probabilidade de, na marcação
matemática e da astronomia que, na sua de 5 penaltis, ser bem-sucedido em 4?
maioria, se encontraram na obra intitulada
112. A probabilidade de uma peça sair
Ata Eruditorum. Decorridos oito anos após a sua morte, em 1713,
defeituosa de uma determinada máquina é
foi publicada a sua obra Ars Conjectandi (A arte de conjecturar)
8%. Determine o número de peças defeituosas
onde se encontram, os fundamentos da teoria das probabilidades
esperado num lote de 500 peças.
e pela primeira vez uma caracterização da distribuição binominal.

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  MODELO NORMAL; HISTOGRAMA VERSUS FUNÇÃO DENSIDADE
Estudámos variáveis aleatórias discretas e as respectivas distribuições de probabilidades.
Deu-se particular destaque ao modelo binomial.
Vamos estudar agora variáveis aleatórias contínuas e o modelo normal.
A distribuição normal é das mais importantes distribuições de probabilidade.
Consideremos que estávamos interessados em estudar o peso dos alunos do ensino secundário em São Tomé e
Príncipe.
Seja X a variável aleatória que representa o peso de um aluno, escolhido ao acaso, de entre os alunos
santomenses do ensino secundário. A variável aleatória X é contínua.
Para estudar a população suponhamos que se recolheu uma amostra e que se representa graficamente os dados
por um histograma.
Considerando cada vez mais observações e
consequentemente mais classes para o
histograma este, no limite, vai aproximar-se
de uma área limitada por uma curva
representativa da chamada função densidade
de probabilidade. A função densidade, que se
representa por uma curva com a forma de
sino é, para a população, o equivalente ao
histograma para a amostra.

> Modelo Normal

Assim como no caso das variáveis discretas estudámos o modelo binomial, para o caso de variáveis contínuas
vamos estudar o modelo normal.
Características da curva normal:
- É simétrica relativamente ao valor médio μ da variável.
- Tem um máximo para x = μ.
- Quanto maior for o desvio-padrão σ, mais achatada é a curva.

Observação:
Teoricamente uma variável com
- A área compreendida entre a curva e o eixo dos xx é igual a 1. distribuição normal assume todos os
valores de .

- A probabilidade de que a variável tome valores no intervalo

[xi, xj] é igual à área definida pelo eixo dos xx, pelo gráfico de
função densidade e pelas rectas x = xi e x = xj.
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- A concavidade da curva muda de sentido para x1 = μ – σ e x2 = μ + σ.
( x1 e x2 são abcissas dos pontos de inflexão)
- O eixo das abcissas é assimptota da curva.
- A área a baixo da curva distribui-se em intervalos da seguinte forma:

Uma distribuição normal fica totalmente caracterizada se conhecermos o valor médio μ e o desvio-padrão σ.

Se uma variável aleatória contínua segue uma Exercícios:

distribuição normal de valor médio μ e desvio-padrão σ, 113. Os pesos dos parafusos produzidos numa
representa-se por N(μ, σ). fábrica distribuem-se normalmente com
μ = 56g e σ = 6g.
Exemplo 3: A distribuição dos pesos dos soldados de um quartel
Determine a percentagem de parafusos cujo peso:
segue uma distribuição normal com μ = 64kg e σ = 10 kg.
113.1. pertence ao intervalo [50 , 62] (em gramas)
Determine a percentagem de soldados que pesam: 113.2. é inferior a 56g.
3.1. mais do que 64kg. 113.3. superior a 62g.
3.2. entre 54kg e 74kg.
3.3. menos do que 54kg. 114. Os pesos das crianças do sexo masculino de um
infantário distribuem-se normalmente com valor
Resolução: médio de 12kg e desvio padrão de 2kg.
3.1. P X  64  P X     0,5 Qual a probabilidade de uma criança daquele
infantário, escolhida ao acaso:
114.1. pesar entre 10kg e 14kg?
114.2. pesar mais de 14kg?
Logo, 50% dos soldados pesam mais do que 64kg. 114.3. pesar mais de 16kg?
3.2. μ – σ = 64 – 10 = 54 ; μ + σ = 64 + 10 = 74 115. Os diâmetros, em centímetros, de um certo tipo
P54  X  74  P    X       0,6827 de peças circulares obdecem à distribuição
N(10; 0,2). Seja X o diâmetro, em cm, das peças
circulares. Determine:
115.1. P9,8  X  10,2
115.2. P X  9,6
115.3. P X  10,2
115.4. P9,6  X  10
Logo, aproximadamente 68,27% dos soldados têm um peso
compreendido entre 54 e 74kg. 116. Uma distribuição das classificações de 500
provas de um exame, na escala de 0 a 20, é
3.3. μ – σ = 54 representada por uma curva normal N( 11 , 3).
0,6827 116.1. Qual é a percentagem de provas que foram
P X  54   P X       0,5   0,1587
2 classificadas com, pelo menos 14 valores?
116.2. Escolhida ao acaso uma das provas, qual a
probabilidade da classificação:
a) estar compreendida entre 8 e 14?
b) estar compreendida entre 14 e 17?
c) não ser inferior a 5 valores?

Logo, cerca de 15,87% dos soldados têm um peso inferior a 54kg.

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