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Geometria Analítica e Vetores: Produto Vetorial de Vetores No Espac o
Geometria Analítica e Vetores: Produto Vetorial de Vetores No Espac o
Geometria Analítica e Vetores: Produto Vetorial de Vetores No Espac o
Produto vetorial
de Vetores no Espaço
Produto escalar
O produto escalar de dois vetores u⃗ e ⃗v (no plano ou no espaço),
denotado por u⃗.⃗v , é definido por
u⃗.⃗v “ }⃗
u }}⃗v }cosθ,
onde θ = ângp⃗
u , ⃗v q.
Recordação
u⃗ “ px1 , y1 q, ⃗v “ px2 , y2 q,
então
u⃗.⃗v “ x1 x2 ` y1 y2 .
2 No espaço, considere a base ortonormal E “ t⃗e1 , e⃗2 , e⃗3 u. Se u⃗
e ⃗v têm coordenadas, respectivamente, em relação à esta base:
u⃗ “ px1 , y1 , z1 q, ⃗v “ px2 , y2 , z2 q
então
u⃗.⃗v “ x1 x2 ` y1 y2 ` z1 z2 .
Recordação
1 Se u⃗ ‰ ⃗0 e ⃗v ‰ ⃗0 e θ é o ângulo entre u⃗ e ⃗v , então:
u⃗.⃗v
cos θ “ .
u }}⃗v }
}⃗
Definição
No espaço R3 , dados dois vetores u⃗ e ⃗v , definimos u⃗ ^ ⃗v , o produto
vetorial de dois vetores u⃗ e ⃗v , da seguinte maneira:
1 se u⃗ e ⃗v forem linearmente dependentes,
u⃗ ^ ⃗v “ ⃗0,
u ^ ⃗v } “ }⃗
}⃗ u }}⃗v }senθ,
onde θ = ângp⃗
u , ⃗v q.
Observação
Se u⃗ e ⃗v estão LI, então o módulo do u⃗ ^ ⃗v é a área do paralelogramo
formado pelos dois vetores u⃗ e ⃗v .
⃗v
h “ }⃗v }senθ
θ
u⃗
Exemplo: Determine a área de um paralelogramo determinado por
u⃗ e ⃗v nos seguintes casos:
1 u⃗ e ⃗v são versores ortogonais;
2 u } e a medida do ângulo entre u⃗ e ⃗v é 60˝ .
u⃗ é versor, }⃗v } “ 2}⃗
Exemplo: No sistema cartesiano 0xyz, a base canônica
C “ t⃗i, ⃗j, ⃗ku (com esta ordem) é uma base positiva, e:
⃗k
⃗j
⃗i y
0
x
Propriedades
Calcule
1 u⃗ ^ ⃗v ;
2 2⃗
u ^ 4⃗v ;
3 p⃗ ⃗;
u ^ ⃗v q ^ w
4 u⃗ ^ p⃗v ^ w
⃗ q;
5 p⃗ w.
u ^ ⃗v q.⃗
Observação
Em geral, u⃗ ^ p⃗v ^ w
⃗ q ‰ p⃗
u ^ ⃗v q ^ w
⃗.
Exemplo: Calcule a área do triângulo ABC , sabendo que,
relativamente a uma base ortonormal positiva t⃗i, ⃗j, ⃗ku, as
ÝÑ ÝÑ
coordenadas dos vetores AC e CB são:
ÝÑ ÝÑ
AC “ p1, 1, 3q, CB “ p´1, 1, 0q.
Exercícios
Exercício 1
Se u⃗ “ 3⃗i ´ ⃗j ´ 2⃗k, ⃗v “ 2⃗i ` 4⃗j ´ ⃗k e w
⃗ “ ´⃗i ` ⃗k, determinar:
1 u ^ ⃗v };
}⃗
2 p2⃗v q ^ p3⃗v q;
3 u ^ ⃗v q ^ p⃗v ^ u⃗q;
p⃗
4 p⃗ ⃗ ;
u ´ ⃗v q ^ w
5 p⃗ ⃗;
u ^ ⃗v q ^ w
6 u⃗ ^ p⃗v ^ w
⃗ q;
7 u⃗.p⃗v ^ w
⃗ q.
Exercícios
Exercício 2
A medida angular entre u⃗ e ⃗v é 300 , e suas normas, 2 e 3. Calcule
u ^ 9⃗v }.
}4⃗
Exercício 3
A medida angular entre os vetores ⃗a e ⃗b é 600 , e suas normas são,
respectivamente, 1 e 2. Sendo u⃗ “ ⃗a ` ⃗b e ⃗v “ ⃗a ´ ⃗b, calcule a
norma de u⃗ ^ ⃗v .
Exercícios
Exercício 4
Obtenha o vetor ⃗x sabendo que:
1
1 ⃗x .p⃗i ´ ⃗jq “ 0 e ⃗x ^ p⃗i ` 2⃗kq “ ⃗i ´ ⃗k.
2 ?
2 ⃗x K u⃗, ⃗x K ⃗v , }⃗x } “ 10 e u⃗ ^ ⃗v “ p1, 4, 2 2qC (onde C é
uma base ortonormal positiva).
Exercícios
Exercício 5
Seja E “ t⃗ e1 , e⃗2 , e⃗3 u uma base ortonormal positiva.
Calcular o valor de m para que a área do paralelogramo
determinado
? por u⃗ “ pm, ´3, 1qE e ⃗v “ p1, ´2, 2qE seja igual a
26.
Exercício 6
Sabendo que }⃗ u } “ 6, }⃗v } “ 4 e a medida do ângulo entre u⃗ e ⃗v é
˝
igual a 30 , calcular:
1 a área do paralelogramo determinado por u⃗ e ´⃗v ;
2 a área do paralelogramo determinado por u⃗ ` ⃗v e u⃗ ´ ⃗v .
Bom estudo!!