Resolução de Problemas Matemáticos
Resolução de Problemas Matemáticos
Resolução de Problemas Matemáticos
SÃO MATEUS
2016
JOSÉ APARECIDO DA SILVA FERNANDES
SÃO MATEUS
2016
Este trabalho é dedicado aos meus pais, Alcebíades e
Ana, base de tudo, pelas orações e apoio
incondicional durante a realização deste curso.
AGRADECIMENTOS
Inicialmente e acima de tudo, a Deus, que me guia, me direciona e me dá forças para vencer
todos os desafios colocados em minha vida.
Aos meus pais, pelo carinho, incentivo, dedicação, apoio, orações e pela compreensão nos
momentos de ausência. Ao meu irmão, cunhada e sobrinhos pelo carinho, ajuda e incentivo
dispensados.
Ao meu orientador, Prof. Dr. Lúcio Souza Fassarella, pela condução, apoio, dedicação,
confiança, profissionalismo e que, na amplitude de sua humildade, soube ter paciência,
entender meus anseios, decisões e limitações. Muito obrigado por ter me proporcionado,
através de seus ensinamentos, excelente aprendizagem em todas as etapas dessa caminhada,
seja nas disciplinas ministradas ou nos nossos encontros de orientação.
Aos membros da banca de qualificação, Prof. Dr. Moysés Gonçalves Siqueira Filho e Profª.
Drª. Andressa Cesana, por terem aceitado tão prontamente o nosso convite em nos ajudar e
por terem tanto contribuído com as valiosas sugestões e críticas para o enriquecimento de
nosso estudo.
Aos professores, os quais tive o prazer de cursar disciplinas no Mestrado: Prof. Dr. Franklin
Noel dos Santos, Profª. Drª. Márcia Helena Siervi Manso, Profª. Drª. Andréa Brandão
Locatelli, pelas valiosas discussões no decurso das disciplinas.
À direção da Escola Estadual de Ensino Fundamental e Médio “Professor Elpídio Campos de
Oliveira” que autorizou a realização desta pesquisa.
À professora de Matemática do 6º M01, turma pesquisada, pelo carinho em nos ter acolhido,
pela confiança e a generosidade em contribuir com o seu melhor, nesta pesquisa.
Aos alunos do 6º M01, pelo carinho, respeito e dedicação que construímos mutualmente, no
decorrer do desenvolvimento de nossas atividades.
À Secretaria Estadual de Educação do Espírito Santo, que autorizou o meu afastamento para
cursar este mestrado, que com certeza irá se refletir no aprimoramento dos serviços prestados
à sociedade.
À Profª. Drª. Lourdes de la Rosa Onuchic, UNESP, Rio Claro, que mesmo não sendo minha
orientadora e ter me visto, apenas pela segunda vez, me recebeu em seu Grupo de Trabalho e
Estudo em Resolução de Problemas e em sua residência com muito carinho e respeito para
compartilhar comigo seus saberes e experiências. Por disponibilizar materiais que tanto
contribuíram para o nosso estudo e por aceitar prontamente o nosso convite em participar de
nossa banca de defesa. Meus sinceros agradecimentos.
Aos colegas da primeira turma do Mestrado, pelo convívio harmonioso, pelas discussões
proveitosas nas disciplinas cursadas e em participação nos eventos e, em especial, os da área
de Ensino de Matemática, Ana Cláudia Pezzin, André Tessaro, Clarice Segantini e Jonas José
Chequeto pelas sugestões e reflexões que fizemos juntos, durante a construção de nosso
conhecimento e elaboração de nossos trabalhos.
Estendo, ainda, os meus agradecimentos a todos aqueles que, apesar de não serem citados
aqui, me apoiaram direta ou indiretamente nessa fase da minha vida.
RESUMO
The present dissertation aims to investigate the contributions of the methodology of Problem
Solving in the teaching and learning process of divisibility with natural numbers, to students
of 6th grade of Elementary School. It is characterized as qualitative research in the form of
case study of ethnographic type, organized according to the Methodological Model of
Romberg-Onuchic. For data collection is used field diary, participant observation and
interview; furthermore it describes the productions of the students throughout the application
of the activities from the working plan. It has as research question: what contributions of the
Methodology Problem Solving can propitiate for teaching and learning the divisibility theme
to 6th grade students of elementary school from a public school in Espírito Santo? The
general objective is to select and apply didactic activities about divisibility using Problem
Solving as methodology of teaching as preconized by Allevato and Onuchic and analyze the
process of learning in the perspective of student participation to their own knowledge. It has
been verified that during the development of activities, construct there was considerable
improvement of students in several aspects: at the behavior, organization, individual
participation and collaborative work, besides the learning of several concepts and techniques
related to divisibility.
Quadro 1 - Algumas pesquisas realizadas sobre divisibilidade entre os anos 2004 e 2014 ..... 38
Quadro 2 - Relação de obras aprovadas no âmbito do PNLD 2014 ......................................... 58
Quadro 3 - Primeira atividade diagnóstica ............................................................................... 82
Quadro 4 - Segunda atividades diagnóstica .............................................................................. 83
Quadro 5 - Terceira atividade diagnóstica ................................................................................ 84
Quadro 6 - Cronograma de aulas (continua) .......................................................................... 113
Quadro 7 - Cronograma de aulas (conclusão) ........................................................................ 114
Quadro 8 - Grupos de alunos para realização da primeira atividade ...................................... 119
Quadro 9 - Organização dos dados do problema: um jogo de baralho .................................. 152
Quadro 10 - Distribuição do total de cartas do baralho entre participantes ........................... 156
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ...................................................................................................................... 14
INTRODUÇÃO
A Matemática é uma área do conhecimento que surgiu e tem se desenvolvido a partir dos
problemas que o homem encontra na sociedade. Assim, a resolução de problemas faz parte da
Matemática.
Devido ao baixo aproveitamento dos alunos das escolas públicas nas avaliações externas, a
exemplo do SAEB/Prova Brasil1 nas suas três últimas edições, além de outros fatores
vivenciados diariamente por professores e alunos, a Matemática tem sido vista, ultimamente,
no Brasil como uma disciplina problemática, no que tange ao processo de ensino e
aprendizagem. Por um lado, observamos a incompreensão, muitas vezes o descaso ou a
desmotivação dos alunos em relação aos conteúdos matemáticos ensinados de forma
tradicional2. Por outro lado, o professor, muitas vezes, não possui qualificação ou tempo para
planejar adequadamente suas aulas. Assim sendo, é comum e compreensível o fato de os
alunos não alcançarem resultados satisfatórios nesse componente curricular.
1
SAEB/Prova Brasil – Sistema de Avaliação da Educação Básica realizado pelo Inep/MEC, a cada dois anos,
abrange estudantes das redes pública e privada do país localizadas em área rural e urbana, matriculados na 4ª e 8ª
séries (ou 5º e 9º anos) do Ensino Fundamental e também no 3º ano do Ensino Médio. As provas aplicadas de
Língua Portuguesa e Matemática recebem o nome de Prova Brasil.
2
Entendemos por ensino tradicional aquele desenvolvido conforme o paradigma do exercício ou segundo o
absolutismo burocrático definidos por Helle AlrØ e Ole Skovsmose (2010), ou seja, o modo de ensinar
Matemática no qual o professor vai ao quadro e explica determinado conteúdo, demonstra alguma fórmula ou
teorema, resolve exemplos, passa uma lista de exercícios, enquanto o aluno ouve, copia, resolve ou não a lista e
repete o que aprendeu numa avaliação, sempre tendo o professor como a fonte inquestionável de conhecimento.
3
Aqui, o termo metodologia alternativa designa qualquer metodologia de ensino distinta da tradicional.
15
Problemas nas aulas de Matemática as tornam mais ricas, interessantes e plenas de sentido
para o aluno. Os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1997) também preconizam
buscar metodologias alternativas, dentre elas a Resolução de Problemas, visando atingir os
objetivos educacionais que a sociedade reclama.
A partir de minha experiência, como professor de Matemática da Educação Básica com tais
considerações em mente, surgiu a vontade de conhecer as contribuições da metodologia de
ensino Resolução de Problemas para a aprendizagem da divisão, um assunto normalmente
difícil de ser abordado na Educação Básica. Isso me levou a desenvolver esta pesquisa com
foco na divisibilidade junto a uma turma de 6º ano do Ensino Fundamental da escola em que
trabalho, sendo a escolha desta série uma consequência imediata do fato da divisão constar no
seu currículo. Nossa questão de pesquisa é: quais contribuições a metodologia Resolução de
Problemas pode propiciar para o ensino e aprendizagem do tema divisibilidade a alunos de
6º ano do Ensino Fundamental de uma escola pública do Espírito Santo?
4
O GTERP, após alguns anos desenvolvendo pesquisas com base no Modelo Metodológico de Romberg, em
2014 sugere alterações ao modelo original, acrescentando uma atividade (Modelo Modificado) ao primeiro
bloco. Esse novo modelo passou a ser chamado pelo grupo de Modelo Metodológico de Romberg-Onuchic.
5
Grupo vinculado ao programa de Pós-Graduação em Educação Matemática, na UNESP, Rio Claro-São Paulo e
coordenado pela Professora Drª. Lourdes de la Rosa Onuchic.
16
ser este um modelo que descreve todas as estratégias e todos os procedimentos de uma
pesquisa, o texto pode se tornar extenso.
No segundo capítulo, Identificação do Problema de Pesquisa, apresentamos como chegamos
ao Fenômeno de Interesse desta pesquisa, o ensino e aprendizagem de Divisibilidade, a partir
de minha trajetória pessoal6.
6
Estamos considerando trajetória pessoal como sendo escolar, acadêmica e profissional.
17
1 METODOLOGIA DE PESQUISA
Apresentamos neste capítulo o ponto de vista de alguns pesquisadores sobre o que vem a ser
pesquisa de um modo geral, a natureza de nossa pesquisa e o modelo metodológico escolhido
para desenvolver esta pesquisa.
De acordo com D’Ambrosio (2012, p. 86) a palavra pesquisa está ligada “a investigação, a
busca (=quest), a research (search = procura) e a ideia, sempre a mesma, é a de mergulhar na
busca de explicações, dos porquês e dos comos, com foco em uma prática”.
Para Gil (1999, p.42), a pesquisa tem um caráter pragmático, é um “processo formal e
sistemático de desenvolvimento do método científico. O objetivo fundamental da pesquisa é
descobrir respostas para problemas mediante o emprego de procedimentos científicos”.
Conforme Ludke e André (1986, p. 1),“para se realizar uma pesquisa é preciso promover o
confronto entre os dados, as evidências, as informações coletadas sobre determinado assunto e
o conhecimento teórico acumulado a respeito dele”.
Assim, remetendo-nos a D’Ambrósio (2012), encontramos que “entre teoria e prática persiste
uma relação dialética que leva o indivíduo a partir para a prática equipado com uma teoria e a
praticar de acordo com essa teoria até atingir os resultados desejados” (p. 73). Portanto,
pesquisa “é o elo entre teoria e prática” (p.84).
Projetamos nossa pesquisa à luz de uma abordagem qualitativa, uma vez que não estamos
interessados na representatividade numérica do grupo pesquisado e sim, com o processo.
18
Segundo Bogdan & Biklen (1994), o conceito de pesquisa qualitativa envolve cinco
características básicas que configuram este tipo de estudo: (i) o ambiente natural como fonte
direta de dados e o pesquisador como seu principal instrumento; (ii) os dados coletados são
predominantemente descritivos; (iii) a preocupação com o processo é muito maior que com o
produto; (iv) o significado que as pessoas dão às coisas e à sua vida é de suma importância
numa abordagem qualitativa; (v) a análise dos dados tende a seguir um processo indutivo.
Ainda segundo esses autores, a pesquisa qualitativa envolve a coleta de dados descritivos,
adquiridos no contato direto do pesquisador com a situação estudada, evidencia mais o
processo do que o produto e se preocupa em retratar a perspectiva dos participantes.
Entre as várias formas, que uma pesquisa qualitativa pode admitir, destaca-se o estudo de caso
do tipo etnográfico, pois permite, assim, “[...] compreender melhor a manifestação geral de
um problema, as ações, as percepções, os comportamentos e as interações das pessoas [...]
relacionadas à situação específica onde ocorrem ou à problemática determinada à que estão
ligadas” (LUDKE; ANDRÉ 1986, p. 18-19).
Segundo Fiorentini & Lorenzato (2012, p. 107) este é um tipo de estudo em que,
Conforme Ludke e André (1986), o estudo do tipo etnográfico combina, também, com outras
técnicas, entre elas, a observação participante e entrevistas com os participantes. De acordo
com Fiorentini & Lorenzato (2012, p. 108),
As entrevistas, sob o ponto de vista de Fiorentini & Lorenzato (2012, p. 120), “além de
permitir uma obtenção mais direta e imediata dos dados, serve para aprofundar o estudo,
complementando outras técnicas de coleta de dados [...]”.
Ainda, segundo Ludke & André (1986), documentos produzidos, como, por exemplo, diário
de campo7, diário de classe, entrevistas, não só complementam as técnicas já mencionadas,
mas, também “constituem [...] uma fonte poderosa de onde podem ser retiradas evidências
que fundamentam afirmações e declarações do pesquisador” (p. 39).
Dessa forma, para desenvolver este estudo, consideramos a própria sala de aula dos
participantes envolvidos na pesquisa, numa escola pública, como ambiente natural; tendo
como objetivos: selecionar atividades, aplicar, observar e promover a construção de
conhecimento através do ensino e aprendizagem de divisibilidade através8 da metodologia de
Resolução de Problemas.
Mesmo que nossa pesquisa esteja caracterizada como um estudo de caso do tipo etnográfico,
necessitamos, como pesquisador iniciante, de uma estrutura na qual teremos mais facilidade e
segurança quanto às ações a serem realizadas. Assim, em nossas buscas, escolhemos, como
estrutura, o modelo metodológico que está mencionado a seguir.
O contato com alguns trabalhos do grupo GTERP nos trouxe o conhecimento da metodologia
de Romberg-Onuchic, com sua estruturação mais ampla e caracterização mais detalhada de
cada etapa do processo de pesquisa. Terminamos por escolher esta em função dessas
características e, também, porque nos adaptamos bem à rigidez dessa estrutura e com ela
sentimo-nos mais seguros em relação às ações a serem desenvolvidas.
7
Para Fiorentini & Lorenzato (2012), o Diário de Campo é um dos instrumentos mais ricos de coleta de dados
durante o trabalho de campo. É nele que o pesquisador registra observações de fenômenos, faz descrições de
pessoas e cenários, descrevem episódios, diálogos.
8
Aqui, consideramos a expressão “através de” na perspectiva de Allevato e Onuchic (2014), onde elas dizem que
significa “ao longo”, “no decurso” da resolução do problema.
20
O modelo é constituído por onze atividades que estão distribuídas em três blocos, Figura 2: o
primeiro bloco trata da identificação do problema (atividades 1, 2, 3, 4 e 5), o segundo bloco
apresenta uma proposta de resolução desse problema, no qual estratégias e procedimentos de
trabalho são levantados e selecionados (atividades 6 e 7) e o último bloco que, após o
procedimento geral ser posto em ação, trata da análise das informações obtidas, buscando
tudo o que ficou evidente diante da questão ou conjectura levantada (atividades 8, 9,10 e 11).
Romberg (1992) em seu artigo deixa claro que não há nada de único sobre sua lista de
atividades, pois quase todos os métodos de pesquisa apresentam um conjunto de atividades
semelhantes às defendidas por ele. Contudo, essas atividades são colocadas para: (1) elucidar
alguns problemas comuns que as pessoas não familiarizadas com pesquisa se defrontam ao
procurar entender o processo de investigação; e (2) dar fundamentação à discussão das
tendências de pesquisa. Ele salienta ainda que independentemente das atividades estarem
apresentadas numa sequência, não, necessariamente, elas precisam ser seguidas na ordem em
que aparecem. Nesse sentido, fatores como intenção, hipóteses, conjecturas, disponibilidade
de informação, métodos, entre outras características do pesquisador não podem ser separados
tão explicitamente.
2. Modelo
8. Interpretar as
preliminar
6. Selecionar evidências
procedimentos de
pesquisa
3. Relacionar com 9. Relatar
ideias de outros evidências
2. Modelo
9. Interpretar as
preliminar
7. Selecionar evidências
procedimentos de
pesquisa
3. Relacionar com 10. Relatar
ideias de outros evidências
5. Pergunta ou
conjecturas
As atividades desse bloco situam as ideias que se tem sobre um problema particular e, ao
relacioná-las com ideias de outros, podemos decidir o que se quer investigar.
Desta forma, de acordo com Romberg, os educadores matemáticos podem, de fato, enfocar
uma variedade de áreas numa variedade de olhares. Esse é o momento em que surge uma
possível pergunta sobre o que se pretende pesquisar. O fenômeno de interesse é o nosso
objeto de estudo.
Romberg (1992, p. 51) esclarece que o “modelo serve como um ponto de partida ou de
orientação para a situação de interesse”. Em sua tese de doutorado, Allevato (2005) descreve o
modelo preliminar assim:
Tal como o nome enfatiza, o modelo preliminar reflete a ideia inicial do pesquisador
sobre o fenômeno que pretende estudar. Ele poderá ser alterado, e a pesquisa ser
reorientada, em virtude de novos e inesperados fatos ou fatores que possam surgir no
decorrer da pesquisa (p. 21).
De acordo com Onuchic e Noguti (2014, p. 60), “o Modelo Preliminar funciona como um
guia para o pesquisador no desenvolvimento da pesquisa, podendo sofrer alterações de acordo
com o avanço da mesma”.
Desta forma, esse Modelo Preliminar dá uma visão geral do fenômeno a ser estudado,
apontando possíveis pontos de partida e um possível encaminhamento para a pesquisa. Assim
sendo, existe a possibilidade desse modelo não ser seguido à risca, mas, a partir dele, o
pesquisador poderá organizar suas ações conforme a realidade dos fatos se revela durante a
pesquisa.
De acordo com Onuchic e Noguti (2014), após “ouvir os outros”, o pesquisador pode perceber
que seu Modelo Preliminar é inadequado para a pesquisa, por carência de informações ou por
adequação a determinada realidade, por exemplo. Assim, o Modelo Modificado surge como
uma alteração do Modelo Preliminar.
Ainda segundo o autor, as perguntas podem assumir as seguintes orientações: (1) caráter
descritivo: como as coisas chegaram a ser desta maneira? (quando orientadas no passado) e,
qual é a situação que se tem das coisas hoje? (orientadas no presente); (2) caráter preditivo:
o que acontecerá se eu fizer da seguinte forma? (orientada no futuro).
Já para Onuchic e Noguti (2014, p.63), “a Pergunta da Pesquisa surge após o pesquisador
relacionar o seu Fenômeno de Interesse e o Modelo Modificado com as ideias de outros”.
24
Selecionar uma Estratégia Geral de Pesquisa significa definir “o que fazer” na pesquisa. Para
Romberg (1992),
a decisão sobre que métodos utilizar segue diretamente das questões que se
seleciona, da visão de mundo na qual as questões estão situadas, do modelo
preliminar que foi construído a fim de explicar o “fenômeno de interesse” e da
conjectura que se faz sobre a evidência necessária (p. 52).
Para executar a estratégia geral, é necessário selecionar também estratégias auxiliares a partir
das variáveis do Modelo Preliminar. Por exemplo, criar um Plano de Trabalho constitui o que
entendemos por estratégia geral de pesquisa; definir a escola e obter autorização da direção
onde se pretende trabalhar é uma estratégia auxiliar.
Cada estratégia tem seu respectivo procedimento, sendo que a diferença entre eles está em “o
que fazer?” (estratégias) e “como fazer?” (procedimentos). Selecionar um Procedimento Geral
de Pesquisa significa definir “como fazer” a pesquisa. Segundo Romberg (1992),
Ainda segundo esse autor, muitos são os procedimentos específicos que se pode seguir para
diversos tipos de questões. Assim sendo, é preciso ter cuidado suficiente ao selecioná-los de
tal forma que venham a esclarecer as questões levantadas. Por exemplo, a criação de um
Plano de Trabalho caracteriza o que entendemos por procedimento geral e a definição e
25
As atividades que compõem esse último bloco são ações que dão sentido às informações
coletadas no decorrer da aplicação do projeto. As evidências selecionadas, descritas e
interpretadas frente ao problema da pesquisa levantado poderão dar suporte para conclusões
sobre o resultado obtido.
De acordo com Onuchic e Noguti (2014), nesse estágio o pesquisador deverá coletar
evidências e interpretá-las. Para tanto, o pesquisador planeja e executa ações de acordo com
as estratégias e procedimentos selecionados anteriormente.
Este passo pode ser dado diretamente, uma vez que se decidiu coletar informações para
construir um dado argumento a respeito das questões levantadas. Desse modo, quando o
procedimento geral é colocado em ação, evidências importantes são obtidas para responder as
questões elaboradas. Os procedimentos podem ser planejados ou até redefinidos no decorrer
da coleta dos dados, dependendo da maneira que a pesquisa está sendo conduzida.
Segundo Romberg (1992) é importante que o pesquisador deixe claro, em seu trabalho, sua
própria visão de mundo, pois suas descobertas serão interpretadas segundo essa visão. Se isto
não estiver garantido, os leitores usarão, sem nenhuma dúvida, suas próprias noções para
interpretar o estudo realizado.
Onuchic e Noguti (2014) dizem que, após o término de uma investigação científica, o
pesquisador tem a obrigação de informar a outros sobre essa conclusão e “buscar seus
comentários e críticas, ou seja, Antecipar a Ação de Outros pesquisadores em relação ao seu
tema de pesquisa. Ao fazer isso, o pesquisador poderá também apresentar aos seus pares
possibilidades de trabalhos futuros envolvendo seu objeto de pesquisa” (p. 65).
27
Nesta pesquisa, o objeto de estudo foi definido a partir de minha trajetória pessoal. De acordo
com Allevato (2005, p. 20), “a identificação do fenômeno de interesse ou tema geral da pesquisa,
situa a curiosidade do pesquisador e corresponde ao ponto de partida para um trabalho de
pesquisa”.
Nasci e realizei minha educação básica em Montanha – ES. Desde o Ensino Fundamental,
gostava de Matemática, dedicava-me mais a ela do que às outras matérias do currículo,
realizava as atividades propostas sem apresentar maiores dificuldades, etc. Era bom aluno
nessa disciplina e, acredito, também por esse motivo, decidi fazer o curso Técnico em
Contabilidade ao invés do Magistério no Ensino Médio, naquele tempo chamado de 2º grau.
Escolhi o curso Técnico em Contabilidade, que habilitava todos que o concluíam a trabalhar
nessa área. Ser professor, à época, estava fora de cogitação. Durante o curso, julgava que
tinha bons professores, ou pelo menos me parecia que sabiam os conteúdos que ensinavam –
achava isso, principalmente, nos professores de Matemática.
No ano de conclusão do ensino médio (segundo grau), 1987, consegui um emprego num
escritório técnico em contabilidade, onde permaneci por seis anos. Em 1992, por ironia do
destino, um ex-professor meu, de Matemática, saiu de licença para tratamento e me pediu para
substituí-lo na disciplina de Matemática durante os últimos três meses letivos, em suas turmas
de 8º e 9º anos (7ª e 8ª séries) numa escola pública do referido município. Relutei muito, mas
acabei aceitando devido à sua insistência. Foi a minha primeira experiência em sala de aula
como professor.
Naquela época, as escolas tinham autonomia para contratar profissionais da educação sem
concurso. Em 1993, fui recontratado para substituir uma professora que saía de licença
maternidade e assumi disciplinas de Matemática em outras turmas do Ensino Fundamental.
28
No início tive muita dificuldade em lidar com os alunos. O relacionamento com eles não era
muito bom, pois o comportamento deles em sala de aula era complexo e a forma de ensino
tradicional que eu apresentava parecia não ser a mais adequada ao trabalho daquelas séries.
Eu me esforçava, sabia o conteúdo, mas não tinha didática, ensinava como havia aprendido
com alguns de meus professores. Comecei a me questionar: O que poderia eu fazer para que,
um dia, pudesse ser um bom professor? Minha formação inicial, técnico em contabilidade,
não tinha relação com a função docente; conclui que precisava de algo mais para trabalhar
bem em sala de aula.
Antes mesmo de ir para o Rio Grande do Sul, através de amigos meus que moravam,
estudavam e trabalhavam por lá, mais precisamente em Ijuí, noroeste daquele estado, fiquei
sabendo muitas coisas sobre o ensino. Pelo que me relatavam, passei a acreditar que lá havia
melhores chances para crescer profissionalmente, como eu desejava. Tanto me convidaram
para ir morar, trabalhar e estudar em Ijuí que, no final de 1997, resolvi ir para lá.
aprendiam logo após fazer uma avaliação, realidade não muito diferente da que eu presenciei
no Espírito Santo.
Durante os cinco anos da graduação, trabalhei na mesma escola. Dessa forma, não tive
oportunidade de vivenciar a realidade da escola pública gaúcha, apenas ouvi relatos. Assim
que concluí a licenciatura, em 2002, retornei a Montanha – ES. Em 2003, fui contratado pelo
município e pelo estado como professor DT (Designação Temporária) para lecionar
Matemática no Ensino Fundamental e Médio. Imaginava que, ao retornar à minha cidade e às
escolas nas quais havia trabalhado, iria encontrar os alunos com um rendimento melhor do
que quando sai; contudo, parecia que nada havia mudado. Pude perceber a dificuldade que
muitos alunos tinham em compreender Matemática, desde conceitos básicos, como, por
exemplo, saber trabalhar com as Operações Aritméticas (adição, subtração, multiplicação,
divisão), principalmente a operação divisão.
Ainda em 2003, ingressei numa Pós-Graduação em Matemática e Estatística Lato Sensu, pela
UFLA – Universidade Federal de Lavras. Esse curso não mudou muita coisa no meu
conhecimento pedagógico, no sentido de aprender novas metodologias, novas estratégias para
o ensino de Matemática.
No ano 2008, após aprovação num concurso, assumi o cargo de professor efetivo da rede
estadual de ensino do Estado do Espírito Santo e optei por escolher trabalhar na cidade de
Montanha, onde moro até hoje. Assumi a Escola Estadual de Ensino Fundamental e Médio
“Professor Elpídio Campos de Oliveira”, trabalhando no Ensino Fundamental do 6º ao 9º ano
e, eventualmente, no Ensino Médio em outra escola deste município.
Durante as aulas, quando abordava o tema divisão, alguns alunos tinham grandes dificuldades
para realizar as atividades e resolver os problemas propostos. Muitos nem tentavam fazer
alegando não saber. Nos nossos planejamentos, ou até mesmo nos intervalos, quando esse
assunto era mencionado entre os professores, ficava nítido que o problema acontecia também
nas demais turmas, inclusive no ensino Médio. Assim, os resultados dos alunos não eram
satisfatórios nas avaliações regulares da escola, chegando ao final do ano letivo com algumas
reprovações.
30
Assim, inicialmente, formulamos o nosso fenômeno de interesse para a pesquisa que seria o
tema de minha dissertação de mestrado:
Com base no Modelo Metodológico Romberg-Onuchic, este modelo preliminar indica uma
primeira imagem da pesquisa que pretendíamos fazer. O fluxograma, Figura 3, mostra uma
ideia inicial e organizada desse modelo.
32
Termo de Compromisso
Analisar as evidências
Conclusões
33
Ao perguntarmos sobre o uso do material manipulativo nas aulas de Matemática, para auxiliar
no entendimento das atividades, a professora disse: “já tentei, mas eles são muito danados,
não param sentados e, então, não usei mais”.
Durante essa reunião, agendamos duas aulas de 55 minutos para levarmos para a turma alguns
problemas sobre as quatro operações (adição, subtração, multiplicação e divisão). Os
objetivos foram observar quais caminhos os alunos utilizariam para resolver os problemas e
quais seriam os conhecimentos prévios necessários dessa turma em relação a esse conteúdo.
Isso corrobora com o que prega os PCN - Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática:
A primeira aula agendada ocorreu no dia 26 de maio de 2015, no 3º horário9 de aula, com 19
alunos presentes. Chegamos à turma, conversamos com eles sobre o nosso projeto, do que se
tratava e como seria desenvolvido, etc. Então, distribuímos uma lista com seis questões
extraídos de livros didáticos de 4º ano do Ensino Fundamental (seção 3.2.4). Pedimos a eles
para resolver da forma que achassem melhor, mas sem pedir ajuda a mim ou à professora.
A maioria dos presentes reclamou dos dois problemas de divisão que estavam na lista. Alguns
comentários surgiram durante a resolução das atividades como, por exemplo, “eu não vou
fazer essa conta de dividir... não sei isso... é muito difícil tio”; “esse problema é de dividir ou
de menos?”; “divisão é muito difícil... eu não sei isso não”; alguns chamavam a professora:
“tia... tia... me ajuda aqui”. Sem contar os que tentaram e erraram, dez deixaram as duas
questões em branco. As outras quatro questões, alguns acertaram e outros as resolveram
parcialmente.
A segunda aula agendada ocorreu no dia 28 de maio de 2015, no último horário de aula da
turma, com 17 alunos presentes. Nessa ocasião, levamos uma lista com oito operações, sendo
que duas delas eram de divisão. Uma, tinha no divisor um algarismo e a outra, dois
algarismos. Ao distribuir a lista, repetimos para eles o que havíamos dito na primeira aula,
para resolver como quisessem e sem nossa ajuda. E a história se repetiu. “Conta de dividir de
novo... eu não sei isso não tio!”, bradou um no fundo da sala quando se deparou com uma das
operações de divisão. A operação que tinha um algarismo no divisor, a maioria deles deixou
em branco ou errou; já a operação que tinha dois algarismos no divisor, todos erraram ou
deixaram em branco. Quanto às outras operações, a maioria acertou ou acertou parcialmente.
Para conhecer a professora de Matemática da turma, marcamos uma data para conversarmos
na escola, num horário que coincidisse com o seu planejamento. Preparamos um roteiro de
entrevista, contemplando questões sobre sua formação, tempo de trabalho e experiência no
Ensino Fundamental, qual sua percepção sobre a classe em que iríamos desenvolver o projeto,
etc. (seção 3.2.3).
No decorrer da entrevista ela demonstrou preocupação com o tempo que sobraria para
trabalhar divisibilidade após o término da nossa pesquisa. Então, nos fez a proposta para
desenvolvermos o projeto de pesquisa incluindo esse tópico todo, visando não prejudicar o
9
Esse horário antecede o intervalo (recreio escolar).
35
plano de ensino para o trimestre letivo10, ora planejado por ela, baseado no livro didático
adotado pela escola e respaldado pela equipe pedagógica.
Diante da situação exposta pela professora e analisando o transtorno que seria para ela atrasar
o seu conteúdo trimestral, ter que modificar seu plano de ensino, conduzir a turma com dois
assuntos diferentes ao mesmo tempo e, também, levando em consideração os relatos dela e da
pedagoga da escola a respeito da turma e o resultado das atividades diagnósticas aplicadas,
decidimos mudar o nosso Fenômeno de Interesse para ensino e aprendizagem de
divisibilidade, através da Resolução de Problemas no 6º ano do Ensino Fundamental.
Desta forma, o nosso Modelo Preliminar sofreu uma mudança considerável e passou a ser
chamado Modelo Modificado, como mostra o fluxograma, Figura 4, com as modificações
destacadas em negrito.
10
Nas escolas das redes estadual e municipal do Espírito Santo, o ano letivo é subdividido em 3 trimestres.
36
Termo de compromisso
Analisar as evidências
Conclusões
37
Ao fazermos uma busca referente às pesquisas com interseção ao nosso tema divisibilidade,
selecionamos seis trabalhos realizados entre os anos de 2004 e 2015. Sendo cinco dissertações
e uma tese. No banco de dados da Capes, utilizando os termos divisibilidade, ensino-
aprendizagem de divisibilidade, ensino-aprendizagem de múltiplos e divisores,
construção de critérios de divisibilidade, ensino-aprendizagem de divisibilidade por
meio da Resolução de Problemas, ensino-aprendizagem de múltiplos e divisores por
meio da Resolução de Problemas, encontramos a dissertação de Pizysieznig (2011); no
Repositório Institucional da UNESP, encontramos a dissertação de Pereira (2004); no Google
(Brasil), encontramos os trabalhos de Resende (2007), Gregoruti (2009), Silva (2010) e
Maurício (2014) entre os anos 2000 e 2015. Entretanto, utilizamos em nossa revisão
bibliográfica apenas as cinco pesquisas de mestrado indicadas no quadro 1. Os trabalhos
escolhidos resumem o tipo de produção na área e focalizam o tema de divisibilidade. O
motivo pelo qual não utilizamos a pesquisa de doutorado em nossa revisão é que ela está
voltada mais para a formação de professores. Após relacioná-los nos quadros abaixo, fizemos
um resumo da ideia principal de cada um deles.
38
Quadro 1 - Algumas pesquisas realizadas sobre divisibilidade entre os anos 2004 e 2014
Em sua dissertação, Pereira (2004) teve como principal objetivo verificar qual é a
contribuição da Metodologia de Ensino-Aprendizagem de Matemática através da Resolução
de Problemas para a disciplina Matemática, no 3º ciclo (5ª série/6º ano e 6ª série/7º ano) do
Ensino Fundamental, partindo de problemas geradores de novas ideias matemáticas. Dentro
da Educação Matemática, o ensino-aprendizagem de Matemática através da Resolução de
Problemas é entendido como uma metodologia alternativa, que visa a um trabalho centrado no
aluno, a partir de problemas geradores de novos conceitos e novos conteúdos matemáticos.
Ao trabalhar com essa metodologia, segundo a autora, o aluno participa da construção do
conhecimento com a orientação e a supervisão do professor que, somente no final do
desenvolvimento da atividade ou da resolução de um problema, formaliza as novas ideias
construídas, utilizando notação e terminologia corretas. Foram trabalhadas as unidades
temáticas: divisibilidade e números racionais. Para desenvolver a sua pesquisa, ela seguiu a
metodologia de Romberg.
A questão que norteou o seu trabalho foi: Qual é a contribuição da Metodologia de Ensino-
Aprendizagem de Matemática através da Resolução de Problemas para a disciplina
Matemática, no 3º ciclo do Ensino Fundamental, a partir de problemas geradores de novos
conceitos e novos conteúdos matemáticos? Para obter a resposta desta pergunta, ela elaborou
uma sequência de atividades (plano de ensino) contemplando, na sua maioria, problemas
geradores de novos conceitos e novos conteúdos para serem trabalhados com alunos de 5ª
série (6º ano) do Ensino Fundamental, em sala de aula, de uma escola pública da rede estadual
de São Paulo. Esse projeto foi desenvolvido em 58 aulas de 50 minutos cada.
Segundo Pereira (2004), a dinâmica que ela utilizou para o desenvolvimento de todas as
atividades selecionadas ou criadas para compor o seu plano de ensino se deu a partir do
roteiro elaborado por Onuchic (1998), para o desenvolvimento de atividades no Programa de
40
A autora salienta que, ao dar início à aplicação do Projeto em sala de aula, os alunos, mesmo
já tendo trabalhado em grupos, ainda não estavam familiarizados com essa dinâmica, num
trabalho coletivo e colaborativo. Essa forma diferenciada de trabalho chocou alguns alunos.
Muitos, mesmo estando juntos com seus pares, resolviam suas questões matemáticas
individualmente. Houve, inclusive, discórdia entre os membros de alguns grupos, pois, ainda,
não possuíam espírito de equipe.
Para Pereira (2004), quando os alunos da turma pesquisada entenderam a dinâmica de sala, no
trabalho em seus respectivos grupos, mostravam preocupação em sempre apresentar
corretamente seus resultados, pois acreditavam que se estivessem certos poderiam obter
melhores notas. Isso, segundo ela, pôde ser percebido quando alguns grupos manifestaram
forte interesse em conhecer o trabalho de grupos vizinhos, ao resolver um mesmo problema.
Durante a plenária, eles puderam entender que o mais importante era o processo e não,
simplesmente, o resultado de cada problema. O professor tem papel fundamental por sempre
incentivá-los a continuar a construir novos conceitos e novos conteúdos, formalizando ao final
da plenária.
Para a autora, em suas conclusões, a metodologia alternativa adotada em sua sala de aula,
contribuiu para uma melhora do ensino-aprendizagem de Matemática. Fez com que os alunos,
na sua grande maioria, pensasse, refletisse e relacionasse conceitos novos com conteúdos
construídos anteriormente. Pereira (2004) afirma que
É sabido que saber Matemática é saber relacionar. Dentro de certas limitações, pude
observar, muitas vezes, os alunos nos grupos, relacionando conteúdos trabalhados
num problema com tópicos matemáticos já vistos anteriormente, para poder resolver
outros problemas dados. Isso foi, para mim, importante (p.242).
Respondendo à pergunta de sua pesquisa, ela afirma com segurança que, em face de todas as
considerações colocadas, foi relevante a contribuição da Metodologia de Ensino-
Aprendizagem de Matemática através da Resolução de Problemas para a disciplina
Matemática, no 3º ciclo do Ensino Fundamental, a partir de problemas geradores de novos
conceitos e novos conteúdos matemáticos.
Gregorutti (2009) verificou como seis alunos de 5ª série (6º ano) do Ensino Fundamental
instigam seus conhecimentos sobre divisibilidade de números inteiros, tendo em vista a
construção de uma nova perspectiva aos critérios de divisibilidade referente aos números dois,
três e cinco.
A autora tinha como desejo que os conhecimentos ali adquiridos fossem úteis para o
entendimento da divisão, uma vez que, segundo ela, pesquisas indicam que esta é uma das
operações em que os alunos apresentam maior dificuldade. Ancorada no entendimento da
relação entre álgebra e aritmética, a autora elaborou uma lista com quatro situações de
aprendizagem que envolviam os conceitos de múltiplos e divisores, divisão exata e não exata
e os critérios de divisibilidade, cujos objetivos eram sondar o que os alunos já sabiam a
respeito do tema e identificar a forma de construção de novos conhecimentos.
Dessa maneira, ela fez uma investigação sobre o significado do termo “critérios de
divisibilidade” e utilizou em sua pesquisa o que julgou mais conveniente: “critérios de
divisibilidade são instrumentos matemáticos que servem como uma norma para proceder à
divisibilidade, ou então, uma ‘receita’ para obter maior êxito no processo de divisão” (p.15).
Gregorutti (2009) propôs três questões aos alunos a fim de atacar a pergunta que instigou sua
investigação. A primeira tinha como propósito saber se os alunos estavam aptos para entender
se havia um padrão nos resultados da divisão por dois, três e cinco. Ela pôde verificar que os
alunos constataram tal padrão somente para os números dois e cinco, não conseguindo
estabelecer critério algum para o número três.
42
Para a segunda questão foram apresentados dois propósitos: verificar se os alunos associavam
a divisão exata e a divisão não exata ao valor encontrado no resto e perceber se eles, ao
manusearem a calculadora, relacionavam as casas decimais do quociente ao resto diferente de
zero, isto é, que se tratava de uma divisão não exata. Para a primeira situação a autora
concluiu que os alunos reconheceram a divisão exata e a divisão não exata, e as associaram ao
resto. Em relação à segunda questão, ela observou que os estudantes, ao identificarem o
quociente sendo um número natural e o resto igual a zero, concluíram que se tratava de uma
divisão exata. Todavia, tendo no quociente um número decimal, eles não relacionaram as
casas decimais ao resto da divisão, apesar de entenderem que era uma divisão não exata.
Na terceira questão, Gregorutti (2009) verificou que, ao longo da resolução das questões
anteriores, eles não observaram que os múltiplos e os divisores de um número natural eram os
possíveis números de uma divisão exata e que só foram entender essa relação, após a
formalização desses conceitos.
Com a quarta questão, a autora tinha como objetivo saber se os alunos após vivenciarem as
situações de estudo que constaram nas questões anteriores, ficassem habilitados para construir
de forma autônoma, os critérios de divisibilidade, para os números dois, três e cinco. Ela
constatou que os estudantes não conseguiram criar um critério para o número três.
A referida autora também percebeu que no caso do número três, o critério de divisibilidade
não é fácil de ser entendido, uma vez que este apresenta particularidades (a soma dos
algarismos que compõem o número) que não podem ser observadas facilmente, como no caso
do número dois e cinco.
2.4.1.3 Divisibilidade: práticas de estudo realizadas por alunos de um curso preparatório para
o vestibular
43
Silva (2010) teve como objetivo “analisar práticas e argumentos utilizados pelos estudantes de
um curso preparatório para o vestibular, concernente ao tema divisibilidade, em um contexto
de ações afirmativas” (p.23), na cidade de Campo Grande - MS. O curso preparatório para o
vestibular em que foi realizada a pesquisa atende alunos de baixa renda e oriundos de escolas
públicas, em um contexto de Ações Afirmativas11, que veem no Ensino Superior uma
possibilidade de igualdade de oportunidades.
Segundo Silva (2010) as sessões de estudo ocorreram no horário das chamadas oficinas de
aprendizagem nas quais a instituição oferecia oportunidade para alunos que pudessem e
quisessem participar de algumas aulas “extras” nas disciplinas: Matemática, Língua
Portuguesa, Inglês, Espanhol, Física, Química e Redação. Em um mesmo dia ocorriam duas
oficinas, concomitantemente, podendo o aluno escolher qual oficina iria frequentar, conforme
seu interesse. As oficinas de Matemática mantiveram uma média de cinco alunos até o final
do projeto, uma vez que não eram obrigados a participar.
Silva (2010), em sua pesquisa propôs três tipos de tarefas, a saber, T1: Determinar o resto da
divisão entre dois números inteiros; T2: Encontrar os Múltiplos e/ou Divisores; e T3:
Determinar a quantidade de divisores de um número.
As atividades realizadas com os alunos foram organizadas em duas propostas distintas, sendo
uma delas composta, em sua maioria, por tarefas rotineiras extraídas de livros didáticos do 6º
11
Para a autora, o conceito de Ações Afirmativas é dado por meio da perspectiva de Nascimento (2007), onde de
uma forma mais geral, ele entende, como sendo as dinâmicas, práticas, meios e instrumentos que têm como meta
o reconhecimento sociocultural, a promoção da igualdade (de oportunidades, de tratamento e de condições
objetivas de participação na sociedade) e, portanto, a universalização (concreta) de direitos civis, políticos e
sociais em uma dada sociedade. Ainda, segundo a autora, a expressão Ações Afirmativas surgiu nos anos de
1960, nos Estados Unidos, em meio a reivindicações democráticas internas, expressas principalmente no
movimento pelos direitos civis, tendo como bandeira a extensão de igualdade de oportunidade a todos. Já no
Brasil um fato que poderia ser caracterizado como o primeiro registro de Ação Afirmativa ocorreu em 1968,
quando surgiu a proposta da criação de uma lei que obrigaria as empresas privadas a manter uma percentagem
mínima de empregados de cor (20%, 15% ou 10%, de acordo com o ramo de atividade e a demanda). Esta
proposta de lei tinha o apoio de técnicos do Ministério do Trabalho e do Tribunal Superior do Trabalho.
Entretanto, esta lei não chegou a ser elaborada, mas tal movimento teve sua importância como marco para o
início das Ações Afirmativas no Brasil.
44
ano do Ensino Fundamental, que foram aplicadas nas sessões prévias, e a outra proposta de
atividades foi, em sua maior parte, construída por tarefas não rotineiras trabalhadas nas
sessões de estudo.
Após a realização das sessões prévias, cujos objetivos foram a apresentação dos envolvidos na
pesquisa e o diagnóstico dos conhecimentos do grupo sobre divisibilidade, foram iniciadas as
sessões concernentes aos tipos de tarefas escolhidas.
A, B, C, D, E, F, G e H são os fios de apoio que uma aranha usa para construir sua teia,
conforme mostra a figura. A aranha continua seu trabalho.
A autora salienta que a evidência real dessa tarefa foi resolver, em especial, o item “e”. Os
itens de “a” a “d” tiveram um papel importante, porém estes não se caracterizaram como um
problema para o grupo, pois apresentavam tarefas, de certa forma, rotineiras.
45
Segundo Silva (2010) houve evolução do ponto de vista matemático e didático, para resolver
o problema proposto, pois os estudantes tiveram um intenso trabalho até chegar à construção
do modelo por eles apresentado.
Destacamos ainda que, o desenvolvimento do grupo não ocorreu de forma linear, pois cada
aluno seguiu seu próprio ritmo, o que pôde ser verificado nos registros de linguagem das
técnicas, que ora eram mais evoluídos, ora rudimentares. No entanto, todos, de certa forma,
aceitaram o problema e buscaram aplicar técnicas mais evoluídas para resolverem o problema.
Sob a ótica da autora, o problema do produto de três números consecutivos foi idealizado a
partir do momento em que “algumas carências conceituais que vinham perdurando no grupo
quanto ao cálculo de múltiplos de um número. Desta forma, tomou-se a decisão de abordar
elementos teóricos no sentido de suprir esta lacuna no conhecimento dos participantes das
sessões de estudo” (p. 105).
Silva (2010) comenta que nessa tarefa, a estratégia mais utilizada pelos alunos consistiu em
multiplicar três números consecutivos. Ela diz ainda que esta é uma maneira natural,
espontânea dos alunos resolverem problemas desse nível, uma vez que muitos não conseguem
justificar técnicas matemáticas num nível mais geral e abstrato da Matemática, apesar de a
abstração e a Matemática estarem historicamente relacionadas.
Para a autora, diante desses fatos, é essencial a valorização das estratégias utilizadas pelos
alunos. Certamente, ao valorizar as primeiras conclusões desenvolvidas num trabalho
matemático, os estudantes poderão, a partir deles, tornar viável a construção dos elementos de
nível teórico superior para a realização da tarefa.
Silva (2010) diz que para a resolução desta atividade, vários caminhos foram traçados, várias
estratégias foram montadas pelos alunos, no intuito de chegar à solução do problema. Tiveram
muita dificuldade, mas juntos não desistiram.
Para Silva (2010), os resultados das sessões demonstraram que os alunos do grupo pesquisado
apresentavam algumas dificuldades em relação ao tema divisibilidade como: o domínio das
nomenclaturas, a elaboração de definições, a organização formal e a validação dos resultados.
Observou-se que, tanto os registros de linguagem como as técnicas, ora eram mais evoluídos,
ora mais rudimentares, mas que no decorrer do processo de estudo, de modo geral, houve
evolução no processo de ensino e aprendizagem.
Ainda segundo a autora, ela percebeu uma real mudança de atitude. Ela afirma isso com base
nos depoimentos que foram coletados, no início do ano, durante a entrevista realizada com
esses estudantes sobre suas práticas de estudo, como por exemplo, a maneira como estudavam
para as provas. E, como resposta, eles disseram que não gostavam, e se isso acontecesse
prefeririam estudar conteúdos de geografia, história, etc. No decorrer do trabalho, através de
suas observações constantes, essa situação já havia mudado bastante. Quando foram
questionados novamente sobre a realização de tarefas fora da sala de aula e estudar para as
avaliações, de modo geral, todos responderam que procuravam refazer as atividades já
resolvidas. Eles ainda narraram que não faziam parte de suas práticas de estudo realizar
atividades para as quais não tinham um modelo a ser seguido ou gabarito, por não terem
certeza se a solução estaria certa ou errada.
Na fase preliminar, o autor fez um levantamento bibliográfico sobre assuntos da Teoria dos
Números com foco na divisibilidade e sobre assuntos do uso das tecnologias no ensino e na
aprendizagem de Matemática com foco nas calculadoras.
Na fase de análise a priori, foram estabelecidos os critérios de seleção dos sujeitos, a escolha
do ambiente onde seria realizada a experimentação, a organização do material de apoio
durante a investigação e a seleção das atividades que comporiam a sequência didática que
seria aplicada, no intuito de possibilitar a percepção se a concepção de divisibilidade proposta
nesse trabalho estaria articulada com o quadro geral mais amplo da rede pública.
A terceira fase, a da experimentação, foi composta por duas sessões: uma dedicada à
familiarização com a calculadora e a outra visava a observação da concepção dos alunos sobre
a divisibilidade. O confronto das análises a priori com a posteriori deveria validar ou não as
hipóteses levantadas durante a pesquisa.
Para o autor, fica claro também que o sentido matemático de “divisor” deve ser enfatizado
pelos professores, e que só deve ser utilizado no sentido matemático do termo e apenas ao
tratar de números inteiros. Assim sendo, no algoritmo da divisão “o número pelo qual se
divide” não deve ser nomeado de divisor, pois cria um obstáculo didático na construção de
uma concepção desejada de divisor, visto esse ser um conceito essencial para o entendimento
de outros conceitos da divisibilidade, dentre os quais estão os critérios de divisibilidade,
mínimo múltiplo comum, máximo divisor comum - conceitos primordiais da Teoria
Elementar dos Números.
2.4.1.5 Uma proposta de Sequência Didática para o ensino de M.D.C. e M.M.C. na Educação
Básica
Maurício (2014) teve como objetivo apresentar em seu trabalho uma sequência didática
voltada aos professores da educação básica, principalmente, da rede pública estadual. Essa
sequência trata em específico do cálculo do Máximo Divisor Comum por meio da divisão
euclidiana. Ele discorre sobre divisibilidade, Mínimo Múltiplo Comum e números primos. A
proposta em questão é formada por 4 capítulos.
1 – Divisibilidade em Z
1.1 – Algoritmo da Divisão (Divisão Euclidiana)
2 – Máximo Divisor Comum (M.D.C.)
3 – Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C.)
4 – Números Primos
O autor supracitado afirma que ao ministrar aulas para turmas de Ensino Médio, ao longo de
vários anos, pôde observar que,
O autor ressalta ainda que as poucas referências bibliográficas que tratam esse tema ignoram a
abordagem do cálculo do m.d.c. pela divisão euclidiana. Além disso, é um assunto que não é
abordado pelo CBEE/ES – Currículo Básico das Escolas Estaduais do Espírito Santo.
Ele, a partir de sua análise, sugere aos professores que preparem um material a parte para que
possam suprir essa deficiência, considerando a importância desse tópico matemático.
Observamos que na pesquisa realizada, em cada um de seus capítulos, sempre inicia com a
definição, proposição de um teorema e a prova dele. Na sequência, uma lista de exercícios.
Ou seja, começa com a formalização do conceito.
50
Verificamos que, mesmo que esse trabalho tenha sido realizado para professores, não teve a
participação de nenhum dos que trabalham em sala de aula como colaborador de sua pesquisa,
ou seja, não se trata de uma formação continuada.
Apesar de o estudo do referido autor, de certa forma, ter relação com a nossa pesquisa, seu
foco não foi o mesmo do nosso trabalho, uma vez que no seu estudo não há nenhuma
interseção com as novas tendências para ensino e aprendizagem da matemática. Contudo, foi
importante para fazermos essa reflexão.
É sabido que o nosso sistema educacional está apoiado na Lei de Diretrizes e Bases nº
9.394/96, a qual, dentre outras coisas, aborda a necessidade de estabelecer conteúdos mínimos
obrigatórios para a Educação Básica. Por meio disso, criaram os PCNs (1997, 1998, 2000),
para orientação dos profissionais da educação no que tange à prática docente, assim como os
objetivos a serem alcançados durante a escolaridade. Para a educação do estado do Espírito
Santo, a SEDU - Secretaria Estadual de Educação publicou o CBEE – Currículo Básico das
Escolas Estaduais, que trata de uma abordagem mais restrita á realidade desse estado,
estabelecendo, inclusive, roteiro de conteúdos para cada série com habilidades e
competências.
A segunda parte do livro trata, separadamente, dos dois ciclos, sendo o 1º ciclo referente às 1ª
e 2ª séries (2º e 3º anos) e o 2º ciclo correspondem às 3ª e 4ª séries (4º e 5º anos). Em ambos,
são abordados:
Após fazer uma leitura cuidadosa da lista de conteúdos de cada um dos ciclos, observamos
que o tópico Divisibilidade não está relacionado. Entretanto, ao interpretar o documento e a
partir de observações feitas em livros didáticos, entendemos que são dadas noções desse
tópico no 2o ciclo, 4ª série (5º ano). São recomendadas as operações com Números Naturais
no primeiro ciclo e no segundo ciclo o aluno deverá ampliar seus conceitos em relação ao
primeiro, sendo abordado o conceito de divisibilidade com números naturais.
Assim como os PCN, 1ª à 4ª séries, os dos anos finais (1998), específicos para a área de
Matemática, estão divididos em duas partes. A primeira aborda, inicialmente, as reformas
curriculares do ensino nacional, citando e criticando o Movimento da Matemática Moderna,
que baseava o ensino nas grandes estruturas que organizam o conhecimento matemático,
salientando a “teoria dos conjuntos, as estruturas algébricas, a topologia, etc. Esse movimento
provocou, em vários países, inclusive no Brasil, discussões e amplas reformas no currículo de
Matemática” (p. 19).
52
Em seguida, à sua breve revisão histórica os PCN, 5ª à 8ª séries, listam alguns tópicos
mencionando a importância do papel da Matemática como uma forma de compreender e atuar
no mundo, bem como para a construção da cidadania e sua interação com os temas
transversais. Trata também do processo de aprender e ensinar Matemática, discutindo as
relações professor-aluno-saber matemático, assim como alguns dos recursos para “fazer
Matemática” em sala de aula (Resolução de Problemas, História da Matemática, Tecnologia
da Informação e jogos) e apresenta, na sequência, alguns objetivos gerais e os blocos
temáticos de conteúdos de Matemática para o Ensino Fundamental, anos finais. Esses blocos
são: Números e Operações, Espaço e Forma, Grandezas e Medidas e Tratamento da
Informação.
A segunda parte dos PCN (5ª à 8ª séries) trata os dois ciclos (3º e 4º) separadamente, sendo o
3º ciclo referente às 5ª e 6ª séries (6º e 7º anos) e o 4º ciclo correspondem às 7ª e 8ª séries (8º e
9º anos). Em ambos, são abordados:
Com relação aos números naturais, esse documento menciona que muitas vezes é considerado
que o trabalho com eles é finalizado ao término do segundo ciclo; todavia, é fundamental que
o estudante continue a explorá-los em situações de “contagem, de ordenação, de codificação
em que tenha oportunidade de realizar a leitura e escrita de ‘números grandes’ e desenvolver
uma compreensão mais consistente das regras que caracterizam o sistema de numeração que
utiliza” (p. 66).
Dessa forma, é necessário que os alunos ampliem os seus conhecimentos sobre a cerca desses
conteúdos, explorando o potencial crescente, inclusive de abstração, descobrindo
regularidades e propriedades numéricas e geométricas. Com isso, criam-se também condições
para que o aluno perceba que a atividade matemática estimula o interesse, a curiosidade, o
espírito de investigação e o desenvolvimento da capacidade para resolver problemas.
O CBEEES (2009) foi elaborado com a finalidade de definir o Conteúdo Básico Comum -
CBC para cada disciplina da Educação Básica, cuja implementação é obrigatória em todas as
54
escolas da rede estadual do Espírito Santo. Essa proposta traz a ideia de que existe um
conteúdo básico de cada disciplina correspondendo a cerca de 70% do currículo que é
fundamental para a formação da cidadania e que é necessário ser ensinado a todos os
estudantes da Educação Básica da rede estadual. Além do CBC, outros conteúdos
complementares deverão ser acrescentados de acordo com a realidade sociocultural da região
onde a unidade escolar está inserida, correspondendo aos 30% restantes do currículo.
1. Guia de Implementação;
2. Ensino Fundamental – anos iniciais;
3. Ensino Fundamental – anos finais, volume 1 – Área de Linguagens e Códigos
Língua Portuguesa;
Artes;
Língua Estrangeira Moderna – Inglês;
Educação Física.
4. Ensino Fundamental – anos finais, volume 2 – Área de Ciências da Natureza
Ciências;
Matemática.
5. Ensino Fundamental – anos finais, volume 3 – Área de Ciências Humanas
História;
Geografia;
Ensino Religioso.
6. Ensino Médio – volume 1 – Área de Linguagens e Códigos
Língua Portuguesa;
Arte;
Educação Física;
Língua Estrangeira Moderna – Inglês
7. Ensino Médio – volume 2 – Área de Ciências da Natureza
Química;
Física;
Biologia;
Matemática
8. Ensino Médio – volume 3 – Área de Ciências de Ciências Humanas
55
Filosofia;
História;
Sociologia;
Geografia
Analisando o volume 2, Ensino fundamental, anos finais, observamos que esse é dividido em
dois capítulos, sendo que o inicial, comum às várias áreas do conhecimento, trata do processo
de construção desse documento, dos pressupostos teóricos, onde os princípios norteadores
colocam o estudante como referência e foco de todo o processo educativo. Também
“representam a base e o fundamento que subsidiam a política educacional de escolarização de
crianças, jovens e adultos capixabas” (ESPIRITO SANTO, 2009, p.22). Ainda, retrata
diversidade na formação humana, como, por exemplo, a Educação de Jovens e Adultos, a
Educação Especial na perspectiva da inclusão escolar, Educação do Campo tendo o campo
como lócus de produção de saberes, a Educação Ambiental como perspectiva de uma
sociedade sustentável, entre outros.
No segundo capítulo, trata do desafio de recriar um ensino científico que contribua para a
formação de um ser humano capaz de ressignificar sua própria condição humana, ou seja, as
suas características fundamentais da existência da humanidade em determinado espaço.
Ancorados em fundamentos legais, como, por exemplo, a LDB - Lei de Diretrizes e Bases nº
9 394/96 e nas Resoluções 02/98 e 03/98 da CEB/CNE – Câmara de Educação Básica do
Conselho Estadual de Educação, que tratam das diretrizes curriculares nacionais dos Ensinos
Fundamental e Médio, na proposta da Secretaria de Educação do Espírito Santo de “Educar
para a pesquisa”, e nos documentos norteadores da educação, o CBEE recria proposta
curricular para ensino das Ciências firmado numa perspectiva sociocultural do ensino
científico. Especificamente, em torno do ensino e da aprendizagem da Matemática, há
tempos, discussões a respeito de metodologias, estratégias de ensino, contextualizações, entre
outros vêm sendo levantadas em todos os níveis de educação; assim,
Esse documento, ainda relata as tendências atuais em Educação Matemática, as quais vão na
direção de buscar a associação prática entre o que acontece em sala de aula e fora dela. A
organização curricular é composta por competências, habilidades e conteúdos. Ao verificar a
grade curricular, não encontramos a unidade temática divisibilidade, em nenhuma das séries
do currículo, em particular no 6º ano – como podemos observar nas figuras 6 e 7. Entretanto,
conteúdos dessa unidade são contemplados nos PCN e em todos os livros aprovados no
âmbito do PNLD 2014.
Fonte: Currículo Básico das Escolas Estaduais do Espírito Santo (2009, p. 91)
57
Fonte: Currículo Básico das Escolas Estaduais do Espírito Santo (2009, p. 92)
Observando as figuras 6 e 7, cabe a seguinte pergunta, a nível de conjectura: Por que a escola
trabalha a unidade temática divisibilidade? Penso que é porque o(a) professor(a) segue
cegamente o livro didático!
Outro norteador da prática docente é o uso dos livros didáticos, muitas vezes adotados pela
escola e que, de uma forma geral, tornam-se a única fonte de consulta para a preparação das
aulas. Para a seleção das atividades para o nosso projeto, também fizemos uso de livros
58
Ao buscar por coleções que iríamos usar como fontes para tratar o assunto divisibilidade,
inicialmente, verificamos a relação das obras aprovadas no âmbito do PNLD – Plano
Nacional do Livro Didático para 2014, último ano de escolha (Quadro 2), publicada no Diário
Oficial da União em 28 de junho de 2013, por meio da Portaria nº 29, de 26 de junho de 2013.
Verificamos que todas as dez coleções selecionadas apresentam o tema divisibilidade. Mas,
optamos pela coleção Projeto Teláris – Matemática, do autor Luiz Roberto Dante (2012). A
59
escolha se justifica pelo fato de que a escola onde o projeto de pesquisa seria desenvolvido
adotou essa coleção para o triênio 2014, 2015 e 2016.
A coleção selecionada é dividida em quatro volumes destinados aos quatro anos finais do
Ensino Fundamental, ou seja, o primeiro volume corresponde ao 6º ano; o segundo volume ao
7º ano; o terceiro ao 8º ano e o quarto ao 9º ano.
Como o nosso propósito de pesquisa não era o de analisar livros didáticos, julgamos
suficiente observar apenas o primeiro volume da coleção, com o objetivo de ilustrar como o
tópico divisibilidade é apresentado neste livro.
Numa visão mais geral, a obra destaca-se pela grande variedade de problemas que
contextualizam a Matemática em práticas cotidianas e que fazem conexões com outras áreas
do conhecimento. Nos livros, são apresentadas várias estratégias, algumas vezes postas lado a
lado, o que facilita a comparação entre elas.
Após uma breve introdução do conteúdo, com uma situação problema, o autor propõe uma
série de atividades. Novamente a situação se repete ao se tratar do conteúdo critérios de
divisibilidade, como mostra no fragmento, Figura 10, abaixo.
Assim, acontece com todos os critérios elencados acima e, também, com os outros conteúdos
do capítulo.
Neste tema, observamos o predomínio de uma abordagem que vai ao encontro do que os PCN
defendem, tendo o problema como ponto de partida. Desta maneira, acreditamos que a
sequência apresentada no livro busca auxiliar a prática pedagógica do professor, que busca
fundamentar o ensino de Matemática na resolução de problemas.
Num contexto geral, nos motivamos a lidar com a Matemática desde muito cedo em inúmeras
situações do cotidiano e nos mais diversos contextos: no meio familiar, na rua, na escola e no
trabalho. Entretanto, a partir da resolução de situações-problema no contexto escolar, vários
63
De acordo com os PCN (BRASIL, 2000, p. 63) “as crianças que ingressam no primeiro ciclo,
[...] trazem consigo uma bagagem de noções informais sobre numeração, medida, espaço e
forma, construídas em sua vivência cotidiana”.
Assim, é necessário levar em conta as experiências e atividades diárias das crianças, buscando
a contextualização do conteúdo matemático, proporcionando assim meios para que os alunos
entendam o que está sendo ensinado, tornando-se significativo para eles.
Para Pavanello (2004), contextualizar significa apresentar o conteúdo ao aluno por meio de
uma situação problematizadora, compatível com uma situação real que possua elementos que
dêem significado ao conteúdo matemático.
Essa relação da Matemática com a realidade do estudante é necessária, pois fora do ambiente
escolar o aluno já realiza cálculos e operações a seu modo. Esses conhecimentos prévios não
devem ser desconsiderados na educação escolar, pelo contrário, é preciso levar a criança a
associar os mecanismos usados na resolução de problemas matemáticos do seu dia a dia, com
os mecanismos apreendidos na escola.
Nesse caso, acreditamos que a atuação do professor é de suma importância, pois, cabendo a
ele o papel de mediador do ensino e aprendizagem dos alunos, deve encontrar maneiras
diferenciadas de ensinar o conteúdo proposto.
Igualmente essencial é possibilitar situações nas quais o aluno possa interagir com seus pares
de modo cooperativo, trabalhando coletivamente em grupos, na busca de soluções para as
atividades propostas, identificando aspectos consensuais ou não na discussão de um
determinado tema, respeitando a maneira de pensar de seus colegas e aprendendo com eles.
Isso é proporcionado quando o professor atua de modo a instigar e motivar o estudante a
refletir sobre suas ideias e formular suas hipóteses.
Estudos como esses demonstram as dificuldades que os alunos enfrentam para assimilar a
lógica dos algoritmos das operações fundamentais e mostram que com a memorização de
regras e fórmulas, na maioria das vezes, faz com que o aluno não obtém desempenho
satisfatório. Assim sendo, é necessário salientar que o professor poderá criar condições de
aprendizagem para seus alunos e, não, simplesmente, lançar mão de exercícios de repetição
ou modelos criados nos livros didáticos.
algo acabado, mas uma construção que se faz e refaz constantemente” (LUDKE; ANDRÉ,
1986, p.18).
No texto seguinte, trata-se dos diversos pontos de vista que a metodologia Resolução de
Problemas tem em comum. Mas, para a nossa prática de sala de aula, baseamos na concepção
de Onuchic.
No início do século XX, de acordo com Onuchic e Allevato (2005), o ensino de matemática
baseava-se na memorização de regras e algoritmos e na repetição de exercícios. O professor
transmitia o conteúdo que o aluno deveria memorizar e o mesmo repetia o que o professor
havia transmitido fazendo uma série de exercícios corriqueiros, utilizando-se a técnica ou o
processo apresentado. Conforme Onuchic (1999, p. 201), “nessa época, o currículo de
matemática ainda não estava bem definido, embora houvesse um caminho de trabalho:
aritmética, álgebra e geometria”.
A “Agenda para a Ação – Recomendações para a Matemática Escolar para a década de 1980,
publicado pelo NCTM” (MORAIS; ONUCHIC, 2014, p. 28) acentua ser a Resolução de
Problemas uma nova reforma que desconsidera a Matemática Moderna, empenhando-se em
fazer com que o aluno desenvolva e aperfeiçoe competências para resolver problemas. A
maioria dos currículos de Matemática existente atualmente demonstra que para ser um aluno
competente é necessário que ele se transforme em um solucionador de problemas.
Nos anos de 1990, a Resolução de Problemas ganha uma nova roupagem, passando a ser
considerada metodologia de ensino da Matemática. Segundo Diniz (2001),
mais recentemente, nos anos 90, a Resolução de Problemas ganha uma outra
dimensão sendo descrita como metodologia para o ensino de matemática e, como
tal, passando a ser um conjunto de estratégias para o ensino e o desenvolvimento da
aprendizagem de matemática (p. 86).
12
Conselho Nacional de Professores de Matemática, nos Estados Unidos.
67
Assim sendo, a Resolução de Problemas aproveita o que foi considerado adequado nas
orientações curriculares anteriores. “[...] busca-se usar tudo o que havia de bom nas reformas
anteriores: repetição, compreensão, a linguagem matemática da teoria dos conjuntos, técnicas
de resolução de problemas e, às vezes, até a forma de ensino tradicional.” (ONUCHIC, 1999,
p. 211).
Os PCN afirmam que “um problema matemático é uma situação que demanda a realização de
uma sequência de ações ou operações para obter um resultado. Ou seja, a solução não está
disponível de início, no entanto é possível construí-la” (BRASIL,1998, p. 41).
68
Seguindo essa mesma linha, para Onuchic e Allevato (2005, p. 221) problema “[...] é tudo
aquilo que não sabemos fazer mas que estamos interessados em fazer”. Já para Van de Walle
(2001) citado pelas referidas autoras, “um problema é definido como qualquer tarefa ou
atividade para a qual os estudantes não têm métodos ou regras prescritas ou memorizadas,
nem a percepção de que haja um método específico para chegar à solução correta” (ibid, p.
221).
De acordo com Schoenfeld (1997, p.13) “o professor deve fazer uso de práticas
metodológicas para a resolução de problemas, as quais tornam as aulas mais dinâmicas e não
restringem o ensino de matemática a modelos clássicos, como exposição oral e resolução de
exercícios”. Mas é preciso deixar claro que resolução de exercícios e resolução de problemas
exigem metodologias diferentes. Enquanto na resolução de exercícios os estudantes dispõem
de mecanismos que os levam, de forma imediata, à solução, na resolução de problemas isso
não ocorre, pois, muitas vezes, é preciso levantar hipóteses e testá-las.
Schroeder e Lester (1989), citados por Onuchic (1999), apresentam três modos diferentes de
abordar Resolução de problemas:
Allevato e Onuchic (2014, p. 37) nos dizem que, nessa categoria, corresponde a “considerá-la
como um novo conteúdo. São abordados temas relacionados à resolução de problemas e
percebe-se uma forte ênfase nas heurísticas como forma de orientar os alunos na resolução de
problemas, com regras, independentes do conteúdo específico abordado [...]”.
Conforme Allevato e Onuchic (2014, p. 38), nessa abordagem, o professor, “após ter
desenvolvido a parte ‘teórica’ referente a um determinado tópico matemático, é que [...]
propõe problemas aos alunos, de fato, como aplicação dos conteúdos estudados”.
Para Onuchic e Allevato (2005), a Resolução de Problemas consiste num caminho alternativo
para se ensinar Matemática resolvendo problemas e não apenas para se ensinar a resolver
problemas de Matemática. Nesta abordagem, o problema é um ponto de partida e os
professores, por meio dela, devem fazer conexões entre os diferentes ramos da Matemática,
gerando novos conceitos e novos conteúdos matemáticos, tendo em vista, principalmente, o
processo e não somente a solução do problema trabalhado.
para que os alunos sejam capazes de apresentar as diferentes maneiras que utilizam
para resolver problemas, cabe ao professor propiciar um espaço de discussão no qual
eles pensem sobre os problemas que irão resolver, elaborem uma estratégia e façam
o registro da solução encontrada ou dos recursos que utilizam para chegar ao
resultado (p. 125).
Remetendo-nos mais uma vez ao artigo de Diniz (2001, p. 92), onde afirma que para “[...]
enfrentar e resolver uma situação-problema não significa apenas a compreensão do que é
exigido, a aplicação das técnicas ou fórmulas adequadas e a obtenção da resposta correta,
mas, além disso, uma atitude de ‘investigação científica’ em relação àquilo que está pronto”.
71
Assim sendo, além de expandir a visão que possui da Matemática e também do mundo em
geral, a Resolução de Problemas, muito provavelmente, habilita o aluno para tomada de
decisões futuras, mais satisfatórias, quanto aos possíveis problemas que aparecem no seu dia a
dia.
13
Princípios e Padrões para a Matemática Escolar.
72
Pensando na pergunta, podemos imaginar a resposta? Pensamos que sim. Entretanto, também
pensamos que ela mantém sua importância pela especificidade da situação: uma turma com
alunos de baixo rendimento e sem familiaridade com a metodologia de Resolução de
Problemas.
73
Introdução
Dessa forma, inicialmente serão selecionados a Estratégia Geral, que é criar um plano de
trabalho, a partir de problemas geradores de novos conceitos e novos conteúdos matemáticos,
fazendo uso da metodologia Resolução de Problemas, apoiado nas variáveis do modelo
modificado, e seu equivalente Procedimento Geral, que é a criação de um plano de trabalho
que tem como base esta mesma metodologia. Serão necessários procedimentos auxiliares que,
ao se colocarem em ação e, em consequência disso, o procedimento geral será levado à ação.
Estratégia Geral (EG): Criar um Plano de Trabalho, a partir, sempre que possível, de
problemas geradores de novos conceitos e novos conteúdos para trabalhar divisibilidade, no
Ensino Fundamental, através da Resolução de Problemas.
Procedimento Geral (PG): A criação de um Plano de Trabalho, a partir, sempre que possível,
de problemas geradores de novos conceitos e novos conteúdos para trabalhar divisibilidade,
no Ensino Fundamental, através da Resolução de Problemas.
recebe alunos, em sua maioria carentes, dos bairros periféricos da cidade e também do meio
rural, no Ensino Fundamental e EJA – Educação de Jovens e Adultos.
No contato inicial que tivemos com a direção da escola, foram apresentados objetivos da
pesquisa, a metodologia da Resolução de Problemas e a escolha da turma. Na ocasião,
formalizamos o pedido para a realização do Projeto, uma cópia do qual segue nos apêndices.
A escola funciona em três turnos (matutino, vespertino e noturno), com turmas do 6º ao 9º ano
do Ensino Fundamental no turno matutino, com aproximadamente 168 alunos. No turno
vespertino, há cerca de 110 alunos distribuídos em turmas de 6º ao 9º ano do Ensino
Fundamental. No turno noturno, funciona a Educação de Jovens e Adultos com
aproximadamente 233 alunos distribuídos em turmas desde a 5ª Etapa do Ensino
Fundamental, que corresponde ao 6º ano do Ensino Fundamental, à 3ª Etapa do Ensino
Médio, que corresponde ao 3º ano do Ensino Médio.
Em seu quadro de professores, atualmente são 31, todos graduados. Alguns têm formação em
outra área do conhecimento e complementação pedagógica na área de ensino. Dos 31
professores, 3 são licenciados em Matemática com Especialização em Matemática, 2 possuem
formação em outra área do conhecimento com Complementação Pedagógica e Especialização
em Matemática, 9 possuem graduação na sua área de atuação e 17 possuem formação na área
de ensino e especialização fora da área de ensino.
76
A escola está fisicamente estruturada em dois pavimentos e contempla 15 salas de aula, 1 sala
de Recursos Multifuncionais, 3 laboratórios (Matemática, Ciências e Informática), 1
biblioteca, 1 sala de direção, 1 sala de coordenação, 1 sala de supervisão, 1 sala para o
planejamento de professores, secretaria, 1 auditório/sala de vídeo, rampa de acesso, 1 quadra
poliesportiva com arquibancada e coberta, cantina, cozinha, refeitório, área de serviços, 2
depósitos, 2 salas de arquivos, 6 banheiros (alunos, funcionários e professores), sanitários
para alunos com deficiência. O terreno onde a escola está construída possui uma área de
2 927, 23 m2.
Como já citado, a escola possui cinco professores de Matemática, sendo que três deles
trabalhavam em turmas de 6º ano, um em cada turno. Dos três, duas professoras são
contratadas como DT – Designação Temporária e estão trabalhando pela primeira vez na
escola.
Após a exposição de nosso plano de trabalho, uma das professoras novas na escola, se propôs
a nos ajudar, cedendo uma das suas turmas para o desenvolvimento do projeto. Para o
desenvolvimento do trabalho, dissemos que seriam necessárias pelo menos duas das cinco
aulas semanais de Matemática na turma e que, eventualmente, as aulas seriam fotografadas,
resguardando a identidade dos participantes.
77
Como visávamos conhecer um pouco mais sobre a professora da turma em que seria
desenvolvido o nosso projeto, tanto no que se refere a sua formação acadêmica, a sua
experiência profissional em relação ao ensino de Matemática no Ensino Fundamental, quanto
na utilização da metodologia alternativa de ensino, a Resolução de Problemas, a percepção
dela em relação à turma, entre outras coisas, elaboramos um roteiro de entrevista
semiestruturada14. A entrevista com a professora foi gravada e a descrevemos abaixo.
14
Utilizamos a entrevista semiestruturada na perspectiva de Fiorentini e Lorenzato (2012), os quais caracterizam
este instrumento de coleta de dados como sendo uma forma que articula entre as entrevistas estruturadas, que
admitem perguntas, previamente elaboradas e organizadas segundo uma ordem que o entrevistador não se pode
mudar, e não estruturadas, onde não apresenta um roteiro previamente organizado, permitindo que o
entrevistado navegue pelo assunto livremente. Ou seja, a entrevista semiestruturada, possui um “roteiro de
pontos a serem contemplados durante a entrevista, podendo, de acordo com o desenvolvimento da entrevista,
alterar a ordem deles e, até mesmo, formular questões não previstas inicialmente” (p. 121).
78
R: “Não. Eu ficarei com você na sala de aula”. [Eu disse que pensaria na resposta e voltei a
questionar o uso do material concreto.]
Você já tentou trabalhar com o ábaco ou Material Dourado, para auxiliar no
entendimento da atividade?
R: “Ainda não. Eles não colaboram. Eu quero até ver como você trabalha para eu usar na
outra turma”.
Quanto ao uso da calculadora, que importância você atribui ao uso dela nas aulas de
Matemática?
R: “Para essa série, pouco importante. Não é primordial”.
O que você acha do professor que permite o uso da calculadora por parte dos alunos,
durante as aulas de Matemática e nas avaliações? Por quê?
R: “O uso da calculadora é um instrumento de auxílio à aprendizagem e tem que ser usada de
acordo com o nível de aprendizagem do aluno; não sou a favor nas séries iniciais, mas no
ensino médio vejo que vem a facilitar e é de grande auxílio no desenvolvimento dos alunos”.
Mas você permite o uso dela nas suas aulas no Ensino Fundamental?
R: “Não. Como acabei de falar, só deixo no Ensino Médio. Acho que, no Ensino
Fundamental, eles têm que aprender a fazer a continha, no caderno. Para mim, só aprende
dessa forma”.
7) Com relação à resolução de problemas para você o que é um problema?
R: “Problema tem que estar ligado ao meio em que o aluno vive, e levá-lo a pensar nas
possíveis soluções”.
E um problema matemático?
R: “Acho que é quando o aluno tem que pensar numa maneira, qual é a melhor fórmula que
melhor se encaixa para resolver a atividade”.
8) Ainda, com relação à resolução de problemas com enunciado, como você vê os seus
alunos? Eles conseguem interpretar o que está pedindo no enunciado e ir à busca da
solução?
R: “Meu Deus! (risos), é um problema sério isso. Pode ser até um probleminha que envolve a
adição que, principalmente os que mais brincam nas aulas, reclamam, dizendo que é muito
difícil. Muitas vezes, eles nem leem o problema e acham que está difícil e param por aí
mesmo, não tentam fazer. Eles têm muita dificuldade em interpretar um problema. Acho que é
um problema de leitura. Um ou outro consegue resolver algum problema. Quando eu percebia
que eles não iriam resolver, então eu lia com eles, pausadamente, explicando e resolvendo
80
com eles. Depois que eu começava a resolver, aqueles que diziam que não sabiam fazer,
diziam ‘tia, é só isso’? É só isso, respondo a eles. Dá uma vontade .... (risos). Eles são muito
desmotivados para resolver as coisas. Acho que você vai ter muita dificuldade nessa turma
(risos)”.
Em alguma vez, você pediu para eles resolverem da forma que acharem melhor?
R: “Já. Mas nem assim eles tentam. É claro que depois, quando estiver corrigindo, eu quero
que façam as continhas todas, para quando forem estudar para uma avaliação, eles saberem
como fizeram nos exercícios”.
R: “Como todo mundo faz. Eu falo do conteúdo que vamos estudar e, se tiver uma fórmula eu
passo no quadro. Não demonstro, pois no 6º ano eles não têm maturidade para entender essa
coisa abstrata, e dou exemplos sobre aquele assunto, resolvo para eles e depois passo outros
semelhantes para eles resolverem. E, assim por diante”.
R: “Em grupos, nem pensar. Se eles já atrapalham separados, imaginem juntos. Não, é melhor
que eles fiquem cada um no seu lugar”.
Você não acha que em pequenos grupos eles poderiam render mais? Um ajudaria o
outro a fazer a atividade.
R: “Naquele 6º ano, acho que não. Eles aí é que iam conversar mesmo ... não ... ali não”.
Quando você propõe problemas matemáticos aos seus alunos, você o elabora ou segue
apenas os que estão nos livros didáticos?
R: “Uso basicamente os dos livros. Mas elaboro e faço adaptações de acordo à realidade do
aluno”.
Você já leu alguma literatura sobre a metodologia Resolução de Problemas? Em caso
afirmativo, poderia citar algum autor que trata sobre esse assunto?
R: “Não”.
Nem os PCN – Parâmetros Curriculares Nacionais?
R: “Pouca coisa”.
9) Em relação à Avaliação, como você avalia os seus alunos?
R: “Minha avaliação é constante, é diária, é individual ... Eu avalio participação, atividades
realizadas, disciplina em sala de aula ... eles, já sabendo que estão sendo avaliados o tempo
todo, já atrapalham tanto, imaginem se deixar só para a prova”.
Então, eles sabem que são avaliados em tudo, constantemente?
R: “Sim. Eles sabem de tudo. Eu falei para eles no início do ano. Eles atrapalham porque não
têm muita responsabilidade com as tarefas”.
Junto à secretaria da escola, pudemos constatar a existência de dois 6º anos em cada turno e,
em média, o número de matrículas no início do ano letivo é de 35 alunos.
Ao observar as pautas de frequência e notas do primeiro trimestre, notamos que, a turma era
bastante faltosa e possuíam muita nota abaixo da média. Levando em consideração que, dos
28 alunos dessa turma, apenas 10 não ficaram em recuperação trimestral, confirma-se o que a
professora relatou sobre a dificuldade deles.
82
A professora de Matemática do 6º M01, em sua entrevista, relatou que a turma tinha muita
dificuldade em resolver atividades que envolviam as operações fundamentais, principalmente,
a divisão, e que essa dificuldade, de certa forma, se refletia no rendimento trimestral deles.
Podemos constatar esse fato quando observamos a pauta de notas do primeiro trimestre deste
ano letivo, junto à secretaria da escola, onde verificamos a quantidade de alunos que ficaram
em recuperação paralela trimestral. Então, resolvemos aplicar algumas atividades preliminares
envolvendo as operações aritméticas, combinando alguns cálculos diretos e alguns problemas
extraídos de livros didáticos (Quadros 3, 4 e 5).
1ª Atividade Diagnóstica15
Resolva as Seguintes Questões:
Problema 1) Tia Rose comprou uma dúzia de laranjas e colocou na fruteira que estava vazia.
Depois usou 4 laranjas para fazer um suco. Quantas laranjas ainda restam na fruteira?
Problema 2) Numa escola, estudam 218 alunos no período da manhã, 127 no período da
tarde e, 312 no período da noite. Quantos alunos estudam nessa escola?
Problema 3) Roberto depositou R$ 2 390,00 na sua conta bancária e ficou com um saldo de
R$ 3 870,00. Quantos reais Roberto tinha na conta antes do depósito?
Problema 4) Em um jardim há 3 canteiros. Em cada um deles há 5 fileiras com 8 roseiras
plantadas em cada uma. Quantas roseiras há nesse jardim?
Problema 5) Numa chácara, colheram-se 374 laranjas. As laranjas vão ser embaladas em
caixas com 12 cada uma. Quantas caixas serão necessárias para embalar todas as laranjas?
Problema 6) Vovô Augusto comprou 4 pares de tênis, um para cada neto. Para não haver
diferença, comprou todos da mesma marca, escolhendo cores diferentes, mas preços iguais.
Na hora de pagar, Augusto deu 4 notas de 50 reais e, recebeu de troco 28 reais. Quanto
custou cada par de tênis?
15
Atividades extraídas e/ou adaptadas do livro Matemática pode contar comigo, 4º ano do Ensino Fundamental,
de José Roberto Bonjorno e Regina de Fátima Souza Azenha Bonjorno, São Paulo: FTD, 2008.
83
2ª Atividade Diagnóstica16
Arme e Efetue as Operações Abaixo:
a) 23 + 186 + 1463 e) 45 x 4356
b) 19 + 4364 f) 6 x 2563
c) 3591 - 234 g) 824 : 2
d) 3905 - 1734 h) 2842 : 14
O objetivo dessa atividade era o de verificar qual o conhecimento que os alunos tinham sobre
o SND e o que eles sabiam sobre unidade, dezena, centena, etc.
A primeira atividade diagnóstica foi aplicada, numa terça feira (26/05/15), terceiro horário,
como descrito [na seção 2.3, pagina 34]. Por serem eles (alunos) muito agitados e demorarem
a se organizar no início de cada aula, não houve tempo para a maioria resolver os dois últimos
problemas envolvendo a divisão. Entretanto, se a atividade teve seu objetivo comprometido,
pelo menos ficou evidente o que a professora nos havia dito na entrevista sobre o mau
comportamento dos alunos.
Quando aplicamos a segunda lista, numa 5ª feira (28/05/15), no último horário de aula na
turma, percebemos que muitos deles, assim como na primeira, apresentavam muitas
dificuldades, principalmente, quando se tratava da operação divisão e, então, chamavam-nos a
todo instante em suas mesas para que pudéssemos ajudá-los. Mas, também para aquele
momento, não era nosso propósito, pois queríamos saber o que eles já conheciam em relação
às 4 operações.
Assim sendo, sentimos a necessidade de elaborar mais uma lista, desta vez somente com
problemas envolvendo a operação de divisão e aplicamos numa quarta feira (10/06/15), na 1ª
aula.
16
Atividade elaborada pelo Pesquisador.
84
3ª Atividade Diagnóstica17
Resolva as Seguintes Questões:
Problema 1) Júlia ganhou 12 chocolates e quer dividir entre 4 amigos de sua sala. Quantos
chocolates vai receber cada um?
Problema 2) João tem uma coleção de 325 figurinhas e quer distribui-las, igualmente, entre
seus 13 netos. Quantas figurinhas cada um receberá?
Problema 3) Mateus tem 96 fotografias e quer colocá-las em álbuns. Quantos álbuns com 12
fotografias cada um, serão necessários?
Nesta atividade, eles demonstraram mais tranquilidade, leram os enunciados, não ficaram
chamando às suas mesas o tempo todo, como nas duas primeiras e, dos 22 alunos que estavam
presentes, quase todos acertaram os três problemas. Para estas três atividades, como já
mencionamos anteriormente, não interferimos na resolução que eles desenvolviam e pedimos
para resolverem da forma que eles achassem melhor.
Ao iniciar os nossos trabalhos com a turma, tivemos uma conversa com eles, buscando deixar
claro como seria o desenvolvimento do projeto, a dinâmica de grupo em sala de aula,
destacando a importância de se trabalhar coletivamente e colaborativamente.
17
Atividades extraídas e/ou adaptadas do livro: Números, Brincadeiras e Jogos, de Ivani da Cunha Borges Berton
e Ruth Ribas Itacarambi, São Paulo: Editora Livraria da Física, 2009, e do livro: Matemática pode contar
comigo, 4º ano do Ensino Fundamental, de José Roberto Bonjorno e Regina de Fátima Souza Azenha Bonjorno,
São Paulo: FTD, 2008.
85
Termo de Compromisso18:
Introdução
Este Termo de Compromisso tem por objetivos estabelecer critérios para nortear o
desenvolvimento e a organização de um trabalho diferenciado em Matemática, apontando as
responsabilidades e os direitos dos alunos, do pesquisador e da professora da turma. O
trabalho será realizado na disciplina de Matemática, no 6º M01 do Ensino Fundamental da
Escola Estadual de Ensino Fundamental e Médio Professor Elpídio Campos de Oliveira, em
Montanha – ES.
Conteúdo e Metodologia
Será desenvolvida a unidade temática divisibilidade, que está contemplada na grade curricular
do 6º ano do Ensino Fundamental e prevista para ser estudada pela turma no segundo
trimestre do corrente ano letivo, nessa escola. O trabalho será desenvolvido pelo pesquisador
José Aparecido da Silva Fernandes e terá a colaboração da professora da turma. Para a
aplicação do Plano de Ensino estão previstas 30 aulas, nos meses de julho a setembro de
2015, e será utilizada a metodologia alternativa Resolução de Problemas para o ensino e a
aprendizagem de Matemática.
Normas
Todos deverão seguir as regras da escola;
18
Para a elaboração desse termo, baseamo-nos no modelo disponível em Huanca (2006).
86
Avaliação
Cada aluno será avaliado, individualmente, de acordo com o artigo 24, inciso V – a, da L.D.B.
- Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional -, lei Nº 9 394 de 20/12/1996, onde
menciona que a avaliação é “contínua e cumulativa do desempenho do aluno, com
prevalência dos aspectos qualitativos sobre os quantitativos e dos resultados ao longo do
período sobre os de eventuais provas finais”. Assim sendo, utilizaremos os seguintes itens:
Outras resoluções
87
Questões e problemas que poderão surgir durante a aplicação do plano de ensino serão
discutidos por todos (alunos, pesquisador e a professora da turma), no intuito de chegarmos a
um acordo. Assim, fica combinado que as normas deverão ser cumpridas pelos alunos, pelo
pesquisador e pela professora.
Sabedores dessas normas e de acordo com todas as situações combinadas, assinamos abaixo.
___________________________ _________________________
Professor (a) da turma Aluno (a)
__________________________________
Pesquisador
Também é necessário observar a realidade dos alunos, propor problemas geradores de novos
conceitos e novos conteúdos matemáticos a partir do conteúdo programático pertinente à
série. Além do mais, na aplicação de um projeto de trabalho diferenciado em sala de aula
envolve assumir que não é uma tarefa simples, pois diferentes personalidades estão
envolvidas.
88
As atividades selecionadas para a criação desse Plano de Trabalho são parte da Matemática
que trabalha sobre números, determinando relações entre eles, definindo operações sobre eles
e identificando propriedades sobre elas.
Os conteúdos matemáticos escolhidos para esta pesquisa fazem parte das operações
fundamentais, no caso a divisão, e da unidade temática divisibilidade. Esta unidade é uma
ampliação das operações multiplicação e divisão, que já vinham sendo ensinadas em séries
anteriores.
Conforme Silva (2014, p. 49), “na operação de dividir está implícita a ideia de repartir,
equitativamente, os elementos de um conjunto. As situações que envolvem divisão contêm
duas ideias diferentes: repartir em partes iguais e de medida”.
Para ilustrar essas ideias, consideramos os seguintes exemplos: (i) Queremos distribuir,
igualmente, 20 balas entre 5 crianças. (Temos nesse caso duas grandezas diferentes: balas e
crianças) precisamos encontrar a quantidade de balas que caberá a cada criança. Situação-
89
problema deste tipo é chamada de divisão por partição (FERREIRA, 2005; JESUS, 2005),
onde conhecemos o número total de elementos (20 balas) e queremos que sejam distribuídas
em um dado número de partes iguais, necessitando de ser calculado o tamanho de cada parte
(4 balas), independentemente da maneira utilizada. Assim sendo, temos o dividendo (20
balas), o divisor (5 crianças) e procuramos o quociente (4 balas).
Segundo Ferreira (2005), é de fundamental importância que o aluno entenda as situações que
permanecem constantes entre o dividendo e o divisor; por exemplo, se considerarmos o dividendo
20 balas, cada criança receberá mais balas (quociente) à medida que o divisor diminuir. E, se
aumentarmos a quantidade de crianças e fixarmos em 20 o número de balas (dividendo), cada
criança ficará com menos balas (quociente).
(ii) Temos 20 balas e queremos distribuir 4 balas para cada uma criança, quantas
crianças receberão balas? Nesse caso é preciso identificar o número de crianças que irão
receber, cada uma, 4 balas. Essa divisão é outra situação que é chamada de medida ou quota
(cota)19 (FERREIRA, 2005; JESUS, 2005). Nesse sentido, temos o todo conhecido (20 balas)
dividido em partes iguais com tamanho inicialmente estabelecidos (4 balas), sendo preciso
calcular quantas dessas partes (quotas) cabem dentro do todo.
19
Segundo do dicionário Houaiss Conciso (2011, p. 242), cota significa parcela determinada de um todo.
20
Mesmo não sendo o nosso foco de pesquisa a Teoria Elementar dos Números e nem a Licenciatura em
Matemática, utilizamos como parâmetro o que a autora entende sobre quais conteúdos compõem a unidade
temática divisibilidade.
90
Divisão euclidiana
Ideia de repartir
Ideia de Medida
Divisibilidade
Múltiplos e Divisores de um número natural
Critérios de Divisibilidade
Números Primos e Números Compostos
Reconhecimento de um número primo
Decomposição de um número em fatores primos
Regra prática para a fatoração
Máximo Divisor Comum
Mínimo Múltiplo Comum
Objetivo Geral
91
Objetivos Específicos
Para nossas aulas, as atividades selecionadas que compuseram o nosso plano de ensino foram,
na sua maioria, situações-problema propostas, pois escolhemos para desenvolver o nosso
trabalho em sala de aula a metodologia alternativa Resolução de Problemas.
Não é o propósito desse estudo dar uma receita pronta para o ensino mas, apresentar uma
forma diferenciada de trabalhar Matemática, pois acreditamos que a Resolução de Problemas
pode desenvolver nos alunos competências e habilidades necessárias para avançar na busca de
novos conhecimentos.
Contudo, ao planejar uma aula utilizando essa metodologia, concordamos com Onuchic
(1998), quando evoca ser fundamental o professor refletir sobre algumas questões, tais como:
Isso é um problema? Por quê?
Que tópicos de matemática podem ser iniciados com esse problema?
92
Além disso, Allevatto e Onuchic (2014, p.44-46) elaboraram um roteiro contendo uma
sequência de 10 etapas:
2. Leitura individual – Distribuir uma cópia impressa do problema para cada aluno
e solicitar a leitura do mesmo.
Segundo Onuchic & Allevato (2005), para Van de Walle (2001) para o bom desenvolvimento
de uma aula, é preciso que o professor esteja atento para as seguintes etapas referentes ao
momento em que os alunos trabalham na resolução do problema: antes, durante e depois.
Além disso, ele é o responsável para criar e manter um ambiente agradável, onde o aluno se
sinta estimulado para a aprendizagem.
Para a primeira etapa, a antes, Van de Walle (2001), citado pelas autoras supracitadas
descreve as seguintes tarefas a serem realizadas: (i) o professor deve verificar se os alunos
estão preparados para receber a atividade; (ii) estar seguro de que todas as expectativas
estabelecidas para a tarefa estão claras. A primeira etapa começa com o planejamento,
desenvolvido fora da sala de aula. Consoante com Herminio (2008), o professor pode, entre
outros, seguir os seguintes passos:
De acordo com as referidas autoras, Van de Walle (2001), na segunda etapa, durante, é a da
resolução do problema por parte do estudante. Nessa, os alunos trabalham e o professor
observa, incentiva-os, motiva-os, escuta-os, atende-os sem dar respostas imediatas;
acompanha como os diferentes alunos ou grupos estão pensando, que ideias eles estão usando,
e como eles estão abordando o problema. Enfim, dar-lhes a oportunidade de usar suas
próprias ideias, ao invés de simplesmente seguir fórmulas prontas.
94
Segundo, ainda, essas mesmas autoras, para Van de Walle (2001) é na fase depois que a
melhor aprendizagem ocorre, pois nela o professor aceita a resposta dos estudantes e conduz a
discussão enquanto os mesmos justificam seus resultados e métodos. Esse não é um tempo de
verificar se as respostas estão certas ou erradas, mas para a classe socializar ideias; é o
momento da plenária e formalização de conceitos.
Assim, conforme Onuchic (1999, p. 208), o ponto chave de nosso interesse em trabalhar o
ensino e aprendizagem de Matemática através da Resolução de Problemas apoia-se “na crença
de que a razão mais importante para esse tipo de ensino é a de ajudar os alunos a compreender
os conceitos, os processos e as técnicas operatórias necessárias dentro do trabalho feito em
cada unidade temática”.
A partir desse momento, elaboramos um roteiro de atividades para serem desenvolvidas junto
aos alunos da turma pesquisada.
Resolver os problemas sem fazer a conta e registrar a maneira de como você chegou ao
resultado.
21
Adaptado do livro Números: Brincadeiras e jogos, de Ivani da Cunha Borges Berton e Ruth Ribas Itacarambi.
São Paulo: Editora Livraria da Física, 2009. p. 141.
95
a) Maria tem três filhos e resolveu presenteá-los com 54 reais. Sabendo que cada um vai
ficar com a mesma quantidade de dinheiro, quantos reais cada filho receberá?
b) João quer repartir entre seus irmãos mais novos 75 reais, para o lanche da semana na
escola em que eles estudam. Se ele der 15 reais para cada um, quantos são os irmãos de
João que receberão dinheiro?
a) Fernando chegou em casa com 36 balas e distribuiu entre seus irmãos, dando 12 balas
para cada um. Quantos são os irmãos de Fernando que receberam balas?
b) Nágila tem três filhos e resolveu presenteá-los com 315 reais. Quantos reais receberá
cada filho? Sabendo que todos receberam a mesma quantia e que Nágila possui somente
notas de 5 e de 50 reais, quantas notas de 5 reais e quantas notas de 50 reais receberá cada
um filho?
22
Adaptado do livro Números: Brincadeiras e jogos, de Ivani da Cunha Borges Berton e Ruth Ribas Itacarambi.
São Paulo: Editora Livraria da Física, 2009. p. 141.
96
Atividade 223: Divisão Euclidiana - ideia de partição e medida, com foco no resto.
Resolver os problemas sem fazer a conta e registrar a maneira como você chegou ao
resultado.
b) Pedro vai encaixotar seus livros para doar à biblioteca da cidade em que ele mora. São
94 livros e ele quer colocar 12 em cada caixa, para não ficar muito pesado no transporte.
Quantas caixas ele irá usar para colocar todos os livros?
23
A questão a desta atividade foi elaborada por nós (eu e o meu orientador) e a questão b foi adaptada do livro
Matemática pode contar comigo, 4º ano do Ensino Fundamental, de José Roberto Bonjorno e Regina de Fátima
Souza Azenha Bonjorno. São Paulo: FTD, 2008. p. 131
97
a) Numa excursão da Escola ECO para um dia de lazer no parque aquático em São Mateus
– ES foram 30 pessoas, entre professores e alunos. Na volta, o Micro-ônibus, que
transportava essas pessoas, quebrou perto de Pinheiros - ES. Foram disponibilizadas 2 vans
de 14 lugares para transportar os alunos e os professores. Quantas pessoas terão que
utilizar outro meio de transporte?
b) Maria está guardando os livros da sua mãe para uma mudança. São 128 livros e, ela
quer colocar 13 em cada caixa, para não ficar muito pesado no transporte. Quantas caixas
ela irá precisar para colocar todos os livros?
24
A questão a desta atividade foi elaborada por nós (eu e o meu orientador) e a questão b foi adaptada do livro
Matemática pode contar comigo, 4º ano do Ensino Fundamental, de José Roberto Bonjorno e Regina de Fátima
Souza Azenha Bonjorno. São Paulo: FTD, 2008. p. 131
25
Atividade disponível em: <https://jucienebertoldo.files.wordpress.com/2013/02/jogos-matemc3a1ticos-3c2ba-
a-5c2ba-ano-vol-1.pdf>. Acesso em: 4 jul. 2015.
98
(a) Qual é o menor número de jogadores que deve participar desse jogo? E o maior
número?
(b) Será que podem participar desse jogo, 3 jogadores? E 4? E 6? E 15?
(a) Qual é o menor número de jogadores que deve participar desse jogo? E o maior
número?
(b) Será que podem participar desse jogo, 3 jogadores? E 4? E 6? E 15?
(c) Quando os jogadores recebem mais cartas? E em quais eles recebem menos cartas?
27
Adaptado da Dissertação de Mariângela Pereira, com tema: O Ensino-Aprendizagem de Matemática através de
Resolução de Problemas no 3º ciclo do Ensino Fundamental, apresentada ao Programa de Pós-Graduação em
Educação Matemática, da UNESP de Rio Claro – SP, em 2004. p 79.
100
1 8
10 4 16
Observando o diagrama acima, desenhe todas as flechas que estão faltando e complete o
quadro abaixo:
2 é divisor de
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
São divisores de 16
Objetivos:
Reforçar os conceitos de divisor e múltiplo de um número;
Reforçar os conceitos de que o número 1 é divisor de todos os números;
Fixar a ideia de que todos os números diferentes de zero são divisores de si mesmos;
Orientar e ajudar os alunos nas buscas por caminhos para resolver as questões propostas;
28
Adaptado da Dissertação de Mariângela Pereira, com tema: O Ensino-Aprendizagem de Matemática através de
Resolução de Problemas no 3º ciclo do Ensino Fundamental, apresentada ao Programa de Pós-Graduação em
Educação Matemática, da UNESP de Rio Claro – SP, em 2004. p. 81.
101
1
64 5
3 4
8 16
10
Observando o diagrama acima, desenhe todas as flechas que estão faltando e complete o
quadro abaixo:
29
Adaptado da Dissertação de Mariângela Pereira, com tema: O Ensino-Aprendizagem de Matemática através
de Resolução de Problemas no 3º ciclo do Ensino Fundamental, apresentada ao Programa de Pós-Graduação
em Educação Matemática, da UNESP de Rio Claro – SP, em 2004. p. 82
102
8 é múltiplo de
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
São múltiplos de 4
Dona Ana fez 10 bolinhos e vai distribuí-los igualmente em bandejas nas seguintes
condições: todas as bandejas devem ficar com a mesma quantidade de bolinhos e nenhum
bolinho pode ficar fora de nenhuma bandeja. Sem fazer conta, mostre todas as
possibilidades que ela tem para distribuir os bolinhos. Registre todas as possibilidades que
você encontrou para chegar à resposta do problema de dona Ana.
I) Suponha que o número de bolinhos que dona Ana quisesse distribuir igualmente em
bandejas fosse 12. Mostre todas as possibilidades que ela tem para distribuir os bolinhos,
indicando como uma multiplicação de dois números naturais. Ou seja, a quantidade de
bandejas multiplicada pelo número de pães que está nelas, não ultrapassando o total de
pães. Registre todas as possibilidades que você encontrou para chegar à resposta do
problema de dona Ana e escreva os fatores da multiplicação encontrados, em ordem
crescente, sem repeti-los.
30
Problema adaptado do livro Projeto Teláris: Matemática, 6º ano, de Luiz Roberto Dante. São Paulo: Ática,
2012, p. 130-131.
31
Problema adaptado do livro Projeto Teláris: Matemática, 6º ano, de Luiz Roberto Dante. São Paulo: Ática,
2012, p. 130-131.
104
a) 8: b) 2: c) 1: d) 5:
e) 11: f) 16: g) 64: h) 0:
a) 5: b) 3: c) 10: d) 6:
e) 8: f) 4: g) 0: h) 7:
2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
v) Coloque no quadro a seguir, todos os números que ficaram sem ser riscados
32
Problema adaptado do livro Projeto Teláris: Matemática, 6º ano, de Luiz Roberto Dante. São Paulo: Ática,
2012. p. 134
33
Segundo Dante (2012, p.134), no livro referente ao 6º ano da coleção Projeto Teláris: matemática, menciona
que “Eratóstenes (276 a.C. – 195 a.C.), matemático, geógrafo e astrônomo grego, criou um método simples e
prático para a obtenção de números primos até um determinado limite: O Crivo de Eratóstenes”.
106
Material auxiliar:
Folha com a atividade.
Lápis coloridos.
34
Estamos considerando uma previsão de 5 aulas, para o desenvolvimento das atividades, até à extraclasse 6.
107
Dados os números 12678, 272, 2345, 3815, 2016, 660, 8300, 246, 57402, 37512.
Indique quais são divisíveis por:
2: 3: 5: 6: 9: 10:
Objetivo:
Fixar conceitos construídos sobre as regras de divisibilidade.
Material auxiliar:
Folha com a atividade.
Permitir ao aluno a descoberta de que os números que não serão marcados, no quadro,
possuem somente dois divisores;
Permitir ao aluno a descoberta de que só existe um número par primo;
Construir o conceito de números primos e compostos;
Reconhecer quando um número é primo.
Objetivo:
Fixar conceitos construídos sobre números primos e compostos.
Material auxiliar:
Folha com a atividade.
Observação: Voltaremos ao conceito de decomposição de um número, construído
anteriormente, com o objetivo:
35
Problema adaptado do livro Projeto Teláris: Matemática, 6º ano, de Luiz Roberto Dante. São Paulo: Ática,
2012. p. 129
36
Problema adaptado do livro Projeto Teláris: Matemática, 6º ano, de Luiz Roberto Dante. São Paulo: Ática,
2012. p. 133.
108
a) 48 b) 27 c) 15 d) 18 e) 8 f) 12 g) 36 h) 140
Material auxiliar:
Folha com a atividade.
37
Atividade adaptada do livro Vontade de saber Matemática, 6º ano, de Joanir Roberto de Souza e Patrícia
Rosana Moreno Pataro. São Paulo: FTD, 2012. p.114.
109
Material auxiliar:
Folha com a atividade.
38
Atividade adaptada do livro Vontade de saber Matemática, 6º ano, de Joanir Roberto de Souza e Patrícia
Rosana Moreno Pataro. São Paulo: FTD, 2012 e do livro Projeto Teláris: Matemática, 6º ano, de Luiz Roberto
Dante. São Paulo: Ática, 2012. p. 122; 135
110
Em um jogo de duas ou mais pessoas, há 24 fichas vermelhas e 40 fichas azuis para serem
distribuídas igualmente entre os participantes. Nenhuma ficha pode sobrar.
39
Problema adaptado do livro Projeto Teláris: Matemática, 6º ano, de Luiz Roberto Dante. São Paulo: Ática,
2012. p. 138.
40
Atividade adaptada do livro Vontade de saber Matemática, 6º ano, de Joanir Roberto de Souza e Patrícia
Rosana Moreno Pataro. São Paulo: FTD, 2012. p. 111.
111
Determine:
a) m.d.c. ( 8, 12) e) m.d.c. ( 6, 26)
b) m.d.c. ( 4, 6) f) m.d.c. ( 27, 45)
c) m.d.c. ( 28, 70) g) m.d.c. ( 40, 12)
d) m.d.c. ( 15, 12) h) m.d.c. (20, 52)
Material auxiliar:
Folha com a atividade.
Na escola ECO tem uma escada que liga os dois andares do prédio. Essa escada tem 30
degraus, enumerados de 1 a 30. João está subindo de 3 em 3 degraus, e Félix esta subindo
de 2 em 2. Sabendo que os dois começaram a subir juntos, responda:
41
Problema adaptado do livro Projeto Teláris: Matemática, 6º ano, de Luiz Roberto Dante. São Paulo: Ática,
2012. p. 141.
112
a) 6 e 9 b) 2, 8 e 12 c) 3, 4 e 6 d) 12 e 15 e) 8 e 40
Na cidade de Montanha - ES há uma empresa de ônibus e ela possui dois tipos de ônibus:
convencional e executivo.
42
Atividade adaptada do livro Vontade de saber Matemática, 6º ano, de Joanir Roberto de Souza e Patrícia
Rosana Moreno Pataro. São Paulo: FTD, 2012. p. 115.
43
Problema adaptado do livro Projeto Teláris: Matemática, 6º ano, de Luiz Roberto Dante. São Paulo: Ática,
2012. p. 142.
113
Observação: Após a realização da última atividade, será aplicada uma avaliação baseada em
conteúdos estudados nas atividades de 7 a 10.
Cronograma
Desta forma, observamos que a previsão para a aplicação efetivamente do nosso Plano de
Ensino em sala de aula abarcou 30 aulas, entre os meses de julho e setembro de 2015.
115
Nesse período em que aplicamos o plano de ensino, a professora regente nos auxiliou, o
tempo todo, na organização da sala de aula e nos registros dos diálogos, no diário de campo,
entre os alunos e entre esses e o pesquisador. Além disso, no decorrer da aplicação do plano
de trabalho, em momentos de conversas informais realizadas com ela, juntos, buscamos
resgatar na memória as lembranças de acontecimentos e fragmentos que escaparam dos
registros realizados. Optamos pela não gravação de áudio porque a turma, no início de nossa
investigação, era muito agitada, todos conversavam ao mesmo tempo e muito alto, o que se
tornou muito difícil identificar o que falavam e quem falava.
No trabalho de transcrição e organização de dados coletados, pode ter ocorrido que alguns
detalhes, como, por exemplo, falas dos alunos ou discursos feitos por nós, tenham escapado
de nossos olhares e escrita, por mais atentos e cuidadosos que tentamos ser. Por isso, de
acordo com (SILVA, 2014, p. 66), “cientes da complexidade que é a ação no campo da
116
pesquisa, estamos conscientes de que não devemos imaginar algo a respeito da realidade e
nem considerar que conseguimos esgotar a totalidade de informações”.
Para cada encontro foram formados novos grupos; assim, o grupo nomeado como, por
exemplo, GA na primeira aula não é, necessariamente, o mesmo grupo na segunda aula. Outro
fator relevante a destacar é que as atividades extraclasse foram quase todas resolvidas em sala
de aula, pois os alunos, dificilmente, as resolviam em casa. Esse também foi um dos motivos
para a necessidade de aumentar o número de aulas previstas.
Faremos agora a descrição de algumas atividades propostas ao longo dos encontros, que
compõem o plano de ensino, para esta pesquisa de campo. Optamos por descrever apenas
algumas atividades para que não ficasse muito extenso, no entanto, os dados utilizados são
representativos, em relação ao todo. Salientamos que todas elas foram conduzidas com base
no roteiro organizado por Allevato e Onuchic (2014) descrito na página 90 deste trabalho.
Além disso, todas as atividades encontram-se disponíveis na seção 3.2.6.4 – Roteiro de
atividades, páginas 94 a 113.
Resolver os problemas sem fazer a conta e registrar a maneira como você chegou ao
resultado:
a) Maria tem três filhos e resolveu presenteá-los com 54 reais. Sabendo que cada um vai
ficar com a mesma quantidade de dinheiro, quantos reais cada filho receberá?
b) João quer repartir entre seus irmãos mais novos 75 reais, para o lanche da semana na
escola em que eles estudam. Se ele der 15 reais para cada um, quantos são os irmãos de
João que receberão dinheiro?
Para esta atividade, incluindo a tarefa extraclasse complementar, foram previstas três aulas,
realizadas nos dias 03, 06 e 07 de julho de 2015. Nessas primeiras aulas de aplicação das
atividades do plano de ensino tivemos muita dificuldade para desenvolver o que havíamos
planejado, pois os alunos da turma estavam muito dispersos; como afirmavam os professores
da escola: “eles não têm um bom comportamento em sala de aula e a grande maioria não é
comprometida e nem responsável com e pelo seu próprio aprendizado”. Além disso, não
estavam familiarizados com a dinâmica de trabalho proposta. Mesmo explicando para eles
como seriam as aulas durante a aplicação do projeto, não tivemos a colaboração da maioria,
de modo que houve certa desordem na organização do ambiente de estudo e demora a se
engajarem nos problemas propostos.
Como salienta Rodrigues (1992, p. 29), “[...] o professor terá que enfrentar situações
inesperadas em sala de aula e, em algumas oportunidades, deverá alterar aquilo que tinha
planejado, ainda mais, terá que estar atento às dificuldades apresentadas pelos alunos [...]”.
Assim sendo, a situação exigiu de nós, pesquisador e professora regente, muitas intervenções,
muita conversa visando a organização, o respeito com o colega, o trabalho em grupo de forma
colaborativa, a responsabilidade e o compromisso com a realização das atividades. Em
consequência perdemos bastante tempo; por isso, foi preciso mais uma aula, realizada no dia
08/07/15.
Segundo Van de Walle (2001) citado por Onuhic e Allevato (2005), ensinar Matemática
através da metodologia de Resolução de Problemas não significa dar o problema, sentar e
esperar que aconteça uma mágica; é necessária a criação de uma situação em que todos se
sintam interessados no transcorrer de cada aula, sendo o professor o responsável pela criação
desta situação. Ainda de acordo com Ponte, Brocardo e Oliveira (2013, p. 23), “o
envolvimento ativo do aluno é uma condição fundamental da aprendizagem”.
118
Em relação ao trabalho em grupo, para que ele se desenvolva bem, é importante que os
membros de cada grupo se apropriem de habilidades para o trabalho cooperativo, visando
atingir objetivos comuns. Além disso, cada membro do grupo pode aprender o conteúdo
proposto através de suas interações com os outros membros do grupo. Damiani (2008, p. 215)
menciona que
Aula 1:
No dia 03/07/15 estavam todos os 28 alunos44 da turma presentes45 e, assim, foram divididos
em 6 grupos46, sendo que quatro grupos ficaram com 5 componentes cada um e dois com 4
componentes cada um, como mostra o Quadro 847 a seguir. Começamos explicando como
procederíamos na atividade, dividindo-os em grupos que deveriam trabalhar juntos e que, ao
final de cada atividade, escolheríamos representantes que deveriam ir à lousa para socializar a
resolução das questões com os demais colegas; no final de cada aula seria recolhido todo o
material distribuído, para que não corrêssemos o risco de alguns deles esquecessem em casa e
que, na aula seguinte seria devolvido para dar continuidade na atividade.
44
Substituímos os nomes dos alunos por símbolos A1, A2, etc., a fim de preservar suas identidades. Os símbolos
foram definidos na primeira atividade e mantidos ao longo do Projeto, por exemplo, A2 designa sempre a mesma
pessoa.
45
Ao longo da aplicação do nosso Plano de Ensino, esse foi o único dia [03/07/15] em que todos os alunos da
turma estiveram presentes.
46
GA: Grupo A; GB: Grupo B; GC: Grupo C;...; GF: Grupo F.
47
Mostraremos apenas esse quadro onde constam todos os alunos da turma e os respectivos grupos como
ilustração de nossos registros. Omitiremos as(os) demais listas (quadros), para não estender desnecessariamente
o texto.
119
ALUNOS GRUPOS
A1
A2
A3
GA
A4
A5
A6
A7
GB
A8
A9
A10
A11
A12
GC
A13
A14
A15
A16
A17
GD
A18
A19
A20
A21
GE
A22
A23
A24
A25
A26
GF
A27
A28
Fonte: Diário de Campo do Pesquisador
Com os alunos reunidos em grupos, após muitas reclamações, foi entregue a cada membro
dos grupos a atividade, contendo duas situações: problemas sobre divisão com as ideias de
repartir (partição) e medida (cota) (vide páginas 116-117); também demos um tempo para que
eles lessem e discutissem o problema entre si.
Em seguida, muitos alunos, sem terem lido, totalmente, o que estava escrito no enunciado da
atividade já nos chamavam em seus grupos, ou aproximavam-se de nós, para nos dizer que
não sabiam resolvê-lo e pediam que disséssemos como é que deveriam fazer para chegarem à
resposta ou que tipo de operação era para ser usada. Por exemplo, nos perguntavam sobre o
problema: “é de mais ou de menos?”. Como o nosso propósito era levá-los a construir seu
próprio conhecimento ao invés de darmos respostas prontas, pedimos para que eles fizessem
120
A aula do dia 03/07/15 chegou ao seu final, sem que pudéssemos avançar na atividade
proposta para esse dia. Como combinado no início dos nossos trabalhos, recolhemos todo o
material distribuído com o intuito de devolvê-lo na aula seguinte, para dar continuidade à
atividade.
Aula 2:
Existem meios de resolver uma situação problema, que não seja só por
meio de uma conta. (Respondemos para ele)
A12: “Tem que fazer desenho?”
Você é que vai mostrar para nós, quais são as suas estratégias, o que
você vai utilizar para resolver o problema. Tenta resolver.
Nessa atividade, não estávamos interessados com o resultado dos problemas, senão com o
processo, em como e quais estratégias eles usariam para resolvê-los. Ao circular pelos grupos,
percebemos que a maioria dos alunos estava trabalhando, mas muitos ainda, individualmente.
121
Percebemos no excerto acima, a dificuldade que os alunos têm quando se deparam com
situações-problema que exijam deles certas estratégias de resolução que não se reduzam a
uma conta. Então, em certo momento, entregamos para cada grupo algumas pseudocédulas
como material de apoio na resolução dos problemas. Freitas (2004), em sua dissertação de
mestrado, afirma que todos os materiais concretos têm como característica principal o fato de
oferecer, a partir da manipulação, suporte aos alunos para entender conceitos importantes. A
Figura 13 mostra alunos trabalhando com o auxílio das pseudocédulas.
Na resolução da questão a, o GA como podemos observar na Figura 14, fez desenhos para
representar os 3 filhos de Maria e distribuiu 18 bolinhas correspondentes ao valor que cada
um iria receber. Entretanto, o GA não descreveu a maneira como resolveu o problema e nem
registrou quantos reais cada filho de Maria deveria receber. Analisando a figura, parece-nos
que o GA, inicialmente, fez o cálculo da divisão de 54 por 3, encontrando 18 como resultado
e, em seguida, fez o desenho com a distribuição de 18 bolinhas para cada filho; contudo, o
GA em plenária afirmou que distribuiu de 1 em 1 para cada filho.
48
“Em geral, no ensino de matemática, o recurso da expressão pictórica fica restrito a esquemas que auxiliam a
compreensão de alguns conceitos e operações” (CÂNDIDO, 2001, p. 18).
123
Os alunos do GD, apesar de resolverem a questão a, Figura 16, de forma semelhante aos
grupos anteriores, deixou clara a forma como eles desenvolveram a resolução do problema, ao
escrever: distribuir de 3 em 3 para cada um dos três filhos. Cada 1 ficou com 18. E, ainda,
verificaram por meio da operação da adição os três valores encontrados, resultando em 54.
Isto é, o grupo teve entendimento da questão e clareza na resposta.
No final dessa aula, assim como aconteceu na aula anterior, recolhemos todo o material
distribuído.
125
Aula 3:
Após esses comentários da turma, fizemos intervenções dizendo a eles que aquele era um
momento importante para a aprendizagem; não é para julgar certo ou errado, não é para
alguém ficar rindo do colega porque ele fez diferente; é um momento para cada grupo mostrar
como resolveu a sua questão, defender suas ideias e todos, juntos, escolher a melhor resolução
de cada problema. Depois de algum tempo, conseguimos levar representantes dos grupos ao
quadro para socializar as resoluções com toda a turma. Vejamos algumas falas de alunos de
alguns grupos na resolução das questões da atividade.
Grupo A
Como o seu grupo resolveu a questão a?
A4: “Desenhamos três filhos e fomos colocando uma bolinha para cada um
até dá 54.”
Quanto recebeu cada filho?
A4: “18 bolinhas”
O que significa essas 18 bolinhas?
A4: “O dinheiro que cada um filho ganhou.”
Será que poderia fazer de outra forma, usar outra estratégia?
A4: “Ah, pode fazer uma conta?”
Sem fazer conta, por enquanto, teria outra maneira de resolver esse
problema? Mostre pelo menos mais uma.
A4: “Acho que pode fazer de dois em dois.” (Disse indeciso.)
Distribui aí, de dois em dois, nos três desenhos até chegar ao valor 54.
(Pedimos para ele ao percebermos a sua indecisão.)
A4 fez três desenhos correspondentes aos três filhos de Maria e foi distribuindo de dois em
dois tracinhos ( ) para cada filho e foi realizando somas parciais até chegar ao valor 54.
126
Percebemos nesse excerto que o aluno diz que eles fizeram quase do mesmo jeito da questão
a. Observamos que a resposta do grupo está correta; entretanto, não puderam distribuir para
cada filho uma quantidade diferente de 15. Deu 15 bolinhas [reais] para o primeiro
“neguinho” [filho], em seguida deu 15 para o segundo filho e somou com a quantidade do
primeiro filho; isso aconteceu em todo o processo até distribuir todos os 75 reais e concluiu,
corretamente, que João tem 5 irmãos.
Grupo B
Assim como o A4, ele fez três desenhos correspondentes aos filhos de Maria, distribui de três
em três para cada um e foi somando parcialmente até chegar ao número 54. Assim que
completou a tarefa, disse:
Observamos que esse grupo fez algo diferente em relação ao GA; mostrou que é possível
distribuir de 3 em 3 reais para cada filho e cada um ficar com 18 reais. Reconhecemos que
poderíamos tê-los instigados mais a encontrar outras formas de Maria distribuir os 54 reais
entre os seus filhos, cabendo a cada a mesma quantidade.
Grupo D
A17 pensou por alguns minutos, foi ao canto do quadro colocou alguns números e nos disse:
A17: “Tio, dá também por 6. Eu fiz aqui de seis em seis e, na primeira vez
acho 18. Então, se eu fazer mais duas vezes vou achar 18 e 18 que é 36. 36
mais 18 da primeira vez dá 54.”
Como assim, na primeira vez você encontrou dezoito?
A17: “Assim, eu coloquei 6 no primeiro quadro, 6 no segundo e 6 no
terceiro, somei tudo e deu 18. Fazendo mais duas vezes do mesmo jeito,
vamos ter 36 e 36 mais 18 é 54.”
Muito bem garoto! Mas, será que podemos distribuir uma quantidade
maior, para cada filho?
A17: “Não sei.”
129
O que você acha de fazer uma tentativa por um número maior do que
10? Será que podemos distribuir uma quantidade maior que 10 para
cada filho?
A17: “Nossa!”
Eu sei que você consegue.
A17: “É muito difícil fazer.”
Pensa um pouco.
A17: [Depois de um tempo, olhou o que estava escrito no quadro e
respondeu assim:] “Professor, na resposta de A20 ele fez de três em três e
achou dezoito para cada um, então, eu posso dá 18 pra cada um também?”
O que você acha?
A17: “Eu acho que pode.”
Tenta fazer.
A17: [Pensou mais pouco e demonstrou segurança ao responder.] “Pode sim.
Se somar 18 três vezes vai dá 54, né? E, se eu somar 3 dezoito vezes vai dá
54 também. Então eu posso dá 18 para cada um”.
Ótimo! Muito bom mesmo!
Percebemos aqui que A17, representando o seu grupo, além de encontrar a resposta
corretamente da questão a e após a nossa provocação, também, conseguiu chegar ao resultado
distribuindo de 6 em 6 bolinhas [reais] para cada filho. Ele, recorrendo ao que os outros
grupos fizeram na lousa, pensou algo que nenhum outro colega conseguiu: se A20 fez de três
em três e achou dezoito para cada um, então eu posso dá 18 para cada um também. Ao fazer
um cálculo mental, há indícios de que A17 pensou algo do tipo: Se eu fizer agrupamentos de
3 em 3 bolinhas [reais] vou dar 18 bolinhas [reais] para cada um, totalizando 54 bolinhas
[reais]; então eu posso fazer agrupamentos de 18 em 18 bolinhas [reais], isto é, distribuir 18
para cada um. Ou seja, se fizer 3 × 18 = 54 ou se fizer 18 × 3 = 54. Com relação ao cálculo
mental, de acordo com os PCN (BRASIL, 1997, p. 76), “pode-se dizer que se calcula
mentalmente quando se efetua uma operação, recorrendo-se a procedimentos confiáveis, sem
os registros escritos e sem a utilização de instrumentos”.
Muito bem!
Salientamos que existe uma diferença considerável entre as duas questões propostas nessa
atividade. A questão a está associada à ideia de partição, pois temos: o todo (54 reais), o
número de partes (3 filhos) e queremos saber o tamanho das partes (18 reais); aqui, cada filho
tem que receber a mesma quantia previamente desconhecida. Já na questão b, está presente a
ideia de medida (quota), pois conhecemos: o todo (75 reais), o tamanho das partes (15 reais) e
queremos o número de partes (5 irmãos); nesse caso, cada irmão de João, cujo número é
desconhecido, deve receber 15 reais.
Nessa questão e nas demais, consideramos que todo processo de resolução e os diálogos são
importantes para a aprendizagem e a construção de conceitos. Todavia, nesse início de
aplicação do plano de ensino, percebemos que os alunos não gostavam muito de ler as
questões propostas, tinham muitas dificuldades em registrar as estratégias de resolução de um
problema. Isso pode resultar em algumas incoerências, ou implicar num erro.
Mesmo não registrando aqui os diálogos de todos os grupos, verificamos que os alunos
conseguiram entender e fazer a atividade proposta de alguma forma, sem mesmo saber qual a
ideia que estava associada à divisão em cada questão. Assim, formalizamos o conceito de
divisão escrevendo na lousa algo do tipo:
Definições
Exemplos
Exemplo 1: Se dividirmos 15 balas entre 3 crianças, quantas balas cada criança receberá?
131
dividendo (N)
15 3 divisor (d)
0 5 quociente (q)
resto (r)
Isto é, 15 = 3 × 5 + 0.
Note que 3× 5 = 15 e o resto é 0 (zero), ou seja, 15 – 3×5 = 15 – 15 = 0 (zero).
Exemplo 2: Se dividirmos 17 balas entre 5 crianças, quantas balas inteiras cada criança vai
receber?
dividendo (N)
17 5 divisor (d)
2 3 quociente (q)
resto (r)
Isto é, 17: 5 = 3 × 5 + 2.
Foram deixados, ainda nessa aula, problemas de fixação dos conceitos trabalhados, como
atividade extraclasse 1, a seguir. De acordo com Souza (2005, p. 12), “As atividades
extraclasse ou tarefas complementares têm o objetivo de aprofundar conhecimentos
relacionados aos conteúdos estudados em sala de aula (...)”. Para essa atividade tivemos como
objetivo fixar o que havia sido estudado nas aulas. Nossa intenção para a aula seguinte era
apenas discutir e corrigir o que haveriam feito em casa.
132
Tarefa extraclasse 1:
Resolver os problemas sem fazer a conta e registrar a maneira como você chegou ao
resultado.
a) Fernando chegou em casa com 36 balas e distribuiu entre seus irmãos, dando 12 balas
para cada um. Quantos são os irmãos de Fernando que receberam balas?
b) Nágila tem três filhos e resolveu presenteá-los com 315 reais. Quantos reais receberá
cada filho? Sabendo que todos receberam a mesma quantia e que Nágila possui somente
notas de 5 e de 50 reais, quantas notas de 5 reais e quantas notas de 50 reais receberá cada
um filho?
Aula 4:
Como já haviam resolvido uma atividade semelhante em aulas anteriores, não tiveram
dificuldades na resolução desta. Mesmo assim, nós sempre estávamos percorrendo os grupos
e incentivando, principalmente, os menos dedicados à atividade. Assim, seguindo o mesmo
caminho da aula 2 (usando as pseudocédulas), todos conseguiram encontrar o número de
irmãos de Fernando e também quantos reais cada um dos filhos de Nágila recebeu, usando
apenas notas de 5 reais e de 50 reais.
Resolver os problemas sem fazer a conta e registrar a maneira como você chegou ao
resultado.
Para esta atividade, incluindo a tarefa extraclasse, foram utilizadas duas aulas, realizadas nos
dias 09 e 10 de julho de 2015. Nesta atividade, não tivemos maiores problemas na
organização dos grupos, mas precisamos continuar a incentivá-los a se dedicarem às
resoluções das questões e ao trabalho cooperativo e colaborativo, uma vez que, alguns ainda
trabalhavam individualmente e outros, apenas copiavam. Em relação à tarefa extraclasse, a
maioria resolveu em casa. Assim, não perdemos tempo e pudemos aproveitar mais da metade
da segunda aula (10/07/15) para aplicarmos o jogo denominado A Trilha do Resto, descrito
nas páginas 97 - 98.
Aula 1:
No dia 09/07/15 estavam presentes 20 alunos. Cada membro de cada grupo recebeu uma folha
impressa com a atividade. Foi dado um tempo para que os alunos lessem e discutissem entre
si as questões. Ao passarmos pelos grupos observamos que, mesmo que a grande maioria
estivesse desenvolvendo a atividade, ainda havia alunos dispersos, esperando os colegas
terminarem para que pudessem copiar. Vejamos a resolução das questões de cada grupo.
Para resolver a questão a, Figura 19, o GA demonstrou que houve leitura do enunciado e
interpretação do problema. Observamos que os alunos desse grupo conseguiram resolver e
explicar o caminho percorrido até chegar à resposta correta da questão. Porém, ao descrever
os passos utilizados, o grupo deixou de indicar os significados de alguns termos, talvez por
falta de atenção. Veja a transcrição da resposta do grupo: sobram 4 pessoas. Eu fiz as bolas e
134
contei 14 bolinhas [em cada conjunto] para ver quanto sobrava e sobrou 4 [bolinhas]
pessoas. Isso significa dizer que 4 pessoas terão que utilizar outro meio de transporte.
Como podemos verificar, o GC ao resolver a questão a, Figura 23, demostrou falta de atenção
ao registrar a resolução do problema proposto. Observamos que no segundo desenho, da
esquerda para a direita, representando uma das 3 vans, foram colocadas 15 bolinhas [pessoas]
ao invés de 14 [pessoas]. Além disso, ao escrever por extenso a resposta encontrada, o grupo
afirma que 14 pessoas sobram ao invés de dizer que sobram apenas 4 pessoas, as quais
deverão utilizar outro meio de transporte.
136
7 caixas ele vai ter que usar; sobra 10 livros, é mais uma caixa.
137
Ao analisar a resolução da questão a, Figura 25, desenvolvida pelo GD, percebemos que esse
grupo não teve dificuldade para entender o enunciado do problema e demonstrou segurança e
clareza na sua resposta.
De 46, sobrou 4 pessoas que não foram nas vans. Eu fiz quatorze bolinhas
(pessoas) em cada van e sobrou quatro.
Já para a questão b, Figura 26, o GD não teve a mesma atenção; mesmo respondendo
corretamente por extenso a questão, ao representar, por meio de um desenho, distribuiu 12
livros em cada uma das 8 caixas. O equívoco está na última caixa, uma vez que sobram 10
livros, como o próprio grupo menciona na sua resposta por extenso.
.
Figura 26 - Resolução da questão b da atividade 2 pelo GD
Peguei 7 caixas e coloquei 12 [livros] em cada uma que deu 84 [livros], mais
10 [livros] em uma outra caixa. Pedro usou 8 caixas.
Essa atividade se diferencia da primeira apenas no resto. Nessa, o resto é diferente de 0 (zero);
o que pretendíamos com essa atividade era fazer com que os alunos percebessem que nem
sempre, dentro do conjunto dos números naturais, a divisão entre dois números será exata, no
sentido de ter resto igual a 0 (zero). Entretanto, essa operação pode ser útil em diversas
situações (aplicações).
Na formalização desse conteúdo, dissemos para eles que era a mesma coisa que já havíamos
feito na atividade 1, então, era só seguir o mesmo raciocínio. Assim, colocamos na lousa a
mesma definição da atividade 1.
Definição:
Foi deixada no final desta aula, uma atividade extraclasse, abaixo, composta com duas
questões, semelhante aos problemas da atividade 2, para fixação dos conceitos trabalhados.
Nossa intenção para a aula seguinte era discutir e corrigir o que haviam feito em casa.
Tarefa extraclasse 2:
Resolver os problemas sem fazer a conta e registrar a maneira de como você chegou
ao resultado.
a) Numa excursão da Escola ECO para um dia lazer no parque aquático em São Mateus –
ES foram 30 pessoas, entre professores e alunos. Na volta, o Micro-ônibus, que
transportava essas pessoas, quebrou perto de Pinheiros - ES. Foram disponibilizados 2
vans de 14 lugares para transportar os alunos e os professores. Quantas pessoas terão que
utilizar outro meio de transporte?
b) Maria está guardando os livros da sua mãe para uma mudança. São 128 livros e, ela
quer colocar 13 em cada caixa, para não ficar muito pesado no transporte. Quantas caixas
ela irá precisar para colocar todos os livros?
139
Aula 2:
O contato com as calculadoras foi um instante de alegria para a maioria deles, pois, segundo
eles mesmos, nunca tinham usado esse tipo de material nas aulas de matemática.
Para essa atividade combinamos da seguinte maneira: em cada grupo, para cada partida um
aluno manuseava a calculadora enquanto os colegas jogavam; o aluno que chegasse em último
lugar na partida, iria substituir aquele que estava com a máquina e assim por diante. Nesse
jogo, o ponto de partida para todos é o no número 43 e, logo no começo do jogo, um dos
alunos, A17, nos perguntou:
49
Última aula antes do recesso escolar.
140
Todos os outros colegas ficaram nos olhando e ouvindo a nossa conversa. Entendemos, nesse
momento, que eles não sabiam identificar o resto de uma divisão entre dois números naturais,
usando uma calculadora. Então, entendemos que seria importante ensiná-los, sem falar
diretamente como fazer. Primeiro pedimos para eles dividirem o 43 por 4 sem usar a máquina.
A17: “Eu dividi e achei o quociente igual a 1 e sobra 3, que não dá para
dividir mais.”
Você tem certeza que só dá 1 no quociente?
A17: Tenho. Eu peguei o 4 e dividi por 4, deu 1 e 1× 4 é 4; 4 – 4 = 0. Aí
baixei o 3; 3 não dá para dividir por 4; aí no quociente só fica 1.”
A20: “Tio, eu resolvi aqui e deu 1 também.”
Qual é o dividendo?
A4: “43.”
E o seu divisor?
A23: “No dado deu 4, acho que é 4.”
A17: “É mesmo, é o 4.”
Muito bom! Vamos imaginar que você tem 43 balas e quer dividir entre
4 amigos, com quantas balas cada um vai ficar?
Enquanto isso, os demais colegas ficaram parados, em silêncio, ouvindo a nossa conversa.
O aluno conseguiu associar a quantidade de balas que poderiam receber com o quociente da
divisão realizada, mas não conseguia, ainda, entender o que fazer com a parte fracionária
0,75. Então foi preciso, continuar a provocá-lo.
Então, perguntamos ao aluno como fazer para descobrir o resto de uma divisão utilizando a
calculadora. Ele respondeu corretamente, dizendo algo do tipo: divide um número pelo outro e
pega o número que está antes do ponto e multiplica com o divisor e depois diminui o maior
pelo menor, o resultado é o resto. Naturalmente, o parabenizamos e continuamos o diálogo
com A17.
Continuamos a circular pelos respectivos grupos. Assim, percebemos que todos os alunos
estavam envolvidos com o jogo, algo que até então não havia acontecido em nenhuma
atividade. Continuamos desta forma até chegar ao final da aula, quando alguns alunos nos
pediram para continuar no horário seguinte [aula do próximo professor] porque eles
precisavam terminar a atividade. Infelizmente, não foi possível.
50
Aqui transcrevemos a atividade com algumas modificações no enunciado, que explicitam explicações dadas na
aula, visando dar à atividade o caráter de um jogo no qual há algo para ser feito e pode haver ganhadores e
perdedores.
51
Para o desenvolvimento desta atividade nos baseamos em Pereira (2004).
143
Em um jogo de baralho podem participar, no mínimo, duas pessoas. Cada participante deve
ficar com, no mínimo, uma carta. O jogo consiste em distribuir todas as 54 cartas entre os
participantes, igualmente. Ganha o participante que conseguir acertar as seguintes
questões:
(a) Qual é o menor número de jogadores que deve participar desse jogo? E o maior
número?
(b) Será que podem participar desse jogo, 3 jogadores? E 4? E 6? E 15?
Para esta atividade, incluindo a tarefa extraclasse, foram previstas três aulas, realizadas nos
dias 27, 28 e 29 de julho de 2015. Ainda, nesta atividade, devido aos alunos manterem certa
desordem em sala de aula, demorarem a se envolver com o problema proposto e não
realizarem a tarefa extraclasse, exigindo de nós, pesquisador e professora regente, muitos
artifícios para fazê-los se dedicar ao trabalho, naturalmente, perdemos algum tempo; portanto,
foi preciso mais uma aula, realizada no dia 30/07/15. Acreditamos que um dos motivos a
deixá-los agitados em sala de aula é por estarem retornando à escola após o recesso escolar, o
que “quebrou” o ritmo de trabalho que havíamos conseguido na última atividade. Tivemos
que retomar as nossas falas do início do trabalho.
Aula 1:
No dia 27/07/1552 estavam presentes 20 alunos e cada membro dos grupos recebeu uma folha
impressa com a atividade Um jogo de baralho, constituída por um problema e questões
relacionadas, como foi mostrado na página anterior.
Foi dado um tempo para que os alunos lessem e discutissem entre si as questões. De imediato,
percebemos que alguns deles, sem ao menos ler o problema, já nos chamavam para ajudá-los,
querendo que indicássemos como resolver, ou mesmo dar as respostas prontas. Como nosso
objetivo era levá-los a construir seu próprio conhecimento, nós os instigávamos com questões
52
Primeira aula depois do recesso escolar.
144
Depois da leitura individual e da leitura coletiva, pudemos observar que, enquanto alguns
alunos ainda reclamavam não terem entendido o problema, outros faziam divisões do número
54, limitando-os apenas aos divisores 2 e 3.
Para a primeira pergunta, alguns alunos responderam “não”, outros disseram “sim”. Em
relação à segunda, alguns alunos não entenderam o significado da palavra “mínimo”. Foi,
então, explicado para eles que “mínimo” significa menor, nesse caso, o menor número de
participantes desse jogo. Após esse esclarecimento dois dos alunos começaram um diálogo,
como descrito a seguir:
145
Observamos nesse diálogo entre os colegas uma discórdia amigável no que se refere à
compreensão da questão. Em relação à aprendizagem de Matemática, Mellin-Olsen (1993)
citado por AlrØ e Skovsmose (2010, p. 132), “descreve um diálogo como um método de
confrontação e exploração de discordâncias [...] em um ambiente amistoso e cooperativo”.
Nesse instante, alguns alunos, por exemplo, A3, A6, A12, A18 e A24, inclusive A10,
concordaram com A17. Então, aproveitando a situação suscitada para a discussão entre os
alunos, voltamos a perguntar para toda a sala.
Será mesmo que poderá haver 3 jogadores nesse jogo? O que vocês
acham? Se puder, quantas cartas cada um receberá? E poderá ter 4
jogadores? E, no máximo, quantos jogadores podem participar desse
jogo?
A2, mais uma vez, recusou-se a ler e voltou para o seu grupo. Nesse caso, provavelmente, o
que ele queria era a resposta pronta, sem a menor boa vontade de, pelo menos, tentar ler e
fazer o que se pedia no problema. Segundo Allevato e Onuchic (2014), enquanto o aluno
resolve o problema, o professor observa-o, incentiva-o a utilizar conhecimentos anteriores,
técnicas operatórias já conhecidas e a troca de ideias com os seus pares. Além disso, auxilia
nas dificuldades sem, contudo, dar respostas prontas.
Durante o diálogo do pesquisador com esse aluno, a maioria dos outros alunos continuou a
fazer os cálculos da questão b do problema. Quando A2 retornou para seu grupo e os demais
continuavam trabalhando, me direcionei a professora regente e perguntei se A2 realmente não
sabia ler. A professora, com naturalidade, disse-me: “ele sabe ler sim, esses dias atrás ele leu
um texto no livro de matemática, mas não gosta. Ele gosta muito de escorar nos colegas e
atrapalhar a turma em todas as aulas”.
Em certo momento, distribuímos um jogo de baralho comum para cada grupo, com o objetivo
de auxiliar no entendimento do problema e não para jogar. Mesmo após explicar a utilização
147
proposta do baralho, alguns alunos tiveram como primeira ação jogar, como mostra figura 28
abaixo. Eu e a professora regente intervimos para contornar a situação.
A3: “Professor, eu distribui as cartas do baralho entre nós dois [A3 e A5] e
não sobrou nenhuma carta, então pode ter dois jogadores nesse jogo”.
A9: “Tio eu fiz assim, primeiro eu contei as cartas do baralho e tinha 54
cartas com os curingas, aí eu distribui as cartas em 3 montes e não sobrou
nenhuma, depois A10 contou cada monte e tinha 18, então tá certo, o jogo
pode ter 3 jogadores”.
A17: “Professor, com o baralho nós entendeu melhor quando sobra carta,
quando eu distribui as cartas do baralho entre nós 4 do grupo, cada um ficou
com 13 cartas e ainda sobrou duas cartas e não dá para dividi mais”.
A28: “Tio, nós fez assim, pegamos as cartas do baralho e dividimos em 15
montinhos, só que sobra 9 cartas e não dá mais para colocar 1 em cada
montinho, e agora? Fica faltando 6 cartas. Acho que no jogo não pode ter 15
jogadores”.
Ótimo! Vocês são inteligentes e capazes! Vamos lá, continuem
resolvendo,
vocês conseguem.
148
Observamos que alguns alunos ainda esperavam pelos resultados de outros colegas. Outros
prestavam atenção às conversas de alunos de grupos ao lado, com a nítida intenção de obter
informações sobre o que estavam falando e fazendo, para poder usar essas dicas na resolução
do seu problema. Além disso, muitas vezes foi preciso pedir atenção e continuar a incentivá-
los para que o trabalho fosse feito em grupo, um ajudando o outro, pois muitos alunos
estavam fazendo individualmente. Inicialmente, em alguns casos, parecia haver certa disputa
entre os componentes dos grupos e, na maioria das vezes, era preciso intervir nos conflitos.
Mesmo que eu e a professora regente estivéssemos falando sempre sobre o trabalho
colaborativo, ainda não haviam interiorizado essa prática.
A aula do 27/07/15 chegou ao seu final e, como combinado no inicio dos nossos trabalhos,
recolhemos todo o material disponibilizado na aula.
Aula 2:
No dia 28/07/15 estavam presentes 18 alunos dos que vieram na aula passada e não
compareceu nenhum outro aluno que esteve ausente no dia 27/07/15. Nesse dia a aula foi
mais tranquila, no sentido de organização da turma, de modo que não perdemos muito tempo
como nas aulas anteriores.
149
Devolvemos o material recolhido na aula anterior e também entregamos a cada grupo uma
calculadora comum, no intuito de terem mais uma ferramenta para auxiliá-los nos cálculos
que, eventualmente, seriam mais difíceis.
Para que eles chegassem a essa conclusão foi preciso, primeiro, acalmá-los e convencê-los a
lerem o texto do problema; depois, pedimos para que discutissem entre si nos grupos e
realizamos vários questionamentos visando a levá-los a interpretar o enunciado e se disporem
a resolver, sem que disséssemos o que deveriam fazer. Julgamos que, de início, eles não
haviam notado bem as informações contidas no texto da questão, por falta de atenção à leitura
do problema.
Já mais familiarizados com o problema proposto, a maioria deles respondeu que sim e já
haviam feito alguns cálculos, utilizando uma sequência de números, na tentativa de chegar ao
resultado do problema, como mostrado na Figura 30 (referente à resolução do GD, o qual traz
os cálculos e a resposta redigida para o problema, que transcreveremos e analisaremos abaixo
da Figura 30) e a Figura 31 (referente ao GB, cujo registro se resume apenas aos cálculos para
a questão b, considerando parte da sequência de 2 a 54).
150
Desta forma, com a colaboração de alguns colegas, ela preencheu toda a tabela. Após nossa
intervenção para inserir algumas linhas e ordená-las segundo o número de jogadores, a tabela
ficou conforme reproduzimos no Quadro 9:
152
Perguntamos à turma se havia alguma relação entre as colunas número de jogadores e número
de cartas por jogador. Alguns deles, depois alguns instantes, responderam que os mesmos
números apareciam nas duas colunas, mas em ordem contrária e, após mais algum tempo,
disseram que o número de jogadores multiplicado pelo número de cartas por jogador dava
sempre 54.
Ainda surgiu dúvida na frase distribuir igualmente, em que o aluno afirmou que as 54 cartas
poderiam ser distribuídas igualmente para 8 jogadores e não sobrava cartas e, os outros
colegas ficaram calados. O problema pedia para distribuir todas as 54 cartas entre os
participantes, igualmente. Explicamos que isso significava dizer que dividir todas as 54
cartas igualmente entre os 8 participantes, por exemplo, não poderiam sobrar nenhuma carta,
o resultado 6,75 é a mesma coisa que 6 + 0,75 (6 mais 0,75), ou seja, cada jogador vai receber
6 cartas e ainda sobram algumas cartas, por isso que o 8 não é divisor de 54. Para ser divisor,
é necessário que a divisão seja exata, como já havíamos estudado nas primeiras aulas sobre
divisão. A22 voltou a questionar:
A22: “Por que algumas cartas? 0,75 é menor que 1, então não sobra
nenhuma carta inteira”.
153
Percebemos que esse aluno possuía certo conhecimento sobre os números decimais, mas
ainda não dominava o que representava na situação o 0,75, em quantidade de cartas. Mesmo
não se aplicando a divisão com resto diferente de zero ao problema proposto, resolvemos
levar adiante os questionamentos sobre esse assunto. Assim, perguntamos para A22:
Você pode nos dizer o que representa o 6 na resposta 6,75, que você
encontrou?
“O 6 significa a quantidade de cartas que cada um jogador vai receber, mas
ainda tem o 0,75”. (respondeu, após ficar um tempo calado)
Será que podemos efetuar uma multiplicação utilizando esses números
que você mencionou [6 e 8]?
Nesse momento, outros alunos, como, por exemplo, (A1, A3, A10, A12, A14) começaram a
interagir conosco, todos respondendo “sim”, quase que ao mesmo tempo. Então perguntamos
para A10:
Qual é o resultado?
A10: “Dá 48”.
O que significa o cálculo que você acabou de fazer, encontrando como
resultado o 48?
A10: “Uai, eu peguei 6 cartas de baralho e multipliquei pela quantidade de
participantes do jogo e encontrei 48 cartas”. (Ele respondeu mostrando
certa segurança, depois de pensar um pouco.)
Mas, qual é a quantidade de cartas que esse baralho possui e que
poderão ser distribuídas igualmente entre os participantes desse jogo?
A10: “Tio, tem 54 cartas”. (Disse rapidamente e quase gritando, para que
ouvíssemos bem que teria sido ele.)
Muito bem! Mas, nesse caso, será que só podemos efetuar uma
multiplicação entre 6 e 8?
A17: “Tio, podemos também, multiplicar 8 por 0,75 que dá 6, eu acabei de
fazer a conta aqui”.
Legal! Muito bem!
154
Esse aluno nos mostrou que, enquanto os seus colegas estava dialogando conosco e ele
permanecia calado, estava, na verdade, pensando em outras situações do problema. Então,
direcionando-nos ao A22, perguntamos sobre a relação entre os valores encontrados:
Entendemos que a angústia de A6 é causada pelo simples fato de que ela e seus colegas não
estão acostumados com esse tipo trabalho, que a partir de um problema, o aluno constrói o seu
conhecimento, tendo o professor como orientador, incentivador, mediador, consultor,
organizador e não um transmissor de conhecimento (ALLEVATO; ONUCHIC, 2014). Após
o descontentamento de A6, A22 disse:
A22: “Não tio, deixa ela, ela está com preguiça de pensar mas eu não, eu
quero responder a questão”.
A22: “Tio, eu não pensei direito, só olhei o 0,75 e disse que era menor do
que 1, se eu tenho zero na unidade, esse número é menor do 1. Se eu tivesse
pegado o 0,75 e multiplicado pelo 8, tinha encontrado 6 que é o resto da
divisão. Nós já tinha feito isso na atividade 1 e 2, mas tinha esquecido”.
155
Uns ficaram calados, só copiando que o que A22 falava e a maioria respondeu que sim,
concordando com o colega. Demos os parabéns para A22 pelo seu empenho e dedicação e
incentivamos os demais para a construção de seu próprio conhecimento, pois todos são
capazes. Quando acabamos de falar, já no final da aula, A20 disse:
A20: “Na próxima aula, eu vou ficar no grupo de A22, esse ‘cara’ é muito
inteligente”.
Aula 3:
No dia 29/07/15 compareceram, além dos 18 da aula anterior, A7 e A18 que estavam no dia
27/07/15 e o A11 que esteve somente na primeira atividade (08/07/15), totalizando 21 alunos.
Após realizar toda preparação para iniciar como nas aulas anteriores, voltamos à atividade e
pedimos para os alunos irem à lousa e colocarem as suas soluções, como mostra a Figura 33
abaixo:
Se um número é múltiplo de outro, então este outro é divisor ou fator daquele número. Por
exemplo, 54 é múltiplo de 2 e 2 é divisor ou fator de 54.
Falamos ainda que um dado número natural, diferente de zero, ele possui uma infinidade de
múltiplos, bastando apenas efetuar multiplicações desse número por todos os outros
elementos do conjunto dos números naturais para obtermos todos os seus múltiplos;
entretanto, ele possui um número finito de divisores, sendo o menor deles o número 1 e o
maior deles o próprio número.
54 ÷ 6 = 9
54 ou 54 ou
Múltiplo de 6 Múltiplo de 9
e,
Divisor de 54 Divisor de 54
6 ou 9 ou
Fator de 54 Fator de 54
Definições
Um número é divisível por outro quando a sua divisão (euclidiana) por esse número é exata,
ou seja, possui resto igual a zero. Se um número é divisível por outro número, dizemos que
ele é múltiplo desse outro número, o qual também é seu divisor.
Foi colocado para eles, como observação, que em todo o estudo com divisibilidade, os
números 0 (zero) e 1 realizam funções importantes, enquanto o 0 (zero) é múltiplo de
qualquer número, o 1 é divisor de qualquer número.
Souza e Pataro (2012, p. 102), no primeiro livro da coleção Vontade de Saber Matemática,
afrmam que “quando uma divisão de números naturais é exata, temos que o dividendo é
múltiplo do divisor e múltiplo do quociente”. Por exemplo, 54 é divisível por 6 pois 54 = 9×6
(o resto é zero); isto é, ao distribuirmos igualmente todas as 54 cartas do baralho entre 6
jogadores, cada um receberá 9 (quociente) e não sobram cartas no jogo (resto zero). Outro
exemplo, 54 não é divisível por 8 pois 54 = 6×8 + 6 (o resto não é zero); ou seja, ao
158
Os mesmos exemplos usando a calculadora, 54÷6 = 9,0 (o resto é zero); 54÷8 = 6,75 (o resto
não é zero, devido à parte fracionária).
Foi deixado, ainda nessa aula, uma tarefa de fixação dos conceitos trabalhados como atividade
extraclasse, semelhante à da atividade 3 ( vide páginas 142 - 143). Para essa atividade tivemos
como objetivo rever o que havia sido discutido nas aulas. Nossa intenção para a aula seguinte
era somente verificar e corrigir o que haviam feito em casa.
Aula 4:
No dia 30/07/15 compareceram todos que vieram na aula anterior, exceto A11. Ou seja, nessa
aula estavam presentes 20 alunos. Após observarmos que a grande maioria deles não tinha
feito a atividade extraclasse, os deixamos resolver o problema. Como eles já tinham resolvido
algo bem parecido na aula anterior, seguiram os passos então utilizados e não tiveram maiores
dificuldades na resolução. Mesmo assim, alguns ainda ficavam dispersos, sempre na espera do
colega terminar para copiar. Como sempre, nós sempre estávamos incentivando-os,
orientando-os e pedindo para redigirem as suas respostas por extenso.
53
Aqui transcrevemos a atividade com algumas modificações no enunciado, que explicitam explicações dadas na
aula, visando dar à atividade o caráter de um jogo no qual há algo para ser feito e pode haver ganhadores e
perdedores.
159
Com o auxílio de uma calculadora, que distribuímos no inicio dessa aula, e, por meio de
nossas intervenções, vários deles fizeram as divisões do número 48 pela sequência de
números 1, 2, 3, 4, 5,..., 48, a partir do que puderam ver em quais casos a divisão era exata.
Dessa forma, constataram e elencaram todos os divisores de 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 e
48.
Para esta atividade, incluindo a tarefa extraclasse, foram previstas cinco aulas, realizadas nos
dias 10, 11, 12, 13 e 14 de agosto de 2015. Nesta atividade, os alunos se enrolaram um pouco
ao usarem os lápis coloridos, uma vez que nela pedia-se para pintar com cores diferentes os
múltiplos de 2 maiores que 2, os múltiplos de 3 maiores que 3, e assim sucessivamente; a
partir do momento em que essas cores começaram a coincidir no mesmo número, eles
sentiram dificuldades para dar continuidade; parece que a atividade tornou-se cansativa e eles
se dispersaram, exigindo de nós, pesquisador e professora regente, algumas intervenções.
54
A média das escolas públicas da rede estadual é 60%.
55
Para o desenvolvimento desta atividade nos baseamos em Pereira (2004).
160
Então, perdemos algum tempo. Portanto, foram necessárias mais duas aulas para alcançarmos
todos os objetivos da atividade, realizadas nos dias 20/08/15 e 21/08/15.
Aula 1
Na primeira aula (10/08/15) estavam presentes 20 alunos e, então, formamos 4 grupos com 5
componentes cada um; cada um membro dos grupos recebeu uma folha impressa com a
atividade Crivo de Eratóstenes, (vide p.105-106) e, também, distribuímos para cada grupo
uma caixa de lápis coloridos para auxiliá-los no desenvolvimento da atividade.
Foi dado um tempo para que os alunos lessem e discutissem livremente a proposta de trabalho
desta aula. Ao passarmos pelos grupos observamos que eles estavam desenvolvendo bem a
atividade, como, por exemplo, mostra a figura 34 abaixo.
Aula 2
Na segunda aula (11/08/15) estavam presentes 20 alunos, todos os que vieram na aula anterior
e, então, permanecemos com os mesmos grupos e devolvemos para eles o material que havia
sido recolhido, para dar continuidade ao trabalho iniciado. Voltamos a explicá-los a atividade
e estimulá-los a focar no trabalho, pois eles já tinham conhecimento a respeito de múltiplos de
um número; com isso, eles pararam de reclamar e desenvolveram melhor a atividade.
O aluno A17 percebeu que à medida que ia fazendo a atividade, precisaria pintar apenas até os
múltiplos de 50, pois os múltiplos de 51 seriam maiores que 100 e, nos chamou para contar
essa descoberta. Passado mais algum tempo, A22 também nos disse que "o número 9 e todos
os seus múltiplos já estavam pintados". Ao falar isso, ele, de certa forma, estimulou os seus
colegas que estavam atrasados e dispersos a continuarem trabalhando. Esperamos e
incentivamos todos a terminarem a tarefa proposta, para que pudéssemos começar a nossa
plenária; entretanto, ela só aconteceu na aula seguinte.
Aula 3
A4: “tio, nos múltiplos de 6, aconteceu a mesma coisa; quando eu fui pintar,
já estava tudo pintado.”
Com a mesma cor?
A4: “Não. Diferentes.”
E, o que significa isso?
A4: “Não sei.”
Pensa um pouquinho. Dá uma olhada no quadro novamente [e os
deixamos discutindo entre eles, por um tempo].
A22: [Depois da discussão com os colegas de seu grupo disse:] “Os que está
todos de uma cor é os múltiplos de 2.”
A17: “A outra cor é os múltiplos de 3.” (Complementou.)
Percebemos que alguns ficaram meio confusos com a resposta de A22, então, resolvemos
instigá-lo mais um pouco e perguntamos:
Observamos no excerto acima que os alunos incluem o zero como múltiplo de um número,
mesmo que esse número não aparece no quadro do crivo. Isso acontece porque eles já haviam
construído esse conhecimento, em atividades anteriores.
A partir daí, concluímos que para ser múltiplo de 6 é preciso ser múltiplo de 2 e múltiplo de 3
ao mesmo tempo. Por exemplo, vejamos a resolução do GC, Figura 35.
Obs.: Transcrição da resposta de cada questão (item vi) desenvolvida pelos alunos, na
Figura 35:
a) 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44,
46, 48, 50, 52, 54, 56, 58, 60, 62, 64, 66, 68, 70, 72, 74, 76, 78, 80, 82, 84,
86, 88, 90, 92, 94, 96, 98, 100.
b) 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63,
66, 69, 72, 75, 78, 81, 84, 87, 90, 93, 96, 99.
c) 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84,
88, 92, 96, 100.
165
d) 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100.
e) 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96.
f) 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98.
Aula 4
Critérios de Divisibilidade
Chamamos a atenção dos alunos para a atividade, Crivo de Eratóstenes, desenvolvida por
eles, em que ficou evidente [para eles] que todos os múltiplos de 2 são números pares.
Destacamos que, para os alunos, a definição de número par é ter o algarismo das unidades
igual a 0, 2, 4, 6, ou 8. Pelo critério de divisibilidade por 2 que acabamos de mostrar que essa
definição é equivalente à usual; considerando-a, não é uma tautologia o que escrevemos na
lousa: Quem garante que um número é ou não divisível por dois é o algarismo da unidade:
166
- se ele for par, o número todo o será e, portanto, será um número múltiplo de dois;
- se ele for ímpar, o número todo o será e, portanto, não será um número múltiplo de
dois.
Exemplos:
Antes de enunciarmos a regra perguntamos para eles se o número 1314 é divisível por 3 e a
primeira reação deles foi realizar a divisão. Como a operação deu exata, puderam garantir
que esse número era divisível por 3. Pedimos, na sequencia, para somarem os algarismos que
compunham esse número; ao fazerem 1 + 3 + 1 + 4 encontraram 9 como resposta; assim, ao
perguntarmos quanto é 9 dividido por 3, obtemos como resposta, 3 e resto zero.
Pedimos, ainda, para eles pegarem outro número no quadro da atividade e fizessem o mesmo
procedimento. Um dos alunos pegou o número 19 e ao resolver a divisão por 3, encontrou 6
no quociente e 1 como resto. Ao somar os algarismos desse número (1 + 9), encontrou 10, que
não é múltiplo de 3. Perceberam, com a nossa ajuda, que o resto da divisão de um número por
três é o mesmo que o resto da divisão da soma dos algarismos do número estipulado por três.
Desta forma, escrevemos na lousa a regra: um número natural é divisível por 3 quando a
soma de seus algarismos é divisível por 3.
Mostramos para eles que, 100 = 4 × 25, então todo número terminado em dois zeros é
múltiplo de 4 e de 25 e que se o número não terminar em dois zeros pode ser escrito da
seguinte forma:
Dessa forma, podemos afirmar que: um número natural é divisível por 4 quando o número
formado pelos seus dois últimos algarismos é divisível por 4.
Desta forma, podemos afirmar que um número natural é divisível por 5 quando termina
em zero ou 5.
Exemplos:
Essa aula chegou ao seu final e procedemos da mesma forma em que as aulas anteriores.
Aula 5
números 246 e 4 712 são múltiplo de 6”. Antes mesmo de terminar de colocar o exemplo na
lousa, alguns já nos perguntavam se era para fazer a divisão. Dissemos que eles fizessem da
maneira que entendessem melhor. Em seguida, A22, utilizando do conhecimento adquirido,
disse:
A minoria dos alunos havia feito a operação, mas os que fizeram encontraram quociente 41 e
resto zero.
Desta forma, escrevemos na lousa a seguinte regra: um número natural é divisível por 6
quando é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo.
33523
3352 − 2 × 3 = 3352 – 6 = 3346
334 − 2 × 6 = 334 – 6 = 322
32 − 2 × 2 = 32 – 4 = 28.
Como 28 é múltiplo de 7, então 33523 é divisível por 7.
182
18 - 2 × 2 = 18 – 4 = 14
Como 14 é múltiplo de 7, então 182 é divisível por 7.
398898
39889 − 2 × 8 = 39669 – 16 = 39873
3987 − 2 × 3 = 3987 – 6 = 3981
398 − 2 × 1 = 398 – 2 = 396
39 − 2 × 6 = 39 – 6 = 27.
56
Disponível em Reis (2009).
171
384 8
64 48
0
Assim, 367384 é múltiplo de 8, pois o número formado pelos 3 últimos algarismos constitui
um um múltiplo de 8, ou, ainda, a soma de múltiplos de 8 é múltiplo de 8. Então, escrevemos
a seguinte regra: um número é múltiplo de 8 quando é terminado em três zeros, ou
quando os três últimos algarismos do certo número representa um múltiplo de 8.
Chamamos a atenção dos alunos que, para a divisibilidade por 9, a regra estipulada para os
múltiplos de 3 é semelhante para os múltiplos de 9. Então, escrevemos na lousa a regra: um
número natural é divisível por 9 quando a soma de seus algarismos é divisível por 9.
Como exemplo, colocamos na lousa: verifique se os números 63420 e 45765 são múltiplos de
10.
Ainda nessa aula, foi deixada a atividade extraclasse, abaixo, com o objetivo de fixar as regras
ora encontradas.
Tarefa Extraclasse 5
Dados os números 12678, 272, 2345, 3815, 2016, 660, 8300, 246, 57402, 37512.
Indique quais são divisíveis por:
2: 3: 5: 6: 9: 10:
Aula 6
Nesse reencontro com a turma, perguntamos a respeito da atividade deixada na aula anterior e
percebemos que a maioria havia feito. Assim, fizemos uma breve revisão sobre divisores e
57
O motivo pelo qual retornamos nesta data, se deu por causa da viagem do pesquisador à UNESP, Rio Claro,
em visita ao GTERP.
173
A22: “Professor, existe números maior que 100 só com dois divisores?”
Sim. Por exemplo, o 101 e 103 só tem dois divisores. São infinitos
números que possuem apenas dois divisores.
A22: “Ah, tá! Aqui [na folha de atividade] só tem até 97, achei que não tinha
mais.”
Não foi possível continuarmos com as discussões, pois chegou ao final dessa aula.
Aula 7
No dia 21/08/15, estavam presentes 19 alunos, todos os presentes da aula anterior, então
mantivemos os mesmos grupos. Voltamos à atividade, recapitulamos algumas coisas que
discutimos na aula anterior e continuamos a construção do conceito de números primos e
números compostos.
Dissemos para eles que o motivo que deixamos alguns números sem pintar foi para
diferenciar os que têm apenas dois divisores (o 1 e ele mesmo) dos que tem mais de dois
divisores. Os números que não foram pintados são chamados números primos e os outros são
chamados números compostos. Assim, estabelecemos o conceito de números primos e
escrevemos na lousa a seguinte definição: Número Primo é todo número natural maior do
que 1 e que tem apenas dois divisores: o 1 e ele mesmo.
175
Exemplos:
Observamos e escrevemos, ainda, que o número 1 não é primo, porque ele possui apenas um
divisor que é ele mesmo (1 × 1 = 1; 1 : 1 = 1) e o 2 é o único número par que é primo. Os
números que possuem mais de dois divisores são chamados números compostos. Por
exemplo, o número 6 possui 4 divisores: 1, 2, 3 e 6.
Conforme Dante (2012, p.136), em seu livro referente ao 6º ano, da coleção Projeto Teláris:
matemática, “a palavra primo vem do latim primus, que significa ‘primeiro’. A partir dos
números primos é que formamos os números maiores do que 1 que não são primos”.
Em um jogo de duas ou mais pessoas, há 24 fichas vermelhas e 40 fichas azuis para serem
distribuídas igualmente entre os participantes. Nenhuma ficha pode sobrar.
Para esta atividade, incluindo a tarefa extraclasse, foram previstas duas aulas, realizadas nos
dias 08 e 09 de setembro de 2015. Nesta atividade, não tivemos maiores problemas na
organização dos grupos e nem no trabalho colaborativo, entretanto, precisamos continuar a
incentivá-los e instigá-los com alguns questionamentos na resolução das questões da
atividade, mediante dúvidas surgidas. Em relação à tarefa extraclasse, a maioria resolveu em
casa. Para o desenvolvimento da atividade, precisamos de mais uma aula que foi realizada no
dia 10/09/15.
Aula 1:
No dia 08/09/15, estavam presentes 20 alunos. Foi entregue para cada membro dos
respectivos grupos a atividade e dado um tempo para que eles pudessem fazer as leituras e se
familiarizassem com o problema. Assim que fizeram a leitura, um dos alunos, acostumado em
receber os materiais de apoio às atividades, nos perguntou se nós íamos dar as fichinhas
coloridas. Respondemos que para essa atividade não havíamos preparado esse material, mas a
falta do material não dificultava a resolução do problema.
Esperávamos que os alunos, após terem adquirido conhecimento para calcular todos os
divisores de um número, a primeira ação deles fossem utilizar o dispositivo prático para
fatoração completa e, assim, encontrar o número de pessoas participantes desse jogo. Mas,
surgiram dúvidas e outros questionamentos foram feitos, por exemplo:
A9: “Professor, é para fazer divisões de todos os números, igual a gente fez
no problema do baralho?” (Disse, lembrando da atividade 3, um jogo de
baralho.)
Será que o problema é semelhante?
A9: “Acho que é, porque os dois fala de jogo.”
Mas nem sempre quando fala de jogo em problemas, quer dizer que eles
são resolvidos do mesmo jeito. Existem meios mais fáceis para resolver
os problemas.
A2: “Tio, se eu quiser fazer as contas, eu posso né?”
A17: “Nós estudou como calcular todos os divisores de um número, usando
aquele traço vertical e usando as regras para dividir os números. Nós pode
177
fazer daquele jeito também, né?” (Nos perguntou depois de certo tempo; ele
demonstrou indícios de que quis mencionar o dispositivo prático para
fatoração completa e dos critérios de divisibilidade.)
Sim. Mas, se vocês quiserem fazer todas as divisões podem. Como A17
falou, já sabemos de outros caminhos, menos trabalhosos, para resolver
esse tipo de problema.
A9: “Ah tio, agora sei. É para usar daquele jeito que nós aprendeu, faz um
traço vertical e vai calculando os divisores de um número; esse é mais fácil
mesmo.” (Os colegas concordaram com ele, que esse processo é bem mais
tranquilo para encontrar os divisores.)
A partir desse momento, eles começaram a resolver o problema, mas não foi possível dar
continuidade nessa aula, pois ela chegou ao fim.
Aula 2:
e perguntamos quais eram os divisores comuns (DC) entre 24 e 40. Como resposta,
obtivemos: 1, 2, 4, 8.
Então, escrevemos: DC = {1, 2, 4, 8} e chamamos a atenção dos alunos para o fato de que 24
[fichas vermelhas] e 40 [fichas azuis] são múltiplos de [ou divisíveis por] 1, 2, 4 e 8
simultaneamente e, nesse caso, o número máximo de participantes desse jogo é 8, pois é o
maior divisor comum entre 24 e 40, assim, temos:
Ainda falamos que não poderia haver 3 participantes no jogo porque as 40 fichas azuis não
poderiam ser distribuídas igualmente entre eles e nem 5 participantes pelo fato de que as 24
fichas vermelhas também não poderiam ser distribuídas igualmente entre as 5 pessoas. Desta
forma, concluímos a atividade dizendo que, para achar os divisores comuns de dois ou mais
números, usando o dispositivo prático para a determinação de todos os divisores desses
números é necessário está claro que um número é chamado divisor comum de dois ou mais
números, quando ele for divisor de todos ao mesmo tempo.
Mostramos ainda na lousa, outra maneira de calcular o m.d.c. de dois ou mais números,
adaptando-o o dispositivo prático e o chamando de processo simplificado:
180
O m.d.c. é dado pelo produto dos fatores primos que divide ambos os números. Assim:
Definição 1: O máximo divisor comum (m.d.c.) de dois ou mais números naturais, não
nulos, é o maior número que é divisor de todos esses números.
Definição 2: Quando dois ou mais números naturais apresentam o máximo divisor comum
igual a 1, esses números são chamados números primos entre si.
Deixamos uma atividade extraclasse, abaixo, com o objetivo de fixar conceitos construídos a
respeito de m.d.c.
Tarefa Extraclasse 8:
Determine:
Aula 3:
Mostramos ainda, para os alunos outra maneira de como encontrar o m.d.c. de, por exemplo,
27 e 45, utilizando a fatoração, assim:
27 3 45 3
9 3 15 3
3 3 5 5
1 1
27 = 3 × 3 × 3 = 33
45 = 3 × 3 × 5 = 32 × 5
182
Passo 3: Buscar todos os divisores que são comuns nos dois números fatorados: 3. O m.d.c.
entre esses dois números é encontrado multiplicando os fatores primos em comum elevados
ao menor expoente em que cada um aparece nas decomposições. Assim:
No final dessa aula sugerimos, como tarefa extraclasse, que eles voltassem à atividade 3 [um
jogo de baralho] e a extraclasse correspondente, para encontrar todos os divisores comuns aos
números 54 e 48 e, ainda, calcular o m.d.c deles.
Os objetivos da atividade 9 foram: trabalhar o conceito de múltiplos comuns (m. c.) de dois
ou mais números; construir o conceito de m.m.c. de dois ou mais números; orientar e ajudar
os alunos nas buscas por caminhos para resolverem os problemas propostos; incentivar os
alunos a associar a Matemática de sala de aula com uma situação real ao usar o conceito de
m.m.c.
A escola ECO tem uma escada que liga os dois andares do prédio. Essa escada tem 30
degraus, enumerados de 1 a 30. João está subindo de 3 em 3 degraus e Félix está subindo
de 2 em 2. Sabendo que os dois começaram a subir juntos, responda:
Para esta atividade, incluindo a tarefa extraclasse, foram utilizadas duas aulas, realizadas nos
dias 11 e 14 de setembro de 2015. Nesta atividade, não tivemos nenhum problema na
organização dos grupos e muito menos na empolgação e motivação dos alunos para resolução
do problema; essa foi uma das melhores aulas ao longo da aplicação das atividades do plano
de ensino. Quanto à tarefa extraclasse, a maioria resolveu em casa.
Aula 1:
Ao percorrermos os grupos, sem que fizéssemos alguma intervenção, percebemos que muitos
alunos, utilizando o cálculo mental, já sabiam em quais degraus, João e Félix poderiam pisar -
concluímos isso pelo fato de que eles descobriram a resposta sem terem feito a resolução no
papel. Desse modo, pedimos para que eles justificassem matematicamente as soluções que
haviam obtido mentalmente. Em certo momento, um aluno do GA, nos perguntou:
Assim, como mostram as Figuras 39 e 40, todos os alunos chegaram corretamente à solução
de cada questão proposta no problema, demonstrando segurança e destreza.
O GD, para resolver o problema proposto, Figura 40, fez um desenho ilustrativo contendo
duas escadas, uma para cada participante – Félix e João (diferenciando de todos os outros
grupos). Na primeira escada enumerou todos os degraus em que Félix iria pisar e na segunda,
também, enumerou todos os degraus em que João iria pisar. Entendemos que o grupo não teve
nenhuma dificuldade, até porque ele [o grupo] conseguiu projetar a ideia do problema em
forma de desenho. Resolveu corretamente todas as questões.
Para a plenária, empolgados com o problema, todos quiseram ir à lousa para socializar as suas
respostas, como não havia espaço à frente para todos, autorizamos apenas os representantes de
cada grupo, como mostra a Figura 41.
Dissemos para os alunos que poderiam escrever todos os múltiplos de 2 e de 3 até o 30, que é
o limite máximo de degraus da escada na escola ECO; em seguida, observar os múltiplos
comuns aos dois números. Dessa forma, discutindo-se juntos, colocamos na lousa:
Múltiplos de 2 = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30} degraus que
Félix pisou.
Múltiplos de 3 = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30} degraus que João pisou.
Voltamos ao problema e dissemos para eles que o m.m.c. de 2 e 3 significa que os dois alunos
pisam juntos, pela primeira vez depois do degrau inicial, no degrau de número 6; pela 2ª vez,
no degrau de número 12 e assim até o último degrau de número 30. Ou seja, eles pisam juntos
no mesmo degrau a cada 6 degraus. Quanto às respostas das questões, os alunos entenderam
satisfatoriamente.
186
Desse modo, colocamos na lousa que para construir o conceito de m. m. c. de dois ou mais
números é necessário:
Definição: O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números naturais é o menor número
natural, exceto zero, que é múltiplo desses números.
Deixamos nessa aula, uma tarefa extraclasse, abaixo, com o objetivo de fixar conceitos
aprendidos.
Tarefa Extraclasse 9:
a) 6 e 9 b) 2, 8 e 12 c) 3, 4 e 6 d) 12 e 15 e) 8 e 40
Aula 2:
No dia 14/09/15, estavam presentes 22 alunos; os mesmos da aula anterior mais o A3 e o A7.
Ao percorrermos os grupos, percebemos que a maioria havia feito a tarefa. Os que fizeram a
atividade gostaram e acharam fácil. Consequentemente, dissemos para eles que poderíamos,
também, calcular o m.m.c. usando a fatoração, para dar um exemplo, mostramos na lousa
como calcular o m.m.c. de 8 e 20.
8 = 2 × 2 × 2 = 23
40 = 2 × 2 × 2 × 5 = 23 × 5
Passo 3: Encontrar o m.m.c. dos números dados, multiplicando todos os fatores, comuns ou
não considerando seus maiores expoentes.
M (8) = {0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 54,...}; M (40) = {0, 40, 80,...}
O m.m.c. é dado pelo produto de todos os fatores primos encontrado. Assim, temos:
O m.m.c. ( 12, 18) = 2 × 2 × 3 × 3 = 36; ou ainda: o m.m.c. ( 12, 18) = 22 × 32 = 4 × 9 = 36
Os alunos gostaram e acharam muito fácil esse processo para calcular o m.m.c de dois ou
mais números. Como ainda, estavam com as folhas da atividade em mãos, a maioria
188
Na plenária, muitos alunos quiseram ir à lousa para socializar as suas resoluções. No entanto,
pedimos que viesse apenas 1 representante de cada grupo, por falta de espaço à frente, como
mostra a Figura 44, a seguir.
189
A cidade de Montanha - ES tem uma empresa de ônibus, e ela possui dois tipos de ônibus:
convencional e executivo.
Para esta atividade foi utilizada apenas uma aula, realizada no dia 15 de setembro de 2015.
Nesta atividade também, não tivemos nenhum problema na organização dos grupos e nem no
desenvolvimento da atividade.
190
Aula 1:
No dia 15/09/15, estavam presentes 20 alunos e todos eles estiveram presentes na aula
anterior; então, mantivemos os mesmos grupos e foi entregue a atividade para cada aluno
presente. Foi dado um tempo para que eles pudessem fazer as leituras e discutir entre si; os
alunos também não tiveram dificuldade na resolução deste problema.
Ao circularmos pelos grupos, percebemos que alunos estavam envolvidos e discutiam a forma
mais simples de resolvê-lo, o processo prático de efetuar os cálculos ou elencar os múltiplos
de cada um dos números. A dúvida era que estava envolvido o tempo em minutos. O grupo C
superou a dificuldade, calculou a resposta utilizando o processo prático e encontrou 60; então
nos perguntou: “Professor, a gente fez pela regra prática e encontramos 60 para o m.m.c., e
agora o que a gente faz? O problema fala de minutos”. Perguntamos:
A partir desse momento, observamos que todos os grupos começaram a resolver o problema,
conseguindo como resposta 60; em certo momento, o Grupo C nos disse que “60 minutos é
igual à uma hora e como os ônibus saíram juntos 12 horas, mais uma hora, eles voltam a sair
juntos às 13 horas”. Enfim, todos os grupos conseguiram entender e resolver o problema
corretamente seja pelo dispositivo prático ou não, como mostram as Figuras 45 e 46 a seguir.
191
60 minutos é uma hora. Os ônibus saíram juntos 12 horas, agora eles vão sair
juntos novamente 13 horas.
assim como a primeira, ficou de posse da professora regente e as notas foram registradas em
sua pauta de classe.
Esse foi o ultimo dia de aplicação das atividades do plano de ensino, no 6º M01 da Escola
Estadual de Ensino Fundamental e Médio “Professor Elpídio Campos de Oliveira”.
193
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Os fatos mais relevantes, para nossa questão de pesquisa, obtidos no desenvolvimento das
atividades que compõem o Plano de Trabalho foram:
5.2 CONSIDERAÇÕES
aplicação. Como a professora regente conhecia bem os alunos da turma pesquisada e sabia de
suas limitações, decidimos em comum acordo preparar duas atividades que chamamos de
diagnósticas, envolvendo as operações aritméticas, combinando alguns cálculos diretos e
alguns problemas extraídos de livros didáticos (Quadros 3, 4 e 5), para termos mais
informações sobre a realidade dos alunos. A aplicação dessas atividades foi importante, pois
nos permitiu o primeiro contato com a turma e, também, para constatarmos que realmente eles
tinham uma defasagem em aritmética, principalmente, em relação à operação divisão.
Com relação à turma pesquisada, desde a nossa primeira conversa com a professora, ficamos
sabendo do mau comportamento, desordem e falta de interesse dos alunos. Em reuniões, e até
durante os intervalos (recreio escolar), os professores reclamavam o tempo todo das atitudes e
do comportamento desses alunos. Realmente, pudemos constatar tudo isso em sala de aula,
quando iniciamos a aplicação das atividades. Contudo, à medida em que as aulas foram sendo
realizadas, ao trabalharmos com a metodologia Resolução de Problemas e os alunos se
adaptaram à dinâmica proposta para o trabalho de sala de aula, houve um aumento
significativo na motivação e interesse deles pela própria aprendizagem, pois passaram a
participar mais e com maior qualidade das atividades. Após cerca da metade da aplicação do
Plano de Trabalho, houve ocasiões dos alunos pedirem para continuar a atividade na aula do
professor seguinte por estarem interessados no que estava acontecendo. Acreditamos que,
também, foi de suma importância para esse resultado a seleção de problemas lúdicos ou
contextualizados em situações cotidianas (por exemplo, o problema dos bolinhos da dona
Ana, o problema do baralho, o problema da escada da escola) e a utilização de material
196
O não cumprimento das tarefas extraclasse pelos alunos (que prejudicou o desenvolvimento
das atividades iniciais e colaborou para o aumento do número de aulas para aplicar o Plano de
Trabalho) foi sendo minimizado ao longo do trabalho. Essas tarefas tinham como propósito
revisar, fixar e “consolidar as aprendizagens construídas nas etapas anteriores, bem como
aprofundar e ampliar as compreensões acerca daquele conteúdo ou tópico matemático,
gerando um círculo que se configura pela construção de novos conhecimentos [...]”
(ALLEVATO; ONUCHIC, 2014, p.46).
Depois de certo tempo, começamos a exigir dos alunos que redigissem as respostas por
extenso, a fim de que tivessem maior clareza nas resoluções dos problemas propostos; houve
resistência durante algumas aulas por não terem o hábito de resolver questões matemáticas
dessa maneira. Entretanto, com a nossa exigência, persistência e incentivo, eles passaram a
fazer isso, atingindo o objetivo pretendido. A capacidade de comunicar ideias matemáticas é
um importante elemento da aprendizagem, “pois é o aluno, falando, escrevendo ou
desenhando, que mostra ou fornece indícios de que habilidades ou atitudes ele está
desenvolvendo e que conceitos ou fatos ele domina, apresenta dificuldades ou
incompreensões” (SMOLE & DINIZ, 2001, p.95). Assim, o ambiente para a comunicação e o
estímulo para a leitura e escrita proporcionados pela Resolução de Problemas é uma
contribuição dessa metodologia que pudemos verificar em nossa pesquisa.
197
Quanto ao trabalho colaborativo, os alunos, não familiarizados com essa dinâmica, tiveram
muita dificuldade no início da aplicação das atividades. Muitos, mesmo que estivessem juntos
nos grupos, resolviam os problemas individualmente. Em algumas aulas, no início,
aconteceram intrigas entre os componentes de alguns grupos, pois ainda não possuíam
espírito de equipe. A aplicação da metodologia de Resolução de Problemas contribuiu para
que os alunos superassem essas dificuldades, o que constitui uma importante conquista visto
que o trabalho colaborativo faz com que os alunos desenvolvam habilidades que propiciam
socialização do processo de construção do conhecimento. Segundo Artzt e Newman (1991),
citados por Justulin (2014, 67), o trabalho cooperativo não se qualifica somente pela
distribuição das mesas em sala de aula, uma vez que:
Muitas vezes percebemos alguns alunos em seus respectivos grupos muito interessados nas
respostas de grupos vizinhos, demonstrando preocupação em entregar suas soluções
corretamente. Fato é que essa bisbilhotice58 é uma prática comum adotada por muitos alunos,
e que pode até ser interpretada como um aspecto do trabalho colaborativo. Embora possa ser
um comportamento motivado pela preguiça, ela também pode significar interesse no que o
colega está fazendo, algo que pode resultar em seu aprendizado. Acreditamos que não é
razoável esperar autonomia de alunos desacostumados a resolver problemas; além disso,
buscar reproduzir as resoluções de alguém (no caso, de um colega) que sabe mais (ou parece
saber) o que está fazendo é comportamento natural e, eventualmente, útil para quem está
aprendendo.
58
Aqui, entendemos como bisbilhotice a situação em que um aluno busca saber o que os colegas estão falando ou
fazendo.
198
Percebemos várias vezes os alunos tentarem, mas sem conseguir, recorrer a noções que já
deveriam ter aprendido (como nas perguntas: “esse problema é de dividir ou de menos?”, vide
p.34 e “é de mais ou é de menos?”, vide p.119). Nessas situações, os problemas propostos
também serviram como instrumentos de avaliação do conhecimento de conteúdos prévios,
bem como oportunidade para revisar tais conteúdos.
É preciso registrar que não conseguimos trabalhar satisfatoriamente com os alunos com
deficiência da classe. O fato é que a dinâmica durante as aulas não nos permitiu dar a esses
alunos especiais toda a atenção necessária para acompanharem o resto da turma. Na prática,
eles foram deixados a cargo da professora regente e, como ela já fazia, não nos preocupamos
com sua aprendizagem. Mesmo assim, notamos que um deles demonstrou progredir em
alguns aspectos. Por nossa experiência, concluímos que é bastante difícil aplicar a
metodologia de Resolução de Problemas numa turma em que há alunos com dificuldades
especiais.
O Plano de Trabalho foi bastante longo para que pudéssemos descrever e analisar
exaustivamente todas as atividades na pesquisa, pelo que optamos por tratar apenas daquilo
199
que nos pareceu mais relevante nas primeiras e últimas atividades. Essa escolha foi motivada,
principalmente, pela intenção de evidenciar a evolução [para melhor] da turma em alguns
aspectos qualitativos da aprendizagem, adquiridos através da Resolução de Problemas:
comportamento em sala de aula, engajamento nas atividades propostas, trabalho colaborativo
e a atitude frente a resolução de problemas propriamente dita. Dificilmente poderíamos
observar esses resultados se o número de atividades e o tempo que passamos com a turma
fossem significativamente menores (menos de 10 aulas, conforme pretendíamos inicialmente).
Enfim, concluímos que a passagem do Modelo Preliminar para o Modelo Modificado resultou
em perdas e ganhos: perdemos a possibilidade de abordar completa e detalhadamente a
experiência, mas ganhamos prazo suficiente para que a metodologia de ensino pudesse surtir
efeitos que naturalmente demandam tempo e paciência.
Comparando o nosso trabalho com as pesquisas relatadas na seção 2.4.1, verificamos que há
muita semelhança entre esta e aquela realizada por Pereira (2004): público-alvo, metodologia
de pesquisa, metodologia de ensino, assunto e resultados (melhoria do interesse e do
rendimento, engajamento e envolvimento dos alunos na resolução de problemas, bem com na
dinâmica em sala de aula). As diferenças são pelo menos duas: nós estudamos a divisibilidade
e divisão, abrangendo as ideias de partição e medida, mas não estudamos os números
racionais; também, em nosso caso, a turma apresentava defasagem de conhecimento e os
200
alunos não tinham qualquer experiência com resolução de problemas e trabalho colaborativo
em grupos, enquanto Pereira era professora da turma antes de realizar a pesquisa e essa turma
já tinha experiência de trabalhar em grupos. A novidade que constatamos foi a velocidade
com que nossa turma se acostumou com a metodologia de trabalho, especialmente com
prática de resolver problemas matemáticos.
201
REFERÊNCIAS
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do Brasil, Brasília, 28 e jun. 2013. Seção I, p. 23. Disponível em:
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APÊNDICES
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Assinatura do Pesquisador
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_____________________________________________________________________
Assinatura do pesquisador
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Assinatura do pesquisador
A divisão, no conjunto dos números naturais, é uma operação aplicada apenas a dois números
(dividendo e divisor) e que produz dois resultados chamados de quociente e resto,
respectivamente.
Fica claro que não definimos divisão quando o divisor é zero, pois, sendo d = 0, não existe
número r que satisfaça a situação 0 ≤ r < d. Vide (TOLEDO & TOLEDO, 1997; SANTOS,
1997; CARRAHER, 1998; BERTON & ITACARAMBI, 2009).
Teorema: Sejam a e b inteiros, com b ≠ 0. Existem únicos q e r, também inteiros, tais que
a = bq + r, com 0 ≤ r < b. Tais inteiros q e r são, respectivamente, o quociente e o resto da
divisão de a por b.
Demonstração:
I) A existência de q e r.
Vamos supor, inicialmente, b > 0. Seja q o maior inteiro, de modo que b × q ≤ a. Sendo assim,
temos bq ≤ a < b(q + 1). Segue daí que 0 ≤ a – bq < b = b e basta definir r = a – bq. Se
b < 0, então - b > 0, portanto, existem inteiros q e r tais que a = (- b)q + r, com 0 ≤ r < - b =
b. Isso acarreta a = b(- q) + r e, assim, concluímos a existência de q e r.
II) A unicidade de q e r.
Admitamos que existam inteiros q1 e r1, de tal maneira que a = bq1+r1, com 0 ≤ r1 < b. Dessa
forma, tem-se (bq + r) - (bq1+r1) = 0, o que implica em b(q - q1) = r1 - r donde b : r1 - r.
Mas, uma vez que 0 ≤ r1 < b e 0 ≤ r < b, então r1 - r < b, portanto, como b : r1 - r, temos
r1 - r = 0, o que acarreta r = r1. Logo, bq1 = bq q1 = q, já que b ≠ 0.
59
Para a demonstração do Teorema da Existência e Unicidade nos baseamos em Maurício (2014).
214
ATIVIDADES AVALIATIVAS
a) Joana tem 5 filhos e resolveu presenteá-los com 60 reais. Sabendo que cada um vai ficar
com a mesma quantia, quantos reais cada filho receberá?
b) Pedro quer repartir entre seus colegas 80 figurinhas. Se ele der 5 figurinhas para cada
um, quantos são os colegas de Pedro que receberão figurinhas?
c) Manoel vai encaixotar seus livros para doar a biblioteca da escola em que ele estudou.
São 28 livros. Ele quer colocar 6 em cada caixa, para não ficar muito pesado no transporte.
Quantas caixas ele irá usar para colocar todos os livros?
Dona Benta fez 18 pães e vai distribuí-los igualmente em bandejas, nas seguintes
condições: todas as bandejas devem ficar com a mesma quantidade de pães e nenhum pão
pode ficar fora de nenhuma bandeja. Registre todas as possibilidades, em forma de uma
multiplicação entre dois números, que dona Benta tem para distribuir os pães nas bandejas.
Em seguida, escreva os números encontrados em ordem crescente. O que podemos dizer
sobre a sequência de números, em ordem crescente, encontrada nessa atividade?
ATIVIDADES AVALIATIVAS
1ª questão:
A escola DJD tem uma escada que liga os dois andares do prédio. Essa escada tem36
degraus, enumerados de 1 a 36. Ana está subindo de 2 em 2 degraus e Maria está subindo
de 3 em 3. Sabendo que os dois começaram a subir juntos, responda:
2ª questão:
Determine:
3ª questão:
a) D (20) = b) D (15) =
4ª questão:
O Senhor Manoel, muito gripado, foi à farmácia comprar remédios com o intuito de tomar
para melhorar da gripe. O Farmacêutico lhe receitou um xarope e uma cartela de
comprimidos e indicou os seguintes horários para tomar esses remédios: o xarope tomar de
4 em 4 horas e um comprimido de 3 em 3 horas. Às 8 horas da manhã, o Senhor Manoel
tomou os dois remédios juntos. A que horas ele voltará a tomar, novamente, os dois
remédios juntos?
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