Geometria

Revisão - Lei dos Senos e Cossenos – Professora Renata Fonseca
1) A figura representa a trajetória ABC de um 5) O paralelogramo ABCD está dividido em

helicóptero que percorreu 12 km em AB, 14 triângulos equiláteros congruentes, de lados
km em BC, paralelamente ao solo, ficando unitários, conforme sugere a figura a seguir. A
distante 20 km de A. O cosseno da inclinação distância MN é igual a:
α é:
a) 1/2 a) 4√3
b) √2/2 b) 5√2
c) √2/3 c) 3√5
d) 59/70 d) 2√7
e) 113/140 e) 6
2) (UFRJ) Os ponteiros de um relógio circular 6) Dado o triângulo abaixo, calcule AB.

medem, do centro às extremidades, 2 metros, o
dos minutos, e 1 metro, o das horas. Determine
a distância entre as extremidades dos ponteiros
quando o relógio marca 4 horas.
3) (UFF) A Trigonometria
desenvolveu-se como
resultado de uma
interação contínua e 7) Os lados de um triângulo medem 2√3, √6 e 3 +
fecunda entre o modo de √3. Determine o ângulo oposto ao lado que
pensar matemático e a mede √6.
arte de observar o céu. O
famoso texto Almagesto, do astrônomo 8) A água utilizada na casa de um sítio é captada
Ptolomeu, é, com efeito, um marco dessa e bombeada do rio para uma caixa-d’água a 50
relação. Nele, há uma tabela da função corda m de distância. A casa está a 80 m de distância
que pode ser definida como segue: da caixa-d’água e o ângulo formado pelas
direções caixa-d’água−bomba e caixa-d’água–
Dado um círculo de raio unitário de um ângulo central casa é de 60°. Se se pretende bombear água do
θ (0° ≤ θ ≤ 360°), definimos a crd(θ) (lê-se a corda de mesmo ponto de captação até a casa, quantos
θ) pela medida do segmento de reta que une as metros de encanamento serão necessários?
extremidades do arco subtendido pelo ângulo θ,
conforme figura a seguir.
9) (UERJ) Um triângulo tem lados 3, 7 e 8. Um
crd(θ) = med(AB) de seus ângulos é igual a:
a) 30°
b) 45°
c) 60°
d) 90°
a) Determine crd(60°) e crd(90°). e) 120°
b) Determine uma expressão para o comprimento do
segmento de reta AB em função do ângulo central θ, 0° 10) (UERJ) Observe o paralelogramo ABCD.
< θ < 180°.
4) (UFRJ) Na figura, AB = 3 e BC = 2. O
cosseno de
α é:
a) 2√2/3
b) √2 a) Calcule AC2+ BD2 em função de AB = a e BC = b.
c) √3 b) Determine a razão entre as áreas dos triângulos
d) 1/3 ABM e MBC.
e) 2
11) (UFG) O mostrador do 16) (UFRJ) O polígono
relógio de uma torre é regular representado
dividido em 12 partes na figura tem lado de
iguais (horas), cada uma medida igual a 1cm e
das quais é subdividida o ângulo α mede
em outras 5 partes iguais 120°.
(minutos). Se o ponteiro
das horas (OB) mede 70 cm e o ponteiro dos a) Determine o raio da circunferência circunscrita.
minutos (OA) mede 1 m, qual será a distância b) Determine a área do polígono.
AB, em função do ângulo entre os ponteiros,
quando o relógio marcar 1 hora e 12 minutos?
17) (UEL) Entre os povos indígenas do Brasil
contemporâneo encontram-se os yanomami.
12) (CESGRANRIO) No triângulo ABC, os lados Estimados em cerca de 9.000 indivíduos,
AC e BC medem 8cm e 6cm, respectivamente, vivem muito isolados nos estados de Roraima
e o ângulo A vale 30°. O seno do ângulo B e Ama-zonas, predominantemente na Serra do
vale: Parima. O espaço de floresta usado por cada
a) 1/2 aldeia yanomami pode ser descrito
b) 2/3 esquematicamente como uma série de três
c) 3/4 círculos concêntricos: o primeiro, com raio de
d) 4/5 5 km, abrange a área de uso imediato da
e) 5/6 comunidade; o segundo, com raio de 10 km, a
área de caça individual e da coleta diária
familiar; e o terceiro, com raio de 20 km, a
13) (FUVEST) Um triângulo T tem lados iguais a área das expedições de caça e coleta coletivas,
4,5 e 6. O cosseno do maior ângulo de T é: bem como as roças antigas e novas.
a) 5/6 Considerando que um indivíduo saia de sua
b) 4/5 aldeia localizada no centro dos círculos,
c) 3/4 percorra 8 km em linha reta até um local de
d) 2/3 caça individual e a seguir percorra mais 8 km
e) 1/8 em linha reta na direção que forma 120° com a
anterior, chegando a um local onde está
localizada sua roça antiga, a distância do ponto
14) (PUC) Na figura, ABCD é um quadrado cuja de partida até este local é:
área mede 4 m2, e a) 8√3 km
C é o ponto médio b) √3/3 km
do seg-mento AE. c) 3√8 km
O comprimento de d) 8√2 km
BE, em metros, é: e) 2√8 km
a) √5 ____________________________________________
b) 2√5 GABARITO
c) 5√2
1) E
d) 3√5
2) √7
e) 4√2
3) a) crd(60°) = 1 e crd(90°) = √2;b) √2 – 2cosθ
4) E
5) D
15) (FUVEST) No cubo de aresta 1, considere as 6) √10
arestas AC e BC, e o ponto médio M de AC. 7) 30°
8) 70m
9) C
10) a) 2a2 +2b2; b) razão = 1
11) AB =
12) B
13) E
14) B
a) Determine o cosseno do ângulo BAD. 15) a) cos(BAD) = √6/3; b) cos(BMD) =7/9;
b) Determine o cosseno do ângulo BMD. c) BMD > BAD pois a função cosseno é decrescente
c) Qual dos ângulos, BAD ou BMD, é o maior? para ângulos agudos
Justifique. 16) a) r = ; b) A = 3 - √3
17) A

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