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CPF 15174723770 - 20210819033506995254-Aula - 05 - Geometria - Analítica - II - EEAR - 2022.2
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MATEMÁTICA PARA EEAR
CPF 15174723770
GEOMETRIA ANALÍTICA II
AULA 05
18 DE AGOSTO DE 2021
CPF 15174723770
ESTRATÉGIA MILITARES – Prof. Ismael Santos
Sumário
APRESENTAÇÃO 3
1. CÔNICAS 4
1.1. CIRCUNFERÊNCIA 4
1.1.1. POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PONTO E CIRCUNFERÊNCIA 6
1.1.2. POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETAS E CIRCUNFERÊNCIA 6
1.1.3. POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS CIRCUNFERÊNCIAS 7
2. LISTA DE QUESTÕES 11
2.1. GABARITO 21
5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 47
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APRESENTAÇÃO
Nesta aula, estudaremos os problemas envolvendo equação da circunferência.
Se você já é experiente no assunto, pule para a lista de exercícios e tente resolver todas as
questões. Quaisquer dúvidas, críticas ou sugestões, entre em contato no fórum de dúvidas.
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1. CÔNICAS
Vamos iniciar o estudo das cônicas. Essas figuras são lugares geométricos obtidos pela intersecção
de um plano com cones retos duplos opostos pelo vértice. Vejas as figuras abaixo:
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Perceba que a elipse é formada pela intersecção de um plano inclinado em relação às bases dos
cones. Se esse plano for paralelo às bases, obtemos a figura de uma circunferência, e esse é um caso
particular de elipse. Se o plano for paralelo à geratriz de um dos cones, obtemos uma parábola (dessa
forma não formamos uma elipse). Por fim, a hipérbole é obtida passando-se um plano paralelo ao eixo
de simetria dos cones. Além desses, temos as cônicas degeneradas: um ponto (elipse degenerada), uma
reta (parábola degenerada), para de retas (hipérbole degenerada) ou o conjunto vazio.
Estudaremos a equação da circunferência.
1.1. CIRCUNFERÊNCIA
A circunferência é o lugar geométrico dos pontos do plano que equidistam de um ponto fixo. Esse
ponto é chamado de centro da circunferência.
Seja 𝜆 a circunferência de centro 𝐶(𝑥0 , 𝑦0 ) e 𝑟 o seu raio. Se 𝑃 ∈ 𝜆, então, pela definição desse
L.G., temos
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𝑃 ∈ 𝜆 ⇔ 𝑃𝐶 = 𝑟
Sendo 𝑃(𝑥, 𝑦) um ponto qualquer de 𝜆, podemos aplicar a fórmula da distância entre dois pontos:
√(𝑥 − 𝑥0 )2 + (𝑦 − 𝑦0 )2 = 𝑟
Elevando ambos os membros ao quadrado, obtemos a equação reduzida da circunferência:
(𝑥 − 𝑥0 )2 + (𝑦 − 𝑦0 )2 = 𝑟 2
Desenvolvendo-se a equação reduzida, obtemos a equação geral da circunferência:
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𝑦 2 = 𝑟 2 − 𝑥 2 ⇒ 𝑦 = ±√𝑟 2 − 𝑥 2
Representando as curvas no gráfico, temos:
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(𝑦 − 𝑦0 )2 = 𝑟 2 , para saber a posição relativa da reta em relação à 𝜆, basta isolar uma das variáveis da
reta (𝑥 𝑜𝑢 𝑦) na equação da circunferência e verificar o valor do discriminante da equação.
Assim:
𝑟 ∩ 𝜆 = ∅ ⇔ Δ < 0 (𝑟 é 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟)
𝑟 ∩ 𝜆 = {𝑃} ⇔ Δ = 0 (𝑟 é 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒)
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Exemplo:
Qual a posição relativa da reta 𝑟: 2𝑥 + 𝑦 − 1 = 0 em relação à 𝜆: (𝑥 − 1)2 + 𝑦 2 = 9?
Da reta 𝑟, temos 𝑦 = 1 − 2𝑥. Substituindo na equação de 𝜆:
(𝑥 − 1)2 + (1 − 2𝑥)2 = 9 ⇒ 𝑥 2 − 2𝑥 + 1 + 1 − 4𝑥 + 4𝑥 2 = 9
⇒ 5𝑥 2 − 6𝑥 − 7 = 0
Analisando o discriminante dessa equação, temos:
Δ = 36 − 4 ⋅ 5 ⋅ (−7) = 176 > 0
Portanto, temos duas soluções, logo, a reta intercepta a circunferência em dois pontos. Assim, 𝑟 é
secante à 𝜆.
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Dizemos que as circunferências são ortogonais entre si. Note que os pontos de intersecção
das circunferências formam retas tangentes que passam pelo centro das circunferências.
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Resolução:
Dado que temos o ponto da reta tangente, podemos escrever a seguinte relação para a equação
da reta tangente 𝑟:
𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0 ) ⇒ 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑦0 − 𝑚𝑥0
Substituindo as coordenadas do ponto 𝑃 na reta:
√2 𝑚√2 √2
𝑦 = 𝑚𝑥 + ( − ) ⇒ 𝑟: 𝑦 = 𝑚𝑥 + (1 − 𝑚)
2 2 2
Agora, temos as seguintes equações:
𝜆: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1
{ √2
(1 − 𝑚)
𝑟: 𝑦 = 𝑚𝑥 +
2
Fazendo a intersecção de 𝑟 com 𝜆, devemos encontrar apenas um ponto. Desse modo:
2
√2
𝑥 2 + (𝑚𝑥 + (1 − 𝑚)) = 1
2
2 )𝑥 2
𝑚2 − 2𝑚 − 1
(1 + 𝑚 + √2(1 − 𝑚)𝑚𝑥 + =0
2
Essa é uma equação do segundo grau em 𝑥, para termos apenas uma solução, devemos ter Δ = 0,
logo:
2 𝑚2 − 2𝑚 − 1
Δ = (√2(1 − 𝑚)𝑚) − 4 ⋅ (1 + 𝑚2 ) ⋅ ( )=0
2
Fazendo as contas e simplificando, obtemos:
(𝑚 + 1)2 = 0 ⇒ 𝑚 = −1
Substituindo esse valor na equação da reta:
√2
𝑦 = (−1)𝑥 + (1 − (−1)) ⇒ 𝑦 = −𝑥 + √2
2
√2 √2
Portanto, a equação da reta tangente à circunferência no ponto 𝑃 ( 2 , ) é
2
𝑟: 𝑦 = −𝑥 + √2
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2. LISTA DE QUESTÕES
1. (EEAR/2018)
Se 𝑨(𝒙, 𝒚) pertence ao conjunto dos pontos do plano cartesiano que distam 𝒅 do ponto 𝑪(𝒙𝟎 , 𝒚𝟎 ),
sendo 𝒅 > 𝟐, então
a) (𝒙 − 𝒙𝟎 )𝟐 + (𝒚 − 𝒚𝟎 )𝟐 + 𝒅𝟐 = 𝟎
b)(𝒙 − 𝒙𝟎 )𝟐 + (𝒚 − 𝒚𝟎 )𝟐 = 𝒅𝟐
c) (𝒙 − 𝒙𝟎 )𝟐 + (𝒚 − 𝒚𝟎 )𝟐 = 𝟐𝒅
d) 𝒚 − 𝒚𝟎 = 𝒅(𝒙 − 𝒙𝟎 )
2. (EEAR/2017)
As posições dos pontos 𝑨(𝟏, 𝟕) 𝒆 𝑩(𝟕, 𝟏) em relação à circunferência de equação (𝒙 − 𝟔)𝟐 +
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4. (EEAR/2016)
Para que uma circunferência 𝝀: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝒎𝒙 − 𝟒𝒚 − 𝒄 = 𝟎 tenha centro 𝑪(𝟏, 𝟐) e raio 𝑹 = 𝟓, os
valores de 𝒎 𝒆 𝒅𝒆 𝒄 são respectivamente
a) -1 e -10
b) -2 e 25
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c) 1 e -20
d) 2 e 20
5. (EEAR/2015)
Seja 𝑶 o centro da circunferência 𝜶: (𝒙 − 𝟏)𝟐 + (𝒚 − 𝟑)𝟐 = 𝟗. O ponto 𝑷(𝟑, 𝟐) é
a) Interior a 𝜶, estando mais próximo de 𝜶 que de 𝑶
b) Interior a 𝜶, estando mais próximo de 𝑶 do que de 𝜶
c) Pertencente a 𝜶
d) Exterior a 𝜶
6. (EEAR/2014)
Se 𝑪(𝒂, 𝒃) e 𝒓 são, respectivamente, o centro e o raio da circunferência de equação (𝒙 − 𝟐)𝟐 +
(𝒚 + 𝟏)𝟐 = 𝟏𝟔, o valor de 𝒂 + 𝒃 + 𝒓 é
a) 4
b) 5
c) 6
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d) 7
7. (EEAR/2011)
A parábola 𝒚 = 𝒙𝟐 intercepta a circunferência de centro (𝟎, 𝟎) e raio √𝟐 nos pontos
a) (−𝟏, 𝟏) 𝒆 (𝟐, 𝟒)
b) (−𝟏, 𝟏) 𝒆 (𝟏, 𝟏)
c) (−𝟐, 𝟒) 𝒆 (𝟐, 𝟒)
d) (−𝟐, 𝟒) 𝒆 (𝟏, 𝟏)
8. (EEAR/2011)
Dados os pontos 𝑩(𝟏, 𝟐) e 𝑪(𝟎, 𝟏) e uma circunferência 𝝀 de equação 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟒 = 𝟎, é
correto afirmar que
a) B é interior a 𝝀 𝒆 𝑪 é exterior a 𝝀
b) B é exterior a 𝝀 e 𝑪 é interior a 𝝀
c) 𝑩 𝒆 𝑪 são exteriores a 𝝀
d) 𝑩 𝒆 𝑪 são interiores a 𝝀
9. (EEAR/2010)
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Considere a circunferência de equação (𝒙 − 𝟐)𝟐 + (𝒚 − 𝟒)𝟐 = 𝟗 e uma reta 𝒓 secante a ela. Uma
possível distância entre 𝒓 e o centro da circunferência é
a) 5,67
b) 4,63
c) 3,58
d) 2,93
10. (EEAR/2009)
Se o ponto 𝑸(𝟐, 𝟏) pertence à circunferência de equação 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟔𝒚 + 𝒌 = 𝟎, então o
valor de 𝒌 é
a) 6
b) 3
c) -7
d) -10
11. (EEAR/2007)
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12. (EEAR/2007)
Se a distância entre uma reta 𝒕 e o centro da circunferência (𝝀: ) 𝒙𝟐 + (𝒚 − 𝟐)𝟐 = 𝟏𝟔 é √𝟏𝟕, então
𝒕 𝒆 𝝀 são
a) Secantes
b) Tangentes
c) Exteriores
d) Interiores
13. (EEAR/2006)
Se uma circunferência tem centro 𝑪(𝟏, 𝟎) e raio 1 e outra tem equação 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟖𝒚 + 𝟖 =
𝟎, então essas circunferências são
a) Secantes
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b) Externas
c) Tangentes internas
d) Tangentes externas
14. (EEAR/2006)
Se a circunferência de equação 𝒙𝟐 + 𝒃𝒚𝟐 + 𝒄𝒙 + 𝒅𝒚 + 𝒌 = 𝟎 tem centro 𝑪(𝟏, −𝟑) e raio √𝟑, então
𝒃 + 𝒄 + 𝒅 + 𝒌 é igual a:
a) 12
b) 11
c) 10
d) 9
15. (EEAR/2005)
O raio da circunferência de equação 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏𝟎𝒚 + 𝟏 = 𝟎 é igual a
a) 5
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b) 4
c) 6
d) 7
16. (EEAR/2004)
Uma circunferência tem centro (𝟒, 𝟑) e passa pela origem. A equação da dessa circunferência é
a) 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟐𝟓
b) 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟖𝒙 + 𝟔𝒚 = 𝟎
c) 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟖𝒙 − 𝟔𝒚 = 𝟐𝟓
d) 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟖𝒙 − 𝟔𝒚 = 𝟎
17. (EEAR/2003)
A equação da circunferência em que os pontos 𝑴(−𝟑, 𝟐) e 𝑵(𝟓, 𝟒) são extremos de um diâmetro
é
a) 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟐𝟓
b) 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟏𝟕 = 𝟎
c) 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟔𝒚 − 𝟕 = 𝟎
d) 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟔𝒚 − 𝟓 = 𝟎
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18. (EEAR/2003)
Uma corda é determinada pela reta 𝒙 − 𝒚 = 𝟎 sobre a circunferência (𝒙 − 𝟐)𝟐 + (𝒚 + 𝟐)𝟐 = 𝟏𝟔. A
área da menor região determinada por essa corda e o círculo é
a) 𝟒𝝅 − 𝟖
b) 𝟒𝝅 − 𝟏𝟔
c) 𝟒𝝅 − 𝟐
d) 𝟒𝝅 − 𝟒
19. (EEAR/2003)
O maior valor inteiro de 𝒌 para que a equação 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟔𝒚 + 𝒌 = 𝟎 represente uma
circunferência é
a) 14
b) 13
c) 12
d) 10
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20. (EEAR/2003)
Sendo 𝑪(𝟑, −𝟐) o centro de uma circunferência de raio igual a 𝟒, então sua equação normal ou geral
é
a) 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟒𝒚 + 𝟑 = 𝟎
b) 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟒𝒚 − 𝟑 = 𝟎
c) 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟒𝒚 − 𝟑 = 𝟎
d) 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟑 = 𝟎
21. (EEAR/2002)
√𝟑
Dadas a reta de equação 𝒚 = 𝟑 𝒙 e a circunferência de equação 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟒𝒙 = 𝟎. A área do
triângulo determinado pelo centro da circunferência e os pontos de intersecção entre a reta e ela,
em unidades de área, é igual a
a) √𝟑
b) 𝟑
c) 𝟑√𝟑
d) 𝟔
22. (EEAR/2002)
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No plano cartesiano, os pontos 𝑨(𝟏, 𝟎) 𝒆 𝑩(𝟎, 𝟐) são de uma mesma circunferência. Se o centro
dessa circunferência é ponto da reta 𝒚 = 𝟑 − 𝒙, então suas coordenadas são
𝟑 𝟏
a) (𝟐 , 𝟐)
b) (𝟏, 𝟐)
𝟑 𝟑
c) (𝟐 , 𝟐)
d) (𝟎, 𝟑)
23. (EEAR/2002)
A distância do centro da circunferência 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟖𝒚 + 𝟐𝟏 = 𝟎 à bissetriz do 𝑰𝑰º 𝒆 𝑰𝑽º
quadrantes, vale
√𝟐
a) 𝟐
b) √𝟑/𝟐
c) √𝟕/𝟐
d) 𝟕√𝟐/𝟐
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24. (EEAR/2002)
Seja uma circunferência com centro sobre a reta 𝒚 = 𝟑𝒙. Se a circunferência é tangente à reta 𝒚 =
𝒙 na ordenada 𝟒, então as coordenadas do centro da circunferência são
a) (𝟒, 𝟏𝟐)
b) (𝟐, 𝟔)
c) (𝟑, 𝟗)
d) (𝟓, 𝟏𝟓)
25. (EEAR/2001)
Considere as circunferências que passam pelos pontos (𝟎, 𝟎) e (𝟐, 𝟎) e que são tangentes à reta
𝒚 = 𝒙 + 𝟐 as coordenadas dos centros dessas circunferências são
a) (𝟏, 𝟏) 𝒆 (𝟏, −𝟕)
b) (𝟏, 𝟏) 𝒆 (−𝟕, 𝟏)
c) (𝟏, −𝟕) 𝒆 (𝟏, 𝟕)
d) (𝟏, −𝟕) 𝒆 (−𝟏, 𝟕)
26. (EEAR/2001)
No sistema de coordenadas cartesianas, a equação 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚, onde 𝒂 𝒆 𝒃 são números
reais não nulos, representa uma circunferência de raio
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a) √𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 /𝟐
b) √𝒂𝟐 + 𝒃𝟐
c) (𝒂 + 𝒃)/𝟐
d) 𝒂 + 𝒃
27. (EEAR/2001)
A circunferência (𝒙 + 𝟐)𝟐 + (𝒚 − 𝟏)𝟐 = 𝟏 e a reta 𝒙 − 𝟑𝒚 − 𝟐 = 𝟎 possuem ____ ponto(s) em
comum
a) 2
b) 1
c) Infinitos
d) Nenhum
28. (EEAR/2000)
A posição dos pontos 𝑷(𝟑, 𝟐) 𝒆 𝑸(𝟏, 𝟏) em relação à circunferência (𝒙 − 𝟏)𝟐 + (𝒚 − 𝟏)𝟐 = 𝟒 é:
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a) P é interior e Q exterior
b) P é exterior e Q é interior
c) P e Q são interiores
d) P e Q são exteriores
29. (ESA/2016)
A equação da circunferência de centro (𝟏, 𝟐) e raio 𝟑 é:
a) 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟒𝒚 + 𝟏𝟒 = 𝟎
b) 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟒𝒚 − 𝟒 = 𝟎
c) 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟐𝒚 − 𝟒 = 𝟎
d) 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟐𝒚 − 𝟏𝟒 = 𝟎
e) 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟒𝒚 − 𝟏𝟒 = 𝟎
30. (ESA/2014)
Em um sistema de coordenadas cartesianas no plano, considere os pontos 𝑶(𝟎, 𝟎) 𝒆 𝑨(𝟖, 𝟎). A
equação do conjunto dos pontos 𝑷(𝒙, 𝒚) desse plano sabendo que a distância de 𝑶 𝒂 𝑷 é o triplo
da distância de 𝑷 𝒂 𝑨, é uma
a) Circunferência de centro (𝟗, 𝟎) e raio 3
b) Elipse de focos (𝟔, 𝟎) 𝒆 (𝟏𝟐, 𝟎), e eixo menor 6
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31. (ESA/2013)
Dada a equação da circunferência é: (𝒙 − 𝒂)𝟐 + (𝒚 − 𝒃)𝟐 = 𝒓𝟐 , sendo as coordenadas do centro e
𝒓 a medida do raio, identifique a equação geral da circunferência de centro (𝟐, 𝟑) e raio igual a 5
a) 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟐𝟓
b) 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟒𝒙𝒚 − 𝟏𝟐 = 𝟎
c) 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 = −𝟏𝟔
d) 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟔𝒚 − 𝟏𝟐 = 𝟎
e) 𝒚𝟐 − 𝟔𝒚 = −𝟗
32. (ESA/2011)
A reta 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝟐 é tangente à circunferência de equação (𝒙 − 𝟒)𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟒. A soma dos
possíveis valores de 𝒎 é:
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a) 0
b) 4/3
c) -4/3
c) -3/4
e) 2
33. (ESA/2008)
As equações (𝒙 + 𝟏)𝟐 + (𝒚 − 𝟒)𝟐 = 𝟔𝟒 𝒆 (𝒙 − 𝟒)𝟐 + (𝒚 + 𝟖)𝟐 = 𝟐𝟓 representam duas
circunferências cuja posição relativa no plano permite afirmar que são
a) Interiores (sem ponto de intersecção)
b) Tangentes interiores
c) Secantes
d) Tangentes exteriores
e) Exteriores (sem ponto de intersecção)
34. (ESPCEX/2011)
Uma circunferência tem centro no eixo das abscissas, passa pelo ponto (𝟒, 𝟒) e não intercepta o
eixo das ordenadas. Se a área do círculo definido por essa circunferência é 𝟏𝟕𝝅, a abscissa de seu
centro é
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a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
35. (ESPCEX/2016)
Seja 𝑪 a circunferência de equação 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟒𝒚 + 𝟐 = 𝟎. Considere em 𝑪 a corda 𝑴𝑵 cujo
ponto médio é 𝑷(−𝟏, −𝟏). O comprimento de 𝑴𝑵 (em unidade de comprimento) é igual a
a) √𝟐
b) √𝟑
c) 𝟐√𝟐
d) 𝟐√𝟑
e) 𝟐
36. (ESPCEX/2015)
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Considere a circunferência que passa pelos pontos (𝟎, 𝟎), (𝟎, 𝟔) 𝒆 (𝟒, 𝟎) em um sistema de
coordenadas cartesianas ortogonais. Sabendo que os pontos (𝟎, 𝟔) 𝒆 (𝟒, 𝟎) pertencem a uma reta
que passa pelo centro dessa circunferência, uma das retas tangentes a essa circunferência, que
passa pelo ponto (𝟑, −𝟐), tem por equação
a) 𝟑𝒙 − 𝟐𝒚 − 𝟏𝟑 = 𝟎
b) 𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 − 𝟏𝟐 = 𝟎
c) 𝟐𝒙 − 𝒚 − 𝟖 = 𝟎
d) 𝒙 − 𝟓𝒚 − 𝟏𝟑 = 𝟎
e) 𝟖𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝟏𝟖 = 𝟎
37. (ESPCEX/2013)
Sejam dados a circunferência 𝝀: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟏𝟎𝒚 + 𝟐𝟓 = 𝟎 e o ponto 𝑷, que é simétrico de
(−𝟏, 𝟏) em relação ao eixo das abscissas. Determine a equação da circunferência concêntrica a 𝝀 e
que passa pelo ponto 𝑷
a) 𝝀: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟏𝟎𝒚 + 𝟏𝟔 = 𝟎
b) 𝝀: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟏𝟎𝒚 + 𝟏𝟐 = 𝟎
c) 𝝀: 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟓𝒚 + 𝟏𝟔 = 𝟎
d) 𝝀: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟓𝒚 + 𝟏𝟐 = 𝟎
e) 𝝀: 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟏𝟎𝒚 − 𝟏𝟕 = 𝟎
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38. (ESPCEX/2012)
Considere a circunferência (𝝀)𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟒𝒙 = 𝟎 e o ponto 𝑷(𝟏, √𝟑). Se a reta 𝒕 é tangente a 𝝀 no
ponto 𝑷, então a abscissa do ponto de intersecção de 𝒕 com o eixo horizontal do sistema de
coordenadas cartesianas é
a) -2
b) 𝟐 + √𝟑
c) 3
d) 𝟑 + √𝟑
e) 𝟑 + 𝟑√𝟑
e) 𝟐𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝒚𝟐 − 𝟏𝟔𝒚 = 𝟎
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2.1. GABARITO
1. b 17. c
2. c 18. a
3. c 19. c
4. d 20. b
5. a 21. a
6. b 22. c
7. b 23. d
8. d 24. b
9. d 25. a
10. c 26. a
11. d 27. d
12. c 28. b
13. d 29. b
14. a 30. a
15. a 31. d
16. d 32. c
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33. d 39. b
34. c 40. c
35. c 41. a
36. a 42. b
37. b 43. b
38. a
1. (EEAR/2018)
Se 𝑨(𝒙, 𝒚) pertence ao conjunto dos pontos do plano cartesiano que distam 𝒅 do ponto 𝑪(𝒙𝟎 , 𝒚𝟎 ),
sendo 𝒅 > 𝟐, então
a) (𝒙 − 𝒙𝟎 )𝟐 + (𝒚 − 𝒚𝟎 )𝟐 + 𝒅𝟐 = 𝟎
b) (𝒙 − 𝒙𝟎 )𝟐 + (𝒚 − 𝒚𝟎 )𝟐 = 𝒅𝟐
c) (𝒙 − 𝒙𝟎 )𝟐 + (𝒚 − 𝒚𝟎 )𝟐 = 𝟐𝒅
d) 𝒚 − 𝒚𝟎 = 𝒅(𝒙 − 𝒙𝟎 )
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Comentários
Do estudo da geometria analítica, temos que a distância entre um ponto 𝐴(𝑥, 𝑦) desse conjunto e
o ponto 𝐶 é dada por:
𝐴𝐶 = √(𝑥 − 𝑥0 )2 + (𝑦 − 𝑦0 )2
Mas 𝐴𝐶 = 𝑑, logo:
𝑑 = √(𝑥 − 𝑥0 )2 + (𝑦 − 𝑦0 )2
Elevando ambos os lados ao quadrado:
(𝑥 − 𝑥0 )2 + (𝑦 − 𝑦0 )2 = 𝑑2
Gabarito: “b”.
2. (EEAR/2017)
As posições dos pontos 𝑨(𝟏, 𝟕) 𝒆 𝑩(𝟕, 𝟏) em relação à circunferência de equação (𝒙 − 𝟔)𝟐 +
(𝒚 − 𝟐)𝟐 = 𝟏𝟔 são, respectivamente,
a) Interna e interna
b) Interna e externa
c) Externa e interna
d) Externa e externa
Comentários
Para avaliar a posição dos pontos em relação à circunferência devemos identificar o raio e o centro
dessa circunferência.
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d) 9
Comentários
Observando a equação:
𝐶 = (1,6)
E:
𝑅=5
Portanto:
𝑎 + 𝑏 + 𝑅 = 1 + 6 + 5 = 12
Gabarito: “c”.
4. (EEAR/2016)
Para que uma circunferência 𝝀: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝒎𝒙 − 𝟒𝒚 − 𝒄 = 𝟎 tenha centro 𝑪(𝟏, 𝟐) e raio 𝑹 = 𝟓, os
valores de 𝒎 𝒆 𝒅𝒆 𝒄 são respectivamente
a) -1 e -10
b) -2 e 25
c) 1 e -20
d) 2 e 20
Comentários
Completando os quadrados:
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𝑚 𝑚2 𝑚2
𝑥2 − 2 ∙ 𝑥+ − + 𝑦 2 − 2 ∙ 2𝑦 + 4 − 4 − 𝑐 = 0
2 4 4
Ou seja:
𝑚 2 𝑚2
(𝑥 − ) + (𝑦 − 2)2 − −4−𝑐 = 0
2 4
A coordenada 𝑥 do centro é 1, logo:
𝑚
=1⇒𝑚=2
2
Como o raio é 5, temos que:
22
+ 4 + 𝑐 = 25 ⇒ 𝑐 = 20
4
Gabarito: “d”.
5. (EEAR/2015)
Seja 𝑶 o centro da circunferência 𝜶: (𝒙 − 𝟏)𝟐 + (𝒚 − 𝟑)𝟐 = 𝟗. O ponto 𝑷(𝟑, 𝟐) é
a) Interior a 𝜶, estando mais próximo de 𝜶 que de 𝑶
b) Interior a 𝜶, estando mais próximo de 𝑶 do que de 𝜶
c) Pertencente a 𝜶
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d) Exterior a 𝜶
Comentários
Observando a equação, veja que ela possui raio 3 e centro 𝑂(1,3). A distância de 𝑃 ao centro é:
𝑃𝑂 = √(3 − 1)2 + (2 − 3)2 = √4 + 1 = √5
Como √5 < 3, o ponto é interior à circunferência.
Veja ainda que √5 > 3/2, isso significa que 𝑃 está mais próximo de 𝛼 que de 𝑂.
Gabarito: “a”.
6. (EEAR/2014)
Se 𝑪(𝒂, 𝒃) e 𝒓 são, respectivamente, o centro e o raio da circunferência de equação (𝒙 − 𝟐)𝟐 +
(𝒚 + 𝟏)𝟐 = 𝟏𝟔, o valor de 𝒂 + 𝒃 + 𝒓 é
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
Comentários
Observando a equação, temos:
𝐶(2, −1) 𝑒 𝑟 = √16 = 4
Do que segue que:
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𝑎+𝑏+𝑟 = 2−1+4=5
Gabarito: “b”.
7. (EEAR/2011)
A parábola 𝒚 = 𝒙𝟐 intercepta a circunferência de centro (𝟎, 𝟎) e raio √𝟐 nos pontos
a) (−𝟏, 𝟏) 𝒆 (𝟐, 𝟒)
b) (−𝟏, 𝟏) 𝒆 (𝟏, 𝟏)
c) (−𝟐, 𝟒) 𝒆 (𝟐, 𝟒)
d) (−𝟐, 𝟒) 𝒆 (𝟏, 𝟏)
Comentários
A circunferência de centro (0,0) e raio √2 possui equação:
𝑥2 + 𝑦2 = 2
Substituindo o 𝑥 2 da parábola:
𝑦 + 𝑦2 = 2
Resolvendo para 𝑦:
𝑦 = 1 𝑜𝑢 𝑦 = −2
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Veja que 𝑦 = 𝑥 2 ≥ 0, do que segue que 𝑦 = 1. Disso, temos que |𝑥| = 1, isto é, 𝑥 = ±1.
Os pontos são, portanto: (1,1) 𝑒 (−1,1).
Gabarito: “b”.
8. (EEAR/2011)
Dados os pontos 𝑩(𝟏, 𝟐) e 𝑪(𝟎, 𝟏) e uma circunferência 𝝀 de equação 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟒 = 𝟎, é
correto afirmar que
a) B é interior a 𝝀 𝒆 𝑪 é exterior a 𝝀
b) B é exterior a 𝝀 e 𝑪 é interior a 𝝀
c) 𝑩 𝒆 𝑪 são exteriores a 𝝀
d) 𝑩 𝒆 𝑪 são interiores a 𝝀
Comentários
Primeiramente precisamos completar os quadrados na equação da circunferência:
3 9 9
𝑥2 − 2 ∙ 𝑥 + − + 𝑦2 − 4 = 0
2 4 4
Ou seja:
3 2 9 25
(𝑥 − ) + 𝑦 2 = 4 + =
2 4 4
Veja que ela possui centro 𝑂(3/2,0) e raio 5/2.
Vamos calcular as distâncias de 𝐵 𝑒 𝑂 a 𝜆:
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3 2 √17
𝐵𝑂 = √(1 − ) + (2 − 0)2 =
2 2
5
𝐵𝑂 <
2
Logo, 𝐵 é interior a 𝜆.
Distância entre 𝐶 𝑒 𝑂:
3 2 √13
𝐶𝑂 = √(0 − ) + (1 − 0)2 =
2 2
Veja que 𝐶𝑂 < 5/2, do que temos que 𝐶 é interior a 𝜆.
Gabarito: “d”.
9. (EEAR/2010)
Considere a circunferência de equação (𝒙 − 𝟐)𝟐 + (𝒚 − 𝟒)𝟐 = 𝟗 e uma reta 𝒓 secante a ela. Uma
possível distância entre 𝒓 e o centro da circunferência é
a) 5,67
b) 4,63
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c) 3,58
d) 2,93
Comentários
Uma condição necessária para que uma reta seja secante à circunferência é que a distância do
centro dessa circunferência à reta seja menor que o raio.
O raio da circunferência vale √9 = 3, do que temos que, dentre as alternativas, a única distância
possível é 2,93.
Gabarito: “d”.
10. (EEAR/2009)
Se o ponto 𝑸(𝟐, 𝟏) pertence à circunferência de equação 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟔𝒚 + 𝒌 = 𝟎, então o
valor de 𝒌 é
a) 6
b) 3
c) -7
d) -10
Comentários
Se 𝑄 pertence à circunferência, então temos que:
22 + 12 + 4 ∙ 2 − 6 ∙ 1 + 𝑘 = 0 ⇒ 𝑘 = −7
Gabarito: “c”.
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11. (EEAR/2007)
Para que a reta de equação 𝒚 = √𝟑𝒙 + 𝒏 seja tangente à circunferência de equação 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟒,
o valor de 𝒏 deve ser
a) -3 ou 3
b) -2 ou 2
c) -3 ou 3
d) -4 ou 4
Comentários
Para que haja a tangência, a distância da reta ao centro da circunferência deve ser igual ao raio:
√3 ∙ 0 − 0 + 𝑛 𝑛
2 = || || = | | ⇒ 𝑛 = ±4
2 2
√(√3) + (−1)2
Gabarito: “d”.
12. (EEAR/2007)
Se a distância entre uma reta 𝒕 e o centro da circunferência (𝝀: ) 𝒙𝟐 + (𝒚 − 𝟐)𝟐 = 𝟏𝟔 é √𝟏𝟕, então
𝒕 𝒆 𝝀 são
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a) Secantes
b) Tangentes
c) Exteriores
d) Interiores
Comentários
O raio dessa circunferência vale √16 = 4. Como √17 > 4, isto é, a distância da reta ao centro da
circunferência é maior que o raio, a reta deve ser exterior à circunferência.
Gabarito: “c”.
13. (EEAR/2006)
Se uma circunferência tem centro 𝑪(𝟏, 𝟎) e raio 1 e outra tem equação 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟖𝒚 + 𝟖 =
𝟎, então essas circunferências são
a) Secantes
b) Externas
c) Tangentes internas
d) Tangentes externas
Comentários
Completando os quadrados da segunda circunferência:
𝑥 2 − 2𝑥 + 1 − 1 + 𝑦 2 − 2 ∙ 4𝑦 + 16 − 16 + 8 = 0
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Ou seja:
(𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 4)2 = 9
O centro da segunda circunferência é 𝐶1 (1,4). A distância entre os centros dessas circunferências
vale:
𝐶𝐶1 = √(1 − 1)2 + (0 − 4)2 = 4
O raio da primeira vale 1 e o raio da segunda vale √9 = 3, a soma dos raios é 4, que é igual à
distância entre os centros. Disso, temos que as circunferências são tangentes externas.
Gabarito: “d”.
14. (EEAR/2006)
Se a circunferência de equação 𝒙𝟐 + 𝒃𝒚𝟐 + 𝒄𝒙 + 𝒅𝒚 + 𝒌 = 𝟎 tem centro 𝑪(𝟏, −𝟑) e raio √𝟑, então
𝒃 + 𝒄 + 𝒅 + 𝒌 é igual a:
a) 12
b) 11
c) 10
d) 9
Comentários
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2
𝑐 𝑐2 𝑐2 2
𝑑 𝑑2 𝑑2
𝑥 +2 𝑥+ − +𝑦 +2 𝑦+ − +𝑘 =0
2 4 4 2 4 4
Ou seja:
𝑐 2 𝑑 2 𝑐 2 𝑑2
(𝑥 + ) + (𝑦 + ) = + −𝑘
2 2 4 4
As coordenadas do centro são (1, −3), então:
𝑐
− = 1 ⇒ 𝑐 = −2
2
𝑑
− = −3 ⇒ 𝑑 = 6
2
Além disso:
𝑐 2 𝑑2 2 4 36
+ − 𝑘 = √3 ⇒ + −𝑘 =3⇒𝑘 =7
4 4 4 4
Por fim:
𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑘 = 1 − 2 + 6 + 7 = 12
Gabarito: “a”.
15. (EEAR/2005)
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b) 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟖𝒙 + 𝟔𝒚 = 𝟎
c) 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟖𝒙 − 𝟔𝒚 = 𝟐𝟓
d) 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟖𝒙 − 𝟔𝒚 = 𝟎
Comentários
Sua equação reduzida é:
(𝑥 − 4)2 + (𝑦 − 3)2 = 𝑟 2
Além disso, como ela passa pela origem:
(0 − 4)2 + (0 − 3)2 = 𝑟 2 ⇒ 𝑟 = 5
Do que segue que:
(𝑥 − 4)2 + (𝑦 − 3)2 = 25 ⇒ 𝑥 2 − 8𝑥 + 16 + 𝑦 2 − 6𝑦 + 9 = 25 ⇒
⇒ 𝑥 2 + 𝑦 2 − 8𝑥 − 6𝑦 = 0
Gabarito: “d”.
17. (EEAR/2003)
A equação da circunferência em que os pontos 𝑴(−𝟑, 𝟐) e 𝑵(𝟓, 𝟒) são extremos de um diâmetro
é
a) 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟐𝟓
b) 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟏𝟕 = 𝟎
c) 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟔𝒚 − 𝟕 = 𝟎
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d) 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟔𝒚 − 𝟓 = 𝟎
Comentários
Como são extremos de um diâmetro, temos duas informações que determinam a circunferência:
1ª: o ponto médio de 𝑀𝑁 é o centro da circunferência:
𝑀 + 𝑁 (−3,2) + (5,4) (2,6)
𝐶= = = = (1,3)
2 2 2
2ª: a metade da distância entre eles é o raio:
𝑀𝑁 = √(−3 − 5)2 + (2 − 4)2 = 2√17
Do que temos que 𝑟 = √17.
Por fim, a equação da circunferência:
(𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 3)2 = 17 ⇒ 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 − 6𝑦 − 7 = 0
Gabarito: “c”.
18. (EEAR/2003)
Uma corda é determinada pela reta 𝒙 − 𝒚 = 𝟎 sobre a circunferência (𝒙 − 𝟐)𝟐 + (𝒚 + 𝟐)𝟐 = 𝟏𝟔. A
área da menor região determinada por essa corda e o círculo é
a) 𝟒𝝅 − 𝟖
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b) 𝟒𝝅 − 𝟏𝟔
c) 𝟒𝝅 − 𝟐
d) 𝟒𝝅 − 𝟒
Comentários
O primeiro passo é encontrar os pontos de intersecção entre a circunferência e a reta. Da equação
da reta, temos:
𝑥=𝑦
Assim:
(𝑥 − 2)2 + (𝑥 + 2)2 = 16 ⇒ 2𝑥 2 + 8 = 16 ⇒ 𝑥 2 = 4 ⇒ 𝑥 = ±2
Assim os pontos de intersecção são:
𝐴(2,2) 𝑒 𝐵(−2, −2)
A distância entre 𝐴 𝑒 𝐵:
2 2
𝐴𝐵 = √(2 − (−2)) + (2 − (−2)) = 4√2
A reta determina uma corda de tamanho 4√2 em uma circunferência de raio 4, disso temos o
triângulo 𝐴𝐵𝐶, onde 𝐶 é o centro da circunferência:
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2√2 √2
Observe, na figura acima, que 𝑠𝑒𝑛 (𝐴𝐶̂ 𝐷) = 4 = 2 ⇒ 𝐴𝐶̂ 𝐷 = 45° ⇒ 𝐴𝐶̂ 𝐵 = 90°. A área
procurada corresponde à área do setor circular subtraída da área do triângulo 𝐴𝐵𝐶:
90
Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑜 𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟 = ∙ 𝜋 ∙ 42 = 4𝜋
360
4∙4
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Gabarito: “c”.
20. (EEAR/2003)
Sendo 𝑪(𝟑, −𝟐) o centro de uma circunferência de raio igual a 𝟒, então sua equação normal ou geral
é
a) 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟒𝒚 + 𝟑 = 𝟎
b) 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟒𝒚 − 𝟑 = 𝟎
c) 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟒𝒚 − 𝟑 = 𝟎
d) 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟑 = 𝟎
Comentários
A partir dos dados fornecidos, temos que sua equação reduzida é:
(𝑥 − 3)2 + (𝑦 + 2)2 = 16
Desenvolvendo as potências:
𝑥 2 − 6𝑥 + 9 + 𝑦 2 + 4𝑦 + 4 = 16 ⇒ 𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 + 4𝑦 − 3 = 0
Gabarito: “b”.
21. (EEAR/2002)
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√𝟑
Dadas a reta de equação 𝒚 = 𝟑 𝒙 e a circunferência de equação 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟒𝒙 = 𝟎. A área do
triângulo determinado pelo centro da circunferência e os pontos de intersecção entre a reta e ela,
em unidades de área, é igual a
a) √𝟑
b) 𝟑
c) 𝟑√𝟑
d) 𝟔
Comentários
O primeiro passo é encontrar os pontos de intersecção. Para isso, da equação da reta, temos:
2
2 √3 2
𝑥2
𝑦 =( ) 𝑥 =
3 3
Assim:
𝑥2
2
4𝑥 2 𝑥
𝑥 + − 4𝑥 = 0 ⇒ − 4𝑥 = 0 ⇒ 4𝑥 ( − 1) = 0
3 3 3
Ou seja:
𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 = 3
Do que segue que:
√3 √3
𝑦= ∙ 0 = 0 𝑜𝑢 𝑦 = ∙ 3 = √3
3 3
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1 0 0 1 1
||3 √3 1|| = |−2√3| = √3
2 2
2 0 1
Gabarito: “a”.
22. (EEAR/2002)
No plano cartesiano, os pontos 𝑨(𝟏, 𝟎) 𝒆 𝑩(𝟎, 𝟐) são de uma mesma circunferência. Se o centro
dessa circunferência é ponto da reta 𝒚 = 𝟑 − 𝒙, então suas coordenadas são
𝟑 𝟏
a) (𝟐 , 𝟐)
b) (𝟏, 𝟐)
𝟑 𝟑
c) (𝟐 , 𝟐)
d) (𝟎, 𝟑)
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Comentários
Seja 𝐶(𝑥, 𝑦) o centro dessa circunferência. Como ele pertence à reta, temos:
𝑦 = 3−𝑥
Logo:
𝐶(𝑥, 3 − 𝑥)
Se 𝐴 𝑒 𝐵 são pontos dessa circunferência, temos que:
𝐴𝐶 = 𝐵𝐶
Isto é:
√(𝑥 − 1)2 + (3 − 𝑥 − 0)2 = √(𝑥 − 0)2 + (3 − 𝑥 − 2)2
3
(𝑥 − 1)2 + (3 − 𝑥)2 = 𝑥 2 + (1 − 𝑥)2 ⇒ 9 − 6𝑥 = 0 ⇒ 𝑥 =
2
Assim, suas coordenadas são:
3 3 3 3
𝐶( ,3 − ) = 𝐶( , )
2 2 2 2
Gabarito: “c”.
23. (EEAR/2002)
A distância do centro da circunferência 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟖𝒚 + 𝟐𝟏 = 𝟎 à bissetriz do 𝑰𝑰º 𝒆 𝑰𝑽º
quadrantes, vale
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√𝟐
a) 𝟐
b) √𝟑/𝟐
c) √𝟕/𝟐
d) 𝟕√𝟐/𝟐
Comentários
A bissetriz do IIº e IVº quadrantes é a reta:
𝑦 = −𝑥 ⇒ 𝑦 + 𝑥 = 0
Para encontrar o centro da circunferência devemos completar os quadrados na equação geral:
𝑥 2 − 2 ∙ 3𝑥 + 9 − 9 + 𝑦 2 − 2 ∙ 4𝑦 + 16 − 16 + 21 = 0
Ou seja:
(𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 4)2 = 4
O seu centro é o ponto (3,4). Do que segue que:
3+4 7 7√2
𝑑=| |= =
√12 + 12 √2 2
Gabarito: “d”.
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24. (EEAR/2002)
Seja uma circunferência com centro sobre a reta 𝒚 = 𝟑𝒙. Se a circunferência é tangente à reta 𝒚 =
𝒙 na ordenada 𝟒, então as coordenadas do centro da circunferência são
a) (𝟒, 𝟏𝟐)
b) (𝟐, 𝟔)
c) (𝟑, 𝟗)
d) (𝟓, 𝟏𝟓)
Comentários
Se ela é tangente à reta 𝑦 = 𝑥 na ordenada 4, a abscissa do ponto de tangência é:
𝑥=4
Assim:
𝑃(4,4)
É o ponto de tangência.
A reta perpendicular à reta 𝑦 = 𝑥 no ponto 𝑃 encontra a reta 𝑦 = 3𝑥 no centro da circunferência,
pela tangência.
Como o coeficiente angular de 𝑦 = 𝑥 é 1, o coeficiente angular da perpendicular é −1 e ela é do
tipo:
𝑦 = −𝑥 + 𝑏
Como ela passa por 𝑃:
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4 = −4 + 𝑏 ⇒ 𝑏 = 8
E a reta é:
𝑦 = −𝑥 + 8
Fazendo a intersecção com a reta 𝑦 = 3𝑥:
3𝑥 = −𝑥 + 8 ⇒ 𝑥 = 2 ⇒ 𝑦 = 6
Por fim, a coordenada do centro é:
(2,6)
Gabarito: “b”.
25. (EEAR/2001)
Considere as circunferências que passam pelos pontos (𝟎, 𝟎) e (𝟐, 𝟎) e que são tangentes à reta
𝒚 = 𝒙 + 𝟐 as coordenadas dos centros dessas circunferências são
a) (𝟏, 𝟏) 𝒆 (𝟏, −𝟕)
b) (𝟏, 𝟏) 𝒆 (−𝟕, 𝟏)
c) (𝟏, −𝟕) 𝒆 (𝟏, 𝟕)
d) (𝟏, −𝟕) 𝒆 (−𝟏, 𝟕)
Comentários
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2
𝑎 𝑎2 𝑎2 2
𝑏 𝑏2 𝑏2 𝑎 2 𝑏 2 𝑎2 + 𝑏 2
𝑥 +2 𝑥+ − +𝑦 +2 𝑦+ − = 0 ⇒ (𝑥 + ) + (𝑦 + ) =
2 4 4 2 4 4 2 2 4
Disso, temos:
𝑎2 + 𝑏 2 √𝑎2 + 𝑏 2
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𝑟2 = ⇒𝑟=
4 2
Gabarito: “a”.
27. (EEAR/2001)
A circunferência (𝒙 + 𝟐)𝟐 + (𝒚 − 𝟏)𝟐 = 𝟏 e a reta 𝒙 − 𝟑𝒚 − 𝟐 = 𝟎 possuem ____ ponto(s) em
comum
a) 2
b) 1
c) Infinitos
d) Nenhum
Comentários
Seu centro é (−2,1) e seu raio é 𝑟 = 1. A distância do centro à reta:
−2 − 3 ∙ 1 − 2 −7 7
𝑑=| |=| |=
√12 + (−3)2 √10 √10
7
Veja que > 1 , ou seja, a reta é externa à circunferência, de modo que não há ponto de
√10
intersecção.
Gabarito: “d”.
28. (EEAR/2000)
A posição dos pontos 𝑷(𝟑, 𝟐) 𝒆 𝑸(𝟏, 𝟏) em relação à circunferência (𝒙 − 𝟏)𝟐 + (𝒚 − 𝟏)𝟐 = 𝟒 é:
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a) P é interior e Q exterior
b) P é exterior e Q é interior
c) P e Q são interiores
d) P e Q são exteriores
Comentários
O centro dessa circunferência é o ponto 𝑂(1,1) e seu raio √4 = 2.
A distância dos pontos dados ao centro:
𝑂𝑃 = √(1 − 3)2 + (1 − 2)2 = √4 + 1 = √5
𝑂𝑄 = √(1 − 1)2 + (1 − 1)2 = 0
Como √5 > 2, 𝑃 é exterior à circunferência. 𝑄 = 𝑂, logo, é interior à circunferência.
Gabarito: “b”.
29. (ESA/2016)
A equação da circunferência de centro (𝟏, 𝟐) e raio 𝟑 é:
a) 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟒𝒚 + 𝟏𝟒 = 𝟎
b) 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟒𝒚 − 𝟒 = 𝟎
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c) 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟐𝒚 − 𝟒 = 𝟎
d) 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟐𝒚 − 𝟏𝟒 = 𝟎
e) 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟒𝒚 − 𝟏𝟒 = 𝟎
Comentário
A sua equação reduzida é:
(𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2 = 9
Desenvolvendo os quadrados:
𝑥 2 − 2𝑥 + 1 + 𝑦 2 − 4𝑦 + 4 = 9 ⇒ 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 − 4𝑦 − 4 = 0
Gabarito: “b”.
30. (ESA/2014)
Em um sistema de coordenadas cartesianas no plano, considere os pontos 𝑶(𝟎, 𝟎) 𝒆 𝑨(𝟖, 𝟎). A
equação do conjunto dos pontos 𝑷(𝒙, 𝒚) desse plano sabendo que a distância de 𝑶 𝒂 𝑷 é o triplo
da distância de 𝑷 𝒂 𝑨, é uma
a) Circunferência de centro (𝟗, 𝟎) e raio 3
b) Elipse de focos (𝟔, 𝟎) 𝒆 (𝟏𝟐, 𝟎), e eixo menor 6
c) Hipérbole de focos (𝟑, 𝟎) 𝒆 (𝟏𝟓, 𝟎), e eixo real 6
d) Parábola de vértice (𝟗, 𝟑), que intercepta o eixo das abscissas nos pontos (𝟔, 𝟎) 𝒆 (𝟏𝟐, 𝟎)
e) Reta que passa pelos pontos (𝟔, 𝟎) 𝒆 (𝟗, 𝟑)
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Comentário
Temos que:
𝑂𝑃 = 3𝐴𝑃 ⇒ 𝑂𝑃2 = 9𝐴𝑃2
Logo:
(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 0)2 = 9[(𝑥 − 8)2 + (𝑦 − 0)2 ] ⇒ 𝑥 2 + 𝑦 2 = 9𝑥 2 − 9 ∙ 16𝑥 + 9 ∙ 64 + 9𝑦 2
Ou seja:
8𝑥 2 + 8𝑦 2 − 9 ∙ 16𝑥 + 9 ∙ 64 = 0 ⇒ 𝑥 2 + 𝑦 2 − 18𝑥 + 72 = 0
Completando o quadrado de 𝑥:
(𝑥 − 9)2 + 𝑦 2 = 9
Que corresponde a uma circunferência de centro (9,0) e raio √9 = 3.
Gabarito: “a”.
31. (ESA/2013)
Dada a equação da circunferência é: (𝒙 − 𝒂)𝟐 + (𝒚 − 𝒃)𝟐 = 𝒓𝟐 , sendo as coordenadas do centro e
𝒓 a medida do raio, identifique a equação geral da circunferência de centro (𝟐, 𝟑) e raio igual a 5
a) 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟐𝟓
b) 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟒𝒙𝒚 − 𝟏𝟐 = 𝟎
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c) 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 = −𝟏𝟔
d) 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟔𝒚 − 𝟏𝟐 = 𝟎
e) 𝒚𝟐 − 𝟔𝒚 = −𝟗
Comentário
A equação reduzida pode ser expressa por:
(𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 3)2 = 25
Desenvolvendo os quadrados:
𝑥 2 − 4𝑥 + 4 + 𝑦 2 − 6𝑦 + 9 = 25 ⇒ 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 − 6𝑦 − 12 = 0
Gabarito: “d”.
32. (ESA/2011)
A reta 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝟐 é tangente à circunferência de equação (𝒙 − 𝟒)𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟒. A soma dos
possíveis valores de 𝒎 é:
a) 0
b) 4/3
c) -4/3
d) -3/4
e) 2
Comentário
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O centro dessa equação é o ponto (4,0) e o seu raio é √4 = 2. Para que a reta seja tangente à
circunferência, a distância entre ela e o centro da circunferência deve ser igual ao raio:
𝑚∙4−0+2
2=| | ⇒ 4(𝑚2 + 1) = (4𝑚 + 2)2 ⇒ 4𝑚2 + 4 = 16𝑚2 + 16𝑚 + 4
√𝑚2 + (−1)2
Ou seja:
4
12𝑚2 + 16𝑚 = 0 ⇒ 4𝑚(3𝑚 + 4) = 0 ⇒ 𝑚 = 0 𝑜𝑢 𝑚 = −
3
A soma dos valores é:
4 4
0 + (− ) = −
3 3
Gabarito: “c”.
33. (ESA/2008)
As equações (𝒙 + 𝟏)𝟐 + (𝒚 − 𝟒)𝟐 = 𝟔𝟒 𝒆 (𝒙 − 𝟒)𝟐 + (𝒚 + 𝟖)𝟐 = 𝟐𝟓 representam duas
circunferências cuja posição relativa no plano permite afirmar que são
a) Interiores (sem ponto de intersecção)
b) Tangentes interiores
c) Secantes
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d) Tangentes exteriores
e) Exteriores (sem ponto de intersecção)
Comentário
Os seus centros são os pontos (−𝟏, 𝟒) 𝒆 (𝟒, −𝟖). A distância entre eles é dada por:
√(−1 − 4)2 + (4 − (−8))2 = √25 + 144 = 13
Os seus raios são √64 = 8 𝑒 √25 = 5. Como a distância entre os centros é igual à soma dos raios:
8 + 5 = 13
Elas são tangentes externas.
Gabarito: “d”.
34. (ESPCEX/2011)
Uma circunferência tem centro no eixo das abscissas, passa pelo ponto (𝟒, 𝟒) e não intercepta o
eixo das ordenadas. Se a área do círculo definido por essa circunferência é 𝟏𝟕𝝅, a abscissa de seu
centro é
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
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Comentário
A área de uma circunferência, em função de seu raio, é dada por:
𝜋𝑟 2 = 17𝜋 ⇒ 𝑟 2 = 17
Como seu centro está sobre o eixo das abscissas, suas coordenadas são do tipo:
𝐶(𝑎, 0)
A sua equação reduzida é dada por:
(𝑥 − 𝑎)2 + 𝑦 2 = 𝑟 2 = 17
Como ela passa por (4,4):
(4 − 𝑎)2 + 42 = 17 ⇒ (𝑎 − 4)2 = 1 ⇒ 𝑎 = 5 𝑜𝑢 𝑎 = 3
Como seu raio é √17, para que ele não intercepte o eixo das abscissas, a distância do centro ao
eixo 𝑦 maior que o raio:
𝑎 > √17
Logo, 𝑎 = 5.
Gabarito: “c”.
35. (ESPCEX/2016)
Seja 𝑪 a circunferência de equação 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟒𝒚 + 𝟐 = 𝟎. Considere em 𝑪 a corda 𝑴𝑵 cujo
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e) 𝝀: 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟏𝟎𝒚 − 𝟏𝟕 = 𝟎
Comentários
O primeiro passo é completar os quadrados da equação da circunferência:
𝑥 2 + 4𝑥 + 4 − 4 + 𝑦 2 + 10𝑦 + 25 = 0
Ou seja:
(𝑥 + 2)2 + (𝑦 + 5)2 = 4
Seu centro é, portanto, (−2, −5).
Como 𝑃 é simétrico de (−1,1) em relação ao eixo das abcissas, temos que ele é dado por:
𝑃(−1, −1)
A equação reduzida da circunferência procurada é dada por:
(𝑥 + 2)2 + (𝑦 + 5)2 = 𝑟 2
Como ela passa por 𝑃:
(−1 + 2)2 + (−1 + 5)2 = 𝑟 2 ⇒ 𝑟 2 = 1 + 16 = 17
Logo:
(𝑥 + 2)2 + (𝑦 + 5)2 = 17
Desenvolvendo os quadrados:
𝑥 2 + 4𝑥 + 4 + 𝑦 2 + 10𝑦 + 25 = 17 ⇒ 𝑥 2 + 𝑦 2 + 4𝑥 + 10𝑦 + 12 = 0
Gabarito: “b”.
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38. (ESPCEX/2012)
Considere a circunferência (𝝀)𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟒𝒙 = 𝟎 e o ponto 𝑷(𝟏, √𝟑). Se a reta 𝒕 é tangente a 𝝀 no
ponto 𝑷, então a abscissa do ponto de intersecção de 𝒕 com o eixo horizontal do sistema de
coordenadas cartesianas é
a) -2
b) 𝟐 + √𝟑
c) 3
d) 𝟑 + √𝟑
e) 𝟑 + 𝟑√𝟑
Comentários
Se 𝑡 é tangente à circunferência e sua equação reduzida é da forma 𝑚𝑥 − 𝑦 + 𝑏 = 0, temos que
a distância entre 𝑡 e o centro de 𝜆 é igual ao raio da circunferência.
Completando os quadrados na equação da circunferência, temos:
(𝑥 − 2)2 + 𝑦 2 = 22
Seu centro é (2,0) e seu raio vale 2. Disso:
2𝑚 + 𝑏
2=| |
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√𝑚2 + 1
Como 𝑃 está sobre a reta, temos:
𝑚 − √3 + 𝑏 = 0 ⇒ 𝑏 = √3 − 𝑚
Logo:
2
(2𝑚 + √3 − 𝑚)
22 = ⇒ 4(𝑚2 + 1) = 𝑚2 + 2√3𝑚 + 3
𝑚2 + 1
Ou ainda:
2
2
1
3𝑚 − 2√3𝑚 + 1 = 0 ⇒ 3 (𝑚 − ) =0
√3
Resolvendo para 𝑚, vem:
1
𝑚=
√3
Do que temos que:
1 2
𝑏 = √3 − =
√3 √3
Assim, a reta 𝑡 é dada por:
1 2
𝑦= 𝑥+
√3 √3
O eixo horizontal é a reta 𝑦 = 0, logo:
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1 2
0= 𝑥+ ⇒ 𝑥 = −2
√3 √3
O ponto é, portanto:
(−2,0)
Gabarito: “a”.
39. (Estratégia Militares - Prof. Victor So)
A equação da circunferência de centro (𝟑, 𝟒) e raio 5 é:
a) 𝒙𝟐 − 𝟕𝒙 + 𝒚𝟐 − 𝟖𝒚 − 𝟏𝟓 = 𝟎
b) 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝒚𝟐 − 𝟖𝒚 = 𝟎
c) 𝟐𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟐𝒚𝟐 − 𝟖𝒚 = 𝟎
d) 𝟐𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝒚𝟐 − 𝟏𝟔𝒚 + 𝟏𝟕 = 𝟎
e) 𝟐𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝒚𝟐 − 𝟏𝟔𝒚 = 𝟎
Comentários
Como os pontos 𝑃(𝑥, 𝑦) de uma circunferência são aqueles que distam R (raio) do centro
𝐶(𝑥0 , 𝑦0 ), pela fórmula da distância entre pontos:
𝑑(𝑃, 𝐶) = √(𝑥 − 𝑥0 )2 + (𝑦 − 𝑦0 )2 = 𝑅
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d) são externas
Comentários
Pelas equações das circunferências, temos:
𝜆1 → 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝐶1 (4, −2) e raio 𝑅1 = √25 = 5
𝜆2 → 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝐶2 (9, 10) e raio 𝑅2 = √64 = 8
Vamos calcular a distância entre seus centros:
2
𝐶1 𝐶2 = √(9 − 4)2 + (10 − (−2)) = √52 + 122 = √169 = 13
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c) (𝒙 + 𝟕)𝟐 + (𝒚 − 𝟑)𝟐 = 𝟐𝟓
d) não é possível determinar.
Comentários
Como BC é hipotenusa, temos que o seu ponto médio será o centro da circunferência:
−7 − 1 3 + 3
𝑂=( , ) = (−4, 3)
2 2
O raio da circunferência é igual à metade da medida da hipotenusa, logo:
𝑑𝐵𝐶 √(−7 + 1)2 + (3 − 3)2 6
𝑟= = = =3
2 2 2
Portanto, a equação da circunferência é
(𝑥 + 4)2 + (𝑦 − 3)2 = 9
Gabarito: B
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5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] Iezzi, Gelson. Fundamentos de matemática elementar, 7: geometria analítica. 6. ed. Atual, 2013. 312p.
[2] Steinbruch, Alfredo. Winterle, Paulo. Geometria analítica. 2 ed. Pearson Makron Books, 1987. 292p.
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