Vetores
Vetores
Vetores
v+w=w+v
u + (v + w) = (u + v) + w
III) Elemento neutro: Existe um vetor O=(0,0) em R2 tal que para todo vetor u de R2, se tem:
O+u=u
IV) Elemento oposto: Para cada vetor v de R2, existe um vetor -v em R2 tal que:
v + (-v) = O
Diferença de vetores
Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a diferença entre v e w por:
v - w = (a-c,b-d)
• 1v=v
• (k c) v = k (c v) = c (k v)
• k v = c v implica k = c, se v for não nulo
• k (v+w) = k v + k w
• (k + c)v = k v + c v
Módulo de um vetor
O módulo ou comprimento do vetor v=(a,b) é um número real não negativo, definido por:
Vetor unitário
Vetor unitário é o que tem o módulo igual a 1.
Existem dois vetores unitários que formam a base canônica para o espaço R2, que são dados por:
i = (1,0) j = (0,1)
Para construir um vetor unitário u que tenha a mesma direção e sentido que um outro vetor v, basta
dividir o vetor v pelo seu módulo, isto é:
Observação:
Para construir um vetor u paralelo a um vetor v, basta tomar u=cv onde c é um escalar não nulo.
Nesse caso, u e v serão paralelos.
Se c = 0 então u será o vetor nulo.
Se 0 < c < 1 então u terá comprimento menor do que v.
Se c > 1 então u terá comprimento maior do que v.
Se c < 0 então u terá sentido oposto ao de v.
TRIGONOMÉTRICOS
Os estudos trigonométricos no triângulo são embasados em três relações fundamentais: seno,
cosseno e tangente.
Seno = Cateto oposto
hipotenusa
Cosseno = Cateto adjacente
hipotenusa
Tangente = cateto oposto
cateto adjacente
Tabelas trigonométricas
No triângulo, os ângulos de 30º, 45º e 60º são considerados notáveis, pois estão presentes em
diversos cálculos. Por esse motivo, seus valores trigonométricos correspondentes são organizados
em uma tabela. Veja:
Nas situações envolvendo outros ângulos, os valores trigonométricos podem ser obtidos por
intermédio de uma calculadora científica, que dispõe das teclas sen (seno), cos (cosseno) e tan
(tangente). Outra opção seria dispor de uma tabela trigonométrica. Observe:
Para o cálculo dos valores trigonométricos envolvendo ângulos obtusos, utilizamos as seguintes
definições:
sen x = sen (180º – x)
cos x = – cos (180º – x)
Exemplo: Obtenha o valor de seno de 120º e cosseno de 120º.
sen 120º = sen (180º – 120º) → sen 120º = sen 60º = 0,8660
cos 120º = – cos (180º – 120º) → cos 120º = – cos 60º = – 0,5000
O ponto (1,0)
é de onde começamos
a medir os ângulos,
sendo que sentido
positivo é o anti-
horário.
Os eixos delimitam 4 quadrantes no plano cartesiano, sendo que o primeiro quadrante fica em cima,
à direita:
Agora vamos entender como esse negócio vai nos ajudar a determinar senos e cossenos.
Vamos imaginar um ângulo x
a partir do centro. Este ângulo encontra um ponto do ciclo trigonométrico. A partir deste ponto
fazemos uma projeção no eixo x para construir um triângulo retângulo. A hipotenusa deste triângulo
é 1, pois é a medida do raio da circunferência. Vamos chamar seus catetos de a e b
Do triângulo retângulo temos que:
• sen 120∘=?
180−120=60°
Como calcular
cos225° (passo-a-
passo)
cos225∘=?
225°=225−180= 45°